توبوس

في الرياضيات ، يُعرف فضاء غروتينديك ( بالإنجليزية: Grothendieck topos) (يُلفظ في الولايات المتحدة: /ˈtɒpɒs/ ، وفي المملكة المتحدة : / ˈtoʊpoʊs, ˈtoʊpɒs/ ؛ وجمعه : / ˈtɒpɔɪ / أو / ˈtoʊpɔɪ / ، أو toposes ) بأنه فئة تتصرف كفئة حزم المجموعات على فضاء طوبولوجي ( أو بشكل أعم ، على موقع ) . تتصرف فضاءات غروتينديك بشكل مشابه لفئة المجموعات ، وتمتلك مفهوم التموضع . [ 1 ] تُستخدم فضاءات ^{غروتينديك}^في الهندسة الجبرية ،^ويتم تعميمها بواسطة فضاءات أولية تُستخدم في المنطق .

يُطلق على المجال الرياضي الذي يدرس الطوبولوجيا اسم نظرية الطوبولوجيا .

مقدمة

منذ إدخال مفهوم الحزم إلى الرياضيات في أربعينيات القرن العشرين، كان أحد المحاور الرئيسية هو دراسة الفضاء من خلال دراسة الحزم الموجودة عليه. وقد طوّر ألكسندر غروتينديك هذه الفكرة من خلال تقديم مفهوم "الطوبولوجيا الطوبولوجية". تكمن الفائدة الأساسية لهذا المفهوم في وفرة الحالات الرياضية التي تكون فيها الاستدلالات الطوبولوجية فعّالة للغاية، ولكن يفتقر المجال إلى فضاء طوبولوجي دقيق؛ إذ يُمكن أحيانًا إيجاد طوبولوجيا تُضفي طابعًا رسميًا على الاستدلال. ومن الأمثلة المهمة على هذه الفكرة المنهجية الطوبولوجيا الإيتالية للمخطط . كما يُقدّم استخدام طوبولوجيات غروتينديك كـ"جسور" لربط النظريات، التي وإن كُتبت بلغات مختلفة تمامًا، إلا أنها تشترك في محتوى رياضي مشترك، دليلًا آخر على قدرتها على تجسيد "جوهر" مختلف المواقف الرياضية. ^[²^]^[³^]

تعريفات مكافئة

تصنيف غروتينديك هو فئة $C$ والتي تحقق أيًا من الخصائص الثلاث التالية. ( تنص نظرية جان جيرو على أن الخصائص أدناه متكافئة جميعها.)

هناك فئة صغيرة $D$ وإدراج $C\hookrightarrow \operatorname {Presh} (D)$ التي تقبل مرافقًا يساريًا يحافظ على النهاية المحدودة .
$C$ هي فئة من الحزم على موقع Grothendieck .
$C$ يفي بمسلمات جيرو، أدناه.

هنا $\operatorname {Presh} (D)$ يشير إلى فئة الدوال المتغيرة عكسيًا من $D$ إلى فئة المجموعات؛ يُطلق على هذا النوع من الدوال المتغايرة اسم الحزمة المسبقة .

بديهيات جيرو

بديهيات جيرو لفئة $C$ نكون:

$C$ تحتوي على مجموعة صغيرة من المولدات ، وتقبل جميع النهايات المشتركة الصغيرة . علاوة على ذلك، تتوزع منتجات الألياف على المنتجات المشتركة؛ أي، بالنظر إلى مجموعة $I$ ، أن $I$ - تعيين المنتجات المشتركة المفهرسة إلى $A$ ، وتشكل $A'\to A$ ، والتراجع هو $I$ الناتج المشترك المُفهرس لعمليات التراجع: $\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A').$
المجموع في $C$ منفصلة. بعبارة أخرى، ناتج الألياف من $X$ و $Y$ مجموعها هو الكائن الأولي في $C$ .
جميع علاقات التكافؤ في $C$ فعالة .

يحتاج المبدأ الأخير إلى شرحٍ مُطوّل. إذا كان X عنصرًا من C ، فإن "علاقة التكافؤ" R على X هي دالة R → X × X في C بحيث تُعطي الدالة المُستحثة Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) علاقة تكافؤ عادية على المجموعة Hom( Y , X ) لأي عنصر Y في C. بما أن C لها نهايات مشتركة، يُمكننا تكوين مُعادل مُشترك للدالتين R → X ؛ ونُسمّي هذا X / R . تكون علاقة التكافؤ "فعّالة" إذا كانت الدالة الأساسية

R\to X\times _{X/R}X\,\!

هو تماثل.

أمثلة

تُقدّم نظرية جيرو بالفعل "الحزم على المواقع" كقائمة كاملة من الأمثلة. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن المواقع غير المتكافئة غالبًا ما تُنتج فضاءات طوبولوجية متكافئة. وكما ذُكر في المقدمة، فإن الحزم على الفضاءات الطوبولوجية العادية تُحفّز العديد من التعريفات والنتائج الأساسية لنظرية الطوبولوجيا.

فئة المجموعات ومجموعات G

تُعدّ فئة المجموعات حالةً خاصةً مهمة، إذ تلعب دور النقطة في نظرية التوبوس. في الواقع، يمكن اعتبار المجموعة حزمةً على نقطة، لأنّ الدوالّ على فئة الأحاديّات التي تحتوي على عنصر واحد وتشاكل التطابق فقط هي مجموعات محددة في فئة المجموعات .

وبالمثل، هناك طوبوغرافيا $BG$ لأي مجموعة $G$ وهو ما يعادل فئة $G$ المجموعات. نبني هذا كفئة الحزم المسبقة على الفئة ذات العنصر الواحد، ولكن الآن تُعطى مجموعة التشكلات بواسطة المجموعة $G$ بما أن أي دالة يجب أن تعطي $G$ - الإجراء على الهدف، وهذا يعطي فئة $G$ -مجموعات. وبالمثل، بالنسبة لمجموعة جزئية ${\mathcal {G}}$ فئة الحصاد المسبق ${\mathcal {G}}$ يُعطي مجموعة من المجموعات المفهرسة بواسطة مجموعة الكائنات في ${\mathcal {G}}$ ، والتشكلات الذاتية للكائن في ${\mathcal {G}}$ له تأثير على هدف الدالة.

الأشكال من المساحات الحلقية

تأتي الأمثلة الأكثر غرابة، والسبب الرئيسي لنظرية التوبوس، من الهندسة الجبرية. المثال الأساسي للتوبوس هو توبوس زاريسكي للمخطط . لكل مخطط $X$ يوجد موقع ${\text{Open}}(X)$ (من الكائنات المعطاة بواسطة المجموعات الفرعية المفتوحة والتشاكلات المعطاة بواسطة التضمينات) التي تشكل فئة الحزم المسبقة الخاصة بها طوبولوجيا زاريسكي $(X)_{Zar}$ لكن بمجرد النظر في فئات متميزة من التشكلات، تظهر تعميمات متعددة لهذا المفهوم، مما يؤدي إلى رياضيات غير بديهية. علاوة على ذلك، توفر الطوبولوجيا الأساس لدراسة المخططات باعتبارها دوالًا على فئة الجبر.

يمكن ربط مخطط أو حتى مكدس بطوبولوجيا إيتال ، أو طوبولوجيا fppf ، أو طوبولوجيا نيسنيفيتش . ومن الأمثلة المهمة الأخرى على الطوبولوجيا الموقع البلوري . في حالة طوبولوجيا إيتال، تُشكل هذه الطوبولوجيا العناصر الأساسية للدراسة في الهندسة اللاأبيلية ، التي تدرس العناصر في الهندسة الجبرية التي تُحدد بالكامل من خلال بنية مجموعتها الأساسية الإيتالية .

الأمراض

تُعدّ نظرية التوبوس، من بعض النواحي، تعميمًا لطوبولوجيا المجموعات النقطية الكلاسيكية. لذا، يُتوقع وجود حالات قديمة وجديدة لسلوكيات شاذة . على سبيل المثال، هناك مثالٌ منسوبٌ إلى بيير ديلينيه لتوبوس غير تافه لا يحتوي على نقاط (انظر أدناه لتعريف نقاط التوبوس).

التشكلات الهندسية

لو $X$ و $Y$ هي طوبوي، وهي شكل هندسي $u:X\to Y$ هو زوج من الدوال المرافقة ( u ^* , u _* ) (حيث u ^* : Y → X هي الدالة المرافقة اليسرى لـ u _* : X → Y ) بحيث تحافظ u ^* على النهايات المحدودة. لاحظ أن u ^* تحافظ تلقائيًا على النهايات المشتركة نظرًا لوجود دالة مرافقة يمنى لها.

بحسب نظرية فريد للمُوَجِّه المُرافق ، فإن إعطاء تشاكل هندسي X → Y يعني إعطاء دالة u ^* : Y → X تحافظ على النهايات المحدودة وجميع النهايات المشتركة الصغيرة. وبالتالي، يمكن اعتبار التشاكلات الهندسية بين الطوبولوجيات نظائر لخرائط المواقع .

لو $X$ و $Y$ هي فضاءات طوبولوجية و $u$ إذا كانت دالة متصلة بينهما، فإن عمليات السحب والدفع على الحزم تُنتج تشاكلاً هندسياً بين الطوبولوجيات المرتبطة بالمواقع. ${\text{Open}}(X),{\text{Open}}(Y)$ .

نقاط التضاريس

نقطة من نقاط التضاريس $X$ يُعرَّف بأنه تشاكل هندسي من طوبولوجيا المجموعات إلى $X$ .

إذا كان X فضاءً عاديًا و x نقطةً فيه ، فإنّ الدالة التي تُحوّل حزمةً F إلى ساقها F _x لها مُرافق أيمن (دالة "حزمة ناطحة السحاب")، وبالتالي فإنّ أي نقطة عادية في X تُحدّد أيضًا نقطةً في نظرية الطوبولوجيا. ويمكن بناء هذه النقاط كعملية سحب-دفع للأمام على طول التطبيق المتصل x : 1 → X.

بالنسبة للطوبولوجيا الإيتالية $(X)_{et}$ مساحة $X$ النقطة هي شكل أكثر دقة من الكائن. بالنظر إلى نقطة $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ المخطط الأساسي $X$ نقطة $x'$ من التضاريس $(X)_{et}$ ثم يتم إعطاؤها بواسطة امتداد حقل قابل للفصل $k$ ل $\kappa (x)$ بحيث تكون الخريطة المرتبطة $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ العوامل من خلال النقطة الأصلية $x$ ثم، خريطة التحليل إلى عوامل ${\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))$ هو تشاكل إيتالي للمخططات.

بتعبير أدق، هذه هي النقاط العامة . وهي غير كافية بحد ذاتها لإظهار الجانب المكاني للطوبولوجيا، لأن الطوبولوجيا غير التافهة قد لا تحتوي على أي نقاط عامة. النقاط المعممة هي تشاكلات هندسية من طوبولوجيا Y ( مرحلة التعريف ) إلى X. يوجد منها ما يكفي لإظهار الجانب المكاني. على سبيل المثال، إذا كانت X هي الطوبولوجيا المصنفة S [ T ] لنظرية هندسية T ، فإن الخاصية العامة تنص على أن نقاطها هي نماذج T (في أي مرحلة من مراحل التعريف Y ).

التشكلات الهندسية الأساسية

يعتبر التشكل الهندسي ( u ^∗ , u _∗ ) ضروريًا إذا كان لـ u ^∗ مرافق أيسر إضافي u _! ، أو بشكل مكافئ (بحسب نظرية الدالة المرافقة) إذا كان u ^∗ لا يحافظ فقط على النهايات المحدودة ولكن على جميع النهايات الصغيرة.

طوبولوجيا حلقية

الطوبولوجيا الحلقية هي زوج ( X , R )، حيث X طوبولوجيا و R كائن حلقي تبديلي في X. معظم عمليات إنشاء الفضاءات الحلقية تنطبق على الطوبولوجيات الحلقية. فئة كائنات R -module في X هي فئة تبديلية تحتوي على عدد كافٍ من العناصر الحقنية. فئة تبديلية أكثر فائدة هي الفئة الفرعية لـ R -modules شبه المتماسكة : وهي R- modules التي تقبل تمثيلاً.

هناك فئة أخرى مهمة من الطوبولوجيا الحلقية، إلى جانب الفضاءات الحلقية، وهي الطوبولوجيا الإيتالية لمكدسات ديلين-مامفورد .

نظرية التماثل الطوبولوجي

ربط مايكل أرتين وباري مازور الموقع الأساسي لطوبولوجيا ما بمجموعة شبه تبسيطية (حتى التماثل ). ^{[ 4 ]} (من الأفضل النظر إليها في Ho(pro-SS)؛ انظر إدواردز). باستخدام هذا النظام العكسي للمجموعات التبسيطية، يمكن أحيانًا ربط نظام عكسي للثوابت في نظرية الطوبولوجيا بثابت التماثل في الطوبولوجيا الكلاسيكية. تُسمى دراسة المجموعة شبه التبسيطية المرتبطة بطوبولوجيا إيتال لمخطط ما بنظرية التماثل الإيتالي . ^{[ 5 ]} في الحالات الجيدة (إذا كان المخطط نوثريًا وأحادي التفرع هندسيًا )، تكون هذه المجموعة شبه التبسيطية شبه منتهية .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ إيلوسي 2004
↑ كاراميلو، أوليفيا (2016). طوبولوجيات غروتينديك كجسور موحدة في الرياضيات (PDF) (HDR). جامعة باريس ديدرو (باريس 7).
↑ كاراميلو، أوليفيا (2017). النظريات، المواقع، الطوبولوجيا: ربط ودراسة النظريات الرياضية من خلال "جسور" نظرية الطوبولوجيا . المجلد 1. مطبعة جامعة أكسفورد. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.
↑ آرتين، مايكل ؛ مازور، باري (1969). التماثل الإيتالي . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 100. سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/BFb0080957 . ISBN 978-3-540-36142-8.
↑ فريدلاندر، إريك م. (1982)، التماثل الإيتالي للمخططات التبسيطية ، دراسات حوليات الرياضيات، المجلد 104، مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-08317-9

مراجع

بعض الأوراق اللطيفة

إدواردز، د.أ.؛ هاستينغز، هـ.م. (صيف 1980). "نظرية تشيك: ماضيها وحاضرها ومستقبلها" (ملف PDF) . مجلة روكي ماونتن للرياضيات . 10 (3): 429-468 . doi : 10.1216/RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR 44236540 .
بايز، جون . "نظرية التوبوس باختصار" .مقدمة لطيفة.
ستيفن فيكرز : " Toposes pour les null " و" Toposes pour les vraiment nuls. " مقدمات أولية وأكثر أولية للموضوعات كمساحات معممة.
إيلوسي، لوك (2004). "ما هو... توبوس؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (9): 160-161 .

النصوص التالية عبارة عن مقدمات سهلة الفهم لمفاهيم التوبوس وأساسيات نظرية الفئات. وهي مناسبة لمن لديهم معرفة بسيطة بالمنطق الرياضي ونظرية المجموعات، حتى لغير المتخصصين في الرياضيات.

لوفير، ف. ويليام ؛ شانويل، ستيفن هـ. (1997). الرياضيات المفاهيمية: مقدمة أولية للفئات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-47817-5.مقدمة في التصنيفات لعلماء الحاسوب، وعلماء المنطق، وعلماء الفيزياء، وعلماء اللغة، وما إلى ذلك (مقتبس من نص الغلاف).
لوفير، ف. ويليام؛ روزبروغ، روبرت (2003). المجموعات في الرياضيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-01060-3.يقدم هذا الكتاب أسس الرياضيات من منظور تصنيفي.

العمل التأسيسي لغروتينديك حول المواضيع:

غروتينديك، أ . فيردير، جي إل (1972). Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas . مذكرة محاضرات في الرياضيات. المجلد. 269. سبرينغر. دوى : 10.1007/BFb0081551 . رقم ISBN 978-3-540-37549-4.المجلد 2، 270، doi : 10.1007/BFb0061319 ، ISBN 978-3-540-37987-4

تتضمن الدراسات التالية مقدمة لبعض أو كل نظرية التوبوس، لكنها لا تستهدف بالدرجة الأولى الطلاب المبتدئين. مرتبة حسب مستوى الصعوبة (المتوقع).

ماكلارتي، كولين (1992). التصنيفات الأولية، والطوبولوجيات الأولية . مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-158949-2.مقدمة رائعة لأساسيات نظرية الفئات، ونظرية التوبوس، ومنطق التوبوس. لا تتطلب سوى القليل من المتطلبات المسبقة.
جولدبلات، روبرت (2013) [1984]. توبوي: التحليل الفئوي للمنطق . شركة كورير. ISBN 978-0-486-31796-0. بداية جيدة. متوفر على الإنترنت في الصفحة الرئيسية لروبرت غولدبلات.
بيل، جون ل. (2001). "تطور المنطق الفئوي" . في: غاباي، د.م.؛ غوينتنر، فرانز (محرران). دليل المنطق الفلسفي . المجلد 12 ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 279 وما بعدها. ISBN 978-1-4020-3091-8.النسخة متاحة على الإنترنت في الصفحة الرئيسية لجون بيل.
ماكلين، سوندرز ؛ مورديك، إيكي (2012) [1994]. الحزم في الهندسة والمنطق: مقدمة أولية لنظرية التوبوس . سبرينغر. ISBN 978-1-4612-0927-0.أكثر اكتمالاً، وأكثر صعوبة في القراءة.
بار، مايكل ؛ ويلز، تشارلز (2013) [1985]. الطوبولوجيا، والثلاثيات، والنظريات . سبرينغر. ISBN 978-1-4899-0023-4.(النسخة الإلكترونية). أكثر إيجازًا من كتاب "الحزم في الهندسة والمنطق" ، ولكنه صعب على المبتدئين.

المراجع مخصصة للخبراء، وهي أقل ملاءمة للمبتدئين.

إدواردز، د.أ.؛ هاستينغز، هـ.م. (1976). نظريات تشيك وستينرود للتماثل مع تطبيقات في الطوبولوجيا الهندسية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 542. سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/BFb0081083 . ISBN 978-3-540-38103-7.
بورسي، فرانسيس (1994). دليل الجبر الفئوي: المجلد 3، نظرية الحزم . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 52. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-44180-3.الجزء الثالث من "تحفة بورسو الرائعة"، كما وصفه جونستون. لا يزال مناسبًا كمقدمة، مع أن المبتدئين قد يجدون صعوبة في تحديد النتائج الأكثر أهمية وسط الكم الهائل من المعلومات المقدمة.
جونستون، بيتر ت. (2014) [1977]. نظرية التوبوس . كوريير. ISBN 978-0-486-49336-7.لطالما كان هذا الكتاب مرجعاً أساسياً في نظرية التوبوس. ومع ذلك، حتى جونستون نفسه يصف هذا العمل بأنه "صعب القراءة للغاية، وليس لمن لا يملكون الصبر الكافي".
جونستون، بيتر ت. (2002). رسومات فيل: موسوعة نظرية التوبوس . المجلد 2. مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-851598-2.في أوائل عام 2010، كان اثنان من المجلدات الثلاثة المقرر إصدارها من هذه المجموعة الضخمة متاحين.
كاراميلو، أوليفيا (2017). النظريات، المواقع، الطوبولوجيا: ربط ودراسة النظريات الرياضية من خلال "جسور" نظرية الطوبولوجيا . المجلد 1. مطبعة جامعة أكسفورد. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.

كتب تستهدف تطبيقات خاصة لنظرية التوبوس

بيديكيو، ماريا كريستينا ؛ ثولين، والتر؛ روتا، جي سي، محرران. (2004). الأسس الفئوية: موضوعات خاصة في الترتيب، والطوبولوجيا، والجبر، ونظرية الحزم . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 97. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-83414-8.يتضمن العديد من التطبيقات الخاصة والمثيرة للاهتمام.

[Illusie2004-1] إيلوسي 2004

[2] كاراميلو، أوليفيا (2016). طوبولوجيات غروتينديك كجسور موحدة في الرياضيات (PDF) (HDR). جامعة باريس ديدرو (باريس 7).

[3] كاراميلو، أوليفيا (2017). النظريات، المواقع، الطوبولوجيا: ربط ودراسة النظريات الرياضية من خلال "جسور" نظرية الطوبولوجيا . المجلد 1. مطبعة جامعة أكسفورد. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001 . ISBN 9780198758914.

[4] آرتين، مايكل ؛ مازور، باري (1969). التماثل الإيتالي . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 100. سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/BFb0080957 . ISBN 978-3-540-36142-8.

[5] فريدلاندر، إريك م. (1982)، التماثل الإيتالي للمخططات التبسيطية ، دراسات حوليات الرياضيات، المجلد 104، مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-08317-9

غروتينديك

[

[

[ 4 ]

[ 5 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗