فئة الخرسانة

في الرياضيات ، تُعرَّف الفئة الملموسة بأنها فئة مزودة بدالة أمينة لفئة المجموعات (أو أحيانًا لفئة أخرى). تُمكّن هذه الدالة من اعتبار عناصر الفئة مجموعات ذات بنية إضافية ، وتصور تشاكلاتها دوالًا تحافظ على البنية. للعديد من الفئات المهمة تفسيرات واضحة كفئات ملموسة، مثل فئة الفضاءات الطوبولوجية وفئة الزمر ، وبالطبع فئة المجموعات نفسها. من جهة أخرى، فإن فئة التماثل الطوبولوجي للفضاءات الطوبولوجية غير قابلة للتجسيد ، أي أنها لا تقبل دالة أمينة لفئة المجموعات.

تتألف الفئة الملموسة، عند تعريفها دون الرجوع إلى مفهوم الفئة، من فئة من الكائنات ، كل منها مزود بمجموعة أساسية ؛ ولكل كائنين A و B، مجموعة من الدوال، تسمى التشاكلات ، من المجموعة الأساسية لـ A إلى المجموعة الأساسية لـ B. علاوة على ذلك، لكل كائن A ، يجب أن تكون دالة التطابق على المجموعة الأساسية لـ A تشاكلاً من A إلى A ، ويجب ^أن يكون تركيب تشاكل من A إلى B متبوعًا بتشاكل من B إلى C تشاكلاً من A إلى C. ^{[ 1} ]

الفئة الملموسة هي زوج ( C ، U ) بحيث

• C هي فئة، و
• U  : C → Set (فئة المجموعات والدوال) هي دالة أمينة .

يمكن اعتبار الدالة U في كثير من الأحيان دالة نسيان ، والتي تسند إلى كل كائن من C "مجموعته الأساسية"، وإلى كل تشاكل في C "دالته الأساسية".

من المعتاد تسمية التشكلات في فئة ملموسة بالتشكلات المتماثلة (مثل تشكلات المجموعة، تشكلات الحلقة، إلخ). وبسبب وفاء الدالة U ، يمكن تحديد تشكلات الفئة الملموسة رسميًا مع وظائفها الأساسية (أي صورها تحت U )؛ ثم تستعيد التشكلات التفسير المعتاد كوظائف "حافظة على البنية".

تُعتبر الفئة C قابلة للتجسيد إذا وُجدت فئة ملموسة ( C , U )؛ أي إذا وُجد مُؤثر أمين U : C → Set . جميع الفئات الصغيرة قابلة للتجسيد: عرّف U بحيث يُسقط جزء الكائن فيها كل كائن b من C على مجموعة جميع التشكلات في C التي مجالها المقابل هو b (أي جميع التشكلات من الشكل f : a → b لأي كائن a من C )، ويُسقط جزء التشكل فيها كل تشكل g : b → c من C على الدالة U ( g ): U ( b ) → U ( c ) التي تُسقط كل عنصر f : a → b من U ( b ) على التركيب gf : a → c ، وهو عنصر من U ( c ). (يُعبّر البند 6 في قسم "أمثلة إضافية" عن U نفسها بلغة أقل بدائية باستخدام الحزم المسبقة). يعرض قسم "الأمثلة المضادة" فئتين كبيرتين غير قابلتين للتجسيد. 

خلافًا للبديهة، فإنّ التجسيد ليس خاصيةً قد تُحققها أو لا تُحققها فئةٌ ما، بل هو بنيةٌ قد تُزوّد ​​بها الفئة أو لا تُزوّد ​​بها. على وجه الخصوص، قد تقبل الفئة C عدة دوال أمينة في المجموعة . وبالتالي، قد توجد عدة فئات مُجسّدة ( C , U ) تُقابل جميعها الفئة C نفسها . 

لكن عمليًا، غالبًا ما يكون اختيار الدالة الأمينة واضحًا، وفي هذه الحالة نتحدث ببساطة عن "الفئة الملموسة C ". على سبيل المثال، "الفئة الملموسة Set " تعني الزوج ( Set , I ) حيث I تشير إلى دالة التطابق Set → Set . 

يشترط أن تكون U أمينة، وهذا يعني أنها تُسقط تشاكلات مختلفة بين نفس الكائنات على دوال مختلفة. مع ذلك، قد تُسقط U كائنات مختلفة على نفس المجموعة، وفي هذه الحالة، ستُسقط أيضًا تشاكلات مختلفة على نفس الدالة.

على سبيل المثال، إذا كانت S و T بنيتين مختلفتين على نفس المجموعة X ، فإن ( X , S ) و ( X , T ) كائنان متميزان في فئة Top للفضاءات الطوبولوجية والخرائط المتصلة، ولكنهما مُسقطان على نفس المجموعة X بواسطة الدالة النسيانية Top → Set . علاوة على ذلك، يُعتبر كل من التشكل المتطابق ( X , S ) → ( X , S ) والتشكل المتطابق ( X , T ) → ( X , T ) تشكلين متميزين في Top ، لكن لهما نفس الدالة الأساسية، وهي دالة التطابق على X.      

وبالمثل، يمكن إعطاء أي مجموعة تحتوي على أربعة عناصر بنيتين غير متماثلتين للمجموعات: إحداهما متماثلة مع الأخرى.${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$والآخر متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$.

توجد بعض الفئات الملموسة التي لا يوجد فيها مُؤثر نسياني في المجموعة ؛ على سبيل المثال، الفئة Set _⟂ ، وهي فئة المجموعات التي تحتوي على دوال جزئية كتشاكلات. تُعد هذه الفئة ملموسة عند تزويدها بالمؤثر U  : Set _⟂ → Set بحيث يكون U (X) = X + { * }، والذي يُضيف إلى كل مجموعة نقطة منفصلة ويُرسل كل دالة جزئية إلى الدالة الكلية التي تُسقط جميع النقاط غير المُعرّفة على النقطة الجديدة، * .

1. يمكن اعتبار أي مجموعة G فئة "مجردة" ذات عنصر واحد عشوائي،${\displaystyle \ast }$، وتشكل واحد لكل عنصر من عناصر المجموعة. لا يُعتبر هذا شكلاً ملموساً وفقاً للمفهوم البديهي المذكور في بداية هذه المقالة. لكن كل مجموعة G أمينة (أو ما يعادلها، كل تمثيل لـ G كمجموعة من التباديل ) يُحدد دالة أمينة G → Set . وبما أن كل مجموعة تعمل بأمانة على نفسها، فإنه يُمكن تحويل G إلى فئة ملموسة بطريقة واحدة على الأقل.
2. وبالمثل، يمكن اعتبار أي مجموعة جزئية مرتبة P فئة مجردة ذات سهم وحيد x → y عندما يكون x ≤ y . ويمكن تجسيد ذلك بتعريف دالة D  : P → Set التي تربط كل عنصر x بـ${\displaystyle D(x)=\{a\in P:a\leq x\}}$وكل سهم x → y إلى خريطة التضمين${\displaystyle D(x)\hookrightarrow D(y)}$.
3. يمكن تجسيد الفئة Rel التي تكون عناصرها مجموعات وتشكلاتها علاقات ، وذلك بأخذ U لربط كل مجموعة X بمجموعة قواها.${\displaystyle 2^{X}}$وكل علاقة${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$إلى الوظيفة${\displaystyle \rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}}$محدد بواسطة${\displaystyle \rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}}$بملاحظة أن مجموعات القوى هي شبكات كاملة تحت التضمين، فإن الدوال التي تنشأ بينها من علاقة R بهذه الطريقة هي تحديدًا الدوال الحافظة للقيمة العليا . وبالتالي ، فإن Rel مكافئة لفئة فرعية كاملة من فئة Sup للشبكات الكاملة ودوالها الحافظة للقيمة العليا. وعلى العكس، انطلاقًا من هذا التكافؤ، يمكننا استعادة U باعتبارها الدالة المركبة Rel → Sup → Set للدالة النسيانية لـ Sup مع هذا التضمين لـ Rel في Sup .
4. يمكن تضمين الفئة Set ^{op في} Rel بتمثيل كل مجموعة على أنها نفسها، وكل دالة f : X → Y على أنها العلاقة من Y إلى X المُشكَّلة كمجموعة الأزواج ( f ( x ), x ) لكل x ∈ X ؛ وبالتالي، فإن Set ^op قابلة للتجسيد. والدالة النسيانية التي تنشأ بهذه الطريقة هي دالة مجموعة القوى المتغيرة عكسيًا Set ^op → Set .
5. ويترتب على المثال السابق أن عكس أي فئة قابلة للتجسيد C قابل للتجسيد مرة أخرى، لأنه إذا كان U دالة أمينة C → Set، فإن C ^op يمكن تجهيزها بالتركيب C ^op → Set ^op → Set .
6. إذا كانت C أي فئة صغيرة، فإنه يوجد دالة أمينة P  : Set ^{C op} → Set تُسقط حزمة مسبقة X على الضرب المشترك${\displaystyle \coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)}$. من خلال تركيب هذا مع تضمين يونيدا Y : C → Set ^{C op،} نحصل على دالة أمينة C → Set .
7. لأسباب فنية، غالبًا ما يتم تجهيز فئة Ban ₁ من فضاءات باناخ والانكماشات الخطية ليس بالدالة النسيانية "الواضحة" ولكن بالدالة U ₁  : Ban ₁ → Set التي تربط فضاء باناخ بكرة الوحدة (المغلقة) الخاصة به .
8. يمكن تجسيد الفئة C، التي تتكون عناصرها من فئات صغيرة وتكون تشاكلاتها دوالًا، عن طريق إرسال كل فئة C إلى المجموعة التي تحتوي على عناصرها وتشاكلاتها. ويمكن النظر إلى الدوال ببساطة على أنها دوال تعمل على العناصر والتشاكلات.

تُعدّ الفئة hTop ، حيث تكون العناصر فضاءات طوبولوجية والتشاكلات فئات تماثلية للدوال المتصلة، مثالًا على فئة غير قابلة للتجسيد. فبينما تكون العناصر مجموعات (ذات بنية إضافية)، فإن التشاكلات ليست دوالًا فعلية بينها، بل فئات من الدوال. وقد أثبت بيتر فرايد لأول مرة عدم وجود دالة أمينة من hTop إلى Set . وفي المقالة نفسها، يستشهد فرايد بنتيجة سابقة مفادها أن فئة "الفئات الصغيرة وفئات التكافؤ الطبيعية للدوال" غير قابلة للتجسيد أيضًا.

بفرض وجود فئة محددة ( C ، U ) وعدد أصلي N ، ولتكن U  N هي الدالة C → Set المحددة بواسطة U N (c) = (U(c)) N . عندئذٍ، تُسمى الدالة الجزئية من U N محمولًا من الرتبة N ، ويُسمى التحويل الطبيعي U N  → U عملية من الرتبة N. 

تشكل فئة جميع المسندات والعمليات من الرتبة N لفئة محددة ( C ، U ) ، حيث N تشمل فئة جميع الأعداد الأصلية، توقيعًا كبيرًا . وتحتوي فئة النماذج لهذا التوقيع على فئة فرعية كاملة مكافئة لـ C.

في بعض فروع نظرية الفئات، ولا سيما نظرية التوبوس ، يشيع استبدال الفئة Set بفئة أخرى X ، تُسمى غالبًا الفئة الأساسية . ولهذا السبب، من المنطقي تسمية الزوج ( C , U )، حيث C فئة و U دالة أمينة C → X، بفئة ملموسة فوق X. على سبيل المثال، قد يكون من المفيد اعتبار نماذج نظرية ذات N نوعًا بمثابة فئة ملموسة فوق Set ^N. 

في هذا السياق، يُطلق أحيانًا على الفئة الملموسة فوق المجموعة اسم البناء .