اللولب الأرخميدسي

اللولب الأرخميدسي (المعروف أيضًا باسم لولب أرخميدس ، أو اللولب الحسابي ) هو لولب سُمّي نسبةً إلى عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس الذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد . يُستخدم مصطلح اللولب الأرخميدسي أحيانًا للإشارة إلى فئة أعم من اللوالب من هذا النوع (انظر أدناه)، وذلك تمييزًا له عن لولب أرخميدس (اللولب الحسابي الخاص بأرخميدس). وهو المسار الهندسي الذي يُمثل مواقع نقطة تتحرك مع الزمن بعيدًا عن نقطة ثابتة بسرعة ثابتة على طول خط يدور بسرعة زاوية ثابتة . وبصورة مكافئة، في الإحداثيات القطبية ( r ، θ ) ، يمكن وصفه بالمعادلة التالية: $${\displaystyle r=b\cdot \theta }$$ مع العدد الحقيقي b . تغيير المعامل b يتحكم في المسافة بين الحلقات.

من المعادلة أعلاه، يمكن القول بالتالي: إن موضع الجسيم من نقطة البداية يتناسب مع الزاوية θ مع مرور الوقت.

وصف أرخميدس هذا النوع من اللولب في كتابه "عن اللوالب" . وكان كونون الساموسي صديقاً له، ويذكر بابوس أن كونون هو من اكتشف هذا اللولب. ^{[ 1 ]}

يُستخدم أدناه نهج مادي لفهم مفهوم اللوالب الأرخميدية.

لنفترض أن جسمًا نقطيًا يتحرك في نظام الإحداثيات الديكارتية بسرعة ثابتة v موازية للمحور x ، بالنسبة للمستوى xy . ولنفترض أنه عند الزمن t = 0 ، كان الجسم عند نقطة عشوائية ( c , 0, 0) . إذا كان المستوى xy يدور بسرعة زاوية ثابتة ω حول المحور z ، فإن سرعة النقطة بالنسبة للمحور z يمكن كتابتها على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_{x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{aligned}}}$$

كما هو موضح في الشكل المجاور، لدينا vt + c يمثل معيار متجه موضع الجسيم في أي وقت t ، مع v _x و v _y كمكونات السرعة على طول المحورين x و y، على التوالي.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{aligned}}}$$

يمكن دمج المعادلات المذكورة أعلاه بتطبيق التكامل بالتجزئة ، مما يؤدي إلى المعادلات البارامترية التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}}$$

بتربيع المعادلتين ثم جمعهما (مع بعض التعديلات الطفيفة) ينتج المعادلة الديكارتية $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c}$$ (باستخدام حقيقة أن ωt = θ و θ = arctan ⁠ y / x ⁠ ) أو $${\displaystyle \tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}}$$

شكله القطبي هو $${\displaystyle r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c.}$$

بالنظر إلى المعلمات في الإحداثيات الديكارتية $${\displaystyle f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )}$$طول القوس من θ ₁ إلى θ ₂ هو $${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$$ أو، على نحو مماثل: $${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.}$$ وبالتالي، فإن الطول الكلي من θ ₁ = 0 إلى θ ₂ = θ هو $${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].}$$

يُعطى الانحناء بواسطة $${\displaystyle \kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b\left(\theta ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}}$$

يتميز اللولب الأرخميدسي بخاصية أن أي شعاع من نقطة الأصل يتقاطع مع اللفات المتتالية للولب في نقاط ذات مسافة فصل ثابتة (تساوي 2πb إذا قُيست θ بالراديان )، ومن هنا جاءت تسميته "اللولب الحسابي". وعلى النقيض من ذلك، في اللولب اللوغاريتمي، تشكل هذه المسافات، بالإضافة إلى مسافات نقاط التقاطع المقاسة من نقطة الأصل، متتالية هندسية .

للحلزون الأرخميدسي ذراعان، أحدهما عندما تكون θ > 0 والآخر عندما تكون θ < 0. يتصل الذراعان بسلاسة عند نقطة الأصل. يظهر في الرسم البياني المرفق ذراع واحد فقط. بعكس صورة هذا الذراع حول المحور y، نحصل على الذراع الآخر.

بالنسبة لـ θ الكبيرة ، تتحرك نقطة بتسارع منتظم مقارب جيدًا على طول اللولب الأرخميدسي بينما يتوافق اللولب مع مواقع نقطة تتحرك بمرور الوقت بعيدًا عن نقطة ثابتة بسرعة ثابتة على طول خط يدور بسرعة زاوية ثابتة ^{[ 2 ]} (انظر مساهمة ميخائيل غايتشينكوف).

مع نمو اللولب الأرخميدسي، يقترب منحنى تطوره بشكل مقارب من دائرة نصف قطرها ⁠ | v | / ω ⁠ .

يُستخدم مصطلح اللولب الأرخميدسي أحيانًا للإشارة إلى المجموعة الأكثر عمومية من اللوالب$${\displaystyle r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}.}$$

يحدث اللولب الأرخميدسي الطبيعي عندما تكون قيمة c = 1. وتشمل اللوالب الأخرى التي تندرج ضمن هذه المجموعة اللولب الزائدي ( c = −1 )، ولولب فيرما ( c = 2 )، والليتوس ( c = −2 ).

إحدى طرق تربيع الدائرة ، التي تعود إلى أرخميدس، تستخدم اللولب الأرخميدسي. كما بيّن أرخميدس كيف يمكن استخدام اللولب لتثليث الزاوية . كلا الطريقتين تُخففان القيود التقليدية المفروضة على استخدام المسطرة والفرجار في البراهين الهندسية اليونانية القديمة. ^{[ 3 ]}

للحلزون الأرخميدسي تطبيقات عملية متنوعة. فالضواغط الحلزونية ، المستخدمة لضغط الغازات، تحتوي على دوارات يمكن صنعها من حلزونين أرخميدسيين متداخلين، أو منحنيات دائرية متداخلة بنفس الحجم تشبه إلى حد كبير الحلزونات الأرخميدسية، ^{[ 4 ]} أو منحنيات هجينة.

يمكن العثور على اللوالب الأرخميدية في الهوائيات الحلزونية ، والتي يمكن تشغيلها على نطاق واسع من الترددات.

تشكل لفائف زنبركات توازن الساعات وأخاديد أسطوانات الجراموفون القديمة جداً حلزونات أرخميدس، مما يجعل الأخاديد متباعدة بالتساوي (على الرغم من أنه تم إدخال تباعد المسارات المتغير لاحقاً لزيادة كمية الموسيقى التي يمكن تسجيلها على الأسطوانة). ^{[ 5 ]}

إن مطالبة المريض برسم حلزون أرخميدس هي طريقة لتحديد كمية الرعاش البشري ؛ وتساعد هذه المعلومات في تشخيص الأمراض العصبية.

تُستخدم اللوالب الأرخميدية أيضًا في أنظمة عرض معالجة الضوء الرقمي (DLP) لتقليل " تأثير قوس قزح "، مما يُوحي بعرض ألوان متعددة في آنٍ واحد، بينما في الواقع يتم تبديل الأحمر والأخضر والأزرق بسرعة فائقة. ^{[ 6 ]} بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم اللوالب الأرخميدية في علم الأحياء الدقيقة للأغذية لتحديد تركيز البكتيريا من خلال طبق حلزوني. ^{[ 7 ]}

كما تُستخدم هذه النماذج لمحاكاة النمط الذي يظهر في لفة من الورق أو الشريط ذي السماكة الثابتة الملفوف حول أسطوانة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

العديد من الأشكال الحلزونية الديناميكية (مثل حلزون باركر للرياح الشمسية ، أو النمط الذي تشكله عجلة كاثرين ) هي حلزونات أرخميدية. على سبيل المثال، يُظهر النجم LL Pegasi حلزونًا أرخميديًا تقريبيًا في سحب الغبار المحيطة به، والتي يُعتقد أنها مادة مقذوفة من النجم تم توجيهها إلى شكل حلزوني بواسطة نجم مرافق آخر كجزء من نظام نجمي ثنائي. ^{[ 10 ]}

لا يمكن رسم اللولب الأرخميدسي بدقة باستخدام الطرق التقليدية للفرجار والمسطرة، لأن اللولب الحسابي يتطلب زيادة نصف قطر المنحنى باستمرار مع زيادة الزاوية عند نقطة الأصل. ولكن يمكن رسم اللولب الحسابي تقريبًا، بدرجات متفاوتة من الدقة، باستخدام طرق الرسم اليدوي المختلفة. إحدى هذه الطرق تستخدم الفرجار والمسطرة؛ وطريقة أخرى تستخدم فرجارًا خيطيًا معدلًا.

تعتمد الطريقة التقليدية الشائعة في رسم الحلزون الحسابي على استخدام الفرجار والمسطرة. أولًا، تُرسَم دائرة كبيرة، ثم يُقسّم محيطها إلى 12 قوسًا (كل قوس منها بزاوية 30 درجة؛ انظر الشكل الاثني عشري المنتظم ) باستخدام 12 قطرًا. بعد ذلك، يُقسّم نصف قطر هذه الدائرة إلى 12 وحدة (وحدات شعاعية)، وتُرسَم سلسلة من الدوائر متحدة المركز، يزيد نصف قطر كل منها بمقدار وحدة شعاعية واحدة. بدءًا من القطر الأفقي وأقرب دائرة متحدة المركز، تُحدَّد النقطة التي يتقاطع عندها نصف القطر مع محيط الدائرة؛ ثم يُنتقل إلى الدائرة متحدة المركز التالية وإلى القطر التالي (بالتحرك لأعلى لرسم حلزون عكس اتجاه عقارب الساعة، أو لأسفل لرسم حلزون مع اتجاه عقارب الساعة) لتحديد النقطة التالية. بعد تحديد جميع النقاط، تُوصَل النقاط المتتالية بخط يُقارب شكل الحلزون الحسابي (أو بمنحنى أملس من نوع ما؛ انظر المنحنى الفرنسي ). بحسب درجة الدقة المطلوبة، يمكن تحسين هذه الطريقة بزيادة حجم الدائرة الخارجية الكبيرة، وتقسيم محيطها ونصف قطرها إلى أجزاء أصغر، وزيادة عدد الدوائر متحدة المركز (انظر: الحلزون المضلع ). إن تقريب الحلزون الأرخميدسي بهذه الطريقة يُذكّرنا بطريقة أرخميدس الشهيرة لتقريب قيمة π بمضاعفة أضلاع المضلعات المتتالية (انظر: تقريب π بالمضلعات ).

يُعدّ بناء حلزون ثيودوروس باستخدام البوصلة والمسطرة طريقة بسيطة أخرى لتقريب حلزون أرخميدس.

تعتمد إحدى الطرق الميكانيكية لرسم اللولب الحسابي على استخدام بوصلة خيطية معدلة، حيث يلتف الخيط حول محور مركزي ثابت (لا يدور)، مما يزيد (أو ينقص) طول نصف القطر (الخيط) مع تغير الزاوية (يلتف الخيط حول المحور الثابت). تُعد هذه الطريقة وسيلة بسيطة لرسم اللولب الحسابي، وهي ناتجة بشكل طبيعي عن استخدام بوصلة خيطية ذات محور لف (وليس المحور المتحرك للبوصلة الخيطية التقليدية). تتوفر أداة الرسم بالبوصلة الخيطية بتصاميم وتعديلات متنوعة، وتُشبه هذه الطريقة في الرسم الطرق القائمة على الخيوط لرسم القطع الناقص (باستخدام محورين ثابتين).

ثمة طريقة ميكانيكية أخرى تُعدّ شكلاً مُعدَّلاً من طريقة البوصلة الخيطية السابقة، إذ توفر دقةً ومرونةٍ أكبر. فبدلاً من الدبوس المركزي والخيط في البوصلة الخيطية، تستخدم هذه الأداة عموداً ثابتاً ذا لولب حلزوني (انظر لولب أرخميدس )، مُثبَّت عليه ذراعان مشقوقان: ذراع أفقي مُثبَّت (يتحرك لأعلى) على لولب العمود الرأسي من أحد طرفيه، ويحمل أداة رسم من الطرف الآخر؛ وذراع مائل مُثبَّت من أحد طرفيه على قمة العمود اللولبي، وموصول بدبوس مُثبَّت بشكل غير مُحكم في شقّه بشقّ الذراع الأفقي. يدور الذراعان معاً ويعملان بتناغم لإنتاج اللولب الحسابي: فبينما يصعد الذراع الأفقي تدريجياً على اللولب، يُقلِّل اتصاله المشقوق بالذراع المائل نصف قطر الرسم تدريجياً. تبقى زاوية الذراع المائل ثابتة طوال العملية (ترسم مخروطاً ) ، ويؤدي تغيير الزاوية إلى تغيير درجة اللولب. يُوفر هذا الجهاز درجة عالية من الدقة، وذلك بحسب دقة تصنيعه (ويُعدّ تصنيع لولب حلزوني دقيق تحديًا مماثلاً). وبالطبع، فإن استخدام عمود لولبي في هذه الآلية يُذكّرنا ببرغي أرخميدس .

• اللولب الذهبي – منحنى متشابه ذاتيًا مرتبط بالنسبة الذهبية 
• قائمة الحلزونات
• رمز اللولب الثلاثي – رمز ذو تناظر دوراني ثلاثي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• جوناثان مات يجعل اللولب الأرخميدسي مثيرًا للاهتمام - فيديو  : الجمال المذهل للرياضيات - محاضرات تيد إكس ، المزارع الخضراء
• وايسستين، إريك دبليو. “دوامة أرخميدس” . عالم الرياضيات .
• الحلزون الأرخميدسي في موقع PlanetMath .
• صفحة تحتوي على تطبيق جافا لاستكشاف اللولب الأرخميدسي والمنحنيات المرتبطة به بشكل تفاعلي
• استكشاف الإنترنت باستخدام JSXGraph (جافا سكريبت)
• المنحنى الحلزوني الأرخميدي عند "المنحنى الرياضي"