ضوضاء غاوسية بيضاء مضافة

تعتمد هذه المقالة بشكل كبير أو كليًا على مصدر واحد . يمكن العثور على المناقشة ذات الصلة على صفحة المناقشة . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم الاستشهادات بالمصادر الإضافية . ابحث عن المصادر:  "الضوضاء الغاوسية البيضاء المضافة" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( فبراير 2020 )

الضوضاء الغاوسية البيضاء المضافة ( AWGN ) هي نموذج ضوضاء أساسي يستخدم في نظرية المعلومات لمحاكاة تأثير العديد من العمليات العشوائية التي تحدث في الطبيعة. تشير المعدِّلات إلى خصائص محددة:

• إضافي لأنه يضاف إلى أي ضوضاء قد تكون جوهرية لنظام المعلومات.
• يشير اللون الأبيض إلى فكرة أن كثافة الطيف للقدرة موحدة عبر نطاق التردد لنظام المعلومات. وهو يشبه اللون الأبيض الذي يمكن تحقيقه من خلال الانبعاثات الموحدة في جميع الترددات في الطيف المرئي .
• غاوسي لأنه يحتوي على توزيع طبيعي في مجال الوقت بقيمة مجال زمني متوسط ​​تساوي صفرًا ( عملية غاوسية ).

تأتي الضوضاء ذات النطاق العريض من العديد من مصادر الضوضاء الطبيعية، مثل الاهتزازات الحرارية للذرات في الموصلات (يشار إليها بالضوضاء الحرارية أو ضوضاء جونسون-نايكويست )، وضوضاء الطلقات ، وإشعاع الجسم الأسود من الأرض والأجسام الدافئة الأخرى، ومن مصادر سماوية مثل الشمس. تشير نظرية الحد المركزي لنظرية الاحتمالات إلى أن مجموع العديد من العمليات العشوائية يميل إلى أن يكون له توزيع يسمى غاوسي أو طبيعي.

غالبًا ما يتم استخدام AWGN كنموذج قناة حيث يكون الضرر الوحيد للاتصال هو الإضافة الخطية للنطاق العريض أو الضوضاء البيضاء بكثافة طيفية ثابتة (معبر عنها بالواط لكل هرتز من عرض النطاق الترددي ) وتوزيع غاوسي للسعة. لا يأخذ النموذج في الاعتبار التلاشي أو انتقائية التردد أو التداخل أو اللاخطية أو التشتت . ومع ذلك، فإنه ينتج نماذج رياضية بسيطة وقابلة للتنفيذ والتي تعد مفيدة لاكتساب نظرة ثاقبة للسلوك الأساسي للنظام قبل النظر في هذه الظواهر الأخرى.

قناة AWGN هي نموذج جيد للعديد من روابط الاتصالات عبر الأقمار الصناعية والفضاء العميق. إنها ليست نموذجًا جيدًا لمعظم الروابط الأرضية بسبب تعدد المسارات وحجب التضاريس والتداخل وما إلى ذلك. ومع ذلك، بالنسبة لنمذجة المسار الأرضي، تُستخدم AWGN عادةً لمحاكاة الضوضاء الخلفية للقناة قيد الدراسة، بالإضافة إلى تعدد المسارات وحجب التضاريس والتداخل والفوضى الأرضية والتداخل الذاتي الذي تواجهه أنظمة الراديو الحديثة في التشغيل الأرضي.

يتم تمثيل قناة AWGN بسلسلة من المخرجات عند مؤشر الحدث المنفصل . هو مجموع المدخلات والضوضاء ، حيث تكون مستقلة وموزعة بشكل متطابق ومستمدة من توزيع طبيعي متوسط ​​الصفر مع التباين (الضوضاء). يُفترض أيضًا أن تكون غير مرتبطة بـ . ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,N)\,\!}$

${\displaystyle Y_{i}=X_{i}+Z_{i}.\,\!}$

تكون سعة القناة غير محدودة ما لم يكن الضجيج غير صفري، ويتم تقييدها بشكل كافٍ. القيد الأكثر شيوعًا على المدخلات هو ما يسمى بقيد "الطاقة"، والذي يتطلب بالنسبة لكلمة المرور المنقولة عبر القناة، أن يكون لدينا: ${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})}$

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}\leq P,}$

حيث يمثل الحد الأقصى لطاقة القناة. وبالتالي، فإن سعة القناة للقناة المقيدة بالقدرة تُعطى بواسطة: ^{[ يحتاج إلى توضيح ]}${\displaystyle P}$

${\displaystyle C=\max \left\{I(X;Y):f{\text{ st }}E\left(X^{2}\right)\leq P\right\}\,\!}$

أين هو توزيع . قم بالتوسيع ، واكتبه من حيث الإنتروبيا التفاضلية : ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I(X;Y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&I(X;Y)=h(Y)-h(Y\mid X)\\[5pt]={}&h(Y)-h(X+Z\mid X)\\[5pt]={}&h(Y)-h(Z\mid X)\end{aligned}}\,\!}$

لكن و مستقلان، لذلك: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle I(X;Y)=h(Y)-h(Z)\,\!}$

يؤدي تقييم الإنتروبيا التفاضلية للغاوسي إلى:

${\displaystyle h(Z)={\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}$

لأن و مستقلان ومجموعهما يعطي : ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E(Y^{2})=E((X+Z)^{2})=E(X^{2})+2E(X)E(Z)+E(Z^{2})\leq P+N\,\!}$

ومن هذا الحد، نستنتج من خاصية الإنتروبيا التفاضلية أن

${\displaystyle h(Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))\,\!}$

لذلك، يتم تحديد سعة القناة من خلال أعلى حد يمكن تحقيقه على المعلومات المتبادلة :

${\displaystyle I(X;Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}$

أين يتم تعظيمه عندما: ${\displaystyle I(X;Y)}$

${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,P)\,\!}$

وبالتالي، يتم تحديد سعة القناة لقناة AWGN بواسطة: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)\,\!}$

لنفترض أننا نرسل رسائل عبر القناة ذات الفهرس الذي يتراوح من إلى ، وهو عدد الرسائل الممكنة المميزة. إذا قمنا بترميز الرسائل إلى بتات، فإننا نحدد المعدل على النحو التالي: ${\displaystyle 1}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R={\frac {\log M}{n}}\,\!}$

يقال إن معدلًا يمكن تحقيقه إذا كان هناك تسلسل من الرموز بحيث يميل أقصى احتمال للخطأ إلى الصفر مع اقترابه من اللانهاية. السعة هي أعلى معدل يمكن تحقيقه. ${\displaystyle n}$${\displaystyle C}$

لنفترض أن كلمة مرور بطول مرسلة عبر قناة AWGN بمستوى ضوضاء . عند الاستلام، يكون تباين متجه كلمة المرور الآن ، ومتوسطه هو كلمة المرور المرسلة. من المرجح جدًا أن يكون المتجه محصورًا في كرة نصف قطرها حول كلمة المرور المرسلة. إذا فككنا التشفير عن طريق تعيين كل رسالة مستلمة على كلمة المرور في مركز هذه الكرة، فسيحدث خطأ فقط عندما يكون المتجه المستلم خارج هذه الكرة، وهو أمر غير مرجح للغاية. ${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\textstyle {\sqrt {n(N+\varepsilon )}}}$

يحتوي كل متجه كلمة رمزية على كرة مرتبطة بمتجهات كلمة رمزية مستلمة يتم فك شفرتها إليه ويجب أن يتم تعيين كل كرة من هذه الكرات بشكل فريد على كلمة رمزية. ولأن هذه الكرات يجب ألا تتقاطع، فإننا نواجه مشكلة تعبئة الكرات . كم عدد كلمات الرمز المميزة التي يمكننا تعبئتها في متجه كلمة الرمز ذي البت - الخاص بنا؟ تتمتع المتجهات المستلمة بطاقة قصوى تبلغ وبالتالي يجب أن تشغل كرة نصف قطرها . كل كرة كلمة رمزية لها نصف قطر . يتناسب حجم الكرة ذات الأبعاد n بشكل مباشر مع ، لذا فإن الحد الأقصى لعدد الكرات القابلة لفك التشفير بشكل فريد والتي يمكن تعبئتها في كرتنا بقوة الإرسال P هو: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n(P+N)}$${\textstyle {\sqrt {n(P+N)}}}$${\displaystyle {\sqrt {nN}}}$${\displaystyle r^{n}}$

${\displaystyle {\frac {(n(P+N))^{n/2}}{(nN)^{n/2}}}=2^{(n/2)\log \left(1+P/N\right)}\,\!}$

وبناء على هذه الحجة، فإن المعدل R لا يمكن أن يكون أكبر من . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)}$

في هذا القسم، نظهر إمكانية تحقيق الحد الأعلى للمعدل من القسم الأخير.

يتم إنشاء كتاب التعليمات البرمجية المعروف لكل من المشفر وفك التشفير عن طريق اختيار كلمات التعليمات البرمجية بطول n وiid Gaussian مع تباين ومتوسط ​​صفري. بالنسبة لقيمة n الكبيرة، سيكون التباين التجريبي لكتاب التعليمات البرمجية قريبًا جدًا من تباين توزيعه، وبالتالي تجنب انتهاك قيد القدرة احتماليًا. ${\displaystyle P-\varepsilon }$

يتم فك تشفير الرسائل المستلمة إلى رسالة في كتاب الشفرات والتي تكون نموذجية بشكل مشترك فريد. إذا لم تكن هناك مثل هذه الرسالة أو إذا تم انتهاك قيد الطاقة، يتم الإعلان عن خطأ فك التشفير.

دعونا نشير إلى كلمة المرور للرسالة ، بينما تكون، كما هو الحال قبل المتجه المستقبل. حدد الأحداث الثلاثة التالية: ${\displaystyle X^{n}(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Y^{n}}$

1. الحدث : قوة الرسالة المستلمة أكبر من .${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$
2. الحدث : كلمات المرور المرسلة والمستقبلة ليست نموذجية بشكل مشترك.${\displaystyle V}$
3. الحدث : يقع في المجموعة النموذجية حيث ، وهذا يعني أن كلمة المرور غير الصحيحة نموذجية بشكل مشترك مع المتجه المستلم.${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle (X^{n}(j),Y^{n})}$${\displaystyle A_{\varepsilon }^{(n)}}$${\displaystyle i\neq j}$

لذلك يحدث خطأ إذا حدث أو أي مما يلي . وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، يتحول إلى صفر عندما يقترب n من اللانهاية، ووفقًا لخاصية التقسيم المقارب المشترك ينطبق نفس الشيء على . لذلك، بالنسبة لـ ، كبير بما فيه الكفاية ، يكون كل من و أقل من . نظرًا لأن و مستقلان عن ، لدينا أن و مستقلان أيضًا. لذلك، وفقًا لخاصية التقسيم المقارب المشترك، . وهذا يسمح لنا بحساب ، احتمال الخطأ على النحو التالي: ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle P(U)}$${\displaystyle P(V)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(U)}$${\displaystyle P(V)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle X^{n}(i)}$${\displaystyle X^{n}(j)}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle X^{n}(i)}$${\displaystyle Y^{n}}$${\displaystyle P(E_{j})=2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}}$${\displaystyle P_{e}^{(n)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}^{(n)}&\leq P(U)+P(V)+\sum _{j\neq i}P(E_{j})\\&\leq \varepsilon +\varepsilon +\sum _{j\neq i}2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}\\&\leq 2\varepsilon +(2^{nR}-1)2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon )}\\&\leq 2\varepsilon +(2^{3n\varepsilon })2^{-n(I(X;Y)-R)}\\&\leq 3\varepsilon \end{aligned}}}$

لذلك، عندما يقترب n من اللانهاية، فإنه يتحول إلى الصفر و . وبالتالي، يوجد رمز لمعدل R قريب بشكل تعسفي من السعة المشتقة سابقًا. ${\displaystyle P_{e}^{(n)}}$${\displaystyle R<I(X;Y)-3\varepsilon }$

وهنا نظهر أن المعدلات التي تفوق القدرة ليست قابلة للتحقيق. ${\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)}$

افترض أن قيد الطاقة قد تم الوفاء به لكتاب التعليمات البرمجية، وافترض كذلك أن الرسائل تتبع توزيعًا موحدًا. دع رسائل الإدخال ورسائل الإخراج. وبالتالي تتدفق المعلومات على النحو التالي: ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\hat {W}}}$

${\displaystyle W\longrightarrow X^{(n)}(W)\longrightarrow Y^{(n)}\longrightarrow {\hat {W}}}$

إن استخدام متباينة فانو يعطي:

${\displaystyle H(W\mid {\hat {W}})\leq 1+nRP_{e}^{(n)}=n\varepsilon _{n}}$بينما​${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}$${\displaystyle P_{e}^{(n)}\rightarrow 0}$

لتكن الرسالة المشفرة لرمز الكلمة المفتاحية i . إذن: ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}nR&=H(W)\\&=I(W;{\hat {W}})+H(W\mid {\hat {W}})\\&\leq I(W;{\hat {W}})+n\varepsilon _{n}\\&\leq I(X^{(n)};Y^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Y^{(n)}\mid X^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&=h(Y^{(n)})-h(Z^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}h(Y_{i})-h(Z^{(n)})+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum _{i=1}^{n}I(X_{i};Y_{i})+n\varepsilon _{n}\end{aligned}}}$

ليكن متوسط ​​القوة لكلمة الرمز للمؤشر i: ${\displaystyle P_{i}}$

${\displaystyle P_{i}={\frac {1}{2^{nR}}}\sum _{w}x_{i}^{2}(w)\,\!}$

حيث يكون المجموع على جميع رسائل الإدخال . و مستقلين، وبالتالي فإن توقع قوة هو ، لمستوى الضوضاء : ${\displaystyle w}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle E(Y_{i}^{2})=P_{i}+N\,\!}$

وإذا تم توزيعه بشكل طبيعي، فلدينا ذلك ${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle h(Y_{i})\leq {\frac {1}{2}}\log {2\pi e}(P_{i}+N)\,\!}$

لذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}nR&\leq \sum (h(Y_{i})-h(Z_{i}))+n\varepsilon _{n}\\&\leq \sum \left({\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P_{i}+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\right)+n\varepsilon _{n}\\&=\sum {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P_{i}}{N}}\right)+n\varepsilon _{n}\end{aligned}}}$

يمكننا تطبيق مساواة جينسن على ، وهي دالة مقعرة (لأسفل) لـ x ، للحصول على: ${\displaystyle \log(1+x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\,\!}$

نظرًا لأن كل كلمة رمزية تلبي بشكل فردي قيد القدرة، فإن المتوسط ​​​​يلبي أيضًا قيد القدرة. لذلك،

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}},\,\!}$

والتي يمكننا تطبيقها لتبسيط المتباينة أعلاه والحصول على:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right).\,\!}$

لذلك، يجب أن يكون ذلك . لذلك، يجب أن تكون R أقل من قيمة قريبة بشكل تعسفي من السعة المشتقة سابقًا، مثل . ${\displaystyle R\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)+\varepsilon _{n}}$${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}$

في اتصالات البيانات التسلسلية، يتم استخدام النموذج الرياضي AWGN لنمذجة خطأ التوقيت الناجم عن التذبذب العشوائي (RJ).

يوضح الرسم البياني الموجود على اليمين مثالاً لأخطاء التوقيت المرتبطة بـ AWGN. يمثل المتغير Δ t عدم اليقين في عبور الصفر. مع زيادة سعة AWGN، تنخفض نسبة الإشارة إلى الضوضاء . يؤدي هذا إلى زيادة عدم اليقين Δ t . ^[1]

عند التأثر بـ AWGN، يكون متوسط ​​عدد عمليات عبور الصفر الموجبة أو السالبة في الثانية عند خرج مرشح النطاق الضيق عندما يكون المدخل عبارة عن موجة جيبية هو

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\text{positive zero crossings}}{\text{second}}}={\frac {\text{negative zero crossings}}{\text{second}}}\\[8pt]={}&f_{0}{\sqrt {\frac {{\text{SNR}}+1+{\frac {B^{2}}{12f_{0}^{2}}}}{{\text{SNR}}+1}}},\end{aligned}}}$

أين

ƒ ₀ = التردد المركزي للمرشح،

ب = عرض النطاق الترددي للمرشح،

SNR = نسبة القدرة بين الإشارة والضوضاء من حيث الخطية.

في أنظمة الاتصالات الحديثة، لا يمكن تجاهل AWGN المحدودة النطاق. عند نمذجة AWGN المحدودة النطاق في مجال الطور ، يكشف التحليل الإحصائي أن سعة المساهمات الحقيقية والتخيلية هي متغيرات مستقلة تتبع نموذج التوزيع الغاوسي . عند الجمع، يكون حجم الطور الناتج متغيرًا عشوائيًا موزعًا على رايلي ، بينما يتم توزيع الطور بشكل موحد من 0 إلى 2 π .

يوضح الرسم البياني الموجود على اليمين مثالاً لكيفية تأثير AWGN المحدودة النطاق على إشارة حاملة متماسكة. لا يمكن التنبؤ بالاستجابة اللحظية لمتجه الضوضاء بدقة، ومع ذلك، يمكن التنبؤ باستجابته المتوسطة زمنياً إحصائيًا. وكما هو موضح في الرسم البياني، نتوقع بثقة أن طور الضوضاء سيبقى حوالي 38٪ من الوقت داخل الدائرة 1 σ ، وحوالي 86٪ من الوقت داخل الدائرة 2 σ ، وحوالي 98٪ من الوقت داخل الدائرة 3 σ . ^[1]

• ارتداد الأرض
• نظرية ترميز القناة الضوضائية
• عملية غاوسية