الوظيفة التحليلية

في التحليل الرياضي ، الدالة التحليلية هي دالة يمكن تمثيلها محليًا بمتسلسلة قوى متقاربة . بتعبير أدق، تكون الدالة الحقيقية أو المركبة تحليلية عند نقطة ما إذا كانت، في جوار تلك النقطة، تساوي متسلسلة قوى مركزها تلك النقطة. وبالتالي، تُحدد الدالة التحليلية محليًا بمعاملات المتسلسلة، أو بشكل مكافئ بمشتقات الدالة عند مركز متسلسلة تايلور. بعبارة أخرى، الدالة التحليلية هي دالة يمكن تمثيلها محليًا بمتسلسلة تايلور متقاربة .

تظهر الدوال التحليلية في كل من التحليل الحقيقي والتحليل المركب ، ولكن بطرق مختلفة قليلاً. الدالة التحليلية، سواء كانت حقيقية أو مركبة، تكون بالضرورة سلسة ، أي لها مشتقات من جميع الرتب. لكن الدالة الحقيقية السلسة ليست بالضرورة تحليلية. في المقابل، تكون الدالة المركبة على مجموعة مفتوحة تحليلية إذا وفقط إذا كانت تامة الشكل ، أي قابلة للتفاضل المركب عند كل نقطة من المجموعة. لهذا السبب، في التحليل المركب، يُستخدم مصطلحا " الدالة التحليلية" و "الدالة تامة الشكل" بشكل متبادل في كثير من الأحيان. ويُستخدم مصطلحا "التحليل المركب" و "التحليل الحقيقي" للتمييز بين هاتين الحالتين. في معالجة الإشارات ، تُسمى الدالة التحليلية المركبة أحيانًا " الإشارة التحليلية" .

التحليلية شرطٌ قويٌّ للانتظام. تتميز الدوال التحليلية بسلوكٍ محليٍّ ثابت: على سبيل المثال، في مجالٍ متصل، يجب أن تتلاشى الدالة التحليلية التي تحتوي أصفارها على نقطة تراكم بشكلٍ مطابق. تشمل الأمثلة الشائعة كثيرات الحدود ، والدالة الأسية ، والدوال المثلثية على مجالات تحليليتها.

بشكل رسمي، دالة${\displaystyle f}$حقيقي تحليلي على مجموعة مفتوحة${\displaystyle D}$في الخط الحقيقي إذا لكل${\displaystyle x_{0}\in D}$يمكن للمرء أن يكتب $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$$حيث المعاملات${\displaystyle a_{0}}$،​​${\displaystyle a_{1}}$... أعداد حقيقية ، وهذه المتسلسلة (الطرف الأيمن من هذه المعادلة) متقاربة إلى${\displaystyle f(x)}$ل${\displaystyle x}$في حي من${\displaystyle x_{0}}$(أي مجموعة تحتوي على مجموعة مفتوحة تتضمن ⁠${\displaystyle x_{0}}$) .

أو بعبارة أخرى، الدالة التحليلية الحقيقية هي دالة قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية بحيث تكون متسلسلة تايلور عند كل نقطة${\displaystyle x_{0}}$في نطاقها $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$$ يتقارب إلى${\displaystyle f(x)}$ل${\displaystyle x}$في حي من${\displaystyle x_{0}}$pointwise.^[a] The set of all real analytic functions on a given set ${\displaystyle D}$ is often denoted by ⁠${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(D)}$⁠, or just by ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }}$ if the domain is understood.

A function ${\displaystyle f}$ defined on some subset of the real line is said to be real analytic at a point ${\displaystyle x}$ if there is a neighborhood ${\displaystyle D}$ of ${\displaystyle x}$ on which a power series centered at ${\displaystyle x}$ converges to ${\displaystyle f}$.

The definition of a complex analytic function is obtained by replacing, in the definitions above, "real" with "complex" and "real line" with "complex plane". A function is complex analytic if and only if it is holomorphic i.e. it is complex differentiable. For this reason the terms "holomorphic" and "analytic" are often used interchangeably for such functions.^[1]

In complex analysis, a function is called analytic in an open set ⁠${\displaystyle U}$⁠ if it is (complex) differentiable at each point in ⁠${\displaystyle U}$⁠.^[2]

Typical examples of analytic functions are

• The following elementary functions:
  • All polynomials: if a polynomial has degree ⁠${\displaystyle n}$⁠, any terms of degree larger than ⁠${\displaystyle n}$⁠ in its Taylor series expansion must immediately vanish to 0, and so this series will be trivially convergent. Furthermore, every polynomial is its own Maclaurin series.
  • The exponential function is analytic. Any Taylor series for this function converges not only for ⁠${\displaystyle x}$⁠ close enough to ⁠${\displaystyle x_{0}}$⁠ (as in the definition) but for all values of ⁠${\displaystyle x}$⁠ (real or complex).
  • The trigonometric functions are analytic on any open set of their domain.
  • The natural logarithm is analytic on any open set where its branch is single-valued, such as ${\displaystyle (0,\infty )}$ or the complement in the Riemann sphere of any simple arc connecting ${\displaystyle 0}$ to ${\displaystyle \infty }$.
  • Power functions are analytic everywhere for non-negative integral powers, away from zero for negative integral powers, and for arbitrary complex powers on any open subset of the complex plane where the logarithm is analytic.
• Many special functions are analytic on a suitable domain:
  • hypergeometric functions on suitable domains
  • Bessel functions on suitable domains
  • The gamma function away from its poles at zero and the negative integers
  • دالة زيتا لريمان باستثناء قطب بسيط عند${\displaystyle 1}$
• تكون الدوال الجبرية تحليلية بعيدًا عن أي أقطاب أو نقاط تفرع قد تكون لها. بالقرب من نقطة تفرع، يمكن تمثيل الدالة الجبرية بمتسلسلة بويزو متقاربة ؛ أو بشكل مكافئ، بعد تغيير المتغير${\displaystyle za=t^{e}}$، وتصبح دالة تحليلية لـ${\displaystyle t}$.

من الأمثلة النموذجية للدوال غير التحليلية ما يلي:

• دالة القيمة المطلقة${\displaystyle x\mapsto |x|}$لا تُعدّ الأعداد الحقيقية تحليلية عند${\displaystyle 0}$الدالة المقابلة${\displaystyle z\mapsto |z|}$لا يكون التحليل المركب على الأعداد المركبة تحليليًا مركبًا على أي مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• الدوال المعرفة على أجزاء (الدوال المعطاة بصيغ مختلفة في مناطق مختلفة) عادة ما تكون غير تحليلية عند التقاء الأجزاء.
• الدالة المرافقة المعقدة​${\displaystyle z\to z^{*}}$ليست دالة تحليلية معقدة، على الرغم من أن تقييدها على خط الأعداد الحقيقية هو دالة التطابق، وبالتالي فهي دالة تحليلية حقيقية، وهي دالة تحليلية حقيقية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$إلى​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ .
• الدوال الملساء الأخرى غير التحليلية ، وعلى وجه الخصوص أي دالة ملساء${\displaystyle f}$مع دعم مضغوط لا يساوي الصفر تمامًا، أي${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\setminus \{0\}}$لا يمكن أن يكون تحليليًا على جميع${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[ ^{3 ]​}

الشروط التالية متكافئة:

1. ${\displaystyle f}$هي دالة تحليلية حقيقية على مجموعة مفتوحة${\displaystyle D}$⁠ .
2. يوجد امتداد تحليلي معقد لـ${\displaystyle f}$إلى مجموعة مفتوحة${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$الذي يحتوي على${\displaystyle D}$⁠ .
3. ${\displaystyle f}$سلس ومناسب لكل مجموعة صغيرة${\displaystyle K\subset D}$يوجد ثابت${\displaystyle C}$بحيث يكون لكل${\displaystyle x\in K}$وكل عدد صحيح غير سالب${\displaystyle k}$ينطبق الحد التالي؛ ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

الدوال التحليلية المعقدة مكافئة تمامًا للدوال الهولومورفية ، وبالتالي يسهل تحديد خصائصها بشكل كبير.

في حالة الدالة التحليلية ذات المتغيرات المتعددة (انظر أدناه)، يمكن تحديد التحليلية الحقيقية باستخدام تحويل فورييه-بروس-ياغولنيتزر .

في حالة المتغيرات المتعددة، تحقق الدوال التحليلية الحقيقية تعميمًا مباشرًا للخاصية الثالثة. ^{[ 5 ]} ليكن${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$لتكن مجموعة مفتوحة، ولتكن ⁠${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ثم​${\displaystyle f}$التحليل الحقيقي على${\displaystyle U}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ولكل علبة${\displaystyle K\subseteq U}$يوجد ثابت${\displaystyle C}$بحيث يكون لكل مؤشر متعدد${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}}$ينطبق الحد التالي ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha$$ !}

• إن مجموع الدوال التحليلية ، وحاصل ضربها، وتركيبها هي دوال تحليلية.
• مقلوب الدالة التحليلية التي لا تساوي صفرًا في أي مكان هو دالة تحليلية .
• في متغير واحد، يكون معكوس الدالة التحليلية أحادية التقابل التي لا تساوي مشتقتها صفرًا في أي نقطة دالة تحليلية. أما في عدة متغيرات، فيكون الشرط المقابل هو أن تكون المشتقة دالة خطية قابلة للعكس، أو بصورة مكافئة، أن يكون محدد جاكوبي غير صفري.
• أي دالة تحليلية تكون سلسة ، أي قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. لا يصح العكس بالنسبة للدوال الحقيقية؛ في الواقع، بمعنى ما، تُعتبر الدوال التحليلية الحقيقية قليلة العدد مقارنةً بجميع الدوال الحقيقية القابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. أما بالنسبة للأعداد المركبة، فيصح العكس: أي دالة لها مشتقة مركبة واحدة على مجموعة مفتوحة تكون تحليلية على تلك المجموعة (انظر §  التحليلية وقابلية التفاضل ).
• لأي مجموعة مفتوحة${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$، المجموعة​${\displaystyle A(\Omega )}$من جميع الدوال التحليلية${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {C} }$هي فضاء فريشيه بالنسبة للتقارب المنتظم على المجموعات المتراصة. إن كون النهايات المنتظمة على المجموعات المتراصة للدوال التحليلية تحليلية هو نتيجة مباشرة لنظرية موريرا . المجموعة${\displaystyle A_{\infty }(\Omega )}$جميع الدوال التحليلية المحدودة ذات المعيار الأعلى هي فضاء باناخ .
• في المقابل، لا تكون الدوال التحليلية الحقيقية على مجموعة مفتوحة كاملةً في ظل طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المدمجة، إذ لا يشترط أن تكون النهايات المدمجة المفتوحة للدوال التحليلية الحقيقية تحليلية حقيقية. وتكون الدوال التحليلية الحقيقية كثيفة في فضاء الدوال المتصلة في طوبولوجيا المجموعات المدمجة المفتوحة.

لا يمكن أن تكون قيمة كثيرة الحدود صفرًا عند عدد كبير جدًا من النقاط إلا إذا كانت كثيرة الحدود الصفرية (بتعبير أدق، يكون عدد الأصفار على الأكثر مساويًا لدرجة كثيرة الحدود). وينطبق بيان مشابه، وإن كان أضعف، على الدوال التحليلية. إذا كانت مجموعة أصفار دالة تحليلية${\displaystyle f}$إذا كان للدالة نقطة تراكم داخل نطاقها ، فإن${\displaystyle f}$تكون قيمة ⁠ صفرًا في كل مكان على المكون المتصل الذي يحتوي على نقطة التراكم. بعبارة أخرى، إذا ⁠${\displaystyle (r_{n})}$⁠ عبارة عن سلسلة من الأرقام المختلفة بحيث ⁠${\displaystyle f(r_{n})=0}$للجميع​​${\displaystyle n}$وتتقارب هذه المتتالية إلى نقطة${\displaystyle r}$في نطاق​${\displaystyle D}$ثم​​${\displaystyle f}$يساوي الصفر تمامًا على المكون المتصل من${\displaystyle D}$يحتوي على​${\displaystyle r}$. وهذا ما يُعرف بنظرية الهوية .

أيضًا، إذا كانت جميع مشتقات الدالة التحليلية عند نقطة ما تساوي صفرًا، فإن الدالة تكون ثابتة على المكون المتصل المقابل.

تشير هذه التصريحات إلى أنه على الرغم من أن الدوال التحليلية لديها درجات حرية أكثر من كثيرات الحدود، إلا أنها لا تزال جامدة إلى حد كبير.

كما ذُكر سابقًا، فإن أي دالة (حقيقية أو مركبة) قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية في جوارٍ تُساوي فيه متسلسلة قوى متقاربة. في جوار نقطة التحليلية، توجد متسلسلة قوى متقاربة تُساوي الدالة في ذلك الجوار، لذا فإن الدالة قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية هناك. توجد دوال حقيقية ملساء غير تحليلية: انظر: الدوال الملساء غير التحليلية . في الواقع، يوجد العديد من هذه الدوال.

يختلف الوضع تمامًا عند النظر إلى الدوال التحليلية المركبة والمشتقات المركبة. أي دالة قابلة للتفاضل المركب في قرص مفتوح مركزه عند${\displaystyle z=z_{0}}$تكون الدالة التحليلية ( الهولومورفية ) تحليلية هناك ، والعكس صحيح، أي دالة معطاة بمتسلسلة قوى متقاربة في المتغير المركب${\displaystyle z-z_{0}}$تكون الدالة قابلة للتفاضل المركب (وقابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية) على قرص التقارب. ونتيجة لذلك، في التحليل المركب، يُعد مصطلح الدالة التحليلية مرادفًا للدالة الهولومورفية .

توجد اختلافات جوهرية بين الدوال التحليلية الحقيقية والمركبة (يمكن ملاحظة ذلك حتى من خلال اختلاف علاقتها بالتفاضل). تُعدّ خاصية التحليلية للدوال المركبة أكثر تقييدًا، إذ تتطلب شروطًا ضرورية أكثر صرامة، كما تتميز الدوال التحليلية المركبة ببنية أكثر تعقيدًا من نظيراتها الحقيقية. ^{[ 7 ]}

بحسب نظرية ليوفيل ، فإن أي دالة تحليلية عقدية محدودة معرفة على كامل المستوى العقدي تكون ثابتة. أما العبارة المقابلة للدوال التحليلية الحقيقية، مع استبدال المستوى العقدي بخط الأعداد الحقيقية، فهي خاطئة بوضوح؛ ويتضح ذلك من خلال $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$

كذلك، إذا تم تعريف دالة تحليلية مركبة في كرة مفتوحة حول نقطة ما${\displaystyle x_{0}}$، وتوسع سلسلة القوى الخاصة بها في${\displaystyle x_{0}}$الدالة متقاربة في الكرة المفتوحة بأكملها ( الدوال التحليلية هي دوال تحليلية ). هذه العبارة بالنسبة للدوال التحليلية الحقيقية (حيث تعني الكرة المفتوحة فترة مفتوحة من خط الأعداد الحقيقية وليس قرصًا مفتوحًا من المستوى المركب) ليست صحيحة بشكل عام؛ فالدالة المذكورة في المثال أعلاه تعطي مثالًا على ذلك .${\displaystyle x_{0}=0}$وكرة نصف قطرها يتجاوز ${\displaystyle 1}$، بما أن متسلسلة القوى${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$يتباعد من أجل${\displaystyle \vert x\vert \geq 1}$⁠ .

يمكن تمديد أي دالة تحليلية حقيقية على مجموعة مفتوحة ما على خط الأعداد الحقيقية إلى دالة تحليلية مركبة على مجموعة مفتوحة ما في المستوى المركب. مع ذلك، لا يمكن تمديد كل دالة تحليلية حقيقية معرفة على خط الأعداد الحقيقية بأكمله إلى دالة مركبة معرفة على المستوى المركب بأكمله.${\displaystyle f(x)}$إن التعريف الوارد في الفقرة أعلاه هو مثال مضاد، لأنه غير مُعرَّف لـ${\displaystyle x=\pm i}$وهذا يفسر سبب كون متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle f(x)}$يتباعد من أجل${\displaystyle \vert x\vert >1}$أي أن نصف قطر التقارب هو${\displaystyle 1}$لأن الدالة المعقدة لها قطب عند مسافة معينة${\displaystyle 1}$من وجهة نظر التقييم${\displaystyle 0}$ولا توجد أقطاب أخرى داخل القرص المفتوح ذي نصف القطر${\displaystyle 1}$حول نقطة التقييم.

إذا كانت الدالة تحليلية عند${\displaystyle a}$ثم تتقارب متسلسلة تايلور الخاصة بها إلى الدالة في جوار مفتوح ما لـ${\displaystyle a}$وبشكل عام، بالنسبة لأي سلسلة قوى $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}c_{n}(xa)^{n},}$$ يوجد عدد${\displaystyle R}$يُطلق عليه نصف قطر التقارب ، والذي يمكن أن يكون أي عدد غير سالب أو${\displaystyle +\infty }$بحيث تتقارب متسلسلة القوى تقاربًا مطلقًا لـ${\displaystyle |xa|<R}$ويختلف لـ${\displaystyle |xa|>R}$^{[ 8 ] [ 9 ]} وبالتالي ، عندما تتقارب متسلسلة تايلور، فإنها تفعل ذلك في فترة مفتوحة مركزها عند${\displaystyle a}$في الحالة الحقيقية، أو قرص متمركز عند${\displaystyle a}$في الحالة المعقدة. ^{[ 10 ] [ 11 ]} قد تتقارب متسلسلة تايلور تقاربًا مطلقًا أو مشروطًا عند بعض أو كل أو لا شيء من نقاط حدود الفترة المفتوحة أو القرص. ^{[ 12 ]}

في التحليل المركب، يُعرَّف نصف قطر تقارب دالة تحليلية عند نقطة ما بأنه نصف قطر أكبر قرص مفتوح مركزه تلك النقطة، والذي تبقى عنده الدالة تحليلية. وفي كثير من الحالات الشائعة، يكون هذا هو المسافة إلى أقرب نقطة شاذة للدالة في المستوى المركب. ^{[ 13 ]}

وهذا يفسر اختلاف أنصاف أقطار التقارب لمتسلسلات تايلور المألوفة. المتسلسلات لـ${\displaystyle e^{z}}$،${\displaystyle \sin z}$، و${\displaystyle \cos z}$تتمتع هذه الدوال بنصف قطر تقارب لانهائي لأنها دوال كاملة ، ولا تحتوي على نقاط شاذة في المستوى المركب. ^{[ 14 ] [ 15 ]} في المقابل، فإن متسلسلة تايلور لـ${\displaystyle \log(1+z)}$حول${\displaystyle z=0}$له نصف قطر تقارب${\displaystyle 1}$لأن أقرب نقطة تفرد تقع عند${\displaystyle z=-1}$[ ^{16 ]​}

يمكن أن تحدد النقاط الشاذة المعقدة نصف قطر التقارب حتى بالنسبة للدوال الملساء على خط الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، على الرغم من $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ سلس لجميع أنواع الواقع${\displaystyle x}$، نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور الخاصة بها حول${\displaystyle x=0}$يكون${\displaystyle 1}$لأن الدالة المركبة المقابلة لها نقاط تفرد عند${\displaystyle x=i}$و${\displaystyle x=-i}$وهي نقاط على دائرة الوحدة المركبة. ^{[ 17 ]} وبالتالي، حتى بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية، فإن دور النقاط الشاذة المركبة مهم: يمكن أن تكون الدالة قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية على خط الأعداد الحقيقية بأكمله، ومع ذلك يكون لها متسلسلة تايلور بنصف قطر تقارب محدود فقط، لأن العائق المحدد يمكن أن يأتي من النقاط الشاذة في الدالة المركبة المقابلة بدلاً من أي فشل في السلاسة على المحور الحقيقي. ^{[ 18 ]}

قد تتقارب متسلسلة القوى عند كل نقطة من حدود قرص تقاربها، ومع ذلك قد لا تمتد بشكل كامل خارج ذلك القرص. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \alpha >0}$إذا لم يكن عددًا صحيحًا، فإن متسلسلة ذات الحدين$${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha} {n}}z^{n}}$$ له نصف قطر تقارب${\displaystyle R=1}$^{[ 19 ]} تتقارب المتسلسلة في كل مكان على القرص المغلق ذي الوحدة، بما في ذلك كل نقطة حدودية. ومع ذلك، بالنسبة للقيم غير الصحيحة${\displaystyle \alpha }$، الوظيفة${\displaystyle (1+z)^{\alpha }}$لا تمتد كدالة هولومورفية أحادية القيمة إلى أي جوار لـ${\displaystyle z=-1}$[ ^{20 ] وبالتالي فإن} العائق أمام الاستمرار التحليلي عند نقطة الحدود${\displaystyle z=-1}$لا يُعدّ هذا فشلاً في تقارب متسلسلة القوى، ولا قطباً أو نقطة تفرد جوهرية ، بل هو تفرع في الاستمرار التحليلي. في الواقع،${\displaystyle z=-1}$هي نقطة تفرع للدالة. ^{[ 21 ] [ 22 ]} وهذا يوضح أن التقارب على القرص المغلق أضعف من قابلية التمديد الهولومورفي خارج الحدود.

لأن الدوال التحليلية تُمثَّل محليًا بمتسلسلات القوى، فإن قيمة الدالة في جوار صغير قد تُحدِّد أحيانًا قيمًا في منطقة أوسع. تُسمى هذه العملية بالاستمرار التحليلي . بدءًا من تمثيل متسلسلة القوى في جوار واحد، يُمكن أحيانًا استخدام هذا التمثيل لتعريف الدالة في جوارات متداخلة، ومواصلة هذه العملية على طول مسارات في المجال.

تكون الاستمرارية التحليلية فريدة عندما توجد على مجال متصل. بتعبير أدق، إذا اتفقت دالتان تحليليتان على مجموعة مفتوحة متصلة على مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة، أو بشكل أعم على مجموعة تحتوي على نقطة تراكم في المجال، فإنهما تتفقان في كل مكان على تلك المجموعة المفتوحة المتصلة. هذا شكل من أشكال نظرية الهوية .

مع ذلك، ليس بالضرورة أن يكون الاستمرار التحليلي ممكنًا في كل مكان، وليس بالضرورة أن يكون ذا قيمة واحدة. على سبيل المثال، اللوغاريتم الطبيعي تحليلي محليًا على${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$لكن الاستمرار حول مسار مغلق يحيط${\displaystyle 0}$يغير قيمتها بمقدار مضاعف صحيح لـ${\displaystyle 2\pi i}$ولهذا السبب، يمكن تعريف فرع ذي قيمة واحدة للوغاريتم على مجالات مثل${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}$لكن ليس في كل مكان${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$يؤدي أخذ دالة تحليلية واحدة في قرص وتكوين جميع التتابعات التحليلية الممكنة لها، بشكل عام، إلى سطح ريمان يغطي مجموعة فرعية مفتوحة من كرة ريمان . تكون الدالة التحليلية العامة التي يتم الحصول عليها بهذه الطريقة، بطبيعة الحال، حزمة وليست دالة: كل جرثومة هي متسلسلة قوى متقاربة في قرص ما، ولكن يمكن تكديس عدة جرثومات فوق بعضها البعض. ^{[ 23 ]}

تُوفر الدوال الجبرية مصدراً آخر للاستمرار التحليلي متعدد القيم. على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f(z)={\sqrt {1-z}}}$هي تحليلية، حيث يكون الفرع بحيث${\displaystyle f(0)=1}$، له متسلسلة قوى متقاربة في القرص${\displaystyle |z|<1}$ويمكن تمديدها حول حلقة تحيط بـ${\displaystyle z=1}$لكنها تتحول إلى قيمتها السالبة بعد دورة واحدة. سطح ريمان المرتبط بدالة جبرية هو غطاء متفرع محدود لكرة ريمان.

تُعرَّف العديد من الدوال الخاصة أولاً بواسطة متسلسلة قوى أو صيغة تكاملية على نطاق محدود، ثم تُوسَّع بواسطة الاستمرار التحليلي. على سبيل المثال، تُعرَّف دالة زيتا لريمان مبدئيًا بواسطة متسلسلة ديريشليه.$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$$ ل${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$، لكنها تمتلك امتدادًا ميرومورفيًا إلى المستوى المركب، مع قطب بسيط واحد عند${\displaystyle s=1}$.

يمكن تعريف الدوال التحليلية في عدة متغيرات باستخدام متسلسلات القوى في تلك المتغيرات (انظر متسلسلات القوى ). تشترك الدوال التحليلية في عدة متغيرات في بعض الخصائص مع الدوال التحليلية في متغير واحد. مع ذلك، وخاصةً بالنسبة للدوال التحليلية المركبة، تظهر ظواهر جديدة ومثيرة للاهتمام في بُعدين أو أكثر من الأبعاد المركبة.

• لا تكون المجموعات الصفرية للدوال التحليلية المركبة في أكثر من متغير منفصلة أبدًا إذا كانت غير فارغة. ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية هارتوغز للتمديد .
• تتألف مجالات التماثل التام للدوال أحادية القيمة من مجموعات مفتوحة (متصلة) عشوائية. مع ذلك، في العديد من المتغيرات المركبة، لا تمثل سوى بعض المجموعات المفتوحة المتصلة مجالات تماثل تام. ويؤدي توصيف مجالات التماثل التام إلى مفهوم التحدب الزائف .

يمكن صياغة مفاهيم مماثلة للتحليلية على حقول كاملة القيم أخرى ، والأعداد الحقيقية والمركبة هما أبرز مثالين حيث تكون القيمة المطلقة أرخميدية . كما يمكن تعريف الدوال التحليلية على حقول محلية غير أرخميدية ، مثل الأعداد p-adic.${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$وحقول امتدادها المحدودة ، وحقول متسلسلات لوران الرسمية${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$على حقل منتهٍ . ^{[ 24 ]}

لو${\displaystyle K}$هو حقل ذو قيم كاملة، دالة على جوار نقطة${\displaystyle a\in K}$يُطلق عليها اسم تحليلية إذا تم تمثيلها محليًا بواسطة متسلسلة قوى متقاربة $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}$$ بمعاملات في${\displaystyle K}$في الحالة غير الأرخميدية، يخضع التقارب لقيمة مطلقة فائقة القياس ، وتختلف النظرية الناتجة اختلافًا كبيرًا عن كل من التحليل الحقيقي والتحليل المركب. ^{[ 25 ]}

على سبيل المثال، متسلسلة قوى على${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$$ يتقارب إلى دالة تحليلية على الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\in \mathbb {Q} _{p}\mid |x|_{p}\leq 1\}}$إذا وفقط إذا $${\displaystyle |a_{n}|_{p}\to 0.}$$ وبالمثل، فإن المتسلسلة على حقل امتداد محدود${\displaystyle K}$يتقارب حقل p -adic على حلقة الأعداد الصحيحة إذا وفقط إذا${\displaystyle |a_{n}|_{K}\to 0}$والسبب هو المعيار الفائق القياس: إذا${\displaystyle |x|_{K}\leq 1}$، ثم${\displaystyle |a_{n}x^{n}|\leq |a_{n}|}$وتعني خاصية القياس الفائق أن أي جزء أوسط من المتسلسلة يحقق الشرط التالي: $${\displaystyle \left|\sum _{n=N}^{M}a_{n}x^{n}\right|_{K}\leq \max _{N\leq n\leq M}|a_{n}|.}$$

وبشكل أعم، على القرص المغلق $${\displaystyle a+\pi ^{m}{\mathcal {O}}_{K}=\{x:|x-a|\leq |\pi |^{m}\},}$$ سلسلة $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}$$ يتقارب على ذلك القرص إذا وفقط إذا $${\displaystyle |b_{n}|\,|\pi |^{mn}\to 0.}$$ هنا${\displaystyle \pi }$يشير إلى مُوحِّد${\displaystyle K|\mathbb {Q} _{p}}$.

في حقل غير أرخميدسي، ترتبط حلقة الدوال التحليلية على قرص مغلق بجبر تيت ، وهو جبر متسلسلات القوى التي تؤول معاملاتها إلى الصفر بسرعة كافية. تُعدّ هذه النظرة أساسية في الهندسة التحليلية الصلبة وغيرها من أشكال الهندسة التحليلية غير الأرخميدية. ^{[ 26 ]}

• معادلات كوشي-ريمان
• دالة هولومورفية
• نظرية بالي-وينر
• دالة شبه تحليلية
• تركيبات لا نهائية من الدوال التحليلية
• دالة سلسة غير تحليلية

• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. Graduate Texts in Mathematics 11 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Krantz, Steven; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.
• Gamelin, Theodore W. (2004). Complex Analysis. Springer. ISBN 9788181281142.

• "Analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W."Analytic Function". MathWorld.
• Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov