نظرية إقليدس

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 68 صور
الموسوعة الحرة

تُعدّ نظرية إقليدس من أهمّ مبادئ نظرية الأعداد ، إذ تنصّ على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية . وقد برهن عليها إقليدس لأول مرة في كتابه " الأصول" . ويوجد ما لا يقلّ عن 200 برهان لهذه النظرية. [ 1 ]

برهان إقليدس

قدّم إقليدس برهانًا في كتابه "الأصول" (الكتاب التاسع، القضية 20)، [ 2 ] والذي أعيدت صياغته هنا. [ 3 ]

لنفترض أي قائمة منتهية من الأعداد الأولية p₁ , p₂ , ... , pₙ . سنبين أنه يوجد على الأقل عدد أولي إضافي واحد غير موجود في هذه القائمة. ليكن P هو حاصل ضرب جميع الأعداد الأولية في القائمة: P = p₁ p₂ ... pₙ . ليكن q = P + 1. بما أن q إما عدد أولي أو ليس كذلك :         

  • إذا كان q عددًا أوليًا، فهناك على الأقل عدد أولي آخر غير موجود في القائمة، وهو q نفسه.
  • إذا لم يكن q عددًا أوليًا، فإن أحد عوامله الأولية p يقسم q . إذا كان هذا العامل p موجودًا في قائمتنا، فإنه سيقسم P أيضًا (لأن P هو حاصل ضرب جميع الأعداد في القائمة). إذا كان p يقسم P و q ، فلا بد أن يقسم أيضًا الفرق بينهما [ 4 ] ، وهو ( P + 1) - P أو 1. بما أنه لا يوجد عدد أولي يقسم 1، فلا يمكن أن يكون p موجودًا في القائمة. هذا يعني وجود عدد أولي واحد على الأقل غير موجود في القائمة.      

يثبت هذا أنه لكل قائمة منتهية من الأعداد الأولية، يوجد عدد أولي غير موجود في القائمة. [ 5 ] في العمل الأصلي، رمز إقليدس إلى المجموعة المنتهية العشوائية من الأعداد الأولية بالرموز A و  B و  Γ. [ 6 ]

كثيرًا ما يُنسب خطأً إلى إقليدس إثبات هذه النتيجة بالتناقض، بدءًا من افتراض أن المجموعة المنتهية التي تم النظر فيها مبدئيًا تحتوي على جميع الأعداد الأولية، [ 7 ] مع أنها في الواقع برهانٌ بالحالات ، وهو أسلوب برهان مباشر . يقول الفيلسوف توركيل فرانزين ، في كتابٍ عن المنطق: "إن برهان إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ليس برهانًا غير مباشر [...] يُصاغ هذا البرهان أحيانًا على أنه برهان غير مباشر باستبداله بالافتراض التالي: 'لنفترض أن q1 ، ...، qn هي جميع الأعداد الأولية ' . ومع ذلك، بما أن هذا الافتراض لا يُستخدم أصلًا في البرهان، فإن إعادة الصياغة هذه لا طائل منها." [ 8 ]

الاختلافات

توجد عدة اختلافات في برهان إقليدس، بما في ذلك ما يلي:

مضروب العدد الصحيح الموجب n يقبل القسمة على كل عدد صحيح من 2 إلى n ، لأنه حاصل ضربها جميعًا. لذا، فإن n ! + 1 لا يقبل القسمة على أي من الأعداد الصحيحة من 2 إلى n (يعطي باقي قسمة يساوي 1 عند قسمته على أي منها). وبالتالي، فإن n ! + 1 إما عدد أولي أو يقبل القسمة على عدد أولي أكبر من n . في كلتا الحالتين، لكل عدد صحيح موجب n ، يوجد على الأقل عدد أولي واحد أكبر منه . والنتيجة هي أن عدد الأعداد الأولية لا نهائي. [ 9 ]  

برهان أويلر

يعتمد برهان آخر، وضعه عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر ، على النظرية الأساسية في الحساب : أن لكل عدد صحيح تحليلًا وحيدًا إلى عوامله الأولية. ما كتبه أويلر (ليس باستخدام هذه الصيغة الحديثة، وعلى عكس المعايير الحديثة، دون تقييد الوسائط في المجاميع والضرب بأي مجموعات منتهية من الأعداد الصحيحة) يكافئ العبارة [ 10 ].∏ص∈Pك11-1ص=∑ن∈شمالك1ن،{\displaystyle \prod _{p\in P_{k}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}=\sum _{n\in N_{k}}{\frac {1}{n}},} أينPك{\displaystyle P_{k}}يرمز إلى مجموعة الأعداد الأولية k الأولى، وشمالك{\displaystyle N_{k}}هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة التي جميع عواملها الأولية تنتمي إلىPك.{\displaystyle P_{k}.}

ولإظهار ذلك، يقوم المرء بتوسيع كل عامل في المنتج كمتسلسلة هندسية ، ويوزع المنتج على المجموع (هذه حالة خاصة من صيغة أويلر للمنتج لدالة زيتا لريمان ). ∏ص∈Pك11-1ص=∏ص∈Pك∑أنا≥01صأنا=(∑أنا≥012أنا)⋅(∑أنا≥013أنا)⋅(∑أنا≥015أنا)⋅(∑أنا≥017أنا)⋯=∑ℓ،م،ن،ص،...≥012ℓ3م5ن7ص⋯=∑ن∈شمالك1ن.\begin{aligned}\prod_{p\in P_{k}}{\frac{1}{1-{\frac{1}{p}}}}&=\prod_{p\in P_{k}}\sum_{i\geq 0}{\frac{1}{p^{i}}}\\&=\left(\sum_{i\geq 0}{\frac{1}{2^{i}}}\right)\cdot \left(\sum_{i\geq 0}{\frac{1}{3^{i}}}\right)\cdot \left(\sum_{i\geq 0}{\frac{1}{5^{i}}}\right)\cdot \left(\sum_{i\geq 0}{\frac{1}{7^{i}}}\right)\cdots \\&=\sum_{\ell ,m,n,p,\ldots \geq 0}{\frac {1}{2^{\ell }3^{m}5^{n}7^{p}\cdots }}\\&=\sum _{n\in N_{k}}{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}}

في المجموع قبل الأخير، يظهر كل ناتج ضرب أعداد أولية مرة واحدة فقط، لذا فإن المساواة الأخيرة صحيحة وفقًا للنظرية الأساسية للحساب. في نتيجته الأولى لهذه النتيجة، يرمز أويلر إلى برمز مشابه لـ∞{\displaystyle \infty }"اللانهاية المطلقة" ويكتب أن المجموع اللانهائي في العبارة يساوي "القيمة "سجل⁡∞{\displaystyle \log \infty }، والتي يتساوى معها أيضًا حاصل الضرب اللانهائي (في المصطلحات الحديثة، هذا يعادل القول بأن المجموع الجزئي حتىx{\displaystyle x}تتباعد سلسلة التوافقيات تقاربياً مثلسجل⁡x{\displaystyle \log x}ثم في نتيجته الثانية، يشير أويلر إلى أن الناتج ∏ن≥211-1ن2{\displaystyle \prod _{n\geq 2}{\frac {1}{1-{\frac {1}{n^{2}}}}}} يتقارب إلى القيمة المحدودة 2، وبالتالي يوجد عدد أكبر من الأعداد الأولية مقارنةً بالمربعات. وهذا يثبت نظرية إقليدس. [ 11 ]

الرمز الذي استخدمه أويلر للدلالة على اللانهاية

في نفس الورقة (النظرية 19)، استخدم أويلر في الواقع المساواة المذكورة أعلاه لإثبات نظرية أقوى بكثير لم تكن معروفة قبله، وهي أن المتسلسلة ∑ص∈P1ص{\displaystyle \sum _{p\in P}{\frac {1}{p}}} متباعدة ، حيث P ترمز إلى مجموعة جميع الأعداد الأولية (يكتب أويلر أن المجموع اللانهائي يساوي ⁠سجل⁡سجل⁡∞{\displaystyle \log \log \infty }، وهو ما يعادل في المصطلحات الحديثة القول بأن المجموع الجزئي يصل إلىx{\displaystyle x}تتصرف هذه السلسلة بشكل تقاربي مثلسجل⁡سجل⁡x{\displaystyle \log \log x}) .

برهان إردوش

قدّم بول إردوش برهانًا [ 12 ] يعتمد أيضًا على النظرية الأساسية في الحساب. لكل عدد صحيح موجب تحليل فريد إلى عاملين: عدد خالٍ من المربعات r وعدد مربع s² . على سبيل المثال، 75600 = 2² 4² 3² 5² 7² = 2¹ ⋅ 60² .

ليكن N عددًا صحيحًا موجبًا، وليكن k عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي N. لنُسمِّ هذه الأعداد الأولية p₁ , ..., pₖ . أي عدد صحيح موجب a أصغر من أو يساوي N يمكن كتابته على الصورة التالية: أ=(ص1هـ1ص2هـ2⋯صكهـك)s2،{\displaystyle a=\left(p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\right)s^{2},} حيث تكون قيمة كل عنصر من عناصر eᵢ إما 0 أو 1. يوجد 2ᵏ طريقة لتكوين الجزء الخالي من المربعات من العدد a . ويمكن أن تكون قيمة s² على الأكثر N ، لذا فإن s ≤ √N . وبالتالي، يمكن كتابة 2ᵏ√N عددًا على الأكثر بهذه الصيغة. بعبارة أخرى، شمال≤2كشمال.{\displaystyle N\leq 2^{k}{\sqrt {N}}.} أو، بإعادة الترتيب، فإن k ، وهو عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي N ، أكبر من أو يساوي 1/2 log 2 N. وبما أن N قيمة اختيارية، فيمكن أن تكون قيمة k كبيرة كما هو مطلوب باختيار N بشكل مناسب.

برهان فورستنبرغ

في خمسينيات القرن العشرين، قدم هليل فورستنبرغ برهانًا بالتناقض باستخدام طوبولوجيا مجموعة النقاط . [ 13 ]

عرّف بنية طوبولوجية على الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }، والتي تُسمى طوبولوجيا الأعداد الصحيحة المتباعدة بالتساوي ، وذلك بتحديد مجموعة جزئيةيو⊆Z{\displaystyle U\subseteq \mathbb {Z} }تكون المجموعة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت إما المجموعة الفارغة ،∅{\displaystyle \emptyset }أو هو اتحاد متتابعات حسابيةS(أ،ب){\textstyle S(a,b)}(لـ ⁠أ≠0{\displaystyle a\neq 0}حيث​ S(أ،ب)={أن+ب|ن∈Z}=أZ+ب.{\displaystyle S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b.}

ثم ينتج تناقض من الخاصية القائلة بأن مجموعة الأعداد الصحيحة المنتهية لا يمكن أن تكون مفتوحة، ومن الخاصية القائلة بأن مجموعات الأساسS(أ،ب){\textstyle S(a,b)}كلاهما مفتوح ومغلق ، لأن Z∖{-1،+1}=⋃ص برايمS(ص،0){\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p{\text{ prime}}}S(p,0)} لا يمكن أن تكون مغلقة لأن مكملتها منتهية، ولكنها مغلقة لأنها اتحاد منتهٍ لمجموعات مغلقة.

الأدلة الحديثة

البرهان باستخدام مبدأ الإدراج والاستبعاد

كتب خوان بابلو بيناسكو البرهان التالي. [ 14 ]

ليكن p₁ ,  ..., pₙ أصغر N عددًا أوليًا. عندئذٍ، وفقًا لمبدأ الإدراج والاستبعاد ، يكون عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي x والتي تقبل القسمة على أحد هذه الأعداد الأولية هو 

1+∑أنا⌊xصأنا⌋-∑أنا<ج⌊xصأناصج⌋+∑أنا<ج<ك⌊xصأناصجصك⌋-⋯⋯±(-1)شمال+1⌊xص1⋯صشمال⌋.(1){\displaystyle {\begin{aligned}1+\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor -\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor &+\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor -\cdots \\&\cdots \pm (-1)^{N+1}\left\lfloor {\frac {x}{p_{1}\cdots p_{N}}}\right\rfloor .\qquad (1)\end{aligned}}}

القسمة على x وترك x  →  ∞ يعطي

∑أنا1صأنا-∑أنا<ج1صأناصج+∑أنا<ج<ك1صأناصجصك-⋯±(-1)شمال+11ص1⋯صشمال.(2){\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{p_{i}}}-\sum _{i<j}{\frac {1}{p_{i}p_{j}}}+\sum _{i<j<k}{\frac {1}{p_{i}p_{j}p_{k}}}-\cdots \pm (-1)^{N+1}{\frac {1}{p_{1}\cdots p_{N}}}.\qquad (2)}

يمكن كتابة ذلك على النحو التالي

1-∏أنا=1شمال(1-1صأنا).(3){\displaystyle 1-\prod _{i=1}^{N}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\qquad (3)}

إذا لم توجد أعداد أولية أخرى غير p1 ، ...  ، pN ، فإن التعبير في (1) يساوي  ⌊x⌋{\displaystyle \lfloor x\rfloor }والتعبير في (2) يساوي 1، ولكن من الواضح أن  التعبير في (3) لا يساوي 1. لذلك، يجب أن يكون هناك عدد أكبر من الأعداد الأولية من p1 ، ... ، pN .   

إثبات باستخدام صيغة ليجندر

في عام 2010، نشر جونهو بيتر وانغ البرهان التالي بالتناقض. [ 15 ] ليكن k أي عدد صحيح موجب. إذن، وفقًا لصيغة ليجندر (التي تُنسب أحيانًا إلى دي بولينياك ) ك!=∏ص برايمصو(ص،ك){\displaystyle k!=\prod _{p{\text{ prime}}}p^{f(p,k)}} أين و(ص،ك)=⌊كص⌋+⌊كص2⌋+⋯.{\displaystyle f(p,k)=\left\lfloor {\frac {k}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {k}{p^{2}}}\right\rfloor +\cdots .}و(ص،ك)<كص+كص2+⋯=كص-1≤ك.{\displaystyle f(p,k)<{\frac {k}{p}}+{\frac {k}{p^{2}}}+\cdots ={\frac {k}{p-1}}\leq k.}

لكن إذا كان عدد الأعداد الأولية محدودًا فقط، فإن ليمك→∞(∏صص)كك!=0،{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left(\prod _{p}p\right)^{k}}{k!}}=0,} (سينمو بسط الكسر بشكل أسي فردي بينما ينمو المقام بشكل أسرع من النمو الأسي الفردي وفقًا لتقريب ستيرلينغ )، وهو ما يتناقض مع حقيقة أن البسط لكل قيمة k أكبر من أو يساوي المقام.

البرهان بالبناء

قدم فيليب سايداك البرهان التالي عن طريق البناء ، والذي لا يستخدم reductio ad absurdum [ 16 ] أو ليمّة إقليدس (أنه إذا كان العدد الأولي p يقسم ab فإنه يجب أن يقسم a أو b ). 

بما أن لكل عدد طبيعي أكبر من 1 عاملًا أوليًا واحدًا على الأقل ، وبما أن العددين المتتاليين n و ( n  +  1) لا يشتركان في أي عامل أولي، فإن حاصل ضرب n ( n  +  1) يحتوي على عوامل أولية مختلفة أكثر من العدد n نفسه. لذا، فإن سلسلة الأعداد الأولية 1 × 2 = 2 {2}، 2 × 3 = 6 {2، 3}، 6 × 7 = 42 {2، 3، 7}، 42 × 43 = 1806 {2، 3، 7، 43}، 1806 × 1807 = 3263442 {2، 3، 7، 43، 13، 139}، ... تُشكل سلسلة من مجموعات الأعداد الأولية المتزايدة بلا حدود.        

البرهان باستخدام طريقة عدم الانضغاط

لنفترض أن هناك k عددًا أوليًا فقط ( p1 , ..., pk ). وفقًا للنظرية الأساسية في الحساب ، يمكن تمثيل أي عدد صحيح موجب n على النحو التالي :ن=ص1هـ1ص2هـ2⋯صكهـك،{\displaystyle n={p_{1}}^{e_{1}}{p_{2}}^{e_{2}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},} حيث تكفي الأسس الصحيحة غير السالبة e i مع قائمة الأعداد الأولية ذات الحجم المحدود لإعادة بناء العدد. بما أنصأنا≥2{\displaystyle p_{i}\geq 2}بالنسبة لجميع قيم i ، يترتب على ذلك أنهـأنا≤إل جي⁡ن{\displaystyle e_{i}\leq \lg n}لكل i (حيثإل جي{\displaystyle \lg }(يشير إلى اللوغاريتم ذي الأساس 2). ينتج عن ذلك ترميز لـ n بالحجم التالي (باستخدام ترميز Big O ): يا(حجم القائمة الرئيسية+كإل جي⁡إل جي⁡ن)=يا(إل جي⁡إل جي⁡ن){\displaystyle O({\text{prime list size}}+k\lg \lg n)=O(\lg \lg n)}بتات. هذا ترميز أكثر كفاءة بكثير من تمثيل n مباشرةً بالنظام الثنائي، والذي يستغرقشمال=يا(إل جي⁡ن){\displaystyle N=O(\lg n)}البتات. تنص إحدى النتائج الراسخة في ضغط البيانات بدون فقدان على أنه لا يمكن عمومًا ضغط N بت من المعلومات إلى أقل من N بت. يخالف التمثيل أعلاه هذه النتيجة بشكل كبير عندما تكون n كبيرة بما يكفي ، لأنإل جي⁡إل جي⁡ن=o(إل جي⁡ن){\displaystyle \lg \lg n=o(\lg n)}لذلك ، يجب ألا يكون عدد الأعداد الأولية محدودًا. [ 17 ]

برهان باستخدام حجة الزوجي والفردي

استخدم روميو ميستروفيتش حجة الزوجي والفردي لإثبات أنه إذا لم يكن عدد الأعداد الأولية لانهائيًا، فإن 3 هو أكبر عدد أولي، وهو تناقض. [ 18 ]

لنفترض أنص1=2<ص2=3<ص3<⋯<صك{\displaystyle p_{1}=2<p_{2}=3<p_{3}<\cdots <p_{k}}جميعها أعداد أولية. تأملP=3ص3ص4⋯صك{\displaystyle P=3p_{3}p_{4}\cdots p_{k}}ولاحظ أنه بافتراض أن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولية نسبياً معها تنتمي إلى المجموعة ⁠S={1،2،22،23،...}{\displaystyle S=\{1,2,2^{2},2^{3},\dots \}}. على وجه الخصوص،2{\displaystyle 2}يُعدّ موقعاً متميزاً نسبياً لـP{\displaystyle P}وكذلك هوP-2{\displaystyle P-2}ومع ذلك، هذا يعني أنP-2{\displaystyle P-2}هو عدد فردي في المجموعةS{\displaystyle S}، لذا​P-2=1{\displaystyle P-2=1}أو​​P=3{\displaystyle P=3}وهذا يعني أن3{\displaystyle 3}يجب أن يكون أكبر عدد أولي، وهذا تناقض.

يستمر البرهان المذكور أعلاه في العمل إذا2{\displaystyle 2}يتم استبداله بأي عدد أوليصج{\displaystyle p_{j}}مع​ج∈{1،2،...،ك-1}{\displaystyle j\in \{1,2,\dots ,k-1\}}المنتج​P{\displaystyle P}يصبحص1ص2⋯صج-1⋅صج+1⋯صك{\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{j-1}\cdot p_{j+1}\cdots p_{k}}ويتم استبدال النقاش بين الأعداد الزوجية والفردية بنقاش بين الأعداد القابلة للقسمة وغير القابلة للقسمة علىصج{\displaystyle p_{j}}الحجة. والتناقض الناتج هو أنP-صج{\displaystyle P-p_{j}}يجب أن يساوي، في الوقت نفسه1{\displaystyle 1}ويكون أكبر من1{\displaystyle 1}، [ أ ] وهو أمر مستحيل .

نتائج أقوى

إن النظريات الواردة في هذا القسم تستلزم في آن واحد نظرية إقليدس ونتائج أخرى.

نظرية ديريشليه حول المتتابعات الحسابية

تنص نظرية ديريشليه على أنه لأي عددين صحيحين موجبين أوليين فيما بينهما a و d ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على الصورة a + nd ، حيث n عدد صحيح موجب أيضًا. بعبارة أخرى، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التي تُطابق a بتردد d .   

نظرية الأعداد الأولية

لنفترض أن π ( x ) هي دالة عد الأعداد الأولية التي تعطي عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي x ، لأي عدد حقيقي x . تنص نظرية الأعداد الأولية على أن x /log x هو تقريب جيد لـ π ( x ) ، بمعنى أن نهاية قسمة الدالتين π ( x ) و x /log x عندما تزداد x بلا حدود تساوي 1 . ليمx→∞π(x)x/سجل⁡(x)=1.{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.}

باستخدام الترميز التقاربي، يمكن إعادة صياغة هذه النتيجة على النحو التالي: π(x)∼xسجل⁡x.{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}

وهذا يؤدي إلى نظرية إقليدس، لأنليمx→∞xسجل⁡x=∞.{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {x}{\log x}}=\infty .}

نظرية برتراند-تشيبشيف

في نظرية الأعداد ، تنص مسلمة برتراند على أنه لأي عدد صحيح ⁠ن>1{\displaystyle n>1}يوجد دائمًا عدد أولي واحد على الأقل بحيث ن<ص<2ن.{\displaystyle n<p<2n.} بمعنى آخر، الكتابةπ(x){\displaystyle \pi (x)}بالنسبة لدالة عد الأعداد الأولية (عدد الأعداد الأولية الأقل من أو يساوي ⁠x{\displaystyle x}تنص النظرية على أنπ(x)-π(x2)≥1{\textstyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1}للجميع​x≥2{\displaystyle x\geq 2}⁠ .

طُرحت هذه الفرضية لأول مرة عام 1845 على يد جوزيف برتراند [ 19 ] (1822-1900). وقد تحقق برتراند نفسه من صحة فرضيته لجميع الأعداد في الفترة [2، 3 × 10⁶ ] . وقد أثبت تشيبيشيف ( 1821-1894 ) فرضيته بشكل كامل عام 1852 [ 20 ] ، ولذا تُعرف هذه الفرضية أيضًا باسم نظرية برتراند-تشيبيشيف أو نظرية تشيبيشيف .

ملحوظات

  1. ↑ في البرهان أعلاه (مع ⁠ج=1،صج=2{\displaystyle j=1,p_{j}=2}، سيبدو هذا التناقض على النحو التالي :1=P-2>3صك-2>2>1{\displaystyle 1=P-2>3p_{k}-2>2>1}. في البرهان الأكثر عمومية، سيكون التناقض كما يلي :1=P-صج>2صك-صج>صج>1{\displaystyle 1=P-p_{j}>2p_{k}-p_{j}>p_{j}>1}أي​صج{\displaystyle p_{j}}يستبدل2{\displaystyle 2}ومعاملصك{\displaystyle p_{k}}هو أصغر عدد أولي فيP{\displaystyle P}⁠ .

مراجع

  1. ↑ ميستروفيتش، روميو (25-07-2023). "نظرية إقليدس حول لانهائية الأعداد الأولية: دراسة تاريخية لبراهينها (300 ق.م. - 2022) وبرهان جديد آخر". arXiv : 1202.3670 [ math.HO ].
  2. ↑ جيمس ويليامسون (مترجم ومعلق)، عناصر إقليدس، مع أطروحات ، مطبعة كلارندون ، أكسفورد، 1782، صفحة 63.
  3. ↑ أور، أويستين (1988) [1948]، نظرية الأعداد وتاريخها ، دوفر، ص 65 
  4. ↑ بشكل عام، لأي أعداد صحيحة a و b و c إذاأ|ب{\displaystyle a\mid b}و​أ|ج{\displaystyle a\mid c}ثم​​أ|(ب-ج){\displaystyle a\mid (b-c)}للمزيد من المعلومات، انظر قابلية القسمة .
  5. ↑ الصيغة الدقيقة لتأكيد إقليدس هي: "الأعداد الأولية أكثر عدداً من أي عدد مقترح من الأعداد الأولية".
  6. ↑ كاتز، فيكتور ج. (1998)، تاريخ الرياضيات - مقدمة ( الطبعة الثانية)، أديسون ويسلي لونجمان، ص 87  
  7. ↑ مايكل هاردي وكاثرين وودجولد، "بساطة الأعداد الأولية"، مجلة الرياضيات الذكية ، المجلد 31، العدد 4، خريف 2009، الصفحات 44-52.
  8. ↑ فرانزين، توركيل (2004)، عدم الاستنفاد: معالجة غير شاملة ، إيه كيه بيترز المحدودة، ص 101 
  9. ↑ بوستوك، ليندا؛ تشاندلر، سوزان؛ رورك، سي. (2014-11-01). الرياضيات البحتة المتقدمة . نيلسون ثورنز. ص 168. ISBN  9780859501033.
  10. ↑ النظريات 7 ونتائجها الطبيعية 1 و 2 في: ليونارد أويلر. "ملاحظات متنوعة حول سلسلة اللانهاية" . Commentarii Academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae 9, 1744, pp. 160–188. الترجمة الانجليزية
  11. ↑ في كتابه "تاريخ نظرية الأعداد" (المجلد 1، ص 413) ، يشير ديكسون إلى هذا البرهان، بالإضافة إلى برهان آخر، من خلال الاستشهاد بالصفحة 235 من عمل آخر لأويلر: " مقدمة في تحليل اللانهائيات" . المجلد الأول. بوسكيه، لوزان 1748.. هناك (§ 279) يعيد أويلر في الواقع صياغة النظرية 19 الأقوى بكثير (الموصوفة أدناه) في ورقة برهانه السابق.
  12. ↑ هافيل، جوليان (2003). جاما: استكشاف ثابت أويلر . مطبعة جامعة برينستون. ص 28-29 . ISBN  0-691-09983-9.
  13. ↑ فورستنبرغ، هاري (1955). " حول لانهائيّة الأعداد الأولية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 62 (5): 353. doi : 10.2307/2307043 . JSTOR 2307043. MR 0068566 .  
  14. ↑ خوان بابلو بيناسكو، "براهين جديدة لنظريات إقليدس وأويلر"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، المجلد 116، العدد 2، فبراير 2009، الصفحات 172-173.
  15. ↑ جونهو بيتر وانغ، "برهان آخر على لانهائي الأعداد الأولية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، المجلد 117، العدد 2، فبراير 2010، الصفحة 181.
  16. ↑ سايداك، فيليب (ديسمبر 2006). "برهان جديد لنظرية إقليدس" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 113 (10): 937-938 . doi : 10.2307/27642094 . JSTOR 27642094 . 
  17. ↑ شين، ألكسندر (2016)، تعقيد كولموغوروف والعشوائية الخوارزمية (ملف PDF) ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 245 
  18. ↑ ميستروفيتش، روميو (13 ديسمبر 2017). "برهان قصير جدًا على لانهائية الأعداد الأولية" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 124 (6): 562. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.6.562 . تاريخ الاسترجاع: 30 يونيو 2024 .
  19. ^ برتراند، جوزيف (1845)، “Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettertres qu’elle renferme.” ، مجلة المدرسة الملكية للفنون التطبيقية (باللغة الفرنسية)، 18 (الكتاب 30): 123– 140.
  20. ↑ Tchebychev، P. (1852)، "Mémoire sur les nombres Premiers." (PDF) , Journal de mathmatiques pure et appliquées , Série 1 (بالفرنسية): 366– 390. (إثبات المسلمة: 371-382). انظر أيضًا Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg، vol. 7، ص 15-33، 1854