المبدل

في الرياضيات ، يعطي المُبدِّل إشارة إلى مدى فشل عملية ثنائية معينة في أن تكون تبديلية . هناك تعريفات مختلفة مستخدمة في نظرية المجموعة ونظرية الحلقة .

المبدل لعنصرين g و h من المجموعة G هو العنصر

[ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh .

هذا العنصر يساوي هوية المجموعة إذا وفقط إذا تم تبديل g و h (أي إذا وفقط إذا gh = hg ).

لا تكون مجموعة جميع المبدلات لمجموعة مغلقة بشكل عام تحت عملية المجموعة، ولكن المجموعة الفرعية لـ G التي تولدها جميع المبدلات تكون مغلقة وتسمى المجموعة المشتقة أو المجموعة الفرعية للمبدل لـ G. تُستخدم المبدلات لتحديد المجموعات القابلة للحل والمجموعات غير القابلة للحل وأكبر مجموعة حاصل أبيلي .

تم استخدام تعريف المبدل أعلاه في جميع أنحاء هذه المقالة، ولكن العديد من منظري المجموعة يعرّفون المبدل على أنه

[ g , h ] = ghg ^​​−1 h ⁻¹ . ^{[1] [2]}

وباستخدام التعريف الأول، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي [ g ⁻¹ ، h ⁻¹ ] .

تعتبر هويات المبدل أداة مهمة في نظرية المجموعة . ^[3] يشير التعبير a ^x إلى مرافق a بواسطة x ، والذي يتم تعريفه على أنه x ⁻¹ ax .

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$و${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$و${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$و${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

تُعرف الهوية (5) أيضًا باسم هوية هول-ويت ، نسبةً إلى فيليب هول وإرنست ويت . وهي نظير نظري للمجموعة لهوية جاكوبي للمبدل النظري الحلقي (انظر القسم التالي).

ملاحظة: يستخدم بعض منظري المجموعات التعريف أعلاه لمرافق a بواسطة x . ^[4] يعرف العديد من منظري المجموعات الآخرين مرافق a بواسطة x على أنه xax ⁻¹ . ^[5] غالبًا ما يُكتب هذا . تنطبق هويات مماثلة على هذه الاتفاقيات. ${\displaystyle {}^{x}a}$

تُستخدم أيضًا العديد من الهويات التي تكون صحيحة modulo مجموعات فرعية معينة. ويمكن أن تكون مفيدة بشكل خاص في دراسة المجموعات القابلة للحل والمجموعات غير ذات القدرة . على سبيل المثال، في أي مجموعة، تتصرف القوى الثانية بشكل جيد:

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

إذا كانت المجموعة الفرعية المشتقة مركزية، إذن

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

غالبًا ما لا تدعم الحلقات القسمة. وبالتالي، يتم تعريف مُبدِّل عنصرين a و b من حلقة (أو أي جبر ارتباطي ) بشكل مختلف بواسطة

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

يكون المُبدِّل صفرًا إذا وفقط إذا كان a و b يتبادلان. في الجبر الخطي ، إذا تم تمثيل شكلين داخليين لمساحة ما بواسطة مصفوفات تبديل من حيث أساس واحد، فسيتم تمثيلهما من حيث كل الأساسات. باستخدام المُبدِّل كقوس لي ، يمكن تحويل كل جبر ارتباطي إلى جبر لي .

يتم تعريف المبدل المضاد لعنصرين a و b من حلقة أو الجبر الترابطي بواسطة

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

يُستخدم أحيانًا للإشارة إلى المبدل المضاد، بينما يُستخدم بعد ذلك للمبدل. ^[6] يُستخدم المبدل المضاد بشكل أقل، ولكن يمكن استخدامه لتحديد جبر كليفورد وجبر جوردان وفي اشتقاق معادلة ديراك في فيزياء الجسيمات . ${\displaystyle [a,b]_{+}}$${\displaystyle [a,b]_{-}}$

إن مُبدِّل مشغلين يعملان على فضاء هيلبرت هو مفهوم مركزي في ميكانيكا الكم ، لأنه يقيس مدى جودة قياس الملاحظتين الموصوفتين بواسطة هذين المشغلين في وقت واحد. إن مبدأ عدم اليقين هو في النهاية نظرية حول مثل هذه المُبدِّلات، بموجب علاقة روبرتسون-شرودنجر . ^[7] في فضاء الطور ، تُسمى المُبدِّلات المكافئة لمنتجات النجوم الوظيفية أقواس مويال وهي متماثلة تمامًا مع هياكل مُبدِّل فضاء هيلبرت المذكورة.

يتمتع المبدل بالخصائص التالية:

1. ${\displaystyle [أ+ب،ج]=[أ،ج]+[ب،ج]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [أ، ب]=-[ب، أ]}$
4. ${\displaystyle [أ،[ب،ج]]+[ب،[ج،أ]]+[ج،[أ،ب]]=0}$

تسمى العلاقة (3) بالتبادلية المضادة ، بينما (4) هي متطابقة جاكوبي .

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [أ، ب+ج]=[أ، ب]+[أ، ج]}$
8. ${\displaystyle [أ+ب، ج+د]=[أ، ج]+[أ، د]+[ب، ج]+[ب، د]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[أ، ج]، [ب، د]]=[[أ، ب]، ج]، د]+[[[ب، ج]، د]، أ]+[[[ج، د]، أ]، ب]+[[[د، أ]، ب]، ج]}$

إذا كانت A عنصرًا ثابتًا في حلقة R ، فيمكن تفسير المتطابقة (1) على أنها قاعدة لايبنيز للخريطة المعطاة بواسطة . بعبارة أخرى، تحدد الخريطة ad _A اشتقاقًا على الحلقة R . تمثل المتطابقات (2)، (3) قواعد لايبنيز لأكثر من عاملين ، وهي صالحة لأي اشتقاق. يمكن أيضًا تفسير المتطابقات (4) - (6) على أنها قواعد لايبنيز. تعبر المتطابقات (7)، (8) عن ثنائية الخطية Z.${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

من المتطابقة (9)، نجد أن مُبدِّل القوى الصحيحة لعناصر الحلقة هو:

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _ {م=0}^{M-1}ب^{ن}أ^{م[أ،ب]أ^{ن-1}ب^{مم-1}}$

يمكن تمديد بعض الهويات المذكورة أعلاه إلى المبدل المضاد باستخدام تدوين ± الموجود أعلاه. ^[8] على سبيل المثال:

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[أ، ب]، [ج، د]]=[[[ب، ج]_{+}، أ]_{+}، د]-[[[ب، د]_{+}، أ]_{+}، ج]+[[[أ، د]_{+}، ب]_{+}، ج]-[[[أ، ج]_{+}، ب]_{+}، د]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

خذ في الاعتبار حلقة أو جبرًا يمكن فيه تعريف الأس بطريقة ذات معنى، مثل جبر باناخ أو حلقة من سلسلة القوى الرسمية . ${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

في مثل هذه الحلقة، يعطي تطبيق مبرهنة هادامارد على المبدلات المتداخلة ما يلي: (بالنسبة للتعبير الأخير، راجع الاشتقاق المرافق أدناه.) تشكل هذه الصيغة أساس توسع بيكر-كامبل-هاوسدورف لـ log(exp( A ) exp( B )). ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

يعبر التوسع المماثل عن مبدل المجموعة للتعبيرات (على غرار عناصر مجموعة لي ) من حيث سلسلة من المبدلات المتداخلة (أقواس لي)، ${\displaystyle e^{A}}$$${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

عند التعامل مع الجبر المتدرج ، يتم استبدال المبدل عادةً بالمبدل المتدرج ، المحدد في المكونات المتجانسة على النحو التالي

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

وخاصة إذا كان المرء يتعامل مع عدة محولات في حلقة R ، فإن تدوينًا آخر قد يكون مفيدًا. بالنسبة لعنصر ، نقوم بتعريف تعيين المرافق من خلال: ${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

هذه الخريطة هي اشتقاق للحلقة R :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

من خلال هوية جاكوبي ، فهي أيضًا اشتقاق لعملية التبديل:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

عند تكوين مثل هذه التعيينات، نحصل على سبيل المثال و يمكننا اعتبار نفسها تعيينًا ، حيث تكون حلقة التعيينات من R إلى نفسها مع التكوين كعملية ضرب. إذن، تكون تماثلية جبر لاي ، مع الحفاظ على المبدل: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$${\displaystyle \mathrm {ad} }$${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

على النقيض من ذلك، فإنه ليس دائمًا تماثل حلقي: عادةً . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

يمكن كتابة قاعدة لايبنتز العامة ، وهي توسيع المشتقات المتكررة للحاصل، بطريقة مجردة باستخدام التمثيل المرافق:

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

بالاستبدال بمشغل التفاضل ، وبمشغل الضرب ، نحصل على ، وبتطبيق كلا الطرفين على الدالة g ، تصبح المتطابقة هي قاعدة لايبنيز المعتادة للمشتقة رقم n . ${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle y}$${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

• مقاومة التغيير
• مُرَابط
• صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف
• علاقة التبديل الكنسية
• المُركزي أو المُتبادِل
• الاستنباط (الجبر المجرد)
• قوس مويال
• مشتق بينشرل
• قوس بواسون
• مُبدِّل ثلاثي
• ثلاث مجموعات فرعية

• فرالي، جون ب. (1976)، دورة أولى في الجبر المجرد (الطبعة الثانية)، القراءة: أديسون ويسلي ، رقم ISBN 0-201-01984-1
• جريفثس، ديفيد ج. (2004)، مقدمة في ميكانيكا الكم (الطبعة الثانية)، برنتيس هول ، رقم ISBN 0-13-805326-X
• هيرشتاين، إن (1975)، موضوعات في الجبر (الطبعة الثانية)، وايلي، رقم ISBN 0471010901
• لافروف، ب.م. (2014)، "هويات من نوع جاكوبي في الجبر والجبر الفائق"، الفيزياء النظرية والرياضية ، 179 (2): 550-558، arXiv : 1304.5050 ، رمز Bibcode : 2014TMP...179..550L، doi : 10.1007/s11232-014-0161-2، S2CID  119175276
• ليبوف، ريتشارد ل. (2003)، ميكانيكا الكم التمهيدية (الطبعة الرابعة)، أديسون ويسلي ، ISBN 0-8053-8714-5
• ماكاي، سوزان (2000)، مجموعات p المحدودة ، ملاحظات كوين ماري للرياضيات، المجلد 18، جامعة لندن ، رقم ISBN 978-0-902480-17-9السيد 1802994 ​
• ماكماهون، د. (2008)، نظرية المجال الكمومي ، ماكجرو هيل ، ISBN 978-0-07-154382-8

• McKenzie, R .; Snow, J. (2005), "Congruence modular variety: commutator theory", in Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (eds.), Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra , NATO Science Series II, vol. 207, Springer, pp. 273–329, doi :10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN 9781402038174

• "المبدل"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]