شخصيات مهمة

الأرقام المعنوية ، أو ما يُعرف أيضًا بالأرقام المهمة ، هي أرقام محددة ضمن عدد مكتوب بنظام الترقيم الموضعي ، تحمل في طياتها موثوقية وأهمية بالغة في التعبير عن كمية معينة. عند عرض نتيجة قياس ما (مثل الطول، أو الضغط، أو الحجم، أو الكتلة)، إذا تجاوز عدد الأرقام قدرة جهاز القياس على التمييز بينها، فإن الأرقام التي تحددها دقة الجهاز فقط هي التي تُعتبر موثوقة، وبالتالي تُعتبر معنوية.

على سبيل المثال، إذا كانت قيمة قياس الطول 114.8 مليمترًا (مم)، باستخدام مسطرة ذات أصغر مسافة بين العلامات تبلغ 1 مم، فإن الأرقام الثلاثة الأولى (1، 1، و 4، التي تمثل 114 مم) تُعتبر أرقامًا معنوية. كما تُحتسب الأرقام غير المؤكدة ذات الدلالة ضمن الأرقام المعنوية. في هذا المثال، يُعتبر الرقم الأخير (8، الذي يُمثل 0.8 مم) رقمًا معنويًا أيضًا على الرغم من عدم اليقين فيه. ^[¹^] لذلك، يحتوي هذا القياس على أربعة أرقام معنوية.

مثال آخر يتضمن قياس حجم قدره 2.98 لترًا (لتر) مع هامش خطأ ± 0.05 لتر. يقع الحجم الفعلي بين 2.93 لترًا و3.03 لترًا. حتى لو لم تكن بعض الأرقام معروفة تمامًا، فإنها تظل ذات دلالة إذا كانت ذات معنى، لأنها تشير إلى الحجم الفعلي ضمن نطاق مقبول من عدم اليقين. في هذه الحالة، قد يكون الحجم الفعلي 2.94 لترًا أو ربما 3.02 لترًا، لذا تُعتبر جميع الأرقام الثلاثة ذات دلالة. ^[¹^] وبالتالي، يوجد ثلاثة أرقام معنوية في هذا المثال.

لا تعتبر الأنواع التالية من الأرقام ذات دلالة: ^{[ 2 ]}

الأصفار البادئة . على سبيل المثال، يحتوي العدد 0.13 كجم على رقمين معنويين - 1 و 3 - بينما الصفر البادئ غير مهم لأنه لا يؤثر على قراءة الكتلة؛ فالعدد 0.13 كجم يعادل 13 كجم، مما يجعل الصفر غير ضروري. وبالمثل، في حالة 0.056 م، يوجد صفران بادئان غير مهمين لأن 0.056 م يساوي 56 مم، وبالتالي لا تُساهم الأصفار البادئة في قراءة الطول.
تُستخدم الأصفار اللاحقة كعناصر نائبة. في القياس 1500 متر، عندما تكون دقة القياس 100 متر، تكون الأصفار اللاحقة غير ذات أهمية لأنها تمثل خانتي العشرات والآحاد فقط. في هذه الحالة، يشير 1500 متر إلى أن الطول يقارب 1500 متر وليس قيمة دقيقة تساوي 1500 متر.
الأرقام الزائفة التي تنشأ من حسابات تؤدي إلى دقة أعلى من البيانات الأصلية أو قياس تم الإبلاغ عنه بدقة أكبر من دقة الجهاز.

يُعتبر الصفر بعد الفاصلة العشرية (مثلاً، 1.0) رقماً معنوياً، ويجب توخي الحذر عند إضافة صفر بعد الفاصلة. لذا، في حالة 1.0، يوجد رقمان معنويان، بينما في حالة 1 (بدون فاصلة عشرية) يوجد رقم معنوي واحد.

من بين الأرقام المعنوية للعدد، يكون الرقم الأكثر أهمية هو الرقم ذو القيمة الأسية الأكبر (الرقم المعنوي الأيسر)، بينما يكون الرقم الأقل أهمية هو الرقم ذو القيمة الأسية الأصغر (الرقم المعنوي الأيمن). على سبيل المثال، في العدد "123"، الرقم "1" هو الرقم الأكثر أهمية، ويمثل المئات (10² ⁾ ، بينما الرقم "3" هو الرقم الأقل أهمية، ويمثل الآحاد (10⁰ ⁾ .

لتجنب إعطاء مستوى دقة مضلل، تُقرّب الأرقام غالبًا . على سبيل المثال، من غير الدقيق عرض قياس على أنه 12345.25 غرامًا بينما لا توفر أداة القياس سوى دقة تصل إلى أقرب غرام. في هذه الحالة، تكون الأرقام المعنوية هي الأرقام الخمسة الأولى (1، 2، 3، 4، و 5) من أقصى اليسار، ويجب تقريب الرقم إلى هذه الأرقام المعنوية، ما ينتج عنه 12345 غرامًا كقيمة دقيقة. يُقارب خطأ التقريب (0.25 غرام في هذا المثال) الدقة العددية. كما يمكن تقريب الأرقام للتبسيط، وليس بالضرورة للدلالة على دقة القياس، كما هو الحال في نشرات الأخبار.

يشمل حساب الدلالة مجموعة من القواعد التقريبية للحفاظ على الدلالة من خلال العمليات الحسابية. أما القواعد العلمية الأكثر تقدماً فتُعرف باسم انتشار عدم اليقين .

يُفترض استخدام الأساس 10 (الأساس 10، الأعداد العشرية) فيما يلي. (انظر قسم الوحدة في النهاية لتوسيع هذه المفاهيم لتشمل أسسًا أخرى.)

تحديد الشخصيات المهمة

قواعد لتحديد الأرقام المهمة في عدد

الأرقام باللون الأزرق الفاتح هي أرقام معنوية؛ أما الأرقام باللون الأسود فهي ليست كذلك.

يتطلب تحديد الأرقام المعنوية في عدد ما معرفة أي الأرقام ذات دلالة، وهذا بدوره يتطلب معرفة دقة قياس العدد أو الحصول عليه أو معالجته. على سبيل المثال، إذا كانت أصغر كتلة قابلة للقياس هي 0.001 غرام، ففي قياس يُعطى على أنه 0.00234 غرام، يكون الرقم " 4 " غير مفيد ويجب تجاهله، بينما يكون الرقم " 3 " مفيدًا ويجب الاحتفاظ به في أغلب الأحيان. ^{[ 3 ]}

تعتبر الأرقام غير الصفرية ضمن دقة القياس أو الإبلاغ المحددة ذات دلالة .
- يحتوي الرقم 91 على رقمين معنويين (9 و 1) إذا كانا من الأرقام المسموح بها في القياس.
- يحتوي العدد 123.45 على خمسة أرقام معنوية (1، 2، 3، 4، و 5) إذا كانت ضمن دقة القياس. فإذا كانت الدقة، على سبيل المثال، 0.1، فإن الرقم 5 يشير إلى أن القيمة الحقيقية، بدقة أربعة أرقام معنوية، من المحتمل بنفس القدر أن تكون 123.4 أو 123.5.
الأصفار الواقعة بين رقمين مهمين غير صفريين تعتبر أصفارًا مهمة ( أصفار محصورة مهمة ) .
- يتكون الرقم 101.12003 من ثمانية أرقام معنوية إذا كانت الدقة تصل إلى 0.00001.
- يحتوي العدد 125.340006 على سبعة أرقام معنوية إذا كانت الدقة تصل إلى 0.0001: 1، 2، 5، 3، 4، 0، و 0.
الأصفار الموجودة على يسار أول رقم غير صفري ( الأصفار البادئة ) ليست ذات أهمية .
- إذا أعطى قياس الطول0.052 كم ، ثم0.052 كم = 52 م، لذا فإن 5 و 2 هما المهمان فقط؛ تظهر الأصفار البادئة أو تختفي، اعتمادًا على الوحدة المستخدمة، لذلك فهي ليست ضرورية للإشارة إلى مقياس القياس.
- يحتوي الرقم 0.00034 على رقمين معنويين (3 و 4) إذا كانت الدقة 0.00001.
تعتبر الأصفار الموجودة على يمين آخر رقم غير صفري ( الأصفار اللاحقة ) في رقم يحتوي على فاصلة عشرية مهمة إذا كانت ضمن دقة القياس أو الإبلاغ.
- يحتوي الرقم 1.200 على أربعة أرقام معنوية (1، 2، 0، و 0) إذا سمحت دقة القياس بذلك.
- يحتوي الرقم 0.0980 على ثلاثة أرقام معنوية (9 و8 والصفر الأخير) إذا كانت ضمن دقة القياس.
- يتكون الرقم 120.000 من ستة أرقام معنوية (1 و2 والأصفار الأربعة اللاحقة) إذا كانت، كما في السابق، ضمن دقة القياس.
قد تكون الأصفار اللاحقة في العدد الصحيح ذات أهمية أو لا ، وذلك اعتمادًا على دقة القياس أو الإبلاغ.
- يحتوي العدد 45600 على 3 أو 4 أو 5 أرقام معنوية، وذلك بحسب كيفية استخدام الأصفار الأخيرة. على سبيل المثال، إذا تم الإبلاغ عن طول طريق ما بأنه 45600 متر دون معلومات حول دقة الإبلاغ أو القياس، فليس من الواضح ما إذا كان طول الطريق قد تم قياسه بدقة 45600 متر أم أنه تقدير تقريبي. إذا كان تقديرًا تقريبيًا، فإن الأرقام الثلاثة الأولى غير الصفرية فقط هي المهمة، لأن الأصفار اللاحقة غير موثوقة وغير ضرورية. يمكن التعبير عن 45600 متر على النحو التالي :45.6 كم أو كما هو4.56 × 10 ⁴ م بالصيغة العلمية ، ولا يتطلب أي من التعبيرين الأصفار اللاحقة.
العدد الدقيق يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام المعنوية.
- إذا كان عدد التفاحات في الكيس 4 (عددًا دقيقًا)، فإن هذا العدد هو٤٫٠٠٠٠... (مع عدد لا نهائي من الأصفار على يمين الفاصلة العشرية). ونتيجة لذلك، لا يؤثر الرقم ٤ على عدد الأرقام المعنوية أو الأرقام في نتيجة العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها عليه.
الثابت الرياضي أو الفيزيائي له أرقام معنوية بالنسبة لأرقامه المعروفة.
- π هو عدد حقيقي محدد له عدة تعريفات متكافئة. جميع أرقامه في تمثيله العشري الدقيق3.141 59 ... أرقام معنوية. على الرغم من معرفة العديد من خصائص هذه الأرقام - على سبيل المثال، أنها لا تتكرر لأن π عدد غير نسبي - إلا أن بعض الأرقام غير معروفة. اعتبارًا من مارس 2024، تم حساب أكثر من 102 تريليون رقم ^{[ 4 ]} . يحتوي التقريب المكون من 102 تريليون رقم على 102 تريليون رقم معنوي. في التطبيقات العملية، يُستخدم عدد أقل بكثير من الأرقام. يحتوي التقريب الشائع 3.14 على ثلاثة أرقام معنوية و7 أرقام ثنائية صحيحة . يحتوي التقريب 22/7 على نفس الأرقام العشرية الثلاثة الصحيحة ولكنه يحتوي على 10 أرقام ثنائية صحيحة. تستطيع معظم الآلات الحاسبة وبرامج الكمبيوتر التعامل مع تقريب مكون من 16 رقمًا، وهو كافٍ لحسابات الملاحة بين الكواكب. ^[⁵^]
- يُعرَّف ثابت بلانك على أنه h =6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴ J ⋅ s .^{[ 6 ]}

طرق لتمثيل الأرقام المعنوية في عدد صحيح ذي أصفار لاحقة

قد يكون دلالة الأصفار اللاحقة في عدد لا يحتوي على فاصلة عشرية غامضًا. على سبيل المثال، قد لا يكون واضحًا دائمًا ما إذا كان العدد 1300 دقيقًا لأقرب وحدة (مصادفةً أنه مضاعف صحيح للمئة) أو ما إذا كان يُعرض لأقرب مئة فقط بسبب التقريب أو عدم اليقين. توجد العديد من الاصطلاحات لمعالجة هذه المشكلة، إلا أنها ليست مُستخدمة عالميًا، ولن تكون فعّالة إلا إذا كان القارئ مُلمًا بالاصطلاح.

قد يُوضع خطٌّ فوق آخر رقمٍ معنوي، ويُسمى أحيانًا بالخط العلوي، أو بشكلٍ أقل دقةً، بالخط السفلي؛ وأي أصفارٍ لاحقةٍ بعده لا تُعتبر ذات دلالة. على سبيل المثال، العدد 13 0 0 يحتوي على ثلاثة أرقامٍ معنوية (وبالتالي يُشير إلى أن العدد دقيقٌ لأقرب عشرة).
في حالات أقل، وباستخدام اصطلاح وثيق الصلة، قد يتم وضع خط تحت الرقم الأخير المهم من الرقم ؛ على سبيل المثال، يحتوي الرقم "1 3 00" على رقمين مهمين.
يمكن وضع فاصلة عشرية بعد الرقم؛ على سبيل المثال، يشير الرقم "1300." تحديدًا إلى أن الأصفار اللاحقة لها دلالة. ^{[ 7 ]}

بما أن الاصطلاحات المذكورة أعلاه ليست شائعة الاستخدام، فإن الخيارات التالية الأكثر شيوعًا متاحة للإشارة إلى أهمية الأرقام التي تنتهي بأصفار:

يمكن التخلص من الأصفار المبهمة أو غير المهمة بتغيير بادئة الوحدة في العدد بوحدة قياس . على سبيل المثال، دقة القياس المحددة بـ 1300 غرام مبهمة، بينما إذا تم تحديدها بـ 1.30 كيلوغرام فهي واضحة. وبالمثل، يمكن إعادة كتابة 0.0123 لتر على شكل 12.3 مل.
تخلص من الأصفار المبهمة أو غير المهمة باستخدام الترميز العلمي: على سبيل المثال، يصبح العدد 1300 بثلاثة أرقام معنوية1.30 × 10³ . وبالمثل ^، يمكن إعادة كتابة 0.0123 على النحو التالي:1.23 × 10⁻² . يُعرف الجزء من التمثيل الذي يحتوي على الأرقام المعنوية (1.30 أو 1.23) باسم ^الجزءالدال أو الجزء الكسري . الأرقام في الأساس والأس (10 ³ أوتعتبر الأرقام 10 ^{−2 أرقامًا دقيقة، لذا فإن الأرقام المعنوية غير ذات صلة بهذه الأرقام.}
حدد عدد الأرقام المعنوية بشكل صريح (يتم استخدام الاختصار sf أحيانًا): على سبيل المثال " 20000 إلى 2 s.f." أو " 20000 (2 sf)".
حدد التباين المتوقع (الدقة) بشكل صريح باستخدام علامة زائد أو ناقص ، كما في " 20000 ± 1%". وهذا يسمح أيضاً بتحديد نطاق للدقة بين قوى العدد عشرة.

التقريب إلى أرقام معنوية

يُعدّ التقريب إلى أقرب عدد صحيح أسلوبًا أكثر عمومية من التقريب إلى عدد من الأرقام، لأنه يتعامل مع الأعداد ذات المقاييس المختلفة بطريقة موحدة. على سبيل المثال، قد يكون عدد سكان مدينة ما معروفًا لأقرب ألف فقط، ويُذكر على أنه 52,000، بينما قد يكون عدد سكان دولة ما معروفًا لأقرب مليون فقط، ويُذكر على أنه 52,000,000. قد يكون الخطأ في الحالة الأولى بمئات، وفي الحالة الثانية بمئات الآلاف، لكن كلاهما يحتوي على رقمين معنويين (5 و 2). وهذا يعكس حقيقة أن دلالة الخطأ متساوية في الحالتين، نسبةً إلى حجم الكمية المقاسة.

لتقريب عدد إلى n من الأرقام المعنوية: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

إذا كان الرقم (ن + ١) أكبر من ٥ أو كان ٥ متبوعًا بأرقام أخرى غير صفرية، فأضف ١ إلى الرقم (ن) . على سبيل المثال، إذا أردنا تقريب ١.٢٤٥٩ إلى ٣ أرقام معنوية، فإن هذه الخطوة تُنتج ١.٢٥.
إذا كان الرقم (ن + ١) هو ٥ ولا يتبعه أرقام أخرى أو يتبعه أصفار فقط، فإن التقريب يتطلب قاعدة لكسر التعادل . على سبيل المثال، لتقريب ١.٢٥ إلى رقمين معنويين:
- التقريب إلى نصف العدد بعيدًا عن الصفر يؤدي إلى تقريبه إلى 1.3. هذه هي طريقة التقريب الافتراضية المستخدمة في العديد من التخصصات إذا لم يتم تحديد طريقة التقريب المطلوبة.
- تقريب النصف إلى أقرب عدد زوجي ، أي تقريبه إلى أقرب عدد زوجي . بهذه الطريقة، يُقرّب العدد 1.25 إلى 1.2. وإذا طُبّقت هذه الطريقة على العدد 1.35، فإنه يُقرّب إلى 1.4. هذه هي الطريقة المُفضّلة في العديد من التخصصات العلمية، لأنها، على سبيل المثال، تتجنّب رفع متوسط قيمة قائمة طويلة من القيم.
عند تقريب عدد صحيح، تُستبدل الأرقام التي تلي الرقم n بأصفار. على سبيل المثال، إذا تم تقريب العدد 1254 إلى رقمين معنويين، يُستبدل الرقمان 5 و4 بصفر ليصبح 1300. أما عند تقريب عدد يحتوي على فاصلة عشرية، فتُحذف الأرقام التي تلي الرقم n . على سبيل المثال، إذا تم تقريب العدد 14.895 إلى ثلاثة أرقام معنوية، تُحذف الأرقام التي تلي الرقم 8 ليصبح 14.9.

في الحسابات المالية، يُقرّب الرقم عادةً إلى عددٍ مُحدد من المنازل العشرية. على سبيل المثال، إلى منزلتين بعد الفاصلة العشرية في العديد من العملات العالمية. يُجرى ذلك لأن الدقة الزائدة غير ضرورية، وعادةً ما يكون من غير الممكن تسوية دينٍ بأقل من أصغر وحدة عملة.

في الإقرارات الضريبية الشخصية في المملكة المتحدة، يتم تقريب الدخل إلى أقرب جنيه إسترليني، بينما يتم حساب الضريبة المدفوعة إلى أقرب بنس.

على سبيل المثال، يمكن التعبير عن العدد العشري 12.345 بعدد مختلف من الأرقام المعنوية أو المنازل العشرية. في حال عدم توفر دقة كافية، يتم تقريب العدد بطريقة ما ليتناسب مع الدقة المتاحة. يوضح الجدول التالي نتائج دقة إجمالية مختلفة باستخدام طريقتين للتقريب (N/A تعني غير قابل للتطبيق).

دقة	تقريب الأرقام إلى أقرب عدد صحيح معنوي	مقربة إلى منزلتين عشريتين
6	12.3450	12.345000
5	12.345	12.34500
4	12.34 أو 12.35	12.3450
3	12.3	12.345
2	12	12.34 أو 12.35
1	10	12.3
0	غير متوفر	12

مثال آخر لـ 0.012345 . (تذكر أن الأصفار البادئة غير مهمة.)

دقة	تقريب الأرقام إلى أقرب عدد صحيح معنوي	مقربة إلى منزلتين عشريتين
7	0.01234500	0.0123450
6	0.0123450	0.012345
5	0.012345	0.01234 أو 0.01235
4	0.01234 أو 0.01235	0.0123
3	0.0123	0.012
2	0.012	0.01
1	0.01	0.0
0	غير متوفر	0

تمثيل العدد غير الصفري x بدقة p من الأرقام المعنوية له قيمة عددية تُعطى بالصيغة التالية:

$10^{n}\cdot \operatorname {round} \left({\frac {x}{10^{n}}}\right)$

أين

$n=\lfloor \log _{10}(|x|)\rfloor +1-p$

والتي قد تحتاج إلى كتابتها بعلامة محددة كما هو مفصل أعلاه لتحديد عدد الأصفار اللاحقة المهمة.

عدم اليقين في الكتابة وعدم اليقين الضمني

شخصيات بارزة في كتابة عدم اليقين

يوصى بأن تتضمن نتيجة القياس عدم اليقين في القياس، مثل: $x_{\text{best}}\pm \sigma _{x}$ حيث يُمثل x _best و σ _x أفضل تقدير وعدم اليقين في القياس على التوالي. ^{[ 10 ]} يمكن أن يكون x _best متوسط القيم المقاسة، ويمكن أن يكون σ _x الانحراف المعياري أو أحد مضاعفات انحراف القياس. قواعد كتابة $x_{\text{best}}\pm \sigma _{x}$ هي: ^{[ 11 ]}

ينبغي عادةً ذكر σ _{x برقم أو رقمين معنويين فقط، لأن الدقة الزائدة من غير المرجح أن تكون موثوقة أو ذات معنى:}
- 1.79 ± 0.06 (صحيح)، 1.79 ± 0.96 (صحيح)، 1.79 ± 1.96 (غير صحيح).
يجب أن تتطابق مواقع الأرقام المعنوية الأخيرة في كل من x _best و σ _x ، وإلا سيختل الاتساق. على سبيل المثال، العبارة "1.79 ± 0.067" غير صحيحة، إذ لا يُعقل أن يكون عدم اليقين أكثر دقة من أفضل تقدير.
- 1.79 ± 0.06 (صحيح)، 1.79 ± 0.96 (صحيح)، 1.79 ± 0.067 (غير صحيح).

عدم اليقين الضمني

قد يُستدل على عدم اليقين من الرقم المعنوي الأخير إذا لم يُذكر صراحةً. ^{[ 1 ]} ويُقصد بعدم اليقين الضمني ± نصف الحد الأدنى للمقياس عند موضع الرقم المعنوي الأخير. على سبيل المثال، إذا ذُكرت كتلة جسم ما بأنها 3.78 كجم دون ذكر عدم اليقين، فقد يُستدل على عدم يقين في القياس بمقدار ± 0.005 كجم. إذا قُدّرت كتلة جسم ما بأنها 3.78 ± 0.07 كجم، وبالتالي فإن الكتلة الفعلية تقع على الأرجح في نطاق يتراوح بين 3.71 و3.85 كجم، والمطلوب ذكرها برقم واحد، فإن 3.8 كجم هو الرقم الأنسب، لأن عدم اليقين الضمني فيه ± 0.05 كجم يُعطي نطاق كتلة من 3.75 إلى 3.85 كجم، وهو قريب من نطاق القياس. إذا كان عدم اليقين أكبر قليلاً، أي 3.78 ± 0.09 كجم، فإن 3.8 كجم لا يزال أفضل رقم واحد يمكن ذكره، لأنه إذا تم الإبلاغ عن "4 كجم" فسيتم فقدان الكثير من المعلومات.

إذا دعت الحاجة إلى كتابة عدم اليقين الضمني لرقم ما، فيمكن كتابته على النحو التالي: $x\pm \sigma _{x}$ مع الإشارة إلى عدم اليقين الضمني (لتجنب اعتباره عدم يقين القياس)، حيث يمثل x و σ _x العدد مضافًا إليه صفر (اتباعًا لقواعد كتابة عدم اليقين المذكورة أعلاه) وعدم اليقين الضمني له على التوالي. على سبيل المثال، يمكن كتابة 6 كجم مع عدم يقين ضمني ± 0.5 كجم على النحو التالي: 6.0 ± 0.5 كجم.

الحساب

وبما أن هناك قواعد لتحديد الأرقام المعنوية في الكميات المقاسة مباشرة ، فهناك أيضًا إرشادات (وليست قواعد) لتحديد الأرقام المعنوية في الكميات المحسوبة من هذه الكميات المقاسة .

تُعدّ الأرقام المعنوية في الكميات المقاسة بالغة الأهمية في تحديد الأرقام المعنوية في الكميات المحسوبة باستخدامها. لا يؤثر الثابت الرياضي أو الفيزيائي (مثل $π$ في صيغة مساحة دائرة نصف قطرها $r$ ، حيث $π = r²)$ $على$ تحديد الأرقام المعنوية في نتيجة الحساب إذا كانت أرقامه المعروفة مساوية أو أكبر من الأرقام المعنوية في الكميات المقاسة المستخدمة في الحساب. كذلك، لا يؤثر عدد دقيق مثل $½ في صيغة الطاقة الحركية لكتلة m وسرعة v، حيث ½ =$ $mv²$ $،$ على الأرقام المعنوية $في$ الطاقة $الحركية$ $المحسوبة$ ، $لأن$ $عدد$ $أرقامه$ $المعنوية$ $لا$ $نهائي$ (0.500000...) $.$

تهدف الإرشادات الموضحة أدناه إلى تجنب الحصول على نتيجة حسابية أكثر دقة من القيم المقاسة، ولكنها لا تضمن أن يكون هامش الخطأ الناتج قريبًا بما يكفي من هامش الخطأ المقاس. تظهر هذه المشكلة عند تحويل الوحدات. فإذا كانت الإرشادات تعطي هامش خطأ بعيدًا جدًا عن القيم المقاسة، فقد يلزم تحديد عدد الأرقام المعنوية التي تعطي هامش خطأ مماثلًا.

الضرب والقسمة

بالنسبة للكميات المُنشأة من كميات مُقاسة عبر الضرب والقسمة ، يجب أن تحتوي النتيجة المحسوبة على عدد من الأرقام المعنوية يساوي أقل عدد من الأرقام المعنوية بين الكميات المُقاسة المستخدمة في الحساب. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال،

1.234 × 2 = 2 ...
1.234 × 2.0 = 2.468 ≈ 2.5
0.01234 × 2 = 0.02468 ≈ 0.02
0.012345678 / 0.00234 = 5.2 7 59 ≈ 5.28

برقم معنوي واحد ، ورقمين معنويين ، ورقم معنوي واحد على التوالي. (يُفترض هنا أن 2 ليس عددًا دقيقًا). في المثال الأول، يحتوي عامل الضرب الأول على أربعة أرقام معنوية، بينما يحتوي الثاني على رقم معنوي واحد. العامل الذي يحتوي على أقل عدد من الأرقام المعنوية هو العامل الثاني الذي يحتوي على رقم معنوي واحد فقط، لذا يجب أن تحتوي النتيجة النهائية المحسوبة أيضًا على رقم معنوي واحد.

استثناء

عند تحويل الوحدات، قد يكون هامش الخطأ الضمني للنتيجة أعلى بكثير من هامش الخطأ في الوحدة السابقة إذا تم اتباع إرشادات التقريب هذه؛ على سبيل المثال، 8 بوصات لها هامش خطأ ضمني قدره ± 0.5 بوصة = ± 1.27 سم. إذا تم تحويلها إلى مقياس السنتيمتر مع اتباع إرشادات التقريب للضرب والقسمة، فإن 20.32 سم ≈ 20 سم بهامش خطأ ضمني قدره ± 5 سم. إذا اعتُبر هامش الخطأ هذا مبالغًا فيه، فقد يكون من الأنسب استخدام أرقام معنوية أكثر دقة في نتيجة تحويل الوحدات، مثل 20.32 سم ≈ 20 سم بهامش خطأ ضمني قدره ± 0.5 سم.

من الاستثناءات الأخرى لتطبيق قاعدة التقريب المذكورة أعلاه ضرب عدد في عدد صحيح، مثل 1.234 × 9. إذا تم اتباع القاعدة المذكورة، فسيتم تقريب النتيجة إلى 1.234 × 9.000... = 11.106 ≈ 11.11. ومع ذلك، فإن عملية الضرب هذه هي في الأساس إضافة 1.234 إلى نفسها 9 مرات، مثل 1.234 + 1.234 + … + 1.234، لذا فإن قاعدة التقريب للجمع والطرح الموضحة أدناه هي الأنسب. ^{[ 13 ]} ونتيجة لذلك، فإن الإجابة النهائية هي 1.234 + 1.234 + … + 1.234 = 11.106 = 11.106 (زيادة رقم معنوي واحد).

جمع وطرح الأرقام المعنوية

بالنسبة للكميات المُنشأة من الكميات المقاسة عبر الجمع والطرح ، يجب أن يكون آخر رقم معنوي (مثل المئات، والعشرات، والآحاد، والأعشار، والأجزاء من مئة، وما إلى ذلك) في النتيجة المحسوبة هو نفسه الرقم الموجود في أقصى اليسار أو أكبر رقم بين الأرقام المعنوية الأخيرة للكميات المقاسة في العملية الحسابية. على سبيل المثال،

1.234 + 2 = 3 ...
1.234 + 2.0 = 3.2 34 ≈ 3.2
0.01234 + 2 = 2 0.01234 ≈ 2
12000 + 77 = 1 2 077 ≈ 12000

مع وضع الأرقام المعنوية الأخيرة في خانة الآحاد ، ثم خانة الأعشار ، ثم خانة الآحاد ، ثم خانة الآلاف على التوالي. (يُفترض هنا أن 2 ليس عددًا دقيقًا). في المثال الأول، يقع آخر رقم معنوي في الحد الأول في خانة الألف، بينما يقع آخر رقم معنوي في الحد الثاني في خانة الآحاد . وبما أن أكبر رقم معنوي في خانة الآحاد هو أقصى اليسار، فإن النتيجة المحسوبة يجب أن يكون آخر رقم معنوي فيها أيضًا في خانة الآحاد.

تختلف قاعدة حساب الأرقام المعنوية في الضرب والقسمة عن قاعدة حسابها في الجمع والطرح. ففي الضرب والقسمة، يُعتدّ فقط بالعدد الإجمالي للأرقام المعنوية في كل عامل من عوامل العملية الحسابية، ولا يُؤخذ في الاعتبار موضع الرقم المعنوي الأخير في كل عامل. أما في الجمع والطرح، فيُعتدّ فقط بموضع الرقم المعنوي الأخير في كل حد من حدود العملية الحسابية، ولا يُعتدّ بالعدد الإجمالي للأرقام المعنوية في كل حد. مع ذلك، غالبًا ما تُحقق دقة أكبر إذا تم الاحتفاظ ببعض الأرقام غير المعنوية في النتائج الوسيطة التي تُستخدم في العمليات الحسابية اللاحقة.

اللوغاريتم واللوغاريتم العكسي

يتم تقريب اللوغاريتم ذي الأساس -10 لعدد معياري (أي a × 10 ^b حيث 1 ≤ a < 10 و b عدد صحيح) بحيث يكون الجزء العشري منه (المسمى مانتيسا ) يحتوي على نفس عدد الأرقام المعنوية الموجودة في العدد المعياري.

log ₁₀ (3.000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3.000) = 4.000000... (عدد دقيق لذا عدد لا نهائي من الأرقام المعنوية) + 0.477 1 212547... = 4.477 1 212547 ≈ 4.4771.

عند أخذ اللوغاريتم العكسي لعدد معياري، يتم تقريب النتيجة بحيث تحتوي على نفس عدد الأرقام المعنوية الموجودة في الجزء العشري من العدد المراد حساب اللوغاريتم العكسي له.

10 ^4.4771 = 299 9 8.5318119... = 30000 = 3.000 × 10 ⁴ .

الوظائف المتعالية

إذا كانت الدالة متسامية $f(x)$ إذا كانت الدالة (مثل الدالة الأسية ، واللوغاريتم ، والدوال المثلثية ) قابلة للتفاضل عند عنصر مجالها 'x'، فإن عدد أرقامها المعنوية (المشار إليه بـ "الأرقام المعنوية لـ $f(x)$ ترتبط قيمة تقريبًا بعدد الأرقام المعنوية في x (المشار إليها بـ "الأرقام المعنوية لـ x ") بالصيغة التالية:

${\rm {(significant~figures~of~f(x))}}\approx {\rm {(significant~figures~of~x)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)$ ،

أين $\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert$ هو رقم الحالة .

قم بالتقريب فقط على نتيجة الحساب النهائية

عند إجراء عمليات حسابية متعددة المراحل، لا تقم بتقريب نتائج العمليات الحسابية في المراحل الوسيطة؛ احتفظ بأكبر عدد ممكن من الأرقام (رقم واحد على الأقل أكثر مما تسمح به قاعدة التقريب لكل مرحلة) حتى نهاية جميع العمليات الحسابية لتجنب تراكم أخطاء التقريب أثناء تتبع أو تسجيل الأرقام المعنوية في كل نتيجة وسيطة. ثم، قم بتقريب النتيجة النهائية، على سبيل المثال، إلى أقل عدد من الأرقام المعنوية (للضرب أو القسمة) أو إلى آخر خانة رقم معنوي في أقصى اليسار (للجمع أو الطرح) من بين المدخلات في العملية الحسابية النهائية. ^{[ 14 ]}

(2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.69 4 × 1.2 = 4.4 3328 ≈ 4.4
(2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15 9 943 + 1.2 = 4. 3 59943 ≈ 4.4.

تقدير رقم إضافي

عند استخدام المسطرة، ابدأ باستخدام أصغر علامة كأول رقم تقديري. على سبيل المثال، إذا كانت أصغر علامة على المسطرة 0.1 سم، وقُرئت 4.5 سم، فإن المسافة بين أصغر علامتين هي 4.5 سم (±0.1 سم)، أي من 4.4 سم إلى 4.6 سم. مع ذلك، عمليًا، يمكن عادةً تقدير القياس بالعين المجردة بدقة أكبر من المسافة بين أصغر علامتين على المسطرة، ففي الحالة المذكورة أعلاه، قد يُقدّر القياس بين 4.51 سم و4.53 سم. ^{[ 15 ]}

من الممكن أيضًا ألا يكون الطول الإجمالي للمسطرة دقيقًا إلى حدّ أصغر علامة، وقد لا تكون العلامات متباعدة بشكل مثالي داخل كل وحدة. مع ذلك، بافتراض استخدام مسطرة عادية ذات جودة جيدة، يُفترض أن يكون من الممكن تقدير أجزاء من عشرة بين أقرب علامتين لتحقيق دقة إضافية تصل إلى منزلة عشرية واحدة. ^{[ 16 ]} إن عدم القيام بذلك يُضيف خطأ قراءة المسطرة إلى أي خطأ في معايرتها.

التقدير في الإحصاء

عند تقدير نسبة الأفراد الذين يحملون سمة معينة في مجتمع ما، من عينة عشوائية من ذلك المجتمع، يجب ألا يتجاوز عدد الأرقام المعنوية الحد الأقصى للدقة المسموح بها لحجم تلك العينة.

العلاقة بالدقة والضبط في القياس

تقليديًا، في مختلف المجالات التقنية، تشير "الدقة" إلى مدى قرب القياس المُعطى من قيمته الحقيقية؛ بينما تشير "الضبط" إلى ثبات ذلك القياس عند تكراره عدة مرات. وبالتالي، من الممكن أن يكون القياس "خاطئًا بدقة". وانطلاقًا من الرغبة في عكس الاستخدام الفعلي لمصطلح "الدقة" في الأوساط العلمية، صدر مؤخرًا معيار ISO 5725، الذي يُبقي على التعريف نفسه للضبط، ولكنه يُعرّف مصطلح "الصدق" بأنه مدى قرب القياس المُعطى من قيمته الحقيقية، ويستخدم مصطلح "الدقة" كمزيج من الصدق والضبط. (للاطلاع على مناقشة مُفصّلة، يُرجى مراجعة مقالة الدقة والضبط ). في كلتا الحالتين، يتوافق عدد الأرقام المعنوية تقريبًا مع الضبط ، وليس مع الدقة أو المفهوم الأحدث للصدق.

في مجال الحوسبة

تستخدم تمثيلات الحاسوب للأعداد العشرية شكلاً من أشكال التقريب إلى أرقام معنوية (مع عدم تتبع عددها عادةً)، وذلك بشكل عام مع الأعداد الثنائية . يرتبط عدد الأرقام المعنوية الصحيحة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الخطأ النسبي (الذي يتميز بكونه مقياسًا أكثر دقة للدقة، وهو مستقل عن أساس نظام العد المستخدم) .

تُعد الآلات الحاسبة الإلكترونية التي تدعم وضع عرض الأرقام المعنوية المخصص نادرة نسبياً.

ومن بين الآلات الحاسبة التي تدعم الميزات ذات الصلة، نجد Commodore M55 Mathematician (1976) ^{[ 17 ]} و S61 Statistician (1976) ^{[ 18 ]} والتي تدعم وضعين للعرض، حيث يعطي DISP+ n رقمًا معنويًا إجمالاً، بينما يعطي + + n منزلة عشرية.nDISP.n

تدعم عائلتا الآلات الحاسبة البيانية TI-83 Plus (1999) و TI-84 Plus (2004) من شركة Texas Instruments وضع "حاسبة الأرقام المعنوية"، حيث تقوم الآلة الحاسبة بتقييم عدد الأرقام المعنوية للأرقام المدخلة وعرضها بين قوسين مربعين خلف الرقم المقابل. كما يتم تعديل نتائج العمليات الحسابية لعرض الأرقام المعنوية فقط. ^[¹⁹^]

بالنسبة للآلات الحاسبة WP 34S (2011) و WP 31S (2014) المطورة من قبل المجتمع والمبنية على معالج HP 20b / 30b ، يتوفر وضعا عرض الأرقام المعنوية + و + (مع إضافة أصفار) كخيار أثناء عملية التجميع . ^[²⁰^]^[²¹^] كما تدعم الآلات الحاسبة WP 43C (2019) ^[²²^] / C43 (2022) / C47 (2023) المطورة من قبل المجتمع والمبنية على معالج SwissMicros DM42 وضع عرض الأرقام المعنوية أيضًا.SIGnSIG0n

انظر أيضاً

مراجع

1 2 3 لوير، ستيفن (31-03-2021). "الأرقام المعنوية والتقريب" . الكيمياء - ليبرتيكستس .
↑ الكيمياء في المجتمع ؛ كيندال-هانت: دوبوك، آيوا 1988
↑ إنّ تحديد تعريف دقيق لعدد الأرقام المعنوية الصحيحة ليس بالأمر البسيط: انظر: Higham, Nicholas (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (PDF) (الطبعة الثانية ). SIAM. الصفحات 3-5 .
↑ "ملف التحقق من صحة y-cruncher"
↑ "كم عدد المنازل العشرية التي نحتاجها فعلاً لقيمة باي؟ - أخبار تعليمية" . ناسا/مختبر الدفع النفاث التعليمي . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2021 .
↑ "قرارات المؤتمر العام السادس والعشرين للأوزان والمقاييس" (ملف PDF) . المكتب الدولي للأوزان والمقاييس . ١٦ نوفمبر ٢٠١٨. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ ١٩ نوفمبر ٢٠١٨. تاريخ الاطلاع: ٢٠ نوفمبر ٢٠١٨ .
↑ مايرز، ر. توماس؛ أولدهام ، كيث ب.؛ توتشي، سالفاتور (2000). الكيمياء . أوستن، تكساس: هولت راينهارت وينستون. ص 59. ISBN 0-03-052002-9.
↑ إنجلبرخت، نانسي؛ وآخرون (1990). "تقريب الأعداد العشرية إلى دقة محددة" (ملف PDF) . واشنطن العاصمة: وزارة التعليم الأمريكية.
↑ الرياضيات العددية والحوسبة، بقلم تشيني وكينكيد .
↑ لونا، إدواردو. "الشكوك والأرقام المهمة" (ملف PDF) . كلية دي أنزا .
↑ "الأرقام المعنوية" . جامعة بيردو - قسم الفيزياء وعلم الفلك .
↑ "قواعد الأرقام المعنوية" . جامعة ولاية بنسلفانيا.
↑ "عدم اليقين في القياس - الأرقام المعنوية" . الكيمياء - LibreTexts . 2017-06-16.
↑ دي أوليفيرا سانيبالي، فيرجينيو (2001). "القياسات والأرقام المعنوية (مسودة)" (ملف PDF) . مختبر الفيزياء لطلاب السنة الأولى . معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا، قسم الفيزياء والرياضيات والفلك. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 18 يونيو 2013.
↑ "القياسات" . slc.umd.umich.edu . جامعة ميشيغان. مؤرشف من الأصل بتاريخ 9 يوليو 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 يوليو 2017. كقاعدة عامة، يجب محاولة قراءة أي مقياس إلى عُشر أصغر قسمة فيه عن طريق الاستيفاء البصري [مثال محذوف].
↑ الاختبارات الكهربائية التجريبية . نيوارك، نيوجيرسي: شركة ويستون للأجهزة الكهربائية. 1914. ص 9. تاريخ الاسترجاع: 14 يناير 2019. الاختبارات الكهربائية التجريبية.
↑ دليل مستخدم جهاز كومودور إم 55 ماثيماتيان (ملف PDF) . بالو ألتو، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية / لوتون، المملكة المتحدة: شركة كومودور للأجهزة المكتبية / مطابع ميتشل (لوتون) المحدودة. 201318-01. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2023-09-30 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-09-30 .(1+151+1 صفحة)
↑ دليل مالكي جهاز كومودور إس 61 الإحصائي . بالو ألتو، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: شركة كومودور للأجهزة المكتبية. مؤرشف من الأصل بتاريخ 30 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 سبتمبر 2023 .(صفحتان + 114 صفحة)
↑ "الحل 30190: استخدام حاسبة الأعداد المعنوية من تطبيق أدوات العلوم على عائلة آلات الرسم البياني TI-83 Plus وTI-84 Plus" . قاعدة المعرفة . شركة تكساس إنسترومنتس . 2023. مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 سبتمبر 2023 .
↑ بت (15 نوفمبر 2014). "تحديثات بت لنظامي التشغيل WP 34S و31S وملفاتها الثنائية المخصصة (الإصدار: r3802 20150805-1)" . متحف آلات حاسبة HP (MoHPC ). مؤرشف من الأصل بتاريخ 24 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2023 .
↑ بت (2015-02-07). " [ 34S و31S ] وضع عرض فريد: الأرقام المعنوية" . متحف آلات حاسبة HP (MoHPC) . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2023-09-24 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-09-24 .
↑ موسترت، جاكو "جايموس" (11 فبراير 2020). "التغييرات من WP43S إلى WP43C" (ملف PDF) . الإصدار 047. مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 1 أكتوبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أكتوبر 2023 .(30 صفحة)

للمزيد من القراءة

ديلوري، د.ب. (1958). "الحسابات باستخدام الأعداد التقريبية". مُعلِّم الرياضيات . 51 (7): 521-530 . doi : 10.5951/MT.51.7.0521 . JSTOR 27955748 .
بوند، إي. أ. (1931). "الأرقام المعنوية في الحساب باستخدام الأعداد التقريبية". مُعلِّم الرياضيات . 24 (4): 208-212 . doi : 10.5951/MT.24.4.0208 . JSTOR 27951340 .
ASTM E29-06b، الممارسة القياسية لاستخدام الأرقام المعنوية في بيانات الاختبار لتحديد المطابقة مع المواصفات

روابط خارجية

فيديو عن الشخصيات المهمة من أكاديمية خان
الأسئلة الشائعة حول الحساب العشري - هل الحساب العشري "ذو دلالة" حسابي؟
أساليب متقدمة للتعامل مع عدم اليقين. مؤرشفة في 2009-04-15 في Wayback Machine وبعض التفسيرات لأوجه القصور في حسابات الدلالة والأرقام المعنوية.
حاسبة الأرقام المعنوية - تعرض رقمًا بالعدد المطلوب من الأرقام المعنوية.
القياسات وعدم اليقين مقابل الأرقام المعنوية أو الأرقام المعنوية مؤرشفة في 2009-04-15 في Wayback Machine - الطرق الصحيحة للتعبير عن عدم اليقين، بما في ذلك مناقشة مفصلة للمشاكل المتعلقة بأي مفهوم للأرقام المعنوية.

[:0-1] 1 2 3 لوير، ستيفن (31-03-2021). "الأرقام المعنوية والتقريب" . الكيمياء - ليبرتيكستس .

[2] الكيمياء في المجتمع ؛ كيندال-هانت: دوبوك، آيوا 1988

[3] إنّ تحديد تعريف دقيق لعدد الأرقام المعنوية الصحيحة ليس بالأمر البسيط: انظر: Higham, Nicholas (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (PDF) (الطبعة الثانية ). SIAM. الصفحات 3-5 .

[4] "ملف التحقق من صحة y-cruncher"

[NASA/JPL-5] "كم عدد المنازل العشرية التي نحتاجها فعلاً لقيمة باي؟ - أخبار تعليمية" . ناسا/مختبر الدفع النفاث التعليمي . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2021 .

[6] "قرارات المؤتمر العام السادس والعشرين للأوزان والمقاييس" (ملف PDF) . المكتب الدولي للأوزان والمقاييس . ١٦ نوفمبر ٢٠١٨. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ ١٩ نوفمبر ٢٠١٨. تاريخ الاطلاع: ٢٠ نوفمبر ٢٠١٨ .

[Chemistry_Significant_Figures-7] مايرز، ر. توماس؛ أولدهام ، كيث ب.؛ توتشي، سالفاتور (2000). الكيمياء . أوستن، تكساس: هولت راينهارت وينستون. ص 59. ISBN 0-03-052002-9.

[8] إنجلبرخت، نانسي؛ وآخرون (1990). "تقريب الأعداد العشرية إلى دقة محددة" (ملف PDF) . واشنطن العاصمة: وزارة التعليم الأمريكية.

[Numerical_Mathematics_and_Computing,_by_Cheney_and_Kincaid-9] الرياضيات العددية والحوسبة، بقلم تشيني وكينكيد .

[10] لونا، إدواردو. "الشكوك والأرقام المهمة" (ملف PDF) . كلية دي أنزا .

[11] "الأرقام المعنوية" . جامعة بيردو - قسم الفيزياء وعلم الفلك .

[12] "قواعد الأرقام المعنوية" . جامعة ولاية بنسلفانيا.

[13] "عدم اليقين في القياس - الأرقام المعنوية" . الكيمياء - LibreTexts . 2017-06-16.

[14] دي أوليفيرا سانيبالي، فيرجينيو (2001). "القياسات والأرقام المعنوية (مسودة)" (ملف PDF) . مختبر الفيزياء لطلاب السنة الأولى . معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا، قسم الفيزياء والرياضيات والفلك. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 18 يونيو 2013.

[UMmeasurements-15] "القياسات" . slc.umd.umich.edu . جامعة ميشيغان. مؤرشف من الأصل بتاريخ 9 يوليو 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 يوليو 2017. كقاعدة عامة، يجب محاولة قراءة أي مقياس إلى عُشر أصغر قسمة فيه عن طريق الاستيفاء البصري [مثال محذوف].

[Weston-16] الاختبارات الكهربائية التجريبية . نيوارك، نيوجيرسي: شركة ويستون للأجهزة الكهربائية. 1914. ص 9. تاريخ الاسترجاع: 14 يناير 2019. الاختبارات الكهربائية التجريبية.

[Commodore_M55-17] دليل مستخدم جهاز كومودور إم 55 ماثيماتيان (ملف PDF) . بالو ألتو، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية / لوتون، المملكة المتحدة: شركة كومودور للأجهزة المكتبية / مطابع ميتشل (لوتون) المحدودة. 201318-01. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2023-09-30 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-09-30 .(1+151+1 صفحة)

[Commodore_S61-18] دليل مالكي جهاز كومودور إس 61 الإحصائي . بالو ألتو، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية: شركة كومودور للأجهزة المكتبية. مؤرشف من الأصل بتاريخ 30 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 سبتمبر 2023 .(صفحتان + 114 صفحة)

[TI_2023-19] "الحل 30190: استخدام حاسبة الأعداد المعنوية من تطبيق أدوات العلوم على عائلة آلات الرسم البياني TI-83 Plus وTI-84 Plus" . قاعدة المعرفة . شركة تكساس إنسترومنتس . 2023. مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 سبتمبر 2023 .

[Bit_2014-20] بت (15 نوفمبر 2014). "تحديثات بت لنظامي التشغيل WP 34S و31S وملفاتها الثنائية المخصصة (الإصدار: r3802 20150805-1)" . متحف آلات حاسبة HP (MoHPC ). مؤرشف من الأصل بتاريخ 24 سبتمبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2023 .

[Bit_2015-21] بت (2015-02-07). " [ 34S و31S ] وضع عرض فريد: الأرقام المعنوية" . متحف آلات حاسبة HP (MoHPC) . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2023-09-24 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-09-24 .

[Mostert_2020-22] موسترت، جاكو "جايموس" (11 فبراير 2020). "التغييرات من WP43S إلى WP43C" (ملف PDF) . الإصدار 047. مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 1 أكتوبر 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 أكتوبر 2023 .(30 صفحة)

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[

[

[