Regula falsi

في الرياضيات ، تُعرف طريقة الوضع الخاطئ ( regula falsi ) بأنها مجموعة من الخوارزميات المستخدمة لحل المعادلات الخطية وتنعيم المعادلات غير الخطية لإيجاد قيمة مجهولة واحدة. في أقدم الأمثلة المعروفة لها، والموجودة في الكتابات المسمارية والهيروغليفية ، تستبدل هذه الطريقة أسلوب التجربة والخطأ البسيط بتصحيح نسبي لقيمة أولية مُفترضة. أما في الاستخدام الحديث، فتعتمد هذه الطريقة على الاستيفاء الخطي بناءً على قيمتين مُفترضتين مختلفتين.

يمكن التمييز تاريخياً بين نوعين أساسيين من طريقة الموقف الخاطئ، وهما الموقف الخاطئ البسيط والموقف الخاطئ المزدوج .

تهدف طريقة الوضع الخاطئ البسيطة إلى حل المسائل التي تتضمن التناسب المباشر، ويمكن اعتبارها خوارزمية مبكرة للقسمة . ويمكن كتابة هذه المسائل جبريًا على النحو التالي: حدد قيمة x بحيث

${\displaystyle ax=b,}$

إذا كانت قيمتا a و b معلومتين، تبدأ الطريقة باستخدام قيمة إدخال اختبارية x ′ ، ثم إيجاد قيمة الإخراج المقابلة b ′ عن طريق الضرب: ax ′ = b ′ . بعد ذلك ، يتم إيجاد الإجابة الصحيحة عن طريق التعديل النسبي، x = b / b ′ x ′ .

كمثال، لننظر إلى المسألة رقم 26 في بردية رايند ، والتي تطلب حل المعادلة (المكتوبة بالصيغة الحديثة) x + x / 4 = 15. يتم حل هذه المسألة باستخدام طريقة الوضع الخاطئ. [ ^{1 ] أولًا} ، نفترض أن x = 4 لنحصل على المعادلة 4 + 4 / 4 = 5. هذا الافتراض صحيح لأنه يُعطي قيمة صحيحة . مع ذلك، فإن 4 ليس حلًا للمعادلة الأصلية، لأنه يُعطي قيمة أصغر بثلاث مرات من القيمة الصحيحة. للتعويض، نضرب x ( المُعيّنة حاليًا على 4) في 3 ونُعوّض مرة أخرى لنحصل على 12 + 12 / 4 = 15 ، مما يُؤكد أن الحل هو x = 12 .

تهدف طريقة الموقف الخاطئ المزدوج إلى حل مسائل أكثر صعوبة يمكن كتابتها جبريًا على النحو التالي: حدد قيمة x بحيث

${\displaystyle f(x)=ax+c=0,}$

إذا كان معروفاً أن

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1})&=b_{1};\\f(x_{2})&=b_{2}.\end{aligned}}}$

يُعدّ وضع الخطأ المزدوج مكافئًا رياضيًا للاستيفاء الخطي . باستخدام زوج من مدخلات الاختبار وزوج المخرجات المقابل، تكون نتيجة هذه الخوارزمية كما يلي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle x={\frac {b_{1}x_{2}-b_{2}x_{1}}{b_{1}-b_{2}}},}$

سيتم حفظها وتنفيذها عن ظهر قلب. في الواقع، القاعدة كما وردت في كتاب روبرت ريكورد " أساسيات الفنون " (حوالي 1542) هي: ^{[ 2 ]}

بالنسبة للدالة الخطية الأفينية ،

${\displaystyle f(x)=ax+c,}$

يوفر الوضع الخاطئ المزدوج الحل الدقيق، بينما بالنسبة للدالة غير الخطية f فإنه يوفر تقريبًا يمكن تحسينه بشكل متتابع عن طريق التكرار .

توجد تقنية الوضع الخاطئ البسيطة في الألواح المسمارية من الرياضيات البابلية القديمة ، وفي البرديات من الرياضيات المصرية القديمة . ^{[ 3 ] [ 1 ]}

ظهرت مغالطة الموقف المزدوج الخاطئ في أواخر العصور القديمة كخوارزمية حسابية بحتة. في النص الرياضي الصيني القديم المسمى " الفصول التسعة في الفن الرياضي" (九章算術)، ^{[ 4 ]} والذي يعود تاريخه إلى الفترة ما بين 200 قبل الميلاد و100 ميلادي، خُصص معظم الفصل السابع لهذه الخوارزمية. هناك، تم تبرير الإجراء بحجج حسابية ملموسة، ثم طُبق بشكل إبداعي على مجموعة واسعة من المسائل الكلامية، بما في ذلك مسألة تتضمن ما نسميه اليوم خطوط القاطع على القطع المخروطي . ومن الأمثلة الأكثر شيوعًا مسألة "الشراء المشترك" هذه التي تتضمن شرط "الفائض والعجز": ^{[ 5 ]}

الآن، يتم شراء سلعة بشكل جماعي؛ يساهم كل شخص بـ 8 عملات معدنية، والزيادة 3 عملات؛ يساهم كل شخص بـ 7 عملات معدنية، والنقص 4 عملات. ما هو عدد الأشخاص، وسعر السلعة، وما هو سعر كل منهم؟ الجواب: 7 أشخاص، سعر السلعة 53. ^{[ 6 ]}

بين القرنين التاسع والعاشر الميلاديين، كتب عالم الرياضيات المصري أبو كامل رسالةً مفقودةً الآن حول استخدام طريقة الحساب المزدوج الخاطئ، تُعرف باسم كتاب الخطائين . وأقدم كتابٍ باقٍ عن هذه الطريقة من الشرق الأوسط هو كتاب قسطة بن لوقا ( القرن العاشر الميلادي )، عالم الرياضيات العربي من بعلبك ، لبنان . وقد برّر هذه الطريقة ببرهانٍ هندسيٍّ رسميٍّ على النمط الإقليدي . وفي تراث الرياضيات الإسلامية في العصور الوسطى ، عُرفت طريقة الحساب المزدوج الخاطئ باسم حساب الخطائين . وقد استُخدمت هذه الطريقة لقرونٍ لحلّ مسائل عملية، مثل المسائل التجارية والقانونية (كتقسيم التركات وفقًا لأحكام الميراث القرآني )، بالإضافة إلى مسائل ترفيهية بحتة. كان يتم حفظ الخوارزمية في كثير من الأحيان بمساعدة وسائل التذكر ، مثل بيت شعر منسوب إلى ابن الياسمين ومخططات الميزان التي شرحها الحسار وابن البنا ، وجميعهم علماء رياضيات من أصل مغربي . ^{[ 7 ]}

خصّص ليوناردو البيزي ( فيبوناتشي ) الفصل الثالث عشر من كتابه "ليبر أباتشي " (1202م) لشرح وتوضيح استخدامات الوضع الخاطئ المزدوج، وأطلق على هذه الطريقة اسم "ريجوليس إلشاتين" نسبةً إلى طريقة "الخطائين" التي تعلمها من مصادر عربية . ^{[ 7 ]} وفي عام 1494م، استخدم باتشولي مصطلح "إل كاتايم" في كتابه "سوما دي أريثميتيكا" ، وربما استقاه من فيبوناتشي. وحذا حذوه كتّاب أوروبيون آخرون، وقدّم بعضهم ترجمةً إلى اللاتينية أو اللغة العامية. فعلى سبيل المثال، ترجم تارتاليا النسخة اللاتينية من مصطلح باتشولي إلى اللغة العامية "الأوضاع الخاطئة" عام 1556م. ^{[ 8 ]} وكاد مصطلح باتشولي أن يختفي في الأعمال الأوروبية في القرن السادس عشرم، وأصبحت هذه التقنية تُعرف بأسماء مختلفة مثل "قاعدة الخطأ" و"قاعدة الوضع" و"قاعدة الوضع الخاطئ". يظهر مصطلح Regula Falsi كنسخة لاتينية من Rule of False في وقت مبكر من عام 1690. ^{[ 2 ]}

شعر العديد من المؤلفين الأوروبيين في القرن السادس عشر بالحاجة إلى الاعتذار عن اسم المنهج في علم يسعى إلى إيجاد الحقيقة. على سبيل المثال، يقول همفري بيكر في عام 1568: ^{[ 2 ]}

إن قاعدة الكذب لا تُسمى كذلك لأنها تُعلّم أي خداع أو كذب، بل لأنها تُعلّم، من خلال الأرقام المزيفة التي تُؤخذ في جميع المغامرات، كيفية اكتشاف الرقم الحقيقي المطلوب، وهذه القاعدة من بين جميع القواعد الشائعة التي يتم تطبيقها هي ^الأفضل .

تُقدّم طريقة الوضع الخاطئ حلاً دقيقاً للدوال الخطية، لكنّ التقنيات الجبرية المباشرة حلّت محلّها في هذه الحالة. مع ذلك، في التحليل العددي ، أصبحت طريقة الوضع الخاطئ المزدوج خوارزميةً لإيجاد الجذور تُستخدم في تقنيات التقريب العددي التكراري.

لا يمكن حل العديد من المعادلات، بما فيها معظم المعادلات المعقدة، إلا بالتقريب العددي التكراري. ويعتمد هذا الأسلوب على التجربة والخطأ، حيث تُجرَّب قيم مختلفة للمتغير المجهول. ويمكن الاسترشاد في هذه التجربة والخطأ بحساب تقدير جديد للحل في كل خطوة من خطوات العملية. وهناك طرق عديدة للوصول إلى هذا التقدير، وتُعدّ قاعدة " regula falsi" إحدى هذه الطرق.

بفرض معادلة، انقل جميع حدودها إلى طرف واحد بحيث تصبح على الصورة f ( x ) = 0 ، حيث f دالة ما للمتغير المجهول x . تُسمى القيمة c التي تحقق هذه المعادلة، أي f ( c ) = 0 ، جذرًا أو صفرًا للدالة f _، وهي حل للمعادلة الأصلية. إذا كانت f دالة متصلة _، ووجدت نقطتان a₀ و b₀ بحيث تكون f ( a₀ ) و f ( _b₀ ) متعاكستين في الإشارة، فإنه وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة _، يكون للدالة f جذر في _الفترة ( a₀ , b₀ ₎ .

توجد العديد من خوارزميات إيجاد الجذور التي يمكن استخدامها للحصول على تقريبات للجذر. إحدى أكثرها شيوعًا هي طريقة نيوتن ، ولكنها قد تفشل في إيجاد الجذر في بعض الحالات، وقد تكون مكلفة حسابيًا لأنها تتطلب حساب مشتقة الدالة . لذا، ثمة حاجة إلى طرق أخرى، ومنها طرق التحديد بنقطتين . تعمل هذه الطرق عن طريق إنتاج سلسلة من الفترات المتناقصة [ a _{_k} , b_{_k} ] ، في الخطوة k ، بحيث تحتوي الفترة ( a _{_k} , b_{_k} ) على جذر للدالة f .

طريقة regula falsi (الموضع الزائف).

من الممكن تحسين معدل تقارب طريقة التنصيف باستخدام تقدير حل مختلف.

تحسب طريقة "الوضع الخاطئ المزدوج" تقدير الحل الجديد كنقطة تقاطع القطعة المستقيمة الواصلة بين طرفي الدالة على الفترة المحددة مع محور السينات. وباختصار، يتم تقريب الجذر باستبدال الدالة الأصلية بقطعة مستقيمة على الفترة المحددة، ثم تطبيق صيغة "الوضع الخاطئ المزدوج" الكلاسيكية على تلك القطعة المستقيمة. ^{[ 9 ]}

بتعبير أدق، لنفترض أن الفترة المحددة في التكرار رقم k هي ( a _{_k} , b_{_k} ) . ارسم الخط المار بالنقطتين ( a _{_k} , f ( a_{_k} )) و ( b _{_k} , f ( b_{_k} )) ، كما هو موضح. هذا الخط هو قاطع أو وتر لمنحنى الدالة f . معادلته، بصيغة الميل والنقطة ، هي:

${\displaystyle yf(b_{k})={\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(x-b_{k}).}$

اختر الآن c _k لتكون نقطة تقاطع هذا الخط مع المحور السيني، أي قيمة x التي عندها y = 0 ، ثم استبدل هذه القيم للحصول على

${\displaystyle f(b_{k})+{\frac {f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}}(c_{k}-b_{k})=0.}$

حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة c _k يعطينا:

${\displaystyle c_{k}=b_{k}-f(b_{k}){\frac {b_{k}-a_{k}}{f(b_{k})-f(a_{k})}}={\frac {a_{k}f(b_{k})-b_{k}f(a_{k})}{f(b_{k})-f(a_{k})}}.}$

يتميز هذا الشكل المتناظر الأخير بميزة حسابية عند استخدام العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة : فمع اقتراب الحل، تتقارب قيمتا a _{_k} و b_{_k} بشكل كبير، وتكونان دائمًا تقريبًا بنفس الإشارة. قد يؤدي هذا النوع من الطرح إلى فقدان الدقة بسبب الاختزال . ولأن f ( b_{_k} ) و f ( a_{_k} ) دائمًا بإشارتين متعاكستين، فإن "الطرح" في بسط الصيغة المحسّنة هو في الواقع عملية جمع (وكذلك الطرح في المقام).

في التكرار رقم k ، تُحسب قيمة c_{_k} كما سبق، ثم إذا كانت f ( ak ) و f ( ck ₎ لهما نفس الإشارة، نُعيّن a _{_{k +1}} = c_{_k} و b _{_{k +1}} = b _{_k} ، وإلا نُعيّن a _{_{k +1}} = a _{_k} و b _{_{k +1}} = c _{_k} . تُكرر هذه العملية حتى يتم تقريب الجذر بدقة كافية. تُستخدم الصيغة المذكورة أعلاه أيضًا في طريقة القاطع .

بالنسبة للدوال غير الخطية، عندما يتقلص نطاق البحث إلى حدٍّ كافٍ بحيث تصبح إشارة المشتقة الثانية ثابتة في جميع أنحاء النطاق، تصبح إحدى نقطتي نهاية البحث ثابتة، بينما تتقارب الأخرى نحو الجذر. وبالتالي، فإن أفضل تقدير للحل هو آخر قيمة محسوبة لـ${\displaystyle c_{k}}$مع ذلك، ولأن الفترة تتوقف عن التقلص، لا تستطيع طريقة "النمط الخاطئ" أن تضاهي ضمان دقة طريقة التنصيف. في بعض الحالات، قد ينخفض ​​معدل التقارب عن معدل طريقة التنصيف. يُفضّل عمومًا استخدام نسخ مُعدّلة من " النمط الخاطئ" لأنها تُعالج هذه العيوب بأقل تكلفة.

بما أن نقطتي النهاية الابتدائيتين a₀ و b₀ تُختاران بحيث تكون f ( a₀ ₎ و f ( b₀ ₎ متعاكستين في الإشارة ، ففي كل خطوة، تقترب إحدى نقطتي النهاية من جذر الدالة f . إذا _كانت المشتقة الثانية للدالة f ذات إشارة ثابتة (أي لا توجد _نقطة انعطاف ) في الفترة، فإن إحدى نقطتي النهاية (التي تكون عندها f بنفس الإشارة) ستظل ثابتة في جميع التكرارات اللاحقة، بينما يتم تحديث نقطة النهاية المتقاربة. ونتيجة لذلك، وعلى عكس طريقة التنصيف ، لا يؤول عرض القوس إلى الصفر (إلا إذا كان الصفر عند نقطة انعطاف يكون عندها sign( f ) = −sign( f '' ) ). وبالتالي، فإن التقريب الخطي للدالة f ( x ) ، المستخدم لاختيار الموضع الخاطئ، لا يتحسن بالسرعة المثلى.

أحد الأمثلة على هذه الظاهرة هو الدالة

${\displaystyle f(x)=2x^{3}-4x^{2}+3x}$

على القوس الأولي [ −1,1 ]. الطرف الأيسر، −1 ، لا يتم استبداله أبدًا (لا يتغير في البداية وبعد التكرارات الثلاثة الأولى، تكون f " سالبة على الفترة) وبالتالي فإن عرض القوس لا يقل أبدًا عن 1. ومن ثم، تقترب نقطة النهاية اليمنى من 0 بمعدل خطي (يزداد عدد الأرقام الصحيحة خطيًا، بمعدل تقارب 2/3).

بالنسبة للدوال غير المتصلة، لا يُتوقع من هذه الطريقة سوى إيجاد نقطة تغير عندها الدالة إشارتها (على سبيل المثال، عند x = 0 للدالة 1/ x أو دالة الإشارة ). بالإضافة إلى تغيرات الإشارة، من الممكن أيضًا أن تتقارب الطريقة إلى نقطة تكون عندها نهاية الدالة صفرًا، حتى لو كانت الدالة غير مُعرَّفة (أو لها قيمة أخرى) عند تلك النقطة (على سبيل المثال، عند x = 0 للدالة المعطاة بالصيغة f ( x ) = abs( x ) − x² عندما x ≠ 0، و f (0) = 5 ، بدءًا من الفترة [-0.5، 3.0]). من الممكن رياضيًا، مع الدوال غير المتصلة ^، أن تفشل الطريقة في التقارب إلى نهاية صفرية أو تغيير في الإشارة، لكن هذا لا يُشكِّل مشكلة عملية، إذ يتطلب ذلك سلسلة لانهائية من التطابقات لكلا نقطتي النهاية حتى تتعثر في التقارب إلى نقاط عدم اتصال حيث لا تتغير الإشارة، على سبيل المثال عند x = ±1 .

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)^{2}}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}.}$

تتجنب طريقة التنصيف مشكلة التقارب الافتراضية هذه.

على الرغم من أن طريقة "النمط الكاذب" تتقارب دائمًا، وعادةً ما يكون التقارب أسرع بكثير من طريقة "التنصيف"، إلا أن هناك حالات قد تُبطئ تقاربها، وأحيانًا إلى درجةٍ تُعيق ذلك. هذه المشكلة ليست حكرًا على طريقة " النمط الكاذب" : فباستثناء طريقة "التنصيف"، قد تُعاني جميع طرق حل المعادلات العددية من مشكلة بطء التقارب أو عدم التقارب في ظل ظروفٍ معينة. في بعض الأحيان، تتباعد طريقة نيوتن وطريقة القاطع بدلًا من التقارب، وغالبًا ما يحدث ذلك في ظل نفس الظروف التي تُبطئ تقارب طريقة "النمط الكاذب" .

لكن، على الرغم من أن regula falsi هي واحدة من أفضل الطرق، وحتى في نسختها الأصلية غير المحسنة، فإنها غالبًا ما تكون الخيار الأفضل؛ على سبيل المثال، عندما لا يتم استخدام طريقة نيوتن لأن حساب المشتقة يستغرق وقتًا طويلاً للغاية، أو عندما تفشل طريقة نيوتن والاستبدالات المتتالية في التقارب.

يسهل اكتشاف نمط فشل خوارزمية Regula falsi : إذ يتم الاحتفاظ بنفس نقطة النهاية مرتين متتاليتين. ويمكن معالجة هذه المشكلة بسهولة باختيار موضع خاطئ مُعدَّل، يتم اختياره لتجنب التباطؤ الناتج عن تلك الحالات غير المواتية النادرة نسبيًا. وقد اقتُرح عدد من هذه التحسينات على خوارزمية Regula falsi ؛ اثنان منها، وهما خوارزمية إلينوي وخوارزمية أندرسون-بيورك، موصوفان أدناه.

عند حل معادلة واحدة، أو بضع معادلات فقط، باستخدام الحاسوب، تُعدّ طريقة التنصيف خيارًا مناسبًا. مع أن التنصيف ليس بنفس سرعة الطرق الأخرى - عندما تكون في أفضل حالاتها ولا تواجه أي مشكلة - إلا أنه يضمن التقارب بمعدل مفيد، حيث يُقلّل الخطأ إلى النصف تقريبًا مع كل تكرار ، ويكتسب دقة تصل إلى منزلة عشرية واحدة تقريبًا كل ثلاث  تكرارات.

في الحسابات اليدوية باستخدام الآلة الحاسبة، يميل المرء إلى استخدام طرق أسرع، وعادةً ما تتقارب هذه الطرق، وإن لم يكن ذلك دائمًا، أسرع من طريقة التنصيف. لكن الحاسوب، حتى مع استخدام التنصيف، سيحل المعادلة بالدقة المطلوبة بسرعة فائقة، بحيث لا داعي لمحاولة توفير الوقت باستخدام طريقة أقل موثوقية - وكل طريقة أقل موثوقية من التنصيف.

ويُستثنى من ذلك حالة اضطرار برنامج الحاسوب إلى حل المعادلات مرات عديدة أثناء تشغيله. فحينها قد يكون الوقت المُوفّر باستخدام الطرق الأسرع كبيراً.

بعد ذلك، يمكن للبرنامج أن يبدأ بطريقة نيوتن، وإذا لم تتقارب طريقة نيوتن، ينتقل إلى طريقة regula falsi ، ربما في إحدى نسخها المحسّنة، مثل نسخة إلينوي أو أندرسون-بيورك. أو، إذا لم تتقارب هذه الطريقة بنفس كفاءة التنصيف، ينتقل إلى التنصيف، الذي يتقارب دائمًا بمعدل مفيد، وإن لم يكن مذهلاً.

عندما يصبح التغير في قيمة y ضئيلاً للغاية، ويتغير x أيضاً بشكل طفيف جداً، فمن المرجح ألا تواجه طريقة نيوتن أي مشكلة، وستتقارب. لذا، في ظل هذه الظروف المواتية، يمكن اللجوء إلى طريقة نيوتن إذا رغبنا في تقليل الخطأ إلى أدنى حد ممكن وتحقيق تقارب سريع جداً.

في الفصل  السابع من كتاب "الفصول التسعة" ، يمكن ترجمة مسألة إيجاد الجذر إلى اللغة الحديثة على النحو التالي:

مشكلة الفائض والعجز رقم 11:

• نما نبات البردي بمقدار 3 وحدات في  يومه الأول. وفي نهاية كل يوم، لوحظ أن النبات قد نما بمقدار نصف نمو اليوم السابق.
• نما نبات السعد بمقدار وحدة واحدة في يومه الأول. وفي نهاية كل يوم، يكون النبات قد نما بمقدار ضعف  نمو اليوم السابق.
• أوجد الوقت [بالأيام الجزئية] الذي يصبح فيه نبات الهراوة بنفس طول نبات البردي.

إجابة:${\displaystyle \left(2+{\frac {6}{13}}\right)}$أيام؛ الارتفاع هو${\displaystyle \left(4+{\frac {8}{10}}+{\frac {6}{130}}\right)}$وحدات.

توضيح:

• لنفترض أنه اليوم  الثاني. يبلغ طول نبات الهراوة أقصر من نبات البردي بمقدار 1.5  وحدة.
• لنفترض أنه اليوم  الثالث. نبات الهراوة أطول من نبات البردي بمقدار 1.75  وحدة. ∎

لفهم هذا، سنقوم بنمذجة ارتفاعات النباتات في اليوم n ( n = 1، 2، 3...) وفقًا لسلسلة هندسية .

${\displaystyle B(n)=\sum _{i=1}^{n}3\cdot {\frac {1}{2^{i-1}}}\quad }$نبات البردي

${\displaystyle C(n)=\sum _{i=1}^{n}1\cdot 2^{i-1}\quad }$اندفاع النادي

من أجل تدوين أفضل، دع${\displaystyle \ k=i-1~.}$أعد كتابة سلسلة ارتفاع النبات${\displaystyle \ B(n),\ C(n)\ }$بدلالة k واستدعاء صيغة المتسلسلة الهندسية.

${\displaystyle \ B(n)=\sum _{k=0}^{n-1}3\cdot {\frac {1}{2^{k}}}=3\left({\frac {1-({\tfrac {1}{2}})^{n-1+1}}{1-{\tfrac {1}{2}}}}\right)=6\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)}$

${\displaystyle \ C(n)=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}={\frac {~~1-2^{n}}{\ 1-2\ }}=2^{n}-1\ }$

الآن، استخدم القاعدة الكاذبة لإيجاد جذر${\displaystyle \ (C(n)-B(n))\ }$

${\displaystyle \ F(n):=C(n)-B(n)={\frac {6}{2^{n}}}+2^{n}-7\ }$

الجذر المقدر (التكرار الأول):

${\displaystyle \ {\hat {x}}~=~{\frac {~x_{1}F(x_{2})-x_{2}F(x_{1})~}{F(x_{2})-F(x_{1})}}~=~{\frac {~2\times 1.75+3\times 1.5~}{1.75+1.5}}~=~{\frac {32}{13}}~\approx ~2.4615\ }$

لإيجاد الجذر الدقيق، دع${\displaystyle y=2^{n}}$لذلك نسعى إلى حل${\displaystyle 6/y+y-7~=~0}$اضرب في${\displaystyle y}$للحصول على المعادلة التربيعية${\displaystyle y^{2}-7y+6=0}$والتي لها جذور${\displaystyle y=0}$(وهو أمر زائف هنا) و${\displaystyle y=6}$(الجذر الذي نريده). وبالتالي${\displaystyle n~=~\log _{2}(6)~\approx ~2.5849625}$ويبلغ هامش الخطأ في تقديرنا 4.78%.

هذا البرنامج النموذجي، المكتوب بلغة البرمجة C ، هو مثال على خوارزمية إلينوي. لإيجاد العدد الموجب x حيث cos( x ) = x³ ^، يتم تحويل المعادلة إلى صيغة إيجاد الجذر f ( x ) = cos( x ) - x³ = ⁰ .

#include <stdio.h> #include <math.h>double f ( double x ) { return cos ( x ) - x * x * x ; } /* a,b: نهايتا فترة البحث  e: نصف الحد الأعلى للخطأ النسبي  m: الحد الأقصى لعدد التكرارات */ double falsi_method ( double ( * f )( double ), double a , double b , double e , int m ) { double c , fc ; int n , side = 0 ; /* القيم الابتدائية عند نهايتي الفترة */ double fa = f ( a ); double fb = f ( b );for ( n = 0 ; n < m ; n ++ ) { c = ( fa * b - fb * a ) / ( fa - fb ); if ( fabs ( b - a ) < e * fabs ( b + a )) break ; fc = f ( c );إذا كان ( fc * fb > 0 ) { /* fc و fb لهما نفس الإشارة، انسخ c إلى b */ b = c ; fb = fc ; إذا كان ( side == -1 ) fa /= 2 ; side = -1 ; } وإلا إذا كان ( fa * fc > 0 ) { /* fc و fa لهما نفس الإشارة، انسخ c إلى a */ a = c ; fa = fc ; إذا كان ( side == +1 ) fb /= 2 ; side = +1 ; } وإلا { /* fc * f_ صغير جدًا (يبدو كصفر) * / break ; } } return c ; }int main ( void ) { printf ( "%0.15f \n " , falsi_method ( & f , 0 , 1 , 5E-15 , 100 )); return 0 ; }

بعد تشغيل هذا الكود، تكون الإجابة النهائية تقريبًا 0.865474033101614.

• طريقة ITP ، وهي طريقة معدلة تضمن التقارب الأدنى والأقصى والتقارب فوق الخطي.
• طريقة ريدرز ، وهي طريقة أخرى لإيجاد الجذور تعتمد على طريقة الوضع الخاطئ
• طريقة برنت

• بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس (2000). التحليل العددي (  الطبعة السابعة). بروكس/كول. ISBN 0-534-38216-9.
• سيجلر، إل إي (2002). كتاب فيبوناتشي، كتاب ليوناردو بيزانو في الحساب . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-40737-5.
• روبرتس، أ.م. (2020). "فقه اللغة الرياضي في رسالة الموقف الخاطئ المزدوج في مخطوطة عربية بجامعة كولومبيا" . لقاءات فقهية . 5 ( 3-4 ): 3-4 . doi : 10.1163/24519197-BJA10007 . S2CID 229538951 . (حول رسالة غير منشورة سابقاً حول المغالطة المزدوجة في مخطوطة عربية من العصور الوسطى.)