مخطط البديهيات للاستبدال

في نظرية المجموعات ، يُعدّ مخطط البديهيات للاستبدال مخططًا للبديهيات في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) ، ويؤكد أن صورة أي مجموعة تحت أي تطبيق قابل للتعريف هي أيضًا مجموعة. وهو ضروري لبناء بعض المجموعات اللانهائية في نظرية زيرميلو-فرانكل.

يستند مخطط البديهية إلى فكرة أن كون فئة ما مجموعةً يعتمد فقط على عدد عناصرها، وليس على رتبة عناصرها. وبالتالي، إذا كانت إحدى الفئات "صغيرة بما يكفي" لتكون مجموعة، وكان هناك تطبيق شامل من تلك الفئة إلى فئة أخرى، فإن البديهية تنص على أن الفئة الثانية هي أيضًا مجموعة. مع ذلك، ولأن نظرية ZFC لا تتناول إلا المجموعات، وليس الفئات الفعلية، فإن المخطط يُصاغ فقط للتطبيقات الشاملة القابلة للتعريف، والتي تُحدد بصيغها التعريفية .

يفترض${\displaystyle P}$هي علاقة ثنائية قابلة للتعريف (والتي قد تكون فئة مناسبة ) بحيث لكل مجموعة${\displaystyle x}$هناك مجموعة فريدة${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle P(x,y)}$صحيح. توجد دالة قابلة للتحديد مقابلة.${\displaystyle F_{P}}$، أين${\displaystyle F_{P}(x)=y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle P(x,y)}$ضع في اعتبارك الفئة (التي قد تكون مناسبة)${\displaystyle B}$محددة بحيث لكل مجموعة${\displaystyle y}$،${\displaystyle y\in B}$إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle x\in A}$مع${\displaystyle F_{P}(x)=y}$.${\displaystyle B}$يُطلق عليها صورة${\displaystyle A}$تحت${\displaystyle F_{P}}$، ورمزت إلى${\displaystyle F_{P}[A]}$أو (باستخدام تدوين بناء المجموعة )${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$.

ينص مخطط البديهيات للاستبدال على أنه إذا${\displaystyle F}$هي دالة فئة قابلة للتعريف، كما هو موضح أعلاه، و${\displaystyle A}$إذا كانت أي مجموعة، فإن الصورة${\displaystyle F[A]}$هي أيضًا مجموعة. يمكن اعتبار هذا مبدأً للصغر: تنص البديهية على أنه إذا${\displaystyle A}$صغير بما يكفي ليكون مجموعة، إذن${\displaystyle F[A]}$وهي صغيرة بما يكفي لتكون مجموعة. وهذا ما يستلزمه مبدأ تحديد الحجم الأقوى .

لأنه من المستحيل تحديد كمية الدوال القابلة للتعريف في منطق الرتبة الأولى ، يتم تضمين نسخة واحدة من المخطط لكل صيغة.${\displaystyle \phi }$بلغة نظرية المجموعات مع المتغيرات الحرة بين${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$؛ لكن${\displaystyle B}$ليس مجانيًا في${\displaystyle \phi }$في اللغة الرسمية لنظرية المجموعات، يكون مخطط البديهيات كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}$

لمعنى${\displaystyle \exists$ !} ، انظر إلى تحديد كمية التفرد .

ولتوضيح الأمر، في حالة عدم وجود متغيرات${\displaystyle w_{i}}$، وهذا يتبسط إلى:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}}$

لذلك كلما${\displaystyle \phi }$يحدد فريدًا${\displaystyle x}$-ل-${\displaystyle y}$المراسلات، على غرار الدالة${\displaystyle F}$على${\displaystyle A}$ثم الكل${\displaystyle y}$يمكن جمع ما تم الوصول إليه بهذه الطريقة في مجموعة${\displaystyle B}$، على غرار${\displaystyle F[A]}$.

لا يُعدّ مخطط بديهية الاستبدال ضروريًا لإثبات معظم نظريات الرياضيات العادية. في الواقع، تستطيع نظرية مجموعات زيرميلو (Z) تفسير الحساب من الرتبة الثانية وجزء كبير من نظرية الأنواع في الأنواع المنتهية، وهو ما يكفي بدوره لصياغة الجزء الأكبر من الرياضيات. مع أن مخطط بديهية الاستبدال يُعدّ بديهية أساسية في نظرية المجموعات اليوم، إلا أنه غالبًا ما يُحذف من أنظمة نظرية الأنواع وأنظمة الأساس في نظرية التوبوس .

على أي حال، فإن مخطط البديهيات يزيد بشكل كبير من قوة ZF، سواء من حيث النظريات التي يمكن إثباتها - على سبيل المثال المجموعات التي ثبت وجودها - أو من حيث قوة اتساقها في نظرية البرهان ، مقارنةً بـ Z. وفيما يلي بعض الأمثلة المهمة:

• باستخدام التعريف الحديث الذي وضعه فون نيومان ، إثبات وجود أي حد ترتيبي أكبر من${\displaystyle \omega }$يتطلب ذلك مسلمة الاستبدال. العدد الترتيبي${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$هو أول عدد ترتيبي من هذا النوع. في الواقع، تؤكد بديهية اللانهاية وجود مجموعة لانهائية.${\displaystyle \omega =\{0,1,2,\dots \}}$قد يأمل المرء في تحديد${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$باعتباره اتحاد التسلسل${\displaystyle \{\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots \}}$ومع ذلك، لا يشترط أن تكون فئات الأعداد الترتيبية مجموعات؛ فمثلاً، فئة جميع الأعداد الترتيبية ليست مجموعة. يسمح الاستبدال الآن باستبدال كل عدد منتهٍ.${\displaystyle n}$في${\displaystyle \omega }$مع ما يقابله${\displaystyle \omega +n}$وبالتالي يضمن أن هذه الفئة عبارة عن مجموعة. وللتوضيح، تجدر الإشارة إلى أنه يمكن بسهولة إنشاء مجموعة مرتبة جيدًا ومتماثلة مع${\displaystyle \أوميغا +\أوميغا }$دون اللجوء إلى الاستبدال: ببساطة خذ الاتحاد المنفصل لنسختين من${\displaystyle \omega }$، حيث تكون النسخة الثانية أكبر من الأولى؛ ومع ذلك، فإن هذا ليس ترتيبًا ترتيبيًا لأنه ليس مرتبًا تمامًا حسب التضمين.

• تعتمد الأعداد الترتيبية الأكبر على الاستبدال بشكل أقل مباشرة. على سبيل المثال،${\displaystyle \omega _{1}}$يمكن بناء أول عدد ترتيبي غير قابل للعد على النحو التالي: توجد مجموعة ترتيبات الآبار القابلة للعد كمجموعة جزئية من${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$بحسب بديهيات الفصل ومجموعة القوى ( علاقة على${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle A\times A}$وبالتالي عنصر من${\displaystyle P(A\times A)}$وبالتالي، فإن مجموعة العلاقات هي مجموعة جزئية من${\displaystyle P(A\times A)}$استبدل كل مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا بترتيبها. هذه هي مجموعة الترتيبات القابلة للعد.${\displaystyle \omega _{1}}$ويمكن إثبات أن هذا العدد غير قابل للعد. يستخدم هذا التركيب الاستبدال مرتين؛ مرة لضمان تعيين ترتيب لكل مجموعة مرتبة ترتيبًا صحيحًا، ومرة ​​أخرى لاستبدال المجموعات المرتبة ترتيبًا صحيحًا بترتيبها الصحيح. هذه حالة خاصة من نتيجة عدد هارتوغ ، ويمكن إثبات الحالة العامة بطريقة مماثلة.

• في ضوء ما سبق، فإن وجود تخصيص عدد ترتيبي لكل مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا يستلزم الاستبدال أيضًا. وبالمثل، فإن تخصيص فون نيومان للأعداد الأصلية ، الذي يُخصص عددًا أصليًا لكل مجموعة، يستلزم الاستبدال، بالإضافة إلى بديهية الاختيار .

• بالنسبة لمجموعات الصفوف المعرفة بشكل متكرر على النحو التالي${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$وللأعداد الكبيرة${\displaystyle A}$، المجموعة${\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}}$تتمتع برتبة عالية جدًا بحيث لا يمكن إثبات وجودها من خلال نظرية المجموعات باستخدام بديهية مجموعة القوى والاختيار وبدون استبدال فقط.

• وبالمثل، بيّن هارفي فريدمان أن بعض حالات الاستبدال على الأقل ضرورية لإثبات أن ألعاب بوريل محددة . والنتيجة المثبتة هي نظرية تحديد بوريل لدونالد أ. مارتن . وفي تحليل لاحق وأكثر دقة أجراه مارتن لهذه النتيجة ، تبين أنها لا تتطلب الاستبدال إلا للدوال التي يكون مجالها عددًا ترتيبيًا قابلًا للعد .

• تُثبت ZF (التي تتضمن الاستبدال) اتساق Z، باعتبارها مجموعة${\displaystyle V_{\أوميغا +\أوميغا }}$هو نموذج لـ Z يمكن إثبات وجوده في ZF. العدد الأصلي${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$هو أصغر عدد أصلي يمكن إثبات وجوده في ZF ولكن ليس في Z. وللتوضيح، تجدر الإشارة إلى أن نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل تُظهر أن كل نظرية من هذه النظريات تحتوي على جملة "تعبر" عن اتساق النظرية نفسها ، وهي جملة لا يمكن إثباتها في تلك النظرية، إذا كانت تلك النظرية متسقة - غالبًا ما يتم التعبير عن هذه النتيجة بشكل فضفاض على أنها الادعاء بأنه لا يمكن لأي من هاتين النظريتين إثبات اتساقها، إذا كانت متسقة.

لم يكن مخطط البديهيات الخاص بالاستبدال جزءًا من عملية وضع البديهيات لنظرية المجموعات ( Z ) التي وضعها إرنست زيرميلو عام 1908. وقد وُجدت بعض التقريبات غير الرسمية له في أعمال كانتور غير المنشورة، وظهر مرة أخرى بشكل غير رسمي في كتاب ميريمانوف (1917). ^{[ 5 ]}

إن نشر أبراهام فرانكل لهذه البديهية عام 1922 هو ما يُعرف بنظرية زيرميلو- فرانكل للمجموعات ( ZFC ). وقد اكتشف ثورالف سكوليم هذه البديهية بشكل مستقل وأعلن عنها في وقت لاحق من العام نفسه (ونُشرت عام 1923). أدرج زيرميلو نفسه بديهية فرانكل في نظامه المنقح الذي نشره عام 1930، والذي تضمن أيضًا بديهية فون نيومان الأساسية كبديهية جديدة . ^{[ 6 ]} على الرغم من أن النسخة الأولى من قائمة البديهيات التي وضعها سكوليم هي التي نستخدمها اليوم، ^{[ 7 ]} إلا أنه لا يُنسب إليه الفضل عادةً، لأن كل بديهية على حدة طُوّرت سابقًا إما من قِبل زيرميلو أو فرانكل. وقد استخدم فون نيومان عبارة "نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات" لأول مرة في المطبوعات عام 1928. ^{[ 8 ]}

تبادل زيرميلو وفرينكل مراسلات مكثفة عام ١٩٢١، وكان مبدأ الاستبدال موضوعًا رئيسيًا في هذه المراسلات. ^{[ ٧ ]} بدأ فرانكل مراسلاته مع زيرميلو في مارس ١٩٢١ تقريبًا، إلا أن رسائله السابقة لرسالة ٦ مايو ١٩٢١ مفقودة. اعترف زيرميلو لأول مرة بوجود ثغرة في نظامه في ردٍّ على فرانكل بتاريخ ٩ مايو ١٩٢١. في ١٠ يوليو ١٩٢١، أكمل فرانكل ورقة بحثية (نُشرت عام ١٩٢٢) وقدّمها للنشر، وصف فيها مبدأه بأنه يسمح بالاستبدالات العشوائية: "إذا كانت M مجموعة، واستُبدل كل عنصر من عناصرها [بمجموعة أو عنصر غير موجود]، فإن M تتحول إلى مجموعة مرة أخرى" (إكمال وترجمة بين قوسين من إبينغهاوس). شكر فرانكل زيرميلو في منشوره عام ١٩٢٢ على حججه المفيدة. قبل هذا النشر، أعلن فرانكل علنًا عن بديهيته الجديدة في اجتماع للجمعية الرياضية الألمانية عُقد في يينا في 22 سبتمبر 1921. وكان زيرميلو حاضرًا في هذا الاجتماع؛ وفي المناقشة التي أعقبت حديث فرانكل، قبل بديهية الاستبدال بشكل عام، لكنه أبدى تحفظات بشأن نطاقها. ^{[ 7 ]}

أعلن ثورالف سكوليم اكتشافه للثغرة في نظام زيرميلو (وهي نفس الثغرة التي اكتشفها فرانكل) في محاضرة ألقاها في 6 يوليو 1922 في المؤتمر الخامس للرياضيين الإسكندنافيين ، الذي عُقد في هلسنكي ؛ ونُشرت وقائع هذا المؤتمر في عام 1923. قدّم سكوليم حلاً باستخدام بدائل قابلة للتعريف من الدرجة الأولى: "ليكن U عبارة محددة صحيحة لبعض الأزواج ( a , b ) في المجال B ؛ ولنفترض كذلك أنه لكل a يوجد على الأكثر b واحد بحيث تكون U صحيحة. عندئذٍ، عندما ينتقل a على عناصر المجموعة MA ، ينتقل b على جميع عناصر المجموعة _MA . _" في العام نفسه، كتب فرانكل مراجعة لورقة سكوليم، ذكر فيها ببساطة أن اعتبارات سكوليم تتوافق مع اعتباراته. ^{[ 7 ]}

لم يقبل زيرميلو نفسه قط صياغة سكوليم لمخطط البديهيات للاستبدال. ^{[ 7 ]} وفي إحدى المرات، وصف منهج سكوليم بأنه "نظرية المجموعات الفقيرة". تصور زيرميلو نظامًا يسمح بالأعداد الكبيرة . ^{[ 9 ]} كما اعترض بشدة على الآثار الفلسفية لنماذج نظرية المجموعات القابلة للعد ، والتي نتجت عن بديهيات سكوليم من الدرجة الأولى. ^{[ 8 ]} ووفقًا لسيرة زيرميلو التي كتبها هاينز-ديتر إبينغهاوس ، فإن رفض زيرميلو لمنهج سكوليم مثّل نهاية تأثيره على تطورات نظرية المجموعات والمنطق. ^{[ 7 ]}

• إيبينغهاوس، هاينز-ديتر (2007). إرنست زيرميلو: مدخل إلى حياته وعمله . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-49553-6.
• هالموس، بول ر. (1974) [1960]. نظرية المجموعة الساذجة . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-90092-6.
• جيتش، توماس (2003). نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة . سبرينغر. ISBN 3-540-44085-2.
• كونين، كينيث (1980). نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال . إلسيفير. ISBN 0-444-86839-9.