نظرية أويلر للدوران

تم إعداد برهان أويلر الأصلي باستخدام الهندسة الكروية ، وبالتالي عندما يتحدث عن المثلثات يجب فهمها على أنها مثلثات كروية .

التحليل السابق

للوصول إلى برهان، يحلل أويلر كيف سيبدو الوضع لو كانت النظرية صحيحة. ولتحقيق ذلك، لنفترض أن الخط الأصفر في الشكل 1 يمر بمركز الكرة وهو محور الدوران المطلوب، وأن النقطة O هي إحدى نقطتي تقاطع هذا المحور مع الكرة. ثم ينظر إلى دائرة عظمى عشوائية لا تحتوي على O (الدائرة الزرقاء)، وصورتها بعد الدوران (الدائرة الحمراء)، وهي دائرة عظمى أخرى لا تحتوي على O. ويسمي نقطة على تقاطع الدائرتين بالنقطة A. (إذا تطابقت الدائرتان، فيمكن اعتبار A أي نقطة على أي منهما؛ وإلا فإن A هي إحدى نقطتي التقاطع).

الآن، تقع النقطة A على الدائرة الأصلية (الدائرة الزرقاء)، لذا ستكون صورتها على الدائرة المنقولة (الحمراء). يُطلق على هذه الصورة اسم النقطة a . وبما أن A تقع أيضًا على الدائرة المنقولة (الحمراء)، فهي صورة نقطة أخرى كانت على الدائرة الأصلية (الزرقاء)، ويُطلق على هذه الصورة الأصلية اسم α (انظر الشكل 2 ). ثم ينظر إلى القوسين الواصلين بين α و a والنقطة A. هذان القوسان متساويان في الطول لأن القوس αA يُسقط على القوس Aa . أيضًا، بما أن O نقطة ثابتة، فإن المثلث αOA يُسقط على المثلث AOa ، لذا فإن هذين المثلثين متساويا الساقين، والقوس AO يُنصف الزاوية ∠ αAa .

ملاحظات ختامية حول البناء

يشير أويلر أيضًا إلى أنه يمكن إيجاد النقطة O بتقاطع المنصف العمودي للنقطة Aa مع منصف الزاوية ∠ αAa ، وهو إنشاء قد يكون أسهل عمليًا. كما اقترح تقاطع مستويين:

• مستوى التناظر للزاوية ∠ αAa (الذي يمر عبر مركز الكرة C )، و
• مستوى التناظر للقوس Aa (الذي يمر أيضًا عبر C ).

الفرضية : يتقاطع هذان المستويان في قطر. هذا القطر هو القطر الذي نبحث عنه.

البرهان . لنُسمِّ O إحدى نقطتي نهاية هذا القطر على سطح الكرة (يوجد نقطتان). بما أن αA مُسقطة على Aa ، والمثلثان لهما نفس الزوايا، فإن المثلث OαA يُنقل إلى المثلث OAa . لذا، يجب أن تبقى النقطة O ثابتة أثناء الحركة.

النتائج المترتبة . يُبين هذا أيضًا أن دوران الكرة يُمكن اعتباره انعكاسين متتاليين حول المستويين الموصوفين أعلاه. النقاط الواقعة في مستوى المرآة ثابتة تحت الانعكاس، وبالتالي فإن النقاط الواقعة على تقاطعهما (خط: محور الدوران) ثابتة تحت كل من الانعكاسين، ومن ثم تحت الدوران.

هناك طريقة أخرى بسيطة لإيجاد محور الدوران، وهي النظر إلى المستوى الذي تقع عليه النقاط α و A و a . من الواضح أن محور الدوران متعامد مع هذا المستوى، ويمر بمركز الكرة C.

بالنظر إلى أنه بالنسبة لجسم صلب، فإن أي حركة تترك محورًا ثابتًا هي دوران، فإن هذا يثبت أيضًا أن أي تركيبة عشوائية من الدورانات تعادل دورانًا واحدًا حول محور جديد.

لإثبات المعادلة السابقة، يجب استذكار بعض الحقائق من نظرية المصفوفات.

تحتوي المصفوفة A من الرتبة m × m على m متجهات ذاتية متعامدة إذا وفقط إذا كانت A مصفوفة طبيعية ، أي إذا كان A ^† A = AA ^† . ^{[ ب ]} هذه النتيجة مكافئة للقول بأنه يمكن تحويل المصفوفات الطبيعية إلى شكل قطري بواسطة تحويل تشابه وحدوي.

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {U} =\mathbf {U} \;\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m})\quad \Longleftrightarrow \quad \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} =\operatorname {diag} (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}),}$

و U وحدة، أي

${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {U} ^{-1}.}$

القيم الذاتية α₁ _، ...، αₘ هي جذور المعادلة المميزة. إذا كانت المصفوفة A مصفوفة وحدوية (مع ملاحظة أن المصفوفات الوحدوية هي _{مصفوفات طبيعية)، فإن}

${\displaystyle \left(\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} \mathbf {U} \right)^{\dagger }=\operatorname {diag} \left(\alpha _{1}^{*},\ldots ,\alpha _{m}^{*}\right)=\mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} =\operatorname {diag} \left({\frac {1}{\alpha _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\alpha _{m}}}\right)}$

ويترتب على ذلك أن القيم الذاتية لمصفوفة وحدوية تقع على دائرة الوحدة في المستوى المركب:

${\displaystyle \alpha _{k}^{*}={\frac {1}{\alpha _{k}}}\quad \Longleftrightarrow \quad \alpha _{k}^{*}\alpha _{k}=\left|\alpha _{k}\right|^{2}=1,\qquad k=1,\ldots ,m.}$

كذلك، فإن المصفوفة المتعامدة (الحقيقية الوحدوية) لها قيم ذاتية على دائرة الوحدة في المستوى المركب. علاوة على ذلك، بما أن معادلتها المميزة ( متعددة حدود من الدرجة m في λ ) لها معاملات حقيقية، فإن جذورها تظهر في أزواج مترافقة مركبة، أي إذا كان α جذرًا، فإن α ^{* جذر} أيضًا. يوجد 3 جذور، وبالتالي يجب أن يكون واحد منها على الأقل حقيقيًا تمامًا (+1 أو -1).

بعد استذكار هذه الحقائق العامة من نظرية المصفوفات، نعود إلى مصفوفة الدوران R. ويترتب على ذلك من كونها حقيقية ومتعامدة أنه يمكننا إيجاد U بحيث:

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&\pm 1\\\end{pmatrix}}}$

إذا أمكن إيجاد مصفوفة U تعطي الشكل المذكور أعلاه، وكان لها مكون حقيقي بحت واحد فقط وقيمته -1، فإننا نُعرّف${\displaystyle \mathbf {R} }$لنفترض أن هذا دوران غير صحيح. لنقتصر إذن على دراسة حالة المصفوفات R التي تمثل دورانات صحيحة (القيمة الذاتية الثالثة هي 1). عندئذٍ، سيكون العمود الثالث من _{المصفوفة} U ذات الأبعاد 3 × 3 مساويًا للمتجه الثابت n . بكتابة u₁ و u₂ للعمودين الأولين من U ، نحصل على هذه المعادلة _.

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {u} _{1}=e^{i\phi }\,\mathbf {u} _{1}\quad {\hbox{and}}\quad \mathbf {R} \mathbf {u} _{2}=e^{-i\phi }\,\mathbf {u} _{2}.}$

إذا كانت _u1 لها قيمة ذاتية تساوي 1، فإن φ = 0 و u2 لها أيضًا قيمة ذاتية تساوي 1، مما يعني أنه في هذه الحالة _R = I. ولكن بشكل عام، عندما ${\displaystyle (\mathbf {R} -e^{i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}=0}$وهذا يعني أيضاً أن${\displaystyle (\mathbf {R} -e^{-i\phi }\mathbf {I} )\mathbf {u} _{1}^{*}=0}$يثبت، لذلك${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {u} _{1}^{*}}$يمكن اختيارها لـ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$. بصورة مماثلة،${\displaystyle (\mathbf {R} -\mathbf {I} )\mathbf {u} _{3}=0}$قد ينتج عن ذلك${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$ باستخدام المدخلات الحقيقية فقط، من أجل مصفوفة دوران مناسبة${\displaystyle \mathbf {R} }$وأخيرًا، يتم تحويل معادلة المصفوفة باستخدام مصفوفة وحدوية.

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=\mathbf {U} \underbrace {{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} _{=\;\mathbf {I} }{\begin{pmatrix}e^{i\phi }&0&0\\0&e^{-i\phi }&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

مما يعطي

${\displaystyle \mathbf {U'} ^{\dagger }\mathbf {R} \mathbf {U'} ={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {U'} =\mathbf {U} {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-i}{\sqrt {2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

أعمدة المصفوفة U ′ متعامدة لأنها مصفوفة وحدوية ذات عناصر حقيقية فقط، وذلك وفقًا لتعريفها أعلاه.${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$هو المرافق المعقد لـ ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$وذلك${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$هو متجه ذو مكونات ذات قيم حقيقية. العمود الثالث لا يزال${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=}$عندما يكون n ، يكون العمودان الآخران من المصفوفة U ′ متعامدين على n . يمكننا الآن أن نرى كيف يتوافق تعريفنا للدوران غير الصحيح مع التفسير الهندسي: الدوران غير الصحيح هو دوران حول محور (هنا، المحور المقابل للإحداثي الثالث) وانعكاس على مستوى عمودي على ذلك المحور. إذا اقتصرنا على المصفوفات ذات المحدد 1، فسنجد أنها بالضرورة دورانات صحيحة. تشير هذه النتيجة إلى أن أي مصفوفة متعامدة R مقابلة لدوران صحيح تُكافئ دورانًا بزاوية φ حول محور n .

لنفترض أننا نحدد محور دوران بواسطة متجه الوحدة [ x , y , z ] ، ولنفترض أن لدينا دورانًا متناهي الصغر بزاوية Δθ حول هذا المتجه. بتوسيع مصفوفة الدوران كعملية جمع لانهائية، وباتباع تقريب الرتبة الأولى، تُكتب مصفوفة الدوران ΔR على النحو التالي :

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =\mathbf {I} +\mathbf {A} \,\Delta \theta .}$

يمكن اعتبار الدوران المحدود بزاوية θ حول هذا المحور بمثابة سلسلة من الدورانات الصغيرة حول المحور نفسه. وبتقريب Δθ إلى θ / N حيث N عدد كبير، يمكن تمثيل دوران بزاوية θ حول المحور كما يلي :

${\displaystyle R=\left(\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {A} \theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{\mathbf {A} \theta }.}$

يتضح أن نظرية أويلر تنص أساسًا على إمكانية تمثيل جميع الدورانات بهذا الشكل. يُعدّ حاصل ضرب A θ "مولدًا" للدوران المحدد، وهو المتجه ( x , y , z ) المرتبط بالمصفوفة A. وهذا يُبيّن أن مصفوفة الدوران وصيغة المحور-الزاوية مرتبطتان بدالة أسية.

يمكن اشتقاق صيغة بسيطة للمولد G. نبدأ بمستوى اختياري (في الفضاء الإقليدي) مُعرَّف بزوج من متجهات الوحدة المتعامدة a و b . في هذا المستوى، يمكن اختيار متجه اختياري x عمودي عليه y . ثم نحل المعادلة لإيجاد y بدلالة x ، وبالتعويض في صيغة الدوران في المستوى نحصل على مصفوفة الدوران R التي تتضمن المولد G = ba ^T − ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=\mathbf {a} \cos \alpha +\mathbf {b} \sin \alpha \\\mathbf {y} &=-\mathbf {a} \sin \alpha +\mathbf {b} \cos \alpha \\[8pt]\cos \alpha &=\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\\sin \alpha &=\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {y} &=-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} =\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {x} '&=\mathbf {x} \cos \beta +\mathbf {y} \sin \beta \\&=\left(\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \right)\mathbf {x} \\[8px]\mathbf {R} &=\mathbf {I} \cos \beta +\left(\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\right)\sin \beta \\&=\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \\[8px]\mathbf {G} &=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

لإدراج متجهات خارج المستوى في الدوران، يلزم تعديل التعبير أعلاه لـ R بإضافة عاملي إسقاط يقسمان الفضاء. ويمكن إعادة كتابة مصفوفة الدوران المعدلة هذه كدالة أسية .

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P_{ab}} &=-\mathbf {G} ^{2}\\\mathbf {R} &=\mathbf {I} -\mathbf {P_{ab}} +\left(\mathbf {I} \cos \beta +\mathbf {G} \sin \beta \right)\mathbf {P_{ab}} =e^{\mathbf {G} \beta }\end{aligned}}}$

غالباً ما يكون التحليل أسهل باستخدام هذه المولدات، بدلاً من مصفوفة الدوران الكاملة. يُعرف التحليل باستخدام المولدات باسم جبر لي لمجموعة الدوران.

يستنتج من نظرية أويلر أن التوجيه النسبي لأي زوج من أنظمة الإحداثيات يمكن تحديده بمجموعة من ثلاثة أعداد مستقلة. أحيانًا يُضاف عدد رابع زائد لتبسيط العمليات في جبر الكواترنيون. ثلاثة من هذه الأعداد هي جيوب تمام الاتجاه التي توجه المتجه الذاتي. أما العدد الرابع فهو الزاوية حول المتجه الذاتي التي تفصل بين مجموعتي الإحداثيات. تُسمى هذه المجموعة المكونة من أربعة أعداد كواترنيون .

على الرغم من أن الرباعي الموصوف أعلاه لا يتضمن أعدادًا مركبة ، إذا تم استخدام الرباعيات لوصف دورتين متتاليتين، فيجب دمجها باستخدام جبر الرباعيات غير التبادلي الذي اشتقه ويليام روان هاميلتون من خلال استخدام الأعداد التخيلية.

أصبح حساب الدوران باستخدام الكواترنيونات بديلاً عن استخدام جيوب التمام الاتجاهية في تطبيقات الفضاء الجوي، وذلك بفضل تقليله للحسابات المطلوبة وقدرته على الحد من أخطاء التقريب . كما أن القدرة على إجراء الاستيفاء الكروي بين الكواترنيونات بسهولة نسبية تُعدّ ميزة قيّمة في مجال رسومات الحاسوب .