الطوبولوجيا العامة

في الرياضيات ، تُعدّ الطوبولوجيا العامة (أو طوبولوجيا المجموعات النقطية ) فرعًا من فروع الطوبولوجيا يُعنى بالتعريفات والإنشاءات الأساسية لنظرية المجموعات المستخدمة في الطوبولوجيا. وهي أساس معظم فروع الطوبولوجيا الأخرى، بما في ذلك الطوبولوجيا التفاضلية ، والطوبولوجيا الهندسية ، والطوبولوجيا الجبرية .

المفاهيم الأساسية في طوبولوجيا المجموعات النقطية هي الاستمرارية ، والتراص ، والاتصال :

• الدوال المتصلة ، بشكل بديهي، تنقل النقاط القريبة إلى نقاط قريبة.
• المجموعات المدمجة هي تلك التي يمكن تغطيتها بعدد محدود من المجموعات ذات الحجم الصغير بشكل تعسفي.
• المجموعات المتصلة هي مجموعات لا يمكن تقسيمها إلى قطعتين متباعدتين.

يمكن تحديد المصطلحات "قريب" و"صغير بشكل تعسفي" و"بعيد" بدقة باستخدام مفهوم المجموعات المفتوحة . بتغيير تعريف "المجموعة المفتوحة"، يتغير مفهوم الدوال المتصلة والمجموعات المتراصة والمجموعات المتصلة. يُطلق على كل تعريف لـ"المجموعة المفتوحة" اسم "طوبولوجيا" . وتُسمى المجموعة التي تمتلك طوبولوجيا " فضاءً طوبولوجيًا " .

تُعدّ الفضاءات المترية فئةً مهمةً من الفضاءات الطوبولوجية، حيث يُمكن تعريف مسافة حقيقية غير سالبة، تُسمى أيضًا بالمقياس ، على أزواج من النقاط في المجموعة. يُسهّل وجود المقياس العديد من البراهين، والعديد من الفضاءات الطوبولوجية الأكثر شيوعًا هي فضاءات مترية.

نشأت الطوبولوجيا العامة من عدد من المجالات، وأهمها ما يلي:

• الدراسة التفصيلية للمجموعات الفرعية من خط الأعداد الحقيقية (كانت تُعرف سابقًا باسم طوبولوجيا مجموعات النقاط ؛ هذا الاستخدام أصبح الآن قديمًا).
• تقديم مفهوم التعدد
• دراسة الفضاءات المترية ، وخاصة الفضاءات الخطية المعيارية ، في الأيام الأولى للتحليل الوظيفي .

اتخذت الطوبولوجيا العامة شكلها الحالي حوالي عام 1940. ويمكن القول إنها تلتقط كل شيء تقريبًا في حدس الاستمرارية ، في شكل مناسب تقنيًا يمكن تطبيقه في أي مجال من مجالات الرياضيات.

ليكن X مجموعة، ولتكن τ عائلة من المجموعات الجزئية من X. عندئذٍ تُسمى τ طوبولوجيا على X إذا: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. كل من المجموعة الفارغة و X عنصران من τ
2. أي اتحاد لعناصر من τ هو عنصر من τ
3. أي تقاطع لعدد محدود من عناصر τ هو عنصر من عناصر τ

إذا كانت τ طوبولوجيا على X ، فإن الزوج ( X , τ ) يُسمى فضاءً طوبولوجيًا . ويمكن استخدام الرمز X _τ للدلالة على مجموعة X مزودة بالطوبولوجيا τ .

تُسمى عناصر المجموعة τ بالمجموعات المفتوحة في X. يُقال إن مجموعة جزئية من X مغلقة إذا كانت متممتها تنتمي إلى τ (أي أن متممتها مفتوحة). قد تكون المجموعة الجزئية من X مفتوحة، أو مغلقة، أو كليهما ( مجموعة مفتوحة مغلقة )، أو لا شيء منهما. المجموعة الفارغة و X نفسها تكونان دائمًا مغلقة ومفتوحة في آنٍ واحد.

يُعبَّر عن الاستمرارية بدلالة الجوارات : تكون الدالة f مستمرة عند نقطة ما x  ∈ X  إذا وفقط إذا كان لكل جوار V للدالة f ( x ) ، يوجد جوار U للدالة x بحيث يكون f ( U )  ⊆ V.  وبشكل بديهي، تعني الاستمرارية أنه مهما صغر حجم V ، يوجد دائمًا جوار U يحتوي على x ويُسقط الدالة داخل V ، وصورته تحت تأثير f تحتوي على f ( x ) . وهذا يُكافئ شرط أن تكون الصور العكسية للمجموعات المفتوحة (المغلقة) في Y مفتوحة (مغلقة) في X. في الفضاءات المترية، يُكافئ هذا التعريف تعريف ε – δ الذي يُستخدم غالبًا في التحليل.

مثال متطرف: إذا أعطيت مجموعة X طوبولوجيا منفصلة ، ​​فإن جميع الدوال

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

تكون الدوال متصلة في أي فضاء طوبولوجي T. من جهة أخرى، إذا كان X مزودًا بطوبولوجيا غير منفصلة، ​​وكان الفضاء T أكبر من أو يساوي _T₀ ، فإن الدوال المتصلة الوحيدة هي الدوال الثابتة. على العكس، أي دالة مداها غير منفصل تكون متصلة.

بصورة رسمية، يُطلق على الفضاء الطوبولوجي X اسم الفضاء المتراص إذا كان لكل غطاء مفتوح فيه غطاء جزئي منتهٍ . وإلا فإنه يُطلق عليه اسم الفضاء غير المتراص . وهذا يعني تحديدًا أنه لكل مجموعة اختيارية

${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$

من المجموعات الجزئية المفتوحة من X بحيث

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },}$

توجد مجموعة جزئية منتهية J من A بحيث

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.}$

تستخدم بعض فروع الرياضيات، كالهندسة الجبرية ، المتأثرة عادةً بالمدرسة الفرنسية لبورباكي ، مصطلح "شبه متراص" للدلالة على المفهوم العام، وتخصّص مصطلح "متراص" للفضاءات الطوبولوجية التي تجمع بين خصائص هاوسدورف وشبه المتراصة . ويُشار أحيانًا إلى المجموعة المتراصة بـ" متراصة" (compactum )، وجمعها "متراصات " (compacta ).

كل فترة مغلقة في R ذات طول محدود تكون متراصة . بل إن الأمر يتجاوز ذلك: في Rⁿ ^، تكون المجموعة متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة. (انظر نظرية هاين-بوريل ).

كل صورة متصلة لمساحة مضغوطة تكون مضغوطة.

المجموعة الجزئية المدمجة من فضاء هاوسدورف مغلقة.

كل تقابل مستمر من فضاء متراص إلى فضاء هاوسدورف هو بالضرورة تماثل شكلي .

كل سلسلة من النقاط في فضاء متري مضغوط لها سلسلة فرعية متقاربة.

يمكن تضمين كل مشعب مضغوط ذي أبعاد محدودة في فضاء إقليدي ما R ⁿ .

يُقال إن الفضاء الطوبولوجي X منفصل إذا كان اتحاد مجموعتين مفتوحتين غير فارغتين منفصلتين . وإلا، يُقال إن X متصل . وتُسمى المجموعة الجزئية من الفضاء الطوبولوجي متصلة إذا كانت متصلة في ظل طوبولوجيا الفضاء الجزئي الخاص بها . يستثني بعض المؤلفين المجموعة الفارغة (بطوبولوجيتها الفريدة) من الفضاءات المتصلة، لكن هذه المقالة لا تتبع هذا النهج.

بالنسبة للفضاء الطوبولوجي X، تكون الشروط التالية متكافئة:

1. X متصل.
2. لا يمكن تقسيم X إلى مجموعتين مغلقتين غير فارغتين منفصلتين .
3. المجموعات الجزئية الوحيدة من X التي تكون مفتوحة ومغلقة في نفس الوقت ( مجموعات مفتوحة ومغلقة ) هي X والمجموعة الفارغة.
4. المجموعات الجزئية الوحيدة من X ذات الحدود الفارغة هي X والمجموعة الفارغة.
5. لا يمكن كتابة X كاتحاد مجموعتين منفصلتين غير فارغتين .
6. الدوال المتصلة الوحيدة من X إلى {0,1}، وهي فضاء النقطتين المزود بالطوبولوجيا المنفصلة، ​​هي دوال ثابتة.

كل فترة في R متصلة .

الصورة المتصلة لمساحة متصلة تكون متصلة.

مجموعات متصلة بالمسار

المسار من النقطة x إلى النقطة y في الفضاء الطوبولوجي X هو دالة متصلة f من الفترة [0,1] إلى X بحيث f ( 0) = x و f (1) = y . مكون المسار في X هو فئة تكافؤ في X وفقًا لعلاقة التكافؤ ، التي تجعل x مكافئًا لـ y إذا وُجد مسار من x إلى y . يُقال إن الفضاء X متصل مساريًا (أو متصل مساريًا أو متصل صفريًا ) إذا كان يحتوي على مكون مسار واحد على الأكثر؛ أي إذا وُجد مسار يربط أي نقطتين في X. مع ذلك، يستثني العديد من الباحثين الفضاء الفارغ.

كل فضاء متصل بمسار هو فضاء متصل. والعكس ليس صحيحاً دائماً: من أمثلة الفضاءات المتصلة التي ليست متصلة بمسار الخط الطويل الممتد L * ومنحنى الجيب الطوبولوجي .

مع ذلك، تكون المجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية R متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة مساريًا؛ وهذه المجموعات الجزئية هي فترات R. كذلك، تكون المجموعات الجزئية المفتوحة من Rⁿ أو Cⁿ متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة مساريًا. بالإضافة إلى ^ذلك ، فإن الاتصال والاتصال المساري متماثلان في الفضاءات الطوبولوجية ^{المنتهية} .

بفرض أن X بحيث

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

هو حاصل الضرب الديكارتي للفضاءات الطوبولوجية X _i ، المفهرسة بواسطة${\displaystyle i\in I}$وباستخدام الإسقاطات الأساسية pᵢ  : X → Xᵢ _، تُعرَّف طوبولوجيا الضرب على X بأنها الطوبولوجيا الأقل دقة ( أي الطوبولوجيا التي تحتوي _على أقل عدد من المجموعات المفتوحة) والتي تكون فيها جميع الإسقاطات pᵢ متصلة _. وتُسمى طوبولوجيا الضرب أحيانًا طوبولوجيا تيكونوڤ .

المجموعات المفتوحة في طوبولوجيا المنتج هي اتحادات (محدودة أو غير محدودة) لمجموعات من الشكل${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$حيث يكون كل Uᵢ مفتوحًا في Xᵢ _، ويكون Uᵢ _≠ Xᵢ _عددًا  محدودًا من المرات فقط. على وجه الخصوص، بالنسبة لحاصل ضرب منتهٍ (وتحديدًا، لحاصل ضرب فضاءين طوبولوجيين)، فإن حاصل ضرب العناصر الأساسية لـ Xᵢ _يُعطي أساسًا لحاصل الضرب _. ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$.

The product topology on X is the topology generated by sets of the form p_i⁻¹(U), where i is in I and U is an open subset of X_i. In other words, the sets {p_i⁻¹(U)} form a subbase for the topology on X. A subset of X is open if and only if it is a (possibly infinite) union of intersections of finitely many sets of the form p_i⁻¹(U). The p_i⁻¹(U) are sometimes called open cylinders, and their intersections are cylinder sets.

In general, the product of the topologies of each X_i forms a basis for what is called the box topology on X. In general, the box topology is finer than the product topology, but for finite products they coincide.

Related to compactness is Tychonoff's theorem: the (arbitrary) product of compact spaces is compact.

Many of these names have alternative meanings in some of mathematical literature, as explained on History of the separation axioms; for example, the meanings of "normal" and "T₄" are sometimes interchanged, similarly "regular" and "T₃", etc. Many of the concepts also have several names; however, the one listed first is always least likely to be ambiguous.

Most of these axioms have alternative definitions with the same meaning; the definitions given here fall into a consistent pattern that relates the various notions of separation defined in the previous section. Other possible definitions can be found in the individual articles.

In all of the following definitions, X is again a topological space.

• X is T₀, or Kolmogorov, if any two distinct points in X are topologically distinguishable. (It is a common theme among the separation axioms to have one version of an axiom that requires T₀ and one version that doesn't.)
• يكون الفضاء X من _النوع T1 ، أو _فضاءً قابلاً للوصول أو فضاءً فريشيه ، إذا كانت أي نقطتين مختلفتين فيه منفصلتين . وبالتالي، يكون X من النوع _T1 إذا وفقط إذا كان من النوع T0 _و R0 _معًا . (مع أنه يمكنك استخدام مصطلحات مثل فضاء T1 ، وطوبولوجيا فريشيه ، وافتراض أن الفضاء الطوبولوجي X هو فريشيه ، تجنب استخدام مصطلح فضاء فريشيه في هذا السياق، لوجود مفهوم مختلف تمامًا لفضاء فريشيه في التحليل الوظيفي ).
• تكون X فضاءً هاوسدورفياً ، أو T² _، أو منفصلاً ، إذا كانت أي نقطتين مختلفتين في X منفصلتين بواسطة جوارات. وبالتالي، تكون X فضاءً هاوسدورفياً إذا وفقط إذا كانت T⁰ وR¹ معاً _. يجب _أن يكون الفضاء الهاوسدورفي أيضاً _T¹ .
• تكون X من نوع T _2½ ، أو أوريسون ، إذا كانت أي نقطتين مختلفتين في X مفصولتين بجوارات مغلقة. يجب أن يكون فضاء AT _{2½ أيضًا من نوع هاوسدورف.}
• تكون X منتظمة ، أو T3 ، إذا كانت T0 _{، وإذا} أُعطيت أي نقطة x ومجموعة مغلقة F في X بحيث لا تنتمي x إلى F ، فإنهما مفصولتان بجوار. (في الواقع، في الفضاء المنتظم، أي x و F مفصولتان أيضًا بجوار مغلق).
• X هي Tychonoff ، أو T _3½ ، T ₃ تمامًا ، أو منتظمة تمامًا ، إذا كانت T ₀ وإذا f ، بالنظر إلى أي نقطة x ومجموعة مغلقة F في X بحيث لا تنتمي x إلى F ، فإنهما مفصولتان بدالة متصلة.
• يكون الفضاء X طبيعيًا ، أو T ₄ ، إذا كان فضاء هاوسدورف، وإذا كان أي مجموعتين جزئيتين مغلقتين منفصلتين من X مفصولتين بجوار. (في الواقع، يكون الفضاء طبيعيًا إذا وفقط إذا كان من الممكن فصل أي مجموعتين جزئيتين مغلقتين منفصلتين بدالة متصلة؛ هذه هي مبرهنة أوريسون ).
• تكون المجموعة X طبيعية تمامًا ، أو T ₅ أو T ₄ تمامًا ، إذا كانت T ₁ وإذا كانت أي مجموعتين منفصلتين مفصولتين بجوار. يجب أن يكون الفضاء الطبيعي تمامًا طبيعيًا أيضًا.
• تكون _{المجموعة} X طبيعية تمامًا ، أو T6 أو _T4 تمامًا ، إذا كانت T1 _وإذا كانت أي مجموعتين مغلقتين منفصلتين مفصولتين بدقة بدالة متصلة. يجب أن يكون فضاء هاوسدورف الطبيعي تمامًا أيضًا فضاء هاوسدورف طبيعيًا تمامًا.

نظرية تيتز للتمديد : في الفضاء الطبيعي، يمكن تمديد كل دالة حقيقية القيمة متصلة معرفة على فضاء فرعي مغلق إلى خريطة متصلة معرفة على الفضاء بأكمله.

إن بديهية العد هي خاصية لبعض الكائنات الرياضية (عادة في فئة ) تتطلب وجود مجموعة قابلة للعد بخصائص معينة، بينما بدونها قد لا توجد مثل هذه المجموعات.

بديهيات مهمة حول قابلية العد للفضاءات الطوبولوجية :

• الفضاء التسلسلي : تكون المجموعة مفتوحة إذا كانت كل متتالية تتقارب إلى نقطة في المجموعة تنتمي في النهاية إلى تلك المجموعة.
• الفضاء القابل للعد الأول : كل نقطة لها أساس جوار قابل للعد (أساس محلي)
• الفضاء القابل للعد الثاني : تمتلك الطوبولوجيا قاعدة قابلة للعد
• الفضاء القابل للفصل : يوجد فضاء فرعي كثيف قابل للعد
• مساحة لينديلوف : كل غلاف مفتوح له غلاف فرعي قابل للعد
• الفضاء المتراص من النوع سيجما : يوجد غطاء قابل للعد بواسطة فضاءات متراصة

العلاقات:

• كل مسافة قابلة للعد الأولى متسلسلة.
• كل مساحة قابلة للعد من الدرجة الثانية هي مساحة قابلة للعد من الدرجة الأولى، وقابلة للفصل، وLindelöf.
• كل فضاء مضغوط من نوع σ هو فضاء لينديلوف.
• الفضاء المتري قابل للعد من الدرجة الأولى.
• بالنسبة للفضاءات المترية، فإن خاصية العد الثاني، وخاصية الفصل، وخاصية ليندلوف كلها متكافئة.

الفضاء المتري [ ^{7 ] هو} زوج مرتب${\displaystyle (M,d)}$أين${\displaystyle M}$هي مجموعة و${\displaystyle d}$هو مقياس على${\displaystyle M}$أي، دالة

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

بحيث يكون لأي${\displaystyle x,y,z\in M}$وينطبق ما يلي:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$   ( غير سالب )،
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$إذا${\displaystyle x=y\,}$   ( هوية الأشياء غير القابلة للتمييز )،
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$   ( التناظر ) و
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$   ( متباينة المثلث )

الوظيفة${\displaystyle d}$تُسمى أيضًا دالة المسافة أو ببساطة المسافة . غالبًا،${\displaystyle d}$يتم حذفها ويكتب المرء فقط${\displaystyle M}$بالنسبة للفضاء المتري إذا كان واضحًا من السياق ما هو المقياس المستخدم.

كل فضاء متري هو فضاء متراص جزئياً وهاوسدورف ، وبالتالي فهو فضاء طبيعي .

توفر نظريات القياس شروطًا ضرورية وكافية لكي تأتي الطوبولوجيا من مقياس.

تنص نظرية باير للفئات على ما يلي: إذا كان X فضاءً متريًا كاملاً أو فضاء هاوسدورف مضغوطًا محليًا ، فإن باطن كل اتحاد لعدد قابل للعد من المجموعات غير الكثيفة في أي مكان يكون فارغًا. ^{[ 8 ]}

أي فضاء فرعي مفتوح من فضاء باير هو نفسه فضاء باير.

• قائمة أمثلة في الطوبولوجيا العامة
• مسرد المصطلحات العامة في علم الطوبولوجيا للاطلاع على التعريفات التفصيلية
• قائمة بمواضيع الطوبولوجيا العامة للمقالات ذات الصلة
• فئة الفضاءات الطوبولوجية

تتضمن بعض الكتب القياسية في علم الطوبولوجيا العامة ما يلي:

• بورباكي ، طوبولوجيا عامة ( الطوبولوجيا العامة )، ISBN 0-387-19374-X.
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]. الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  27 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 1365153 . 
• ستيفن ويلارد، الطوبولوجيا العامة ، رقم ISBN 0-486-43479-6.
• جيمس مونكرز ، علم الطوبولوجيا ، رقم ISBN 0-13-181629-2.
• جورج ف. سيمونز ، مقدمة في الطوبولوجيا والتحليل الحديث ، رقم ISBN 1-575-24238-9.
• بول إل. شيك ، الطوبولوجيا: مجموعات النقاط والهندسة ، رقم ISBN 0-470-09605-5.
• ريزارد إنجيلكينج ، الطوبولوجيا العامة ، ISBN 3-88538-006-4.
• ستين، لين آرثر ؛ سيباخ، ج. آرثر الابن (1995) [1978]، أمثلة مضادة في الطوبولوجيا ( طبعة دوفر المعاد طباعتها من  طبعة 1978)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-486-68735-3، MR 0507446 
• يا. فيرو، أو إيه إيفانوف، في إم خارلاموف وإن.يو. نيتسفيتايف، الطوبولوجيا الابتدائية: كتاب مدرسي في المشاكل ، ISBN 978-0-8218-4506-6.

رمز الموضوع في arXiv هو math.GN.

• الوسائط المتعلقة بالطوبولوجيا العامة على ويكيميديا ​​كومنز