تصنيف جبر كليفورد

يسمح هذا التصنيف بتعريف سبينورات ديراك وسبينورات فايل في الأبعاد الزوجية. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

في بُعد زوجي n ، يكون جبر كليفورد Cl _n ( C ) متماثلًا مع End( C ^N )، الذي له تمثيله الأساسي على Δ _n  := C ^N . ^{[ 14 ] [ 15 ]} سبينور ديراك المركب هو عنصر من Δ _n . تشير كلمة "مركب" إلى أن هذا وحدة نمطية لجبر كليفورد المركب، وليس مجرد أن الفضاء المتجهي الأساسي مركب.

الجبر الجزئي الزوجي Cl _n ⁰ ( C ) متماثل مع End( C ^{N /2} ) ⊕ End( C ^{N /2} )، وبالتالي فإن وحدة السبينور الخاصة به تتحلل كمجموع مباشر لفضاءي تمثيل غير قابلين للاختزال Δ ⁺ _n ⊕ Δ ⁻ _n ، كل منهما متماثل مع C ^{N /2} . ^{[ 16 ] [ 17 ]} السبينور المركب Weyl ذو اليد اليسرى (على التوالي ذو اليد اليمنى) هو عنصر من Δ ⁺ _n (على التوالي، Δ ⁻ _n ).

يمكن إثبات نظرية البنية استقرائياً. ^{[ 18 ] [ 19 ]} بالنسبة للحالات الأساسية، فإن Cl ₀ ( C ) هي ببساطة C ≅ End( C ) ، بينما Cl ₁ ( C ) هي الجبر C ⊕ C ≅ End( C ) ⊕ End( C ) ، والتي تم الحصول عليها بأخذ المولد الوحيد ليكون γ ₁ = (1, −1) .

نحتاج أيضًا إلى Cl ₂ ( C ) ≅ End( C ² ) . تُعطي مصفوفات باولي تحقيقًا ملموسًا: إذا وضعنا γ ₁ = σ ₁ و γ ₂ = σ ₂ ، فإنهما تُولّدان نسخة من Cl ₂ ( C ) يمتد مداها على كامل End( C ² ). ^{[ 20 ] [ 21 ]}

الخطوة الاستقرائية هي التشاكل القياسي ذو الدورية 2

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\cong \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} ).}$

لبنائه، دع γ _a تولد Cl _n ( C )، و${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1},{\tilde {\gamma }}_{2}}$قم بتوليد Cl ₂ ( C ). ليكن ω = i \tilde\gamma_1 \tilde\gamma_2 عنصر الكيرالية في Cl ₂ ( C )، بحيث يكون ω ² = 1 وكل${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$مضاد للتبادل مع ω . ^{[ 22 ] [ 23 ]} ثم نحصل على مولدات لـ Cl _{n +2} ( C ) عن طريق وضع

${\displaystyle \Gamma _{a}=\gamma _{a}\otimes \omega \qquad (1\leq a\leq n),}$

${\displaystyle \Gamma _{n+1}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{1},\qquad \Gamma _{n+2}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{2}.}$

تُحقق هذه العلاقات علاقات كليفورد، لذا، وبفضل الخاصية العامة لجبر كليفورد، فإنها تُؤدي إلى تماثل Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) \to Cl _{n +2} ( C ) . ^{[ 24 ] [ 25 ]}

وأخيرًا، إذا كان n زوجيًا و Cl _n ( C ) ≅ End( C ^N ) ، فإن

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\cong \operatorname {End} (\mathbf {C} ^{N})\otimes \operatorname {End} (\mathbf {C} ^{2})\cong \operatorname {End} (\mathbf {C} ^{2N}).}$

بما أن 2N = 2 ^{( n +2)/2} ، فإن هذا يعطي الحالة ذات الأبعاد الزوجية في البعد n +2 . وتُستنتج الحالة ذات الأبعاد الفردية بطريقة مماثلة، باستخدام حقيقة أن حاصل الضرب الموتري يتوزع على المجاميع المباشرة. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

يعتمد البرهان القياسي على ثلاثة عناصر: الحالات الأساسية ذات الأبعاد المنخفضة، وتماثل الدورية الثنائية

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\cong \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} ),}$

وتحديد الجبر الفرعي الزوجي

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+1}(\mathbf {C} )^{0}\cong \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).}$

انظر، على سبيل المثال، بورتيوس (1995) أو لوسون وميشيلسون (2016) . ^{[ 28 ] [ 29 ]}

بالنسبة للحالات الأساسية، يكون لدى المرء

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0}(\mathbf {C} )\cong \mathbf {C} }$

و

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1}(\mathbf {C} )\cong \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} .}$

الأول فوري. أما الثاني، إذا${\displaystyle e}$المولد مع${\displaystyle e^{2}=1}$، ثم

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm e)}$

هي عناصر مركزية متعامدة متماثلة القوة مع${\displaystyle P_{+}+P_{-}=1}$لذا، ينقسم الجبر إلى مجموع مباشر للمثاليين أحاديي البعد.${\displaystyle \mathbf {C} P_{+}}$و${\displaystyle \mathbf {C} P_{-}}$[ ^{30 ] [ 31 ]​}

بعد ذلك، يحتاج المرء إلى الحالة ثنائية الأبعاد

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )\cong M_{2}(\mathbf {C} ).}$

يتم الحصول على تحقيق ملموس من مصفوفات باولي :

${\displaystyle \gamma _{1}=\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad \gamma _{2}=\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.}$

هذه الأمور مُرضية${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\delta _{ij}}$وبالتالي، من خلال الخاصية الشاملة، فإنهم يحددون تماثلًا.${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )\to M_{2}(\mathbf {C} )}$بما أن الصورة تحتوي${\displaystyle 1,\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{2}}$، وله بُعد 4، وبالتالي فهو كل شيء${\displaystyle M_{2}(\mathbf {C} )}$[ ^{32 ] [ 33 ]​}

الخطوة الأساسية هي تماثل الدورية الثنائية. ليكن${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{n}}$يولد${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )}$، يترك${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1},{\tilde {\gamma }}_{2}}$يولد${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )}$، وضبط

${\displaystyle \omega =i{\tilde {\gamma }}_{1}{\tilde {\gamma }}_{2}.}$

ثم${\displaystyle \omega ^{2}=1}$و${\displaystyle \omega }$التنقلات غير المرغوبة مع كليهما${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1}}$و${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{2}}$. حدد عناصر${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )}$بواسطة

${\displaystyle \Gamma _{a}=\gamma _{a}\otimes \omega \qquad (1\leq a\leq n),}$

${\displaystyle \Gamma _{n+1}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{1},\qquad \Gamma _{n+2}=1\otimes {\tilde {\gamma }}_{2}.}$

لأن${\displaystyle \omega ^{2}=1}$و${\displaystyle \omega }$يتعارض مع مولدات${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )}$العناصر${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{n+2}}$تحقق علاقات كليفورد للشكل التربيعي القياسي على${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+2}}$لذلك، فإن الخاصية الشاملة تعطي تشاكلاً.

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+2}(\mathbf {C} )\to \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} ).}$

كلا الجبرين لهما بُعد${\displaystyle 2^{n+2}}$إذن، هذا التشاكل هو تشاكل متماثل. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

ويتبع ذلك بالاستقراء على${\displaystyle m}$الذي - التي

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )\cong \mathrm {Cl} _{0}(\mathbf {C} )\otimes \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )^{\otimes m}\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} ).}$

في الواقع، القضية${\displaystyle m=0}$يكون${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0}(\mathbf {C} )\cong \mathbf {C} }$وكل تطبيق لموترات الدورية الثنائية مع${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )\cong M_{2}(\mathbf {C} )}$^{[ 36 ] [ 37 ]} ، مما يؤدي إلى مضاعفة حجم المصفوفة.

بالنسبة للأبعاد الفردية، ليكن${\displaystyle n=2m+1}$عنصر الحجم${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}}$يُعدّ أمراً محورياً لأنه${\displaystyle n}$غريب، وانتهى الأمر${\displaystyle \mathbf {C} }$يمكن إعادة تحجيمها بحيث${\displaystyle \omega ^{2}=1}$. لذلك

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega )}$

هي عناصر مركزية متعامدة متساوية القوة، مما يؤدي إلى تفكيك

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m+1}(\mathbf {C} )=\mathrm {Cl} _{2m+1}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \mathrm {Cl} _{2m+1}^{-}(\mathbf {C} ).}$

من ناحية أخرى، فإن الجبر الفرعي الزوجي متماثل مع${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )}$، والإسقاط على أي من الحدين يحدد كل عامل بسيط مع ذلك الجبر الفرعي الزوجي. بما أن

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} ),}$

يحصل المرء

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m+1}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} )\oplus M_{2^{m}}(\mathbf {C} ).}$^{[ 38 ] [ 39 ]}

وهذا يثبت التصنيف:

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2m}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} ),\qquad \mathrm {Cl} _{2m+1}(\mathbf {C} )\cong M_{2^{m}}(\mathbf {C} )\oplus M_{2^{m}}(\mathbf {C} ).}$

بصورة مكافئة، فإن جبر كليفورد المركب دوري من الدرجة 2، والجبر الفرعي الزوجي لـ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n+1}(\mathbf {C} )}$متماثل مع${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )}$[ ^{40 ] [ 41 ]​}

أولاً، توجد أشكال تربيعية غير متماثلة من درجة معينة، مصنفة حسب التوقيع. ^{[ 44 ]}

كل شكل تربيعي غير منحل على فضاء متجهي حقيقي يكافئ شكلاً قطرياً

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}$

حيث n = p + q هو بُعد الفضاء المتجهي. يُطلق على زوج الأعداد الصحيحة ( p , q ) اسم إشارة الصيغة التربيعية. ^{[ 44 ]} يُرمز للفضاء المتجهي الحقيقي ذي هذه الصيغة التربيعية غالبًا بـ R( ^{p , q} ). ويُرمز لجبر كليفورد على R( ^{p , q) بـ Cl(} _{p , q} ( R )).

تتكون القاعدة المتعامدة المعيارية { e _i } لـ R ^{p , q} من n = p + q متجهات متعامدة متبادلة، p منها لها معيار +1 و q منها لها معيار −1. ^{[ 44 ]}

بالنظر إلى أساس قياسي { e _i } كما هو مُعرَّف في القسم الفرعي السابق، فإن الكمية الزائفة الوحدوية في Cl _{p , q} ( R ) تُعرَّف على النحو التالي

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

وهو نظير عنصر الحجم في جبر كليفورد. ^{[ 42 ] [ 43 ]}

لحساب المربع${\displaystyle \omega ^{2}=(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})}$يمكن عكس ترتيب العامل الثاني ثم تبديل متجهات الأساس المتساوية. هذا يُدخل الإشارة (−1) ^{n ( n −1)/2} ، وبما أن e _i ² = +1 لـ i ≤ p و e _i ² = -1 لمتجهات الأساس q المتبقية ، نحصل على ^{[ 42 ] [ 43 ]}

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(p-q)(p-q-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&p-q\equiv 2,3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

لاحظ أنه على عكس الحالة المركبة، ليس من الممكن بشكل عام إيجاد عدد زائف قياسي مربعه يساوي +1.

إذا كان n (أو ما يعادله، p − q ) زوجيًا، فإن الجبر Cl _{p , q} ( R ) يكون بسيطًا مركزيًا، وبالتالي فهو متماثل مع جبر المصفوفات على R أو H وفقًا لنظرية آرتين-ويدربورن . ^{[ 42 ] [ 43 ]}

إذا كان n فرديًا ^، فإن الجبر لم يعد بسيطًا مركزيًا: إذ يحتوي مركزه على الكميات الزائفة بالإضافة إلى الكميات القياسية. ^{[ 42 ] [ 43 ]} إذا كان n فرديًا و ω² = +1 (أو ما يعادله، إذا كان p − q ≡ 1 (mod 4) )، فإن الجبر Cl _{p , q} ( R ) يتحلل، كما هو الحال في حالة الأعداد المركبة، إلى مجموع مباشر من الجبر المتماثل.

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} ),}$

كل منها بسيط مركزي وبالتالي متماثل مع جبر المصفوفات ^على R أو H. ^{[ 42 ] [ 43} ]

إذا كان n فرديًا و ^ω² = −1 (أو ما يكافئه، إذا كان p − q ≡ −1 (mod 4) ) ^، فإن مركز Cl _{p , q} ( R ) متماثل مع C ، ويمكن اعتبار الجبر جبرًا مركزيًا بسيطًا معقدًا؛ وبالتالي فهو متماثل مع جبر المصفوفات على C. ^{[ 42 ] [ 43} ]

إجمالاً، هناك ثلاث خصائص تحدد فئة الجبر Cl _{p , q} ( R ): ^{[ 42 ] [ 43 ]}

• التوقيع mod 2: n زوجي/فردي، مما يحدد ما إذا كان الجبر بسيطًا مركزيًا أم لا؛
• التوقيع mod 4: ω ² = ±1 ، تحديد في الحالة ذات الأبعاد الفردية ما إذا كان المركز R ⊕ R أو C ؛
• التوقيع mod 8: فئة براور للجبر ( n زوجي) أو للجبر الفرعي الزوجي ( n فردي)، وتحديد ما إذا كان العامل البسيط المركزي منقسمًا أو رباعيًا.

تعتمد كل خاصية من هذه الخصائص فقط على التوقيع p − q modulo 8. يرد أدناه جدول التصنيف الكامل. يُحدد حجم المصفوفات بشرط أن يكون بُعد Cl _{p , q} ( R ) هو 2 ^{p + q} . ^{[ 42 ] [ 43 ]}

يُلاحظ أنه من بين جميع أنواع حلقات المصفوفات المذكورة، يوجد نوع واحد فقط مشترك بين الجبر المركب والجبر الحقيقي: النوع M₂m ₍ C ) . على سبيل المثال، Cl₂ ₍ C ) وCl₃ _{^, ₀} ( R ) متماثلان مع M₂ ₍ C ) . من المهم التمييز بين الفئات التي تُصنَّف ضمنها هذه التشاكلات: يُصنَّف Cl₂(C) كجبر _C ، بينما يُصنَّف Cl₃ _,₀ ( R ) كجبر R. وبالتالي، فهما متماثلان في جبر R ، لكنهما ليسا متماثلين بشكل قياسي في الجبر المركب. ^{[ 42 ]}

فيما يلي جدولٌ لهذا التصنيف لـ p + q ≤ 8. هنا، يمتد p + q عموديًا، بينما يمتد p − q أفقيًا (على سبيل المثال، توجد الجبر Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) في الصف 4، العمود −2). ^{[ 42 ] [ 43 ]}

يحتوي الجدول أعلاه على شبكة متشابكة من التناظرات والعلاقات. والأهم من ذلك، وجود التشاكلات الدورية الحقيقية القياسية ^{[ 42 ] [ 43 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&\cong \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {M} _{2}(\mathbf {R} ),\\\operatorname {Cl} _{q,p+2}(\mathbf {R} )&\cong \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\otimes \mathbf {H} ,\\\operatorname {Cl} _{q+2,p}(\mathbf {R} )&\cong \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {M} _{2}(\mathbf {R} ).\end{aligned}}}$

فيما يتعلق بالجدول، تنص القاعدة الأولى على أنه عند النزول خطوة واحدة من جبر كليفورد${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$العائد${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )}$، والتي تتكون من${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات فوق${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$أما القاعدتان الأخريان فتشيران إلى أن

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R} )}$

ومن هذه النتائج نحصل على دورية بوت بالشكل التالي

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p,q+8}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {M} _{16}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}$^{[ 42 ] [ 43 ]}

علاوة على ذلك، إذا كان التوقيع يحقق الشرط p − q ≡ 1 (mod 4) فإن

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).}$

هذا يعني أن الجدول متناظر حول الأعمدة حيث${\displaystyle p-q=}$..., −7, −3, 1, 5, 9,.... ^{[ 42 ]}

تُعدّ الدورية الثمانية على الأعداد الحقيقية جزءًا من دورية بوت ، وهي الدورية المقابلة لمجموعات التماثل للمجموعة المتعامدة المستقرة ؛ وبالمثل، توجد دورية ثنائية على الأعداد المركبة للمجموعة الوحدوية المستقرة . في الوصف الهندسي لبوت، تُنمذج فضاءات الحلقات ذات الصلة بواسطة نواتج قسمة متتالية للمجموعات الكلاسيكية، وهي فضاءات متناظرة متراصة . في نظرية المجموعات المستقرة، تدخل فضاءات الحلقات لأن دورية بوت تُعرّف المجموعات الكلاسيكية المستقرة، حتى التماثل، مع فضاءات الحلقات المتكررة لفضاءات التصنيف المقابلة. تُعدّ الدوريات الجبرية الثنائية والثمانية المتطابقة لجبر كليفورد المركب والحقيقي جزءًا من الصورة نفسها. ^{[ 45 ] [ 46 ]}

لاحظ أنه في التصنيف الحقيقي، بشكل عام،

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\not \cong \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).}$

في اصطلاح الإشارة المستخدم في هذه المقالة، يؤدي تبديل p و q إلى استبدال الصيغة التربيعية بنفيها، وبالتالي يُحوّل فرق الإشارة p − q إلى q − p = −( p − q ) . وبما أن فئة التشاكل لجبر كليفورد الحقيقي تُحدد بواسطة p − q (mod 8) ، فينبغي مقارنة المدخلات في جدول التصنيف للبواقي d و − d modulo 8. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

تتطابق هذه المدخلات فقط عندما يكون d ≡ − d (mod 8) ، أي فقط عندما يكون d ≡ 0 أو 4 (mod 8) . في جميع فئات التطابق الأخرى، تكون الجبر من أنواع مختلفة. على سبيل المثال،

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{1,0}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} ,\qquad \operatorname {Cl} _{0,1}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {C} ,}$

بينما

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0}(\mathbf {R} )\cong M_{2}(\mathbf {R} ),\qquad \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} .}$

لذا يظهر فشل التناظر بالفعل في الحالات القليلة الأولى ذات الأبعاد المنخفضة. ^{[ 49 ] [ 50 ]}

توجد آليتان مختلفتان وراء هذا التباين. في الأبعاد الفردية، يظهر التمييز في المركز. إذا كان p − q ≡ 1 (mod 4) ، فإن ω² = +1 ^، وينقسم الجبر إلى مجموع مباشر لمثاليين بسيطين، وبالتالي يكون مركزه R ⊕ R. أما إذا كان p − q ≡ −1 (mod 4) ، فإن ω² = −1 ويكون المركز C. وهكذا ^، يمكن أن يؤدي تبديل p و q إلى تغيير المركز من حقيقي منقسم إلى مركب. ^{[ 51 ] [ 52 ]}

في الأبعاد الزوجية، يكون كلا الجبرين مركزيين بسيطين، لذا يكمن الاختلاف في فئات براور الخاصة بهما . على سبيل المثال، عندما يكون p − q ≡ 2 (mod 8)، يكون الجبر جبر مصفوفات منقسمة على R ، بينما عندما يكون q − p ≡ 2 (mod 8) - أو ما يعادله p − q ≡ 6 (mod 8) - يكون الجبر جبر مصفوفات على H. لذا، يمكن أيضًا تحويل الجبر المنقسم إلى جبر رباعي عن طريق تبديل p و q . ^{[ 53 ] [ 54 ]}

وبعبارة أخرى، يكون لدى المرء

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )}$

إذا وفقط إذا كان p − q ≡ 0 أو 4 (mod 8) . هذا ببساطة شرط النقطة الثابتة للالتفاف.${\displaystyle d\mapsto -d}$على جدول التصنيف الحقيقي. ^{[ 55 ] [ 56 ]}

هذا أحد أسباب أهمية اصطلاحات الإشارات في الأدبيات: فالمؤلفون الذين يستخدمون الاصطلاح المعاكس لضرب كليفورد غالبًا ما يكتبون${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}}$لما تشير إليه هذه المقالة${\displaystyle \operatorname {Cl} _{q,p}}$عدم التناظر تحت${\displaystyle (p,q)\mapsto (q,p)}$هي خاصية من خصائص جبر كليفورد الحقيقي، وليست مجرد أداة تدوينية. ^{[ 57 ] [ 58 ]}

ينتمي هذا التباين إلى جبر كليفورد الكامل، وليس إلى مجموعة الدوران . ليكن ( V , q ) فضاءً تربيعيًا حقيقيًا. تُعرَّف مجموعة الدوران داخل جبر كليفورد الزوجي كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V,q)=\operatorname {Pin} (V,q)\cap \operatorname {Cl} ^{0}(V,q),}$

حيث يتم توليد Pin( V , q ) بواسطة متجهات الوحدة v مع q ( v ) = ±1 . ^{[ 59 ] [ 60 ]} في ظل الفعل المرافق الملتوي القياسي، يؤثر هذا المتجه على V بالانعكاس في المستوى الفائق المتعامد مع v ، لذا فإن نواتج عدد زوجي من متجهات الوحدة تؤثر بتحويلات متعامدة تحافظ على الاتجاه. ^{[ 61 ] [ 62 ]}

إن استبدال q بـ −q لا يُغير المجموعة المتعامدة: فالتحويلات الخطية نفسها تحافظ على q و −q ، لذا فإن O ( V , q ) = O( V , −q ) ، وبالتالي SO( V , q ) = SO( V , −q ) . [ ^{63 ] ولهذا} السبب، فإن SO( p , q ) ≅ SO( q , p ) ، وبالمثل Spin( p , q ) ≅ Spin( q , p ) . والخلاصة هي أنه على الرغم من أن جبر كليفورد ليس بالضرورة أن يكون متطابقًا، فإن مجموعة الدوران تُبنى من نواتج زوجية لنفس الانعكاسات، داخل جبر كليفورد الزوجي. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

تُظهر الأمثلة ذات الأبعاد الأدنى هذا التمييز بالفعل. في اصطلاح الإشارة المستخدم في هذه المقالة،

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{1,0}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} ,\qquad \operatorname {Cl} _{0,1}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {C} ,}$

إذن، الجبر الكامل مختلف، ولكن في كلتا الحالتين يكون الجبر الجزئي الزوجي هو R فقط . ومن ثم

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,0)\cong \operatorname {Spin} (0,1)\cong \{\pm 1\}.}$

ومن الأمثلة الأكثر إفادة ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0}(\mathbf {R} )\cong M_{2}(\mathbf {R} ),\qquad \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} .}$

هنا، تكون الجبريات الكاملة، وبالتالي وحداتها الحقيقية غير القابلة للاختزال، من أنواع مختلفة: في الحالة الأولى، تكون الوحدة غير القابلة للاختزال حقيقية ثنائية الأبعاد، بينما في الثانية تكون رباعية أحادية الأبعاد. لكن زمرة الدوران لا ترى سوى الجبر الجزئي الزوجي. في كلا التوقيعين، يتولد الجبر الجزئي الزوجي بواسطة 1 والمتجه الثنائي e ₁ e ₂ ، و

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=-e_{1}^{2}e_{2}^{2}=-1.}$

لذلك

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0}^{0}(\mathbf {R} )\cong \operatorname {Cl} _{0,2}^{0}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {C} ,}$

وفي كلتا الحالتين، تكون مجموعة الدوران هي مجموعة الدائرة

${\displaystyle \{\cos \theta +\sin \theta \,e_{1}e_{2}:\theta \in \mathbf {R} \}\cong U(1).}$

لذا، يمكن لجبر كليفورد الكامل التمييز بين أنواع الوحدات الحقيقية والرباعية حتى عندما لا تستطيع مجموعة الدوران المرتبطة بها ذلك: فبعد الانتقال إلى الجبر الفرعي الزوجي، تخضع كلتا الحالتين لنفس البنية المعقدة. ^{[ 66 ] [ 67 ]}

وتستمر هذه الظاهرة نفسها في الأبعاد الأعلى. على سبيل المثال، على الرغم من${\displaystyle \operatorname {Cl} _{1,3}(\mathbf {R} )}$و${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,1}(\mathbf {R} )}$إذا كانت هذه المدخلات مختلفة في جدول التصنيف الحقيقي، فإن مجموعات الدوران المرتبطة بها هي الغطاء المزدوج لمجموعة لورنتز؛ على وجه الخصوص

${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {C} ),}$

وبالتالي أيضاً${\displaystyle \operatorname {Spin} (3,1)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {C} )}$[ ^{68 ] [ 69 ]​}

افترضت المناقشة السابقة أن الحقل الأساسي له خاصية مختلفة عن 2. في الخاصية 2، يكون الشكل القطبي للشكل التربيعي متناوبًا، لذا يجب أن يكون للفضاء التربيعي غير المنفرد بُعد زوجي. ^{[ 72 ]} لا تزال الأشكال ذات الأبعاد الفردية مهمة، ولكن يتم التعامل معها باستخدام نظرية الأشكال التربيعية المنتظمة (أو "نصف المنتظمة") بدلاً من النظرية غير المنفردة. ^{[ 73 ]}

لهذا السبب، تُصاغ نظرية الخاصية 2 عادةً ليس فقط بدلالة الأشكال التربيعية، بل بدلالة الأزواج التربيعية على الجبر المركزي البسيط. في هذا السياق، يُعرَّف المميز وجبر كليفورد الزوجي للأزواج التربيعية، ويؤديان دور الثوابت المناظرة في الخاصية المختلفة عن 2. ^{[ 74 ]} وبناءً على ذلك، لا يوجد نظير مباشر لجدول تصنيف التوقيع الحقيقي في الخاصية 2 دون إعادة صياغة النظرية أولاً بهذه اللغة.