المتوسط ​​الحسابي

في الرياضيات والإحصاء ، المتوسط ​​الحسابي ( / ˌ æ r ɪ θ ˈ m ɛ t ɪ k /المتوسط ​​الحسابي ⁽ أو المعدل)هو مجموع مجموعةمن الأرقام مقسومًا على عدد الأرقام في تلك المجموعة. ^{[ 1 ]} غالبًا ما تكون المجموعة عبارة عن نتائج تجربةأودراسةرصديةأواستطلاعرأي.​​الحسابيوالإحصاءلأنه يساعد على تمييزه عن أنواع المتوسطات الأخرى، مثلالمتوسط ​​الهندسيوالمتوسط​​التوافقي.

تُستخدم المتوسطات الحسابية بكثرة في الاقتصاد ، وعلم الإنسان ، والتاريخ ، وفي جميع المجالات الأكاديمية الأخرى تقريبًا بدرجات متفاوتة. فعلى سبيل المثال، يُعرَّف متوسط ​​دخل الفرد بأنه المتوسط ​​الحسابي لدخل سكان دولة ما .

على الرغم من أن المتوسط ​​الحسابي يُستخدم غالبًا للتعبير عن النزعة المركزية ، إلا أنه ليس مقياسًا إحصائيًا دقيقًا ، إذ يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة ( القيم الأكبر أو الأصغر بكثير من معظم القيم الأخرى). في حالة التوزيعات الملتوية ، مثل توزيع الدخل الذي يكون فيه دخل قلة من الأفراد أعلى بكثير من دخل معظمهم، قد لا يتطابق المتوسط ​​الحسابي مع مفهوم "الوسط". في هذه الحالة، قد توفر المقاييس الإحصائية الدقيقة، مثل الوسيط ، وصفًا أفضل للنزعة المركزية .

المتوسط ​​الحسابي لمجموعة من البيانات المرصودة يساوي مجموع القيم العددية لكل مشاهدة، مقسومًا على العدد الإجمالي للمشاهدات. وبعبارة أخرى، بالنسبة لمجموعة بيانات تتكون من القيم${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$، يتم تعريف المتوسط ​​الحسابي بالصيغة التالية: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {x}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}$

بصورة أبسط، صيغة حساب المتوسط ​​الحسابي هي:

${\displaystyle {\frac {\text{مجموع جميع القيم}}{\text{عدد القيم}}}}$

على سبيل المثال، إذا كانت الرواتب الشهرية لـ${\displaystyle 5}$الموظفون${\displaystyle \{2500,2700,2300,2650,2450\}}$إذن، المتوسط ​​الحسابي هو:

${\displaystyle {\frac {2500+2700+2300+2650+2450}{5}}=2520}$

إذا كانت مجموعة البيانات عبارة عن مجتمع إحصائي (أي تتكون من كل مشاهدة ممكنة وليس مجرد مجموعة فرعية منها)، فإن متوسط ​​هذا المجتمع يسمى متوسط ​​المجتمع ويرمز له بالحرف اليوناني${\displaystyle \mu }$إذا كانت مجموعة البيانات عينة إحصائية (مجموعة فرعية من المجتمع)، فإنها تسمى متوسط ​​العينة (وهو ما يُمثل متوسط ​​مجموعة البيانات) .${\displaystyle X}$يُشار إليه بـ${\displaystyle {\overline {X}}}$).

يمكن تعريف المتوسط ​​الحسابي بشكل مماثل للمتجهات في أبعاد متعددة، وليس فقط للقيم العددية ؛ ويُشار إلى هذا غالبًا باسم المركز . وبشكل أعم، لأن المتوسط ​​الحسابي هو توليفة محدبة (أي أن مجموع معاملاته يساوي 1/2).${\displaystyle 1}$)، يمكن تعريفها على فضاء محدب ، وليس فقط على فضاء متجهي .

تتبّع الإحصائي تشرشل أيزنهاورت ، الباحث الرئيسي في المكتب الوطني الأمريكي للمعايير ، تاريخ المتوسط ​​الحسابي بالتفصيل. في العصر الحديث، بدأ استخدامه كوسيلة لدمج ملاحظات مختلفة يفترض أن تكون متطابقة، ولكنها لم تكن كذلك، مثل تقديرات اتجاه الشمال المغناطيسي . في عام 1635 ، وصف عالم الرياضيات هنري جيليبراند "المتوسط" بأنه نقطة المنتصف بين أصغر وأكبر عدد، وهو ليس المتوسط ​​الحسابي تمامًا. في عام 1668 ، نُقل عن شخص يُعرف باسم "DB" في معاملات الجمعية الملكية وصفه "أخذ المتوسط" لخمس قيم: ^{[ 3 ]}

في هذا الجدول، يشير [الكابتن ستورمي] إلى أن أكبر فرق هو 14 دقيقة؛ وبالتالي، بأخذ المتوسط ​​للتغير الحقيقي، يستنتج حينها أنه 1 درجة و27 دقيقة فقط.

يتمتع المتوسط ​​الحسابي بعدة خصائص تجعله مثيراً للاهتمام، لا سيما كمقياس للنزعة المركزية. وتشمل هذه الخصائص ما يلي:

• إذا كانت الأرقام${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$يكون متوسطًا${\displaystyle {\bar {x}}}$، ثم${\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0}$. منذ${\displaystyle x_{i}-{\bar {x}}}$المتوسط ​​هو المسافة من عدد معين إلى المتوسط، وإحدى طرق تفسير هذه الخاصية هي القول بأن الأعداد على يسار المتوسط ​​متوازنة مع الأعداد على يمينه. المتوسط ​​هو العدد الوحيد الذي يكون مجموع البواقي (الانحرافات عن التقدير) عنده مساويًا للصفر. ويمكن تفسير ذلك أيضًا بأن المتوسط ​​ثابت تحت الإزاحة، بمعنى أنه لأي عدد حقيقي${\displaystyle a}$،${\displaystyle {\overline {x+a}}={\bar {x}}+a}$.
• إذا كان من الضروري استخدام رقم واحد كقيمة "نموذجية" لمجموعة من الأرقام المعروفة${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$إذاً، فإن المتوسط ​​الحسابي للأعداد هو الأنسب لتحقيق ذلك، لأنه يقلل من مجموع مربعات الانحرافات عن القيمة النموذجية: مجموع${\displaystyle (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}$يُعدّ متوسط ​​العينة أيضًا أفضل مُتنبئ منفرد لأنه يتميز بأقل جذر متوسط ​​مربع الخطأ . ^{[ 4 ]} إذا رُغِبَ في حساب المتوسط ​​الحسابي لمجموعة من الأرقام، فإن التقدير غير المتحيز له هو المتوسط ​​الحسابي لعينة مسحوبة من تلك المجموعة.

• المتوسط ​​الحسابي مستقل عن مقياس وحدات القياس، بمعنى أن${\displaystyle {\text{avg}}(ca_{1},\cdots ,ca_{n})=c\cdot {\text{avg}}(a_{1},\cdots ,a_{n}).}$ فعلى سبيل المثال، حساب متوسط ​​الحجم باللترات ثم تحويله إلى جالونات هو نفسه تحويله إلى جالونات أولاً ثم حساب المتوسط. ويُسمى هذا أيضاً بالتجانس من الدرجة الأولى .

يختلف المتوسط ​​الحسابي عن الوسيط ، وهو القيمة التي تفصل بين النصف الأعلى والنصف الأدنى من مجموعة البيانات. عندما تُشكّل القيم في مجموعة البيانات متتالية حسابية، يتساوى الوسيط مع المتوسط ​​الحسابي. على سبيل المثال، في مجموعة البيانات${\displaystyle {1,2,3,4}}$، كل من المتوسط ​​والوسيط${\displaystyle 2.5}$.

في حالات أخرى، قد يختلف المتوسط ​​والوسيط اختلافًا كبيرًا. على سبيل المثال، في مجموعة البيانات${\displaystyle {1,2,4,8,16}}$، المتوسط ​​الحسابي هو${\displaystyle 6.2}$بينما الوسيط هو${\displaystyle 4}$يحدث هذا لأن المتوسط ​​حساس للقيم المتطرفة وقد لا يعكس بدقة الاتجاه المركزي لمعظم نقاط البيانات.

لهذا التمييز آثار عملية في مختلف المجالات. فعلى سبيل المثال، منذ ثمانينيات القرن الماضي، ارتفع متوسط ​​الدخل في الولايات المتحدة بمعدل أبطأ من متوسط ​​الدخل الحسابي. ^{[ 5 ]}

وبالمثل، في الدراسات المناخية، تميل توزيعات متوسط ​​درجات الحرارة اليومية إلى الاقتراب من التوزيع الطبيعي، بينما تُظهر مجاميع هطول الأمطار السنوية أو الشهرية غالبًا توزيعًا ملتويًا، حيث تشهد بعض الفترات مجاميع عالية بشكل غير معتاد بينما تشهد معظمها كميات منخفضة نسبيًا. في مثل هذه الحالات، يمكن أن يوفر الوسيط مقياسًا أكثر تمثيلًا للنزعة المركزية. ^{[ 6 ]}

يُشار إلى المتوسط ​​الحسابي غالبًا بخط ( خط عمودي أو خط فاصل )، كما في${\displaystyle {\bar {x}}}$[ ^{4 ]​}

• القيمة المتوقعة
• معنى كلمة Fréchet
• المعنى العام
• عدم تساوي المتوسطات الحسابية والهندسية
• متوسط ​​العينة والتباين المشترك
• الانحراف المعياري
• الخطأ المعياري للمتوسط
• إحصائيات موجزة

• هاف، داريل (1993). كيف تكذب بالإحصاءات . دبليو دبليو نورتون. رقم ISBN 978-0-393-31072-6.