الرياضيات البحتة

هذه المقالة مكتوبة على هيئة تأمل شخصي أو مقال شخصي أو مقال جدلي يوضح المشاعر الشخصية لمحرر ويكيبيديا أو يعرض حجة أصلية حول موضوع ما. يرجى المساعدة في تحسينها من خلال إعادة كتابتها بأسلوب موسوعي . ( ديسمبر 2023 ) ( تعرف على كيفية ومتى تحذف هذه الرسالة )

جزء من سلسلة عن
الرياضيات
تاريخ فِهرِس
المناطق نظرية الأعداد الهندسة الجبر حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضيات المنفصلة المنطق ونظرية المجموعات احتمال الإحصاء ونظرية القرار العلاقة مع العلوم الفيزياء كيمياء علوم الأرض حساب علم الأحياء علم اللغة الاقتصاد فلسفة تعليم
بوابة الرياضيات
ف ت هـ

الرياضيات البحتة هي دراسة المفاهيم الرياضية بشكل مستقل عن أي تطبيق خارج الرياضيات . قد تنشأ هذه المفاهيم من مخاوف العالم الحقيقي، وقد يتبين لاحقًا أن النتائج التي تم الحصول عليها مفيدة للتطبيقات العملية، لكن علماء الرياضيات البحتة لا يحفزهم في المقام الأول مثل هذه التطبيقات. بدلاً من ذلك، يُعزى الجاذبية إلى التحدي الفكري والجمال الجمالي لاستخلاص النتائج المنطقية للمبادئ الأساسية.

في حين أن الرياضيات البحتة كانت موجودة كنشاط منذ اليونان القديمة على الأقل ، فقد تم تطوير المفهوم حوالي عام 1900، ^[2] بعد تقديم نظريات ذات خصائص غير بديهية (مثل الهندسة غير الإقليدية ونظرية كانتور للمجموعات اللانهائية)، واكتشاف المفارقات الظاهرة (مثل الدوال المستمرة التي لا يمكن التفاضل بينها في أي مكان ، ومفارقة راسل ). أدى هذا إلى الحاجة إلى تجديد مفهوم الصرامة الرياضية وإعادة كتابة جميع الرياضيات وفقًا لذلك، مع الاستخدام المنهجي للطرق البديهية . دفع هذا العديد من علماء الرياضيات إلى التركيز على الرياضيات من أجل ذاتها، أي الرياضيات البحتة.

ومع ذلك، ظلت جميع النظريات الرياضية تقريبًا مدفوعة بمشكلات قادمة من العالم الحقيقي أو من نظريات رياضية أقل تجريدًا. أيضًا، تم استخدام العديد من النظريات الرياضية، التي بدت وكأنها رياضيات نقية تمامًا، في النهاية في مجالات تطبيقية، وخاصة الفيزياء وعلوم الكمبيوتر. ومن الأمثلة المبكرة الشهيرة إثبات إسحاق نيوتن أن قانونه للجاذبية الكونية يعني أن الكواكب تتحرك في مدارات ذات قطاعات مخروطية، وهي منحنيات هندسية تمت دراستها في العصور القديمة من قبل أبولونيوس . مثال آخر هو مشكلة تحليل الأعداد الصحيحة الكبيرة ، والتي تشكل أساس نظام التشفير RSA ، المستخدم على نطاق واسع لتأمين اتصالات الإنترنت . ^[3]

ومن ثم، فإن التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية في الوقت الحاضر هو وجهة نظر فلسفية أو تفضيل رياضياتي أكثر منه تقسيمًا صارمًا للرياضيات. ^[4]

كان علماء الرياضيات اليونانيون القدماء من أوائل من ميزوا بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. ساعد أفلاطون في خلق الفجوة بين "الحساب"، الذي يُسمى الآن نظرية الأعداد ، و"اللوجستي"، الذي يُسمى الآن الحساب . اعتبر أفلاطون أن الحساب اللوجستي مناسب لرجال الأعمال ورجال الحرب الذين "يجب أن يتعلموا فن الأعداد وإلا فلن يعرفوا كيفية ترتيب قواتهم" والحساب (نظرية الأعداد) مناسب للفلاسفة "لأنهم يجب أن ينهضوا من بحر التغيير ويمسكوا بالوجود الحقيقي". ^{[5] عندما سأل أحد طلابه} إقليدس الإسكندري عن فائدة دراسة الهندسة، طلب من عبده أن يعطي الطالب ثلاثة بنسات، "لأنه يجب أن يستفيد مما يتعلمه". ^[6] سُئل عالم الرياضيات اليوناني أبولونيوس من برجا عن فائدة بعض نظرياته في الكتاب الرابع من المخروطيات والتي أكد عليها بفخر، ^[7]

إنها جديرة بالقبول من أجل البراهين نفسها، بنفس الطريقة التي نقبل بها أشياء أخرى كثيرة في الرياضيات لهذا السبب فقط وليس لأي سبب آخر.

وبما أن العديد من نتائجه لم تكن قابلة للتطبيق على العلوم أو الهندسة في عصره، فقد زعم أبولونيوس في مقدمة الكتاب الخامس من المخروطيات أن هذا الموضوع هو أحد تلك الموضوعات التي "... تبدو جديرة بالدراسة في حد ذاتها". ^[7]

المصطلح نفسه منصوص عليه في العنوان الكامل لكرسي سادليري ، "أستاذ سادليري للرياضيات البحتة"، الذي تأسس (كأستاذ) في منتصف القرن التاسع عشر. ربما ظهرت فكرة وجود تخصص منفصل للرياضيات البحتة في ذلك الوقت. لم يقم جيل جاوس بأي تمييز شامل بين الرياضيات البحتة والتطبيقية . في السنوات التالية ، بدأ التخصص والاحتراف (خاصة في نهج فايرستراس للتحليل الرياضي ) في جعل الصدع أكثر وضوحًا.

في بداية القرن العشرين، تبنى علماء الرياضيات المنهج البديهي ، متأثرين بشدة بمثال ديفيد هيلبرت . وبدا أن الصياغة المنطقية للرياضيات البحتة التي اقترحها برتراند راسل من حيث بنية الكم للاقتراحات أصبحت أكثر معقولية، حيث أصبحت أجزاء كبيرة من الرياضيات بديهية وبالتالي خاضعة لمعايير بسيطة من الإثبات الصارم .

الرياضيات البحتة، وفقًا لوجهة نظر يمكن نسبها إلى مجموعة بورباكي ، هي ما تم إثباته. أصبحت "الرياضيات البحتة" مهنة معترف بها، يمكن تحقيقها من خلال التدريب.

وقد زعم البعض أن الرياضيات البحتة مفيدة في تعليم الهندسة : ^[8]

هناك تدريب على عادات التفكير، ووجهات النظر، والفهم الفكري للمشاكل الهندسية العادية، والتي لا يمكن أن توفرها إلا دراسة الرياضيات العليا.

أحد المفاهيم المركزية في الرياضيات البحتة هو فكرة العمومية؛ وغالبًا ما تظهر الرياضيات البحتة ميلًا نحو زيادة العمومية. وتشمل استخدامات ومزايا العمومية ما يلي:

• يمكن أن تؤدي النظريات أو الهياكل الرياضية المعممة إلى فهم أعمق للنظريات أو الهياكل الأصلية
• يمكن أن يؤدي التعميم إلى تبسيط عرض المادة، مما يؤدي إلى تقديم أدلة أو حجج أقصر يسهل متابعتها.
• من الممكن استخدام العمومية لتجنب تكرار الجهود، وإثبات نتيجة عامة بدلاً من الاضطرار إلى إثبات حالات منفصلة بشكل مستقل، أو استخدام نتائج من مجالات أخرى في الرياضيات.
• يمكن أن تسهل العمومية الربط بين فروع مختلفة من الرياضيات. نظرية الفئات هي أحد مجالات الرياضيات المخصصة لاستكشاف هذه القواسم المشتركة للبنية كما تظهر في بعض مجالات الرياضيات.

إن تأثير التعميم على الحدس يعتمد على الموضوع وعلى التفضيل الشخصي أو أسلوب التعلم. وكثيراً ما يُنظَر إلى التعميم باعتباره عائقاً أمام الحدس، رغم أنه قد يعمل بالتأكيد كمساعد له، وخاصة عندما يوفر تشبيهات بموضوعات يتمتع المرء بحدس جيد بشأنها بالفعل.

كمثال رئيسي على العمومية، تضمن برنامج إرلانجن توسعًا في الهندسة لاستيعاب الهندسة غير الإقليدية بالإضافة إلى مجال الطوبولوجيا ، وأشكال أخرى من الهندسة، من خلال النظر إلى الهندسة باعتبارها دراسة للفضاء مع مجموعة من التحويلات. تمتد دراسة الأرقام ، التي تسمى الجبر في مستوى البكالوريوس المبتدئ، إلى الجبر المجرد على مستوى أكثر تقدمًا؛ ودراسة الوظائف ، التي تسمى حساب التفاضل والتكامل على مستوى السنة الأولى بالكلية تصبح تحليلًا رياضيًا وتحليلًا وظيفيًا على مستوى أكثر تقدمًا. كل من هذه الفروع من الرياضيات الأكثر تجريدًا لها العديد من التخصصات الفرعية، وهناك في الواقع العديد من الروابط بين الرياضيات البحتة وتخصصات الرياضيات التطبيقية. لوحظ ارتفاع حاد في التجريد في منتصف القرن العشرين.

ولكن في الممارسة العملية، أدت هذه التطورات إلى انحراف حاد عن الفيزياء ، وخاصة من عام 1950 إلى عام 1983. وقد انتقد هذا لاحقًا، على سبيل المثال من قبل فلاديمير أرنولد ، باعتباره أكثر من هيلبرت ، وليس ما يكفي من بوانكاريه . لا يبدو أن النقطة قد حُسمت بعد، حيث تتجه نظرية الأوتار في اتجاه واحد، بينما تتجه الرياضيات المنفصلة نحو الإثبات كمركز.

كان لعلماء الرياضيات آراء مختلفة دائمًا فيما يتعلق بالتمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. ويمكن العثور على أحد أشهر الأمثلة الحديثة (ولكن ربما تكون غير مفهومة) لهذا النقاش في مقالة جي إتش هاردي عام 1940 بعنوان "اعتذار عالم رياضيات" .

من المعتقد على نطاق واسع أن هاردي اعتبر الرياضيات التطبيقية قبيحة ومملة. على الرغم من أنه من الصحيح أن هاردي فضل الرياضيات البحتة، والتي غالبًا ما قارنها بالرسم والشعر ، إلا أن هاردي رأى أن التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية هو ببساطة أن الرياضيات التطبيقية تسعى إلى التعبير عن الحقيقة الفيزيائية في إطار رياضي، في حين أن الرياضيات البحتة تعبر عن حقائق مستقلة عن العالم المادي. أقام هاردي تمييزًا منفصلاً في الرياضيات بين ما أسماه الرياضيات "الحقيقية"، "التي لها قيمة جمالية دائمة"، و"الأجزاء المملة والابتدائية من الرياضيات" التي لها استخدام عملي. ^[9]

اعتبر هاردي بعض علماء الفيزياء، مثل أينشتاين وديراك ، من بين علماء الرياضيات "الحقيقيين"، ولكن في الوقت الذي كان يكتب فيه اعتذاره ، اعتبر النسبية العامة وميكانيكا الكم "عديمي الفائدة"، مما سمح له بالتمسك بالرأي القائل بأن الرياضيات "المملة" فقط هي المفيدة. وعلاوة على ذلك، اعترف هاردي لفترة وجيزة أنه - تمامًا كما جاء تطبيق نظرية المصفوفة ونظرية المجموعة على الفيزياء بشكل غير متوقع - قد يأتي الوقت حيث قد تكون بعض أنواع الرياضيات "الحقيقية" الجميلة مفيدة أيضًا.

ويقدم عالم الرياضيات الأمريكي أندي ماجد وجهة نظر ثاقبة أخرى :

لطالما اعتقدت أنه يمكن استخلاص نموذج جيد هنا من نظرية الحلقات. في هذا الموضوع، لدينا المجالات الفرعية لنظرية الحلقات التبادلية ونظرية الحلقات غير التبادلية . قد يعتقد المراقب غير المطلع أن هذه تمثل ثنائية، ولكن في الواقع فإن الأخيرة تشمل الأولى: الحلقة غير التبادلية هي حلقة غير تبادلية بالضرورة. إذا استخدمنا اتفاقيات مماثلة، فيمكننا الإشارة إلى الرياضيات التطبيقية والرياضيات غير التطبيقية، حيث نعني بالرياضيات غير التطبيقية الرياضيات غير التطبيقية بالضرورة ... [التأكيد مضاف] ^[10]

لقد زعم فريدريك إنجلز في كتابه " ضد دوهرينغ" الصادر سنة 1878 أن "العقل في الرياضيات البحتة لا يتعامل إلا مع إبداعاته وخياله. إن مفهومي العدد والشكل لم يخترعا من أي مصدر غير عالم الواقع". ^{[11] : 36} كما زعم أن "قبل أن يتوصل المرء إلى فكرة استنتاج شكل الأسطوانة من دوران مستطيل حول أحد أضلاعه، كان لابد من فحص عدد من المستطيلات والأسطوانات الحقيقية، مهما كانت غير كاملة في الشكل. ومثلها كمثل جميع العلوم الأخرى، نشأت الرياضيات من احتياجات البشر... ولكن كما هو الحال في كل قسم من أقسام الفكر، ففي مرحلة معينة من التطور، تصبح القوانين التي تم تجريدها من العالم الحقيقي منفصلة عن العالم الحقيقي، وتوضع ضده كشيء مستقل، كقوانين تأتي من الخارج، والتي يتعين على العالم أن يتوافق معها". ^{[11] : 37}

• الرياضيات التطبيقية
• منطق
• ميتالوجيك
• الرياضيات الميتافيزيقية

• ما هي الرياضيات البحتة؟ – قسم الرياضيات البحتة، جامعة واترلو
• مبادئ الرياضيات لبرتراند راسل