شبكة برافيس

في الهندسة وعلم البلورات ، شبكة برافيس ، التي سميت على اسم أوغست برافيس  (1850)، ^[1] هي مجموعة لا نهائية من النقاط المنفصلة التي تم إنشاؤها بواسطة مجموعة من عمليات الترجمة المنفصلة الموصوفة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بواسطة

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3} ,}$

حيث أن n _i هي أي أعداد صحيحة، و a _i هي متجهات ترجمة بدائية ، أو متجهات بدائية ، تقع في اتجاهات مختلفة (ليس بالضرورة متعامدة بشكل متبادل) وتمتد عبر الشبكة. إن اختيار المتجهات البدائية لشبكة برافيس معينة ليس فريدًا. أحد الجوانب الأساسية لأي شبكة برافيس هو أنه بالنسبة لأي اختيار للاتجاه، تظهر الشبكة بنفس الطريقة تمامًا من كل نقطة من نقاط الشبكة المنفصلة عند النظر في هذا الاتجاه المختار.

يستخدم مفهوم شبكة برافيس لتحديد الترتيب البلوري وحدوده (المحدودة) رسميًا. تتكون البلورة من ذرة واحدة أو أكثر، تسمى الأساس أو الزخرفة ، عند كل نقطة من نقاط الشبكة. قد تتكون القاعدة من ذرات أو جزيئات أو سلاسل بوليمرية من مادة صلبة ، وتوفر الشبكة مواقع الأساس.

غالبًا ما يُعتبر شبكتا برافيس متكافئتين إذا كان لديهما مجموعات تماثل متماثلة . بهذا المعنى، هناك 5 شبكات برافيس محتملة في الفضاء ثنائي الأبعاد و14 شبكة برافيس محتملة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. مجموعات التماثل المحتملة الـ 14 لشبكات برافيس هي 14 من 230 مجموعة فضائية . في سياق تصنيف المجموعة الفضائية، تسمى شبكات برافيس أيضًا فئات برافيس أو فئات برافيس الحسابية أو مجموعات برافيس. ^[2]

في علم البلورات، هناك مفهوم الخلية الوحدوية التي تتألف من المساحة بين نقاط الشبكة المتجاورة بالإضافة إلى أي ذرات في تلك المساحة. تُعرَّف الخلية الوحدوية بأنها مساحة تملأ مساحة الشبكة دون تداخل أو فراغات عند ترجمتها عبر مجموعة فرعية من جميع المتجهات الموصوفة بواسطة (أي أن مساحة الشبكة هي مضاعف لخلية الوحدة.) ^[3]${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3} }$

هناك نوعان رئيسيان من الخلايا الوحدوية: الخلايا الوحدوية البدائية والخلايا الوحدوية التقليدية. الخلية البدائية هي أصغر مكون في الشبكة (أو البلورة) والتي، عند تكديسها مع عمليات ترجمة الشبكة، تعيد إنتاج الشبكة (أو البلورة) بأكملها. ^[4] لاحظ أن الترجمات يجب أن تكون عمليات ترجمة الشبكة التي تجعل الشبكة تبدو دون تغيير بعد الترجمة. إذا سُمح بالترجمات التعسفية، فيمكن للمرء أن يجعل حجم الخلية البدائية نصف حجم الخلية الحقيقية، ويترجم ضعف عدد المرات، على سبيل المثال.

هناك طريقة أخرى لتحديد حجم الخلية البدائية تتجنب استدعاء عمليات ترجمة الشبكة، وهي أن نقول إن الخلية البدائية هي أصغر مكون ممكن للشبكة (أو البلورة) يمكن تكراره لإعادة إنتاج الشبكة (أو البلورة) بأكملها، والتي تحتوي على نقطة شبكية واحدة فقط. وفي أي من التعريفين، تتميز الخلية البدائية بحجمها الصغير.

من الواضح أن هناك العديد من الخيارات للخلايا التي يمكنها إعادة إنتاج الشبكة بأكملها عند تكديسها (نصفي الشبكة، على سبيل المثال)، ويميز متطلب الحجم الأدنى الخلية البدائية عن كل هذه الوحدات المتكررة الصالحة الأخرى. إذا كانت الشبكة أو البلورة ثنائية الأبعاد، فإن الخلية البدائية لها مساحة أدنى؛ وبالمثل في الأبعاد الثلاثة يكون للخلية البدائية حجم أدنى.

وعلى الرغم من هذا الشرط الصارم المتعلق بالحد الأدنى للحجم، فلا يوجد خيار فريد واحد لخلية الوحدة البدائية. وفي الواقع، فإن جميع الخلايا التي تكون حدودها متجهات ترجمة بدائية ستكون خلايا وحدة بدائية. وحقيقة عدم وجود خيار فريد لمتجهات الترجمة البدائية لشبكة معينة تؤدي إلى تعدد الخلايا الوحدة البدائية المحتملة. ومن ناحية أخرى، لا تكون الخلايا الوحدة التقليدية بالضرورة خلايا ذات حجم أدنى. ويتم اختيارها لمجرد الراحة وغالبًا ما تُستخدم لأغراض التوضيح. وهي محددة بشكل فضفاض.

تُعرَّف الخلايا الوحدوية البدائية بأنها الخلايا الوحدوية ذات أصغر حجم لبلورة معينة. (البلورة عبارة عن شبكة وقاعدة عند كل نقطة من نقاط الشبكة). للحصول على أصغر حجم للخلية، يجب أن تحتوي الخلية الوحدوية البدائية على (1) نقطة شبكية واحدة فقط و(2) الحد الأدنى من مكونات القاعدة (على سبيل المثال، الحد الأدنى لعدد الذرات في القاعدة). بالنسبة للمتطلب السابق، فإن حساب عدد نقاط الشبكة في الخلية الوحدوية يكون بحيث، إذا كانت نقطة الشبكة مشتركة بين m من خلايا الوحدة المجاورة حول نقطة الشبكة تلك، فإن النقطة تُحسب على أنها 1/ م . المتطلب الأخير ضروري لأن هناك بلورات يمكن وصفها بأكثر من تركيبة من الشبكة والقاعدة. على سبيل المثال، يمكن أيضًا اعتبار البلورة، التي يُنظر إليها على أنها شبكة ذات نوع واحد من الذرات تقع عند كل نقطة من نقاط الشبكة (أبسط شكل للقاعدة)، بمثابة شبكة ذات قاعدة من ذرتين. في هذه الحالة، الخلية الوحدوية البدائية هي خلية وحدوية لها نقطة شبكية واحدة فقط بالطريقة الأولى لوصف البلورة من أجل ضمان أصغر حجم للخلية الوحدوية.

يمكن أن يكون هناك أكثر من طريقة لاختيار خلية بدائية لبلورة معينة وسيكون لكل اختيار شكل خلية بدائية مختلف، ولكن حجم الخلية البدائية هو نفسه لكل اختيار وسيكون لكل اختيار الخاصية التي يمكن من خلالها إنشاء تطابق واحد لواحد بين الخلايا البدائية الوحدوية ونقاط الشبكة المنفصلة على الشبكة المرتبطة. جميع الخلايا البدائية الوحدوية ذات الأشكال المختلفة لبلورة معينة لها نفس الحجم حسب التعريف؛ بالنسبة لبلورة معينة، إذا كانت n هي كثافة نقاط الشبكة في الشبكة التي تضمن الحد الأدنى من مكونات الأساس و v هو حجم الخلية البدائية المختارة، فإن nv = 1 مما ينتج عنه v = 1/ n ، وبالتالي فإن كل خلية بدائية لها نفس الحجم 1/ n . ^[3]

من بين جميع الخلايا البدائية الممكنة لبلورة معينة، قد تكون الخلية البدائية الواضحة هي متوازي السطوح المشكل بواسطة مجموعة مختارة من متجهات الترجمة البدائية. (مرة أخرى، يجب أن تشكل هذه المتجهات شبكة بأقل قدر من المكونات الأساسية.) ^[3] أي أن مجموعة جميع النقاط حيث و هي المتجه البدائي المختار. لا تُظهر هذه الخلية البدائية دائمًا التماثل الواضح لبلورة معينة. في هذه الحالة، غالبًا ما يتم استخدام خلية وحدة تقليدية تعرض بسهولة تماثل البلورة. سيكون حجم الخلية الوحدوية التقليدية مضاعفًا صحيحًا لحجم الخلية الوحدوية البدائية. ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3} }$${\displaystyle 0\leq x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

في البعدين، يمكن تحديد أي شبكة من خلال طول متجهي الترجمة البدائيين والزاوية بينهما. هناك عدد لا نهائي من الشبكات المحتملة التي يمكن وصفها بهذه الطريقة. هناك طريقة ما لتصنيف أنواع مختلفة من الشبكات. إحدى الطرق للقيام بذلك هي إدراك أن بعض الشبكات لها تماثل متأصل. يمكن للمرء أن يفرض شروطًا على طول متجهي الترجمة البدائيين وعلى الزاوية بينهما لإنتاج شبكات متماثلة مختلفة. يتم تصنيف هذه التناظرات نفسها إلى أنواع مختلفة، مثل مجموعات النقاط (التي تشمل تناظرات المرآة وتناظرات الانعكاس وتناظرات الدوران) والتناظرات الترجمية. وبالتالي، يمكن تصنيف الشبكات بناءً على مجموعة النقاط أو التناظر الترجمي المطبق عليها.

في البعدين، تتوافق المجموعة النقطية الأساسية مع الثبات الدوراني تحت 2π وπ، أو التناظر الدوراني 1 و2 أضعاف. وهذا ينطبق في الواقع تلقائيًا على جميع الشبكات ثنائية الأبعاد، وهو المجموعة النقطية الأكثر عمومية. تسمى الشبكات الموجودة في هذه المجموعة (من الناحية الفنية جميع الشبكات، ولكن تقليديًا جميع الشبكات التي لا تندرج تحت أي من مجموعات النقاط الأخرى) بالشبكات المائلة. ومن هناك، توجد 4 مجموعات أخرى من المجموعات النقطية مع عناصر ترجمية (أو ما يعادلها، 4 أنواع من القيود على أطوال/زوايا متجهات الترجمة البدائية) والتي تتوافق مع فئات الشبكة الأربع المتبقية: المربع، والسداسي، والمستطيل، والمستطيل المركزي. وبالتالي، يوجد 5 شبكات برافيس في بعدين.

وبالمثل، في الأبعاد الثلاثة، هناك 14 شبكة برافيس: فئة "سلة المهملات" العامة (ثلاثية الميل) و13 فئة أخرى. يتم تصنيف هذه الأنواع الأربعة عشر من الشبكات حسب مجموعاتها النقطية إلى 7 أنظمة شبكية (ثلاثية الميل، أحادية الميل، معينية الشكل، رباعية الأضلاع، مكعبة، معينة السطوح، وسداسية).

في الفضاء ثنائي الأبعاد، توجد خمس شبكات برافيس، ^[5] مجمعة في أربعة أنظمة شبكية ، كما هو موضح في الجدول أدناه. يوجد أسفل كل رسم بياني رمز بيرسون لشبكة برافيس تلك.

ملاحظة: في مخططات الخلايا الوحدوية في الجدول التالي، يتم تصوير نقاط الشبكة باستخدام دوائر سوداء ويتم تصوير الخلايا الوحدوية باستخدام متوازيات الأضلاع (التي قد تكون مربعات أو مستطيلات) محاطة باللون الأسود. وعلى الرغم من أن كل زاوية من الزوايا الأربع لكل متوازي أضلاع متصلة بنقطة شبكة، إلا أن نقطة واحدة فقط من النقاط الوحدوية الأربع تنتمي تقنيًا إلى خلية وحدة معينة وكل نقطة من النقاط الوحدوية الثلاث الأخرى تنتمي إلى إحدى الخلايا الوحدوية المجاورة. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال تخيل تحريك متوازي أضلاع الخلية الوحدوية قليلاً إلى اليسار وإلى الأسفل قليلاً مع ترك جميع الدوائر السوداء لنقاط الشبكة ثابتة.

نظام شبكي	مجموعة النقاط ( تدوين Schönflies )	5 شبكات برافيس
		بدائي (ص)	مركز (ج)
أحادي الميل (م)	ج 2	مائل (م ب)
معيني الشكل (o)	د 2	مستطيل (op)	مستطيل مركزي (oc)
رباعي الزوايا (ت)	د 4	مربع (tp)
سداسي (ح)	د 6	سداسي (حصان)

يتم تحديد الخلايا الوحدوية وفقًا للأطوال النسبية لحواف الخلايا ( a و b ) والزاوية بينهما ( θ ). يمكن حساب مساحة الخلية الوحدوية من خلال تقييم المعيار ‖ a × b ‖ ، حيث a و b هما متجها الشبكة. يتم إعطاء خصائص أنظمة الشبكة أدناه:

نظام شبكي	منطقة	المسافات المحورية (أطوال الحواف)	الزاوية المحورية
أحادي الميل	${\displaystyle ab\,\sin \theta }$
معيني الشكل	${\displaystyle ab}$		θ = 90 درجة
رباعي الزوايا	${\displaystyle a^{2}}$	أ = ب	θ = 90 درجة
سداسي الشكل	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}}$	أ = ب	θ = 120 درجة

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هناك 14 شبكة برافيس. يتم الحصول عليها من خلال الجمع بين أحد أنظمة الشبكة السبعة وأحد أنواع التمركز. تحدد أنواع التمركز مواقع نقاط الشبكة في الخلية الوحدوية على النحو التالي:

• بدائي (P): نقاط الشبكة على زوايا الخلية فقط (يُطلق عليها أحيانًا اسم بسيط)
• مركز القاعدة (S: A، B، أو C): نقاط شبكية على زوايا الخلية مع نقطة إضافية في مركز كل وجه من وجوه زوج واحد من الوجوه المتوازية للخلية (يُطلق عليها أحيانًا مركز النهاية)
• مركز الجسم (I): نقاط شبكية على زوايا الخلية، مع نقطة إضافية واحدة في مركز الخلية
• مركز الوجه (F): نقاط شبكية على زوايا الخلية، مع نقطة إضافية في منتصف كل وجه من وجوه الخلية

لا يلزم وجود جميع مجموعات أنظمة الشبكة وأنواع التمركز لوصف جميع الشبكات الممكنة، حيث يمكن إثبات أن العديد منها في الواقع متكافئة مع بعضها البعض. على سبيل المثال، يمكن وصف الشبكة أحادية الميل I بشبكة أحادية الميل C من خلال اختيار مختلف لمحاور البلورة. وبالمثل، يمكن وصف جميع الشبكات ذات المركز A أو B إما من خلال التمركز C أو P. وهذا يقلل عدد التركيبات إلى 14 شبكة برافيس تقليدية، كما هو موضح في الجدول أدناه. ^{[6] : 744} يوجد أسفل كل رسم بياني رمز بيرسون لشبكة برافيس تلك.

ملاحظة: في مخططات الخلية الوحدوية في الجدول التالي، تظهر جميع نقاط الشبكة على حدود الخلية (الزوايا والوجوه)؛ ومع ذلك، لا تنتمي كل نقاط الشبكة هذه تقنيًا إلى الخلية الوحدوية المعطاة. ويمكن ملاحظة ذلك من خلال تخيل تحريك الخلية الوحدوية قليلاً في الاتجاه السلبي لكل محور مع الحفاظ على نقاط الشبكة ثابتة. وبشكل تقريبي، يمكن التفكير في هذا على أنه تحريك الخلية الوحدوية قليلاً إلى اليسار، وقليلاً إلى الأسفل، وقليلاً خارج الشاشة. يوضح هذا أن نقطة واحدة فقط من نقاط الشبكة الزاويية الثماني (على وجه التحديد، النقطة الأمامية، واليسرى، والسفلية) تنتمي إلى الخلية الوحدوية المعطاة (تنتمي النقاط السبع الأخرى إلى الخلايا الوحدوية المجاورة). بالإضافة إلى ذلك، تنتمي نقطة واحدة فقط من نقطتي الشبكة الموضحتين على الوجه العلوي والسفلي في العمود الذي يركز على القاعدة إلى الخلية الوحدوية المعطاة. أخيرًا، تنتمي ثلاث نقاط فقط من نقاط الشبكة الست على الوجوه في العمود الذي يركز على الوجه إلى الخلية الوحدوية المعطاة.

عائلة كريستال	نظام شبكي	مجموعة النقاط ( تدوين Schönflies )	14 شبكة برافيس
			بدائي (P)	مركز القاعدة (S)	مركزية الجسم (I)	مركز الوجه (F)
ثلاثي الميل (أ)		ج اي	أب
أحادي الميل (م)		ج 2ح	م ب	آنسة
معيني الشكل (o)		د 2س	أوب	نظام التشغيل	أوي	ل
رباعي الزوايا (ت)		د 4 ساعات	ت ب		تي اي
سداسي (ح)	معيني الشكل	د 3د	ساعة
	سداسي الشكل	د 6 ساعات	هب
مكعب (ج)		أوه​	سي بي		سي اي	ج ف

يتم تحديد الخلايا الوحدوية وفقًا لستة معلمات شبكية وهي الأطوال النسبية لحواف الخلايا ( a ، b ، c ) والزوايا بينها ( α ، β ، γ )، حيث α هي الزاوية بين b و c ، وβ هي الزاوية بين a و c ، و γ هي الزاوية بين a و b . يمكن حساب حجم الخلية الوحدوية من خلال تقييم حاصل الضرب الثلاثي a · ( b × c ) ، حيث a و b و c هي متجهات الشبكة. يتم إعطاء خصائص أنظمة الشبكة أدناه:

عائلة كريستال	نظام شبكي	مقدار	المسافات المحورية (أطوال الحواف) [6] : 758	الزوايا المحورية [6]	أمثلة مماثلة
ثلاثي السطوح		${\displaystyle abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}}$			K2Cr2O7 ، CuSO4 · 5H2O ، H3BO3​​​​​​​​​​
أحادي الميل		${\displaystyle abc\,\sin \beta }$		ألفا = γ = 90 درجة	كبريت أحادي الميل ، Na2SO4 · 10H2O ، PbCrO3​​​
معيني الشكل		${\displaystyle abc}$		α = β = γ = 90 درجة	الكبريت المعيني ، KNO3 ، BaSO4​
رباعي الزوايا		${\displaystyle أ^{2}ج}$	أ = ب	α = β = γ = 90 درجة	القصدير الأبيض ، SnO2 ، TiO2 ، CaSO4​​
سداسي الشكل	معيني الشكل	${\displaystyle a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}}$	أ = ب = ج	ألفا = بيتا = غاما	الكالسيت (CaCO3 ) ، الزنجفر (HgS)
	سداسي الشكل	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,a^{2}c}$	أ = ب	α = β = 90 درجة، γ = 120 درجة	الجرافيت ، أكسيد الزنك ، كبريتيد الكادميوم
مكعب		${\displaystyle a^{3}}$	أ = ب = ج	α = β = γ = 90 درجة	كلوريد الصوديوم ، خليط الزنك ، معدن النحاس ، كلوريد البوتاسيوم ، الماس ، الفضة

تم تلخيص بعض المعلومات الأساسية عن أنظمة الشبكة وشبكات برافيس في ثلاثة أبعاد في الرسم التخطيطي في بداية هذه الصفحة. يشير المضلع ذو السبعة أضلاع (السباعي) والرقم 7 في المنتصف إلى أنظمة الشبكة السبعة. تشير السباعيات الداخلية إلى زوايا الشبكة ومعلماتها وشبكات برافيس ورموز شونفليز لأنظمة الشبكة المعنية.

في أربعة أبعاد، يوجد 64 شبكة برافيس. من بينها 23 شبكة بدائية و41 شبكة مركزية. تنقسم عشر شبكات برافيس إلى أزواج متماثلة . ^[7]

• برافيس، أ. (1850). "Mémoire sur les systèmes formés par les Points Distribués régulièrement sur un Plan ou dans l'espace" [مذكرات عن الأنظمة المتكونة من النقاط الموزعة بانتظام على المستوى أو في الفضاء]. J. مدرسة البوليتك. (باللغة الفرنسية). 19 : 1-128.(الإنجليزية: مذكرات 1، الجمعية البلورية الأمريكية، 1949).

• كتالوج الشبكات (بقلم نيب وسلون)
• سميث، والتر فوكس (2002). "أغنية برافيس لاتيسيز".