نظرية المجموعة الفرعية المغلقة

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 13 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف نظرية الزمر الجزئية المغلقة (أو نظرية كارتان ) بأنها نظرية في زمر لي . تنص هذه النظرية على أنه إذا كانت H زمرة جزئية مغلقة من زمرة لي G ، فإن H زمرة لي مضمنة ذات بنية سلسة (وبالتالي طوبولوجيا زمرة ) تتوافق مع التضمين. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] تُعد هذه النظرية إحدى النتائج العديدة المعروفة باسم نظرية كارتان ، وقد نُشرت لأول مرة عام 1930 على يد إيلي كارتان ، [ 4 ] الذي استلهمها من برهان جون فون نيومان عام 1929 لحالة خاصة لزمر التحويلات الخطية . [ 5 ] [ 6 ]

ملخص

ليكن G زمرة لي ذات جبر ليز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}الآن، ليكن H زمرةً جزئيةً مغلقةً اختياريةً من G. من الضروري إثبات أن H فضاءٌ جزئيٌّ أملسٌ مُضمَّنٌ في G. الخطوة الأولى هي تحديد ما يمكن أن يكون جبر لي لـ H ، أي الفضاء المماسي لـ H عند العنصر المحايد. يكمن التحدي في أن H لا يُفترض أن يكون أملسًا، وبالتالي ليس من الواضح كيفية تعريف فضائه المماسي. للمتابعة، نُعرِّف "جبر لي".ح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}من H بالصيغة ح={X|هـتX∈ح،∀ت∈R}.{\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{X\mid e^{tX}\in H,\,\,\forall t\in \mathbf {R} \right\}.}

ليس من الصعب إثبات ذلكح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}هي جبر فرعي من نوع ليز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}[ 7 ] على وجه الخصوص ،ح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}هو فضاء جزئي منز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}، وهو ما قد يأمل المرء أن يكون الفضاء المماسي لـ H عند نقطة التطابق. ولكن لكي تنجح هذه الفكرة،ح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}يجب أن تكون كبيرة بما يكفي لاستيعاب بعض المعلومات المهمة حول H. على سبيل المثال، إذا كانت H مجموعة فرعية كبيرة من G ولكنح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}تبين أن النتيجة صفر،ح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}لن يكون ذلك مفيداً.

إذن، الخطوة الأساسية هي إثبات ذلك.ح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}في الواقع، يشمل هذا جميع عناصر H القريبة بدرجة كافية من العنصر المحايد. أي أنه من الضروري إثبات اللمة الحرجة التالية:

اللمة - خذ منطقة صغيرة U من نقطة الأصل فيز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}بحيث تُرسل الخريطة الأسية U بشكل تفاضلي إلى جوار ماV{\displaystyle V}لنفترض أن لدينا دالة الهوية في G ، ولنفترض أن log: V → U هي معكوس الدالة الأسية. عندئذٍ، توجد جوار أصغر W ⊂ V بحيث إذا كان h ينتمي إلى W ∩ H ، فإن log( h ) ينتمي إلىح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}[ 8 ]​

بمجرد إثبات ذلك، يمكن استخدام الإحداثيات الأسية على W ، أي كتابة كل g ∈ W (ليس بالضرورة في H ) على الصورة g = e X حيث X = log( g ) . في هذه الإحداثيات، تنص اللمة على أن X يناظر نقطة في H تحديدًا إذا كان X ينتمي إلىح⊂ز{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}بمعنى آخر، في الإحداثيات الأسية القريبة من نقطة التطابق، تبدو H كما يليح⊂ز{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}. منذح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}هو مجرد فضاء جزئي منز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}وهذا يعني أنح⊂ز{\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}يشبه تمامًا R k ⊂ R n ، معك=خافت⁡(ح){\displaystyle k=\dim({\mathfrak {h}})}ون=خافت⁡(ز){\displaystyle n=\dim({\mathfrak {g}})}وهكذا، فقد عرضنا " نظام إحداثيات مقطعي " حيث يبدو H ⊂ G محليًا مثل R k ⊂ R n ، وهو شرط وجود فضاء فرعي مضمن. [ 9 ]

تجدر الإشارة إلى أن روسمان يوضح أنه لأي مجموعة جزئية H من G (ليست بالضرورة مغلقة)، فإن جبر ليح{\displaystyle {\mathfrak {h}}}من H هو جبر لي فرعي منز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}[ 10 ] ثم يُقدّم روسمان إحداثيات [ 11 ] على H تجعل المكون المحايد لـ H زمرة لي. إن الطوبولوجيا على H الناتجة عن هذه الإحداثيات ليست طوبولوجيا المجموعات الجزئية. أي أن المكون المحايد لـ H هو فضاء جزئي مغمور من G ولكنه ليس فضاءً جزئيًا مُضمّنًا.

على وجه الخصوص، فإن اللمة المذكورة أعلاه لا تنطبق إذا لم تكن H مغلقة.

مثال على مجموعة فرعية غير مغلقة

السطح الحلقي G. تخيل حلزونًا منحنيًا موضوعًا على السطح الذي يمثل H. إذا كان a = p ⁄ q في أبسط صورة، فإن الحلزون سينغلق على نفسه عند النقطة (1, 1) بعد p دورة في φ و q دورة في θ . أما إذا كان a عددًا غير نسبي، فإن الحلزون يلتف إلى ما لا نهاية.

للحصول على مثال على مجموعة فرعية ليست مجموعة فرعية لي مضمنة، ضع في اعتبارك الطارة و" اللف غير العقلاني للطارة ". جي=تي2={(هـ2πأناθ00هـ2πأناϕ)|θ،ϕ∈R}،{\displaystyle G=\mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{pmatrix}}\right|\theta ,\phi \in \mathbf {R} \right\},} ومجموعتها الفرعية ح={(هـ2πأناθ00هـ2πأناأθ)|θ∈R}باستخدام جبر لي ح={(أناθ00أناأθ)|θ∈R}،{\displaystyle H=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\}{\text{with Lie algebra }}{\mathfrak {h}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}i\theta &0\\0&ia\theta \end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbf {R} \right\},} مع عدد غير نسبي. عندئذٍ، تكون H كثيفة في G ، وبالتالي فهي ليست مغلقة. [ 12 ] في الطوبولوجيا النسبية ، تتكون مجموعة فرعية مفتوحة صغيرة من H من عدد لا نهائي من القطع المستقيمة المتوازية تقريبًا على سطح الطارة. هذا يعني أن H ليست متصلة مساريًا محليًا . في طوبولوجيا المجموعة، تكون المجموعات المفتوحة الصغيرة عبارة عن قطع مستقيمة مفردة على سطح الطارة، وتكون H متصلة مساريًا محليًا.

يُبيّن المثال أنه بالنسبة لبعض المجموعات H ، يُمكن إيجاد نقاط في جوار صغير U في الطوبولوجيا النسبية τr للمجموعة المحايد، وهي دوال أسية لعناصر h ، ومع ذلك لا يُمكن ربطها بالمجموعة المحايد بمسار يقع ضمن U. [ 13 ] المجموعة ( H , τr ) ليست مجموعة لي. على الرغم من أن التطبيق exp  : h → ( H , τr ) تقابل تحليلي، إلا أن معكوسه غير متصل. أي، إذا كانت U ⊂ h تُقابل فترة مفتوحة صغيرة −ε < θ < ε ، فلا توجد فترة مفتوحة V ⊂ ( H , τr ) بحيث يكون log ( V ) ⊂ U بسبب ظهور المجموعات V. مع ذلك ، باستخدام طوبولوجيا المجموعة τg ، تُصبح ( H , τg ) مجموعة لي. في هذه الطوبولوجيا، يُعدّ التطبيق الحقني ι  : ( H , τg ) → G غمرًا تحليليًا حقنيًا ، ولكنه ليس تماثلًا شكليًا ، وبالتالي ليس تضمينًا. توجد أيضًا أمثلة على مجموعات H يمكن إيجاد نقاط فيها ، ضمن جوار صغير جدًا (في الطوبولوجيا النسبية) للعنصر المحايد، لا تمثل دوالًا أسية لعناصر h . [ 14 ] أما بالنسبة للمجموعات الفرعية المغلقة، فلا ينطبق هذا، كما يُبين برهان النظرية أدناه.

التطبيقات

بسبب نتيجة النظرية، اختار بعض المؤلفين تعريف زمر لي الخطية أو زمر لي المصفوفية على أنها زمر جزئية مغلقة من GL( n , R ) أو GL( n , C ) . [ 15 ] في هذا السياق، يُثبت أن كل عنصر من عناصر الزمرة قريب بما فيه الكفاية من العنصر المحايد هو الأسي لعنصر من عناصر جبر لي. [ 8 ] (البرهان مطابق عمليًا لبرهان نظرية الزمرة الجزئية المغلقة المعروضة أدناه). ويترتب على ذلك أن كل زمرة جزئية مغلقة هي فضاء جزئي مضمن من GL( n , C ). [ 16 ]

تنص نظرية بناء الفضاء المتجانس على أنه إذا كانت H ⊂ G زمرة لي مغلقة ، فإن G / H ، وهو فضاء المشاركة اليسرى، يمتلك بنية متعددة الشعب حقيقية تحليلية فريدة بحيث يكون تطبيق القسمة π : G → G / H غمرًا تحليليًا . ويحول الفعل الأيسر المعطى بالعلاقة g₁ ⋅ ( g₂H ) = ( g₁ g₂ ) H ، ​​G / H إلى فضاء G متجانس .

تُبسط نظرية الزمرة الجزئية المغلقة الفرضيات بشكل كبير، مما يوسع مسبقًا فئة الفضاءات المتجانسة. كل زمرة جزئية مغلقة تُنتج فضاءً متجانسًا.

وبالمثل، فإن نظرية المجموعة الفرعية المغلقة تبسط الفرضية في النظرية التالية.

إذا كانت X مجموعة ذات تأثير مجموعة متعدية وكانت مجموعة التناظر أو مثبت النقطة x ∈ X عبارة عن مجموعة لي مغلقة، فإن X لها بنية متعددة الشعب ملساء فريدة بحيث يكون التأثير أملسًا.

شروط الإغلاق

فيما يلي بعض الشروط الكافية لكون H ⊂ G مغلقًا، وبالتالي مجموعة لي مضمنة.

  • جميع المجموعات الكلاسيكية مغلقة في GL( F , n ) ، حيث F هي R أو C أو H ، وهي الكواترنيونات .
  • تُسمى المجموعة الجزئية المغلقة محليًا بالمجموعة المغلقة. [ 17 ] وتكون المجموعة الجزئية مغلقة محليًا إذا كان لكل نقطة فيها جوار في U ⊂ G بحيث تكون H ∩ U مغلقة في U.
  • إذا كانت H = AB = { ab | a ∈ A , b ∈ B } ، حيث A زمرة متراصة و B مجموعة مغلقة، فإن H تكون مجموعة مغلقة. [ 18 ]
  • إذا كان h ⊂ g جبرًا جزئيًا من نوع Lie بحيث أنه لا يوجد X ∈ g ∖ h ، فإن [ X ، h ] ∈ h ، فإن Γ( h ) ، المجموعة المولدة بواسطة e h ، مغلقة في G . [ 19 ]
  • إذا كان X ∈ g ، فإن المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد المولدة بواسطة X لا تكون مغلقة إذا وفقط إذا كانت X مشابهة على C لمصفوفة قطرية ذات عنصرين بنسبة غير نسبية. [ 20 ]
  • ليكن h ⊂ g جبرًا جزئيًا من نوع لي . إذا وُجدت زمرة مدمجة بسيطة الاتصال k متماثلة مع h ، فإن Γ ( h ) تكون مغلقة في G. [ 21 ]
  • إذا كانت G متصلة ببساطة وكان h ⊂ g مثاليًا ، فإن مجموعة لي المتصلة ذات جبر لي h تكون مغلقة. [ 22 ]

كونفرس

تكون الزمرة الجزئية المضمنة H ⊂ G مغلقة [ 23 ]، لذا فإن الزمرة الجزئية تكون زمرة جزئية مضمنة من نوع لي إذا وفقط إذا كانت مغلقة. وبالمثل، تكون H زمرة جزئية مضمنة من نوع لي إذا وفقط إذا كانت طوبولوجيا زمرتها تساوي طوبولوجياها النسبية. [ 24 ]

دليل

أثبت جون فون نيومان في عام 1929 النظرية في حالة مجموعات المصفوفات كما هو موضح هنا. وقد كان بارزًا في العديد من المجالات، بما في ذلك ميكانيكا الكم ، ونظرية المجموعات ، وأسس الرياضيات .

يُقدَّم البرهان لمجموعات المصفوفات حيث G = GL( n , R ) من أجل التوضيح والبساطة النسبية، نظرًا لأن المصفوفات وتطبيقاتها الأسية مفاهيم أسهل منها في الحالة العامة. تاريخيًا، أُثبتت هذه الحالة أولًا على يد جون فون نيومان عام 1929، وألهمت كارتان لإثبات نظرية المجموعة الفرعية المغلقة الكاملة عام 1930. [ 5 ] [ 6 ] البرهان لـ G العامة مطابق شكليًا، [ 25 ] باستثناء أن عناصر جبر لي هي حقول متجهة ثابتة من اليسار على G، والتطبيق الأسي هو التدفق الزمني لواحد للحقل المتجه. إذا كانت H ⊂ G حيث G مغلقة في GL( n , R ) ، فإن H مغلقة في GL( n , R ) ، لذا فإن التخصيص إلى GL( n , R ) بدلًا من G ⊂ GL( n , R ) العشوائية لا يُحدث فرقًا كبيرًا.

برهان اللمة الرئيسية

نبدأ بتحديد الفكرة الرئيسية المذكورة في قسم "نظرة عامة" أعلاه.

لنُزوّد ​​g بضرب داخلي (مثل الضرب الداخلي لهيلبرت-شميدت )، ولنُعرّف h على أنه جبر لي لـ H ، حيث h = { X ∈ M n ( R ) = g | e tX ∈ H ∀ t ∈ R } . ولنُعرّف s = { S ∈ g | ( S , T ) = 0 ∀ T ∈ h } ، وهو المتمم المتعامد لـ h . عندئذٍ، يتحلل g إلى المجموع المباشر g = s ⊕ h ، وبالتالي يُمكن التعبير عن كل X ∈ g بشكل فريد على الصورة X = S + T ، حيث S ∈ s و T ∈ h .

عرّف تطبيقًا Φ  : g → GL( n , R ) كما يلي: ( S , T ) ↦ e S e T . قم بتوسيع الدوال الأسية، Φ(S،تي)=هـتSهـتتي=أنا+تS+تتي+يا(ت2)،{\displaystyle \Phi (S,T)=e^{tS}e^{tT}=I+tS+tT+O(t^{2}),} والمشتقة عند 0 ، Φ * ( S , T ) = d / dt Φ ( tS , tT ) | t = 0 ، تُعتبر S + T ، أي Φ * = Id ، وهي دالة التطابق. تتحقق فرضية نظرية الدالة العكسية مع كون Φ دالة تحليلية، وبالتالي توجد مجموعات مفتوحة U1 ⊂ g و V1 ⊂ GL ( n , R ) حيث 0 ∈ U1 و I ∈ V1 ، بحيث تكون Φ تقابلًا حقيقيًا تحليليًا من U1 إلى V1 مع دالة عكسية تحليلية . يبقى إثبات أن U1 و V1 تحتويان على مجموعتين مفتوحتين U و V بحيث تتحقق نتيجة النظرية.

لنفترض أساس جوار قابل للعد Β عند 0 ∈ g ، مرتب خطيًا بالاحتواء العكسي مع B1 ⊂ U1 . [ أ ] لنفترض ، لغرض الحصول على تناقض، أنه لكل i ، فإن Φ ( Bi ) ∩ H يحتوي على عنصر hi ليس على الصورة hi = eTi ، حيث Ti ∈ h . إذن، بما أن Φ تقابل على Bi ، فهناك متتالية وحيدة Xi = Si + Ti ، حيث 0 ≠ Si ∈ s و Ti ∈ h ، بحيث تتقارب Xi ∈ Bi إلى 0 لأن Β أساس جوار ، مع eSi eTi = hi . بما أن eTi ∈ H و hi ∈ H ، فإن eSi ∈ H أيضًا .

لنقم بتطبيع المتتالية في s ، Yᵢ = Si / || Sᵢ || . تأخذ هذه المتتالية قيمها في كرة الوحدة في s ، ولأنها متراصة ، توجد متتالية جزئية متقاربة تتقارب إلى Y ∈ s . [ 26 ] يشير الدليل i من الآن فصاعدًا إلى هذه المتتالية الجزئية. سيتم إثبات أن eᵗY ∈ H ، لكل t ∈ R. لنثبت t ونختار متتالية من الأعداد الصحيحة mᵢ بحيث يكون mᵢ || Sᵢ || → t عندما i → ∞ . على سبيل المثال، mᵢ بحيث يكون mᵢ || Sᵢ || ≤ t ≤ ( mᵢ + 1 ) || Sᵢ|| مناسبًا ، عندما Si → 0. ثم(هـSأنا)مأنا=هـمأناSأنا=هـمأنا‖Sأنا‖Yأنا→هـتY.{\displaystyle (e^{S_{i}})^{m_{i}}=e^{m_{i}S_{i}}=e^{m_{i}\|S_{i}\|Y_{i}}\rightarrow e^{tY}.}

بما أن H زمرة، فإن الطرف الأيسر ينتمي إلى H لكل i . ولأن H زمرة مغلقة، فإن e tY ∈ H ، لكل t ، [ 27 ] وبالتالي Y ∈ h . وهذا تناقض. لذا، بالنسبة لبعض i، تحقق المجموعتان U = Β i و V = Φ(Β i ) المعادلة e U ∩ h = H ∩ V ، والدالة الأسية المقيدة بالمجموعة المفتوحة ( U ∩ h ) ⊂ h تقابلًا تحليليًا مع المجموعة المفتوحة Φ( U ) ∩ H ⊂ H. وهذا يثبت اللمة.

برهان النظرية

لكل j ≥ i ، تُشكّل صورة Bj في H تحت تأثير Φ أساسًا للجوار عند I. وهذا الأساس، بحسب طريقة بنائه، أساس جوار في كلٍّ من طوبولوجيا المجموعة والطوبولوجيا النسبية . ولأن الضرب في G تحليلي، فإن الإزاحة اليسرى واليمنى لهذا الأساس الجواري بواسطة عنصر المجموعة g ∈ G تُعطي أساس جوار عند g . هذه الأسس، عند تقييدها في H، تُعطي أسس جوار عند كل h ∈ H. والطوبولوجيا المُولّدة من هذه الأسس هي الطوبولوجيا النسبية. والخلاصة أن الطوبولوجيا النسبية هي نفسها طوبولوجيا المجموعة.

بعد ذلك، ننشئ مخططات إحداثيات على H. نبدأ بتعريف φ₁ : e ( U ) ⊂ G → g ، حيث g ↦ log( g )  . هذا تقابل تحليلي مع معكوس تحليلي. علاوة على ذلك، إذا كان h ∈ H ، فإن φ₁ ( h ) ∈ h . بتحديد أساس لـ g = h ⊕ s وتعريف g بـ Rⁿ ، فإن φ₁ ( h ) في هذه الإحداثيات = ( x₁ ( h ), ..., xₘ ( h ), 0, ..., 0) ، حيث m هو بُعد h . هذا يُظهر أن ( eU , φ₁ ) هو مخطط شرائح . بترجمة المخططات المُستخرجة من أساس الجوار القابل للعد المُستخدم أعلاه، نحصل على مخططات شرائح حول كل نقطة في H. هذا يُظهر أن H هو فضاء فرعي مُضمّن من G.

علاوة على ذلك، فإن عمليتي الضرب m والانعكاس i في H هما عمليتان تحليليتان، لأن هاتين العمليتين تحليليتان في G ، كما أن التقييد على فضاء فرعي (مضمن أو مغمور) ذي طوبولوجيا نسبية ينتج عنه عمليتان تحليليتان m  : H × H → G و i  : H × H → G. [ 28 ] ولكن بما أن H مضمنة، فإن m  : H × H → H و i  : H × H → H هما عمليتان تحليليتان أيضًا. [ 29 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ لهذا يمكن اختيار كرات مفتوحة، Β = { B k | diam( B k ) = 1 / k + m , k ∈ N } لبعض m كبيرة بما يكفي بحيث B 1 ⊂ U 1. هنا يتم استخدام المقياس الذي تم الحصول عليه من الضرب الداخلي لهيلبرت -شميدت.

الاقتباسات

  1. ↑ لي 2003 ، النظرية 20.10. لي يذكر ويثبت هذه النظرية بشكل عام.
  2. ↑ روسمان 2002 ، النظرية 1، القسم 2.7: يذكر روسمان النظرية الخاصة بالمجموعات الخطية. وتنص على أنه يوجد مجموعة جزئية مفتوحة U ⊂ g بحيث يكون U × H → G ، و ( X , H ) → eXH تقابلًا تحليليًا على جوار مفتوح لـ H في G.
  3. ↑ هول 2015 ، بالنسبة للمجموعات الخطية، يثبت هول نتيجة مماثلة في النتيجة 3.45.
  4. ↑ كارتان 1930 ، § 26.
  5. 1 2 فون نيومان 1929 .
  6. 1 2 بوخنر 1958 .
  7. ↑ هول 2015 ، النظرية 3.20.
  8. 1 2 هول 2015 ، النظرية 3.42.
  9. ↑ لي 2003 ، الفصل 5.
  10. ↑ روسمان 2002 ، الفصل 2، الاقتراح 1 والنتيجة 7.
  11. ↑ روسمان 2002 ، القسم 2.3.
  12. ↑ لي 2003 ، مثال 7.3.
  13. ↑ روسمان 2002 ، انظر التعليق على النتيجة 5، القسم 2.2.
  14. ↑ روسمان 2002 .
  15. ↑ انظر هول 2015. انظر التعريف في الفصل 1.
  16. ↑ هول 2015 ، النتيجة 3.45.
  17. ↑ روسمان 2002 ، المسألة 1. القسم 2.7.
  18. ↑ روسمان 2002 ، المسألة 3. القسم 2.7.
  19. ↑ روسمان 2002 ، المسألة 4. القسم 2.7.
  20. ↑ روسمان 2002 ، المسألة 5. القسم 2.7.
  21. ↑ هول 2015 ، النتيجة تتبع من النظرية 5.6.
  22. ↑ هول 2015 ، التمرين 14 في الفصل 5.
  23. ↑ لي 2003 ، النتيجة 15.30 (أو 8.30 في 978-0-387-95448-6 978-0-387-21752-9).
  24. ↑ روسمان 2002 ، المسألة 2. القسم 2.7.
  25. ↑ انظر على سبيل المثال لي 2003 الفصل 21
  26. ↑ ويلارد 1970 ، بحسب المسألة 17G، فإن s مضغوطة تسلسليًا، مما يعني أن كل تسلسل له تسلسل فرعي متقارب.
  27. ↑ ويلارد 1970 ، النتيجة 10.5.
  28. ↑ لي 2003 ، الاقتراح 8.22.
  29. ↑ لي 2003 ، النتيجة 8.25.

مراجع

  • بوخنر، س. ( 1958)، "جون فون نيومان 1903-1957" (ملف PDF) ، مذكرات السيرة الذاتية للأكاديمية الوطنية للعلوم : 438-456انظر على وجه الخصوص الصفحة  441 .
  • كارتان ، إيلي (1930) ، “La théorie des groupes Finis et continus et l’ Analysis Situs “، Mémorial Sc. الرياضيات. ، المجلد.  الثاني والأربعون، ص 1 – 61 
  • هول، برايان سي. (2015)، زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  222 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 978-3319134666
  • لي، جيه إم (2003)، مقدمة في المشعبات الملساء ، نصوص سبرينغر للدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  218، رقم ISBN 0-387-95448-1
  • روسمان، وولف (2002)، زمر لي - مقدمة من خلال الزمر الخطية ، نصوص أكسفورد للدراسات العليا في الرياضيات، منشورات أكسفورد للعلوم، رقم ISBN 0-19-859683-9
  • von Neumann، John (1929)، “Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen الخطي Transformationen und ihrer Darstellungen”، Mathematische Zeitschrift (في الألمانية)، 30 (1): 3– 42، دوى : 10.1007 / BF01187749 ، S2CID 122565679 
  • ويلارد، ستيفن (1970)، الطوبولوجيا العامة ، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-43479-6