عوامل الإنشاء والإفناء

تُعدّ عوامل الإنشاء وعوامل الإفناء عوامل رياضية لها تطبيقات واسعة النطاق في ميكانيكا الكم ، ولا سيما في دراسة المذبذبات التوافقية الكمومية وأنظمة الجسيمات المتعددة. ^{[ 1 ]} عامل الإفناء (يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle {\hat {a}}}$يُقلل عدد الجسيمات في حالة معينة بمقدار واحد. عامل الإنشاء (يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$يزيد هذا المؤثر عدد الجسيمات في حالة معينة بمقدار واحد، وهو المؤثر المرافق لمؤثر الإفناء. في العديد من فروع الفيزياء والكيمياء ، يُعرف استخدام هذه المؤثرات بدلاً من الدوال الموجية بالتكميم الثاني . وقد قدمها بول ديراك . ^{[ 2 ]}

يمكن لمؤثرات الإنشاء والإفناء أن تؤثر على حالات أنواع مختلفة من الجسيمات. على سبيل المثال، في الكيمياء الكمومية ونظرية الأجسام المتعددة ، غالبًا ما تؤثر مؤثرات الإنشاء والإفناء على حالات الإلكترون . كما يمكن أن تشير تحديدًا إلى مؤثرات السلم للمذبذب التوافقي الكمومي . في الحالة الأخيرة، يُفسَّر مؤثر الإنشاء على أنه مؤثر رفع، يضيف كمًا من الطاقة إلى نظام المذبذب (وينطبق الأمر نفسه على مؤثر الخفض). ويمكن استخدامها لتمثيل الفونونات . يتميز بناء الهاميلتونيان باستخدام هذه المؤثرات بأن النظرية تحقق تلقائيًا نظرية تفكيك التجمعات . ^{[ 3 ]}

تُشابه المعادلات الرياضية لمعاملات الإنشاء والإفناء للبوزونات تلك الخاصة بمعاملات السلم للمذبذب التوافقي الكمومي . ^{[ 4 ]} فعلى سبيل المثال، يساوي مُبدِّل معاملات الإنشاء والإفناء المرتبطة بحالة البوزون نفسها واحدًا، بينما تتلاشى جميع المُبدِّلات الأخرى. أما بالنسبة للفيرميونات، فتختلف المعادلات الرياضية، إذ تتضمن مُضادات تبديل بدلًا من مُبدِّلات التبديل. ^{[ 5 ]}

في سياق المذبذب التوافقي الكمي ، يعيد المرء تفسير عوامل السلم على أنها عوامل إنشاء وإفناء، حيث تضيف أو تطرح كميات ثابتة من الطاقة إلى نظام المذبذب.

تختلف معاملات الإنشاء/الإفناء للبوزونات (ذات اللف المغزلي الصحيح) والفيرميونات ( ذات اللف المغزلي نصف الصحيح ). ويعود ذلك إلى اختلاف خصائص التناظر في دوال الموجة الخاصة بها .

لنبدأ أولاً بالحالة البوزونية الأبسط لفوتونات المذبذب التوافقي الكمومي. ابدأ بمعادلة شرودنغر للمذبذب التوافقي الكمومي أحادي البعد غير المعتمد على الزمن . $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

قم بإجراء استبدال إحداثي لجعل المعادلة التفاضلية بلا أبعاد$${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

تصبح معادلة شرودنغر للمذبذب $${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

لاحظ أن الكمية${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$هي نفس الطاقة الموجودة في كمّات الضوء، ويمكن كتابة ما بين القوسين في الهاميلتوني على النحو التالي:$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}.}$$

يمكن تبسيط الحدين الأخيرين من خلال النظر في تأثيرهما على دالة قابلة للتفاضل كيفما كانت.${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$ وهذا يعني، $${\displaystyle {\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}=1,}$$ يتزامن مع علاقة التبادل المتعارف عليها${\displaystyle -i[q,p]=1}$، في تمثيل فضاء الموضع:${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$.

لذلك، $${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$ وتصبح معادلة شرودنغر للمذبذب، مع استبدال ما سبق وإعادة ترتيب العامل 1/2، $${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

إذا عرّف المرء $${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$ باعتباره "عامل الإنشاء" أو "عامل الرفع" و $${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)}$$ باعتبارها "عامل الإفناء" أو "عامل التخفيض" ، فإن معادلة شرودنغر للمذبذب تختزل إلى $${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$ هذا أبسط بكثير من الصيغة الأصلية. ويمكن تبسيط هذه المعادلة أكثر من ذلك، مما يسمح باستنتاج جميع الخصائص المذكورة أعلاه حتى الآن.

تأجير${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$، أين${\displaystyle p}$هو مؤثر الزخم غير البُعدي ، لدينا

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$ و $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

لاحظ أن هذه الأمور تعني $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

المشغلون${\displaystyle a\,}$و${\displaystyle a^{\dagger }\,}$يمكن مقارنتها بالمؤثرات العادية ، التي تتبادل مع مرافقاتها. ^{[ ملاحظة 1 ]}

باستخدام علاقات التبادل المذكورة أعلاه، يمكن التعبير عن مؤثر هاميلتون على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

يمكن حساب علاقات التبادل بين${\displaystyle a\,}$و${\displaystyle a^{\dagger }\,}$المؤثرات والهاميلتوني: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام هذه العلاقات لإيجاد جميع حالات الطاقة الذاتية للمذبذب التوافقي الكمومي بسهولة كما يلي.

بافتراض أن${\displaystyle \psi _{n}}$هي حالة ذاتية للهاميلتوني${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$باستخدام علاقات التبادل هذه، يترتب على ذلك ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

هذا يدل على أن${\displaystyle a\psi _{n}}$و${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$وهي أيضًا حالات ذاتية للهاميلتوني، ذات قيم ذاتية.${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$و${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$على التوالي. وهذا يحدد المشغلين${\displaystyle a}$و${\displaystyle a^{\dagger }}$باعتبارها عوامل "خفض" و"رفع" بين الحالات الذاتية المتجاورة. فرق الطاقة بين الحالات الذاتية المتجاورة هو${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$.

يمكن إيجاد الحالة الأرضية بافتراض أن عامل التخفيض يمتلك نواة غير تافهة:${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$مع${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$بتطبيق الهاميلتوني على الحالة الأرضية،

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$ لذا${\displaystyle \psi _{0}}$هي دالة ذاتية للهاميلتوني.

وهذا يعطي طاقة الحالة الأرضية${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$مما يسمح بتحديد قيمة الطاقة الذاتية لأي حالة ذاتية${\displaystyle \psi _{n}}$كما ^{[ 6 ]}$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

علاوة على ذلك، اتضح أن العامل المذكور أولاً في (*)، وهو عامل العدد${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$يلعب الدور الأهم في التطبيقات، بينما يلعب الدور الثاني،${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$يمكن استبدالها ببساطة بـ${\displaystyle N+1}$.

بالتالي، $${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

ثم يكون عامل التطور الزمني$${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

بفضل نظرية التمثيل وجبر C*، تُعدّ المؤثرات المُشتقة أعلاه حالةً خاصةً من مفهومٍ أكثر عموميةً لمؤثرات الإنشاء والإفناء في سياق جبر CCR وجبر CAR . رياضيًا، وبشكلٍ أعمّ، يُمكن فهم مؤثرات السلم في سياق نظام جذور زمرة لي شبه بسيطة وجبر لي شبه البسيط المرتبط بها ، دون الحاجة إلى تمثيلها كمؤثرات على فضاء هيلبرت دالي . ^{[ 8 ]}

في حالة تمثيل فضاء هيلبرت، يتم بناء المؤثرات على النحو التالي. ليكن${\displaystyle H}$أن يكون فضاء هيلبرت ذو جسيم واحد (أي أي فضاء هيلبرت، يُنظر إليه على أنه يمثل حالة جسيم واحد).

كما كان وصف عامل الإفناء والإنشاء مفيدًا في تحليل معادلات التفاعل والانتشار الكلاسيكية، مثل حالة غاز الجزيئات${\displaystyle A}$تنتشر وتتفاعل عند التلامس، مكونة منتجًا خاملًا:${\displaystyle A+A\to \emptyset }$لفهم كيفية وصف هذا النوع من التفاعلات باستخدام صيغة عامل الإفناء والإنشاء، انظر إلى${\displaystyle n_{i}}$جسيمات في موقع i على شبكة أحادية البعد. يتحرك كل جسيم إلى اليمين أو اليسار باحتمالية معينة، وكل زوج من الجسيمات في نفس الموقع يفني الآخر باحتمالية معينة أخرى.

إن احتمال مغادرة جسيم واحد للموقع خلال الفترة الزمنية القصيرة dt يتناسب مع${\displaystyle n_{i}\,dt}$لنفترض احتمالًا${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$للقفز يسارًا و${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$للقفز يمينًا. الجميع${\displaystyle n_{i}}$ستبقى الجسيمات في مكانها باحتمالية معينة${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$(بما أن dt قصيرة جدًا، فإن احتمال مغادرة اثنين أو أكثر خلال dt ضئيل جدًا وسيتم تجاهله.)

يمكننا الآن وصف شغل الجسيمات على الشبكة بأنه "كيت" من الشكل التالي:${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$يمثل هذا تجاور (أو اقتران، أو ضرب موتر) حالات العدد${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$،${\displaystyle |n_{0}\rangle }$،${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$تقع في المواقع الفردية للشبكة. تذكر ذلك

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$ و $${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$ لكل n ≥ 0 ، بينما $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

سيتم الآن تغيير تعريف المؤثرات هذا لاستيعاب الطبيعة "غير الكمومية" لهذه المشكلة وسنستخدم التعريف التالي: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

لاحظ أنه على الرغم من تعديل سلوك المؤثرات على المتجهات، فإن هذه المؤثرات لا تزال تخضع لعلاقة التبادل. $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

والآن حدد${\displaystyle a_{i}}$بحيث ينطبق${\displaystyle a}$ل${\displaystyle |n_{i}\rangle }$وبناءً على ذلك، حدد${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$كما هو مطبق${\displaystyle a^{\dagger }}$ل${\displaystyle |n_{i}\rangle }$وهكذا، على سبيل المثال، يكون الأثر الصافي لـ${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$تتمثل المهمة في تحريك جسيم من${\displaystyle (i-1)}$-th إلى الموقع i مع الضرب بالعامل المناسب.

وهذا يسمح بكتابة السلوك الانتشارى البحت للجسيمات على النحو التالي $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

يمكن استنتاج مصطلح التفاعل من خلال ملاحظة أن${\displaystyle n}$يمكن للجسيمات أن تتفاعل في${\displaystyle n(n-1)}$بطرق مختلفة، بحيث يكون احتمال فناء الزوج هو${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$، مما ينتج عنه مصطلح $${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

حيث يتم استبدال الحالة العددية n بالحالة العددية n − 2 في الموقع${\displaystyle i}$بمعدل معين.

وهكذا تتطور الدولة من خلال $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

يمكن إدراج أنواع أخرى من التفاعلات بطريقة مماثلة.

يسمح هذا النوع من الترميز باستخدام تقنيات نظرية الحقل الكمومي في تحليل أنظمة التفاعل والانتشار. ^{[ 10 ]}

في نظريات الحقول الكمومية ومسائل الأجسام المتعددة، يتم التعامل مع عوامل الإنشاء والإفناء للحالات الكمومية.${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$و${\displaystyle a_{i}^{\,}}$تُغير هذه العمليات القيم الذاتية لمؤثر العدد . $${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$ واحد تلو الآخر، قياسًا على المذبذب التوافقي. المؤشرات (مثل${\displaystyle i}$تمثل هذه الأرقام الكمومية حالات الجسيمات المفردة للنظام؛ لذا، فهي ليست بالضرورة أرقامًا مفردة. على سبيل المثال، مجموعة من الأرقام الكمومية${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$يُستخدم لتصنيف الحالات في ذرة الهيدروجين .

علاقات التبادل بين عوامل الإنشاء والإفناء في نظام متعدد البوزونات هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$هو المبدل و${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر .

بالنسبة للفيرميونات ، يتم استبدال المبدل بالمبدل المضاد${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$،$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$ لذلك، فإن تبادل العناصر المنفصلة (أي${\displaystyle i\neq j}$) ستعمل عوامل الإنتاج في ناتج عوامل الإنشاء أو الإفناء على عكس الإشارة في أنظمة الفرميون، ولكن ليس في أنظمة البوزون.

إذا كانت الحالات المُشار إليها بالرمز i تُشكّل أساسًا متعامدًا لفضاء هيلبرت H ، فإن نتيجة هذا البناء تتطابق مع بناء جبر CCR وجبر CAR في القسم قبل الأخير. أما إذا كانت تُمثّل "متجهات ذاتية" تُقابل الطيف المُتصل لمؤثر ما، كما هو الحال بالنسبة للجسيمات غير المُقيدة في نظرية الحقول الكمومية، فإن التفسير يكون أكثر دقة.