فضاء طوبولوجي محدود

توجد بنية طوبولوجية فريدة على المجموعة الفارغة ∅. المجموعة المفتوحة الوحيدة هي المجموعة الفارغة. في الواقع، هذه هي المجموعة الجزئية الوحيدة من ∅.

وبالمثل، توجد طوبولوجيا فريدة على مجموعة أحادية { a }. هنا ، المجموعات المفتوحة هي ∅ و{ a }. هذه الطوبولوجيا منفصلة وبسيطة ، على الرغم من أنه من الأفضل اعتبارها فضاءً منفصلاً لأنها تشترك في المزيد من الخصائص مع عائلة الفضاءات المنفصلة المنتهية.

لكل فضاء طوبولوجي X، توجد دالة متصلة وحيدة من ∅ إلى X ، وهي الدالة الفارغة . كما توجد دالة متصلة وحيدة من X إلى الفضاء الأحادي { a }، وهي الدالة الثابتة إلى a . في لغة نظرية الفئات، يُعد الفضاء الفارغ كائنًا ابتدائيًا في فئة الفضاءات الطوبولوجية، بينما يُعد الفضاء الأحادي كائنًا نهائيًا .

لتكن X = { a , b } مجموعة تحتوي على عنصرين. توجد أربع طوبولوجيات مختلفة على X :

1. {∅, { a , b }} ( الطوبولوجيا التافهة )
2. {∅, { a }, { a , b }}
3. {∅, { b }, { a , b }}
4. {∅, { a }, { b }, { a , b }} ( الطوبولوجيا المنفصلة )

من السهل ملاحظة أن الطوبولوجيا الثانية والثالثة المذكورتين أعلاه متماثلتان طوبولوجيًا . الدالة من X إلى نفسها التي تُبدّل a و b هي تماثل طوبولوجي. يُطلق على الفضاء الطوبولوجي المتماثل طوبولوجيًا مع أحد هذه الفضاءات اسم فضاء سيربينسكي . لذا، في الواقع، لا يوجد سوى ثلاث طوبولوجيات غير متكافئة على مجموعة ثنائية النقاط: الطوبولوجيا التافهة، والطوبولوجيا المنفصلة، ​​وطوبولوجيا سيربينسكي.

يتم إعطاء الترتيب المسبق للتخصيص على فضاء سيربينسكي { a , b } مع { b } مفتوحًا بواسطة: a ≤ a ، b ≤ b ، و a ≤ b .

لتكن X = { a , b , c } مجموعةً تحتوي على 3 عناصر. يوجد 29 شكلًا طوبولوجيًا مختلفًا على X، ولكن يوجد 9 أشكال طوبولوجية غير متكافئة فقط.

1. {∅, { a , b , c }}
2. {∅, { c }, { a , b , c }}
3. {∅, { a , b }, { a , b , c }}
4. {∅, { c }, { a , b }, { a , b , c }}
5. {∅, { c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
6. {∅, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
7. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }} ( T ₀ )
8. {∅, { b }, { c }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
9. {∅, { a }, { b }, { c }, { a , b }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )

آخر 5 من هذه النقاط هي جميعها T _0. النقطة الأولى تافهة، بينما في النقاط 2 و3 و4، تكون النقطتان a و b غير قابلتين للتمييز طوبولوجيًا .

لتكن X = { a , b , c , d } مجموعةً تحتوي على 4 عناصر. يوجد 355 شكلًا طوبولوجيًا مختلفًا على X، ولكن يوجد 33 شكلًا طوبولوجيًا غير متكافئ فقط.

1. {∅, { a , b , c , d }}
2. {∅, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
3. {∅, { a }, { a , b , c , d }}
4. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
5. {∅, { a , b }, { a , b , c , d }}
6. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
7. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c , d }}
8. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c , d }}
9. {∅, { a , b , c }, { d }, { a , b , c , d }}
10. {∅, { a }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
11. {∅, { a }, { a , b , c }, { d }, { a , d }, { a , b , c , d }}
12. {∅, { a }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
13. {∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
14. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
15. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
16. {∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , b , c , d }}
17. {∅, { b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
18. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
19. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
20. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
21. {∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
22. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
23. {∅, { a }, { a , b }, { c }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
24. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
25. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
26. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
27. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
28. {∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
29. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
30. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
31. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
32. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
33. {∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { d } , { a , d }, { b , d } , { a , b , d } , { c , d } , { a , c , d } , { b , c , d } } ( T ₀ )

آخر 16 منها كلها T ₀ .

توجد علاقة تناظرية بين الطوبولوجيات على مجموعة منتهية X والترتيبات الجزئية على X. تذكر أن الترتيب الجزئي على X هو علاقة ثنائية على X وهي علاقة انعكاسية ومتعدية .

بفرض وجود فضاء طوبولوجي X (ليس بالضرورة أن يكون محدودًا) ، يمكننا تعريف ترتيب جزئي على X كما يلي:

x ≤ y إذا وفقط إذا كان x ∈ cl{ y }

حيث يرمز cl{ y } إلى إغلاق المجموعة الأحادية { y }. يُسمى هذا الترتيب الجزئي بالترتيب الجزئي للتخصيص على X. كل مجموعة مفتوحة U في X هي مجموعة علوية بالنسبة إلى ≤ (أي إذا كان x ∈ U و x ≤ y فإن y ∈ U ). الآن، إذا كانت X منتهية، فإن العكس صحيح أيضًا: كل مجموعة علوية مفتوحة في X. لذا، بالنسبة للفضاءات المنتهية، تُحدد الطوبولوجيا على X بشكل فريد بواسطة ≤.

بالانتقال إلى الاتجاه المعاكس، لنفترض أن ( X , ≤) مجموعة مرتبة ترتيبًا جزئيًا. نُعرّف طوبولوجيا τ على X بجعل المجموعات المفتوحة هي المجموعات العليا بالنسبة إلى ≤. عندئذٍ، ستكون العلاقة ≤ هي الترتيب الجزئي الخاص بـ ( X , τ). تُسمى الطوبولوجيا المُعرّفة بهذه الطريقة طوبولوجيا ألكسندروف المُحددة بواسطة ≤.

يمكن تفسير التكافؤ بين الترتيبات الجزئية والطوبولوجيات المنتهية على أنه صيغة من مبرهنة بيركوف للتمثيل ، أي التكافؤ بين الشبكات التوزيعية المنتهية (شبكة المجموعات المفتوحة للطوبولوجيا) والترتيبات الجزئية (الترتيب الجزئي لفئات التكافؤ للترتيب الجزئي). وينطبق هذا التكافؤ أيضًا على فئة أوسع من الفضاءات تُسمى الفضاءات المولدة نهائيًا . ويمكن تعريف الفضاءات المولدة نهائيًا بأنها الفضاءات التي يكون فيها أي تقاطع للمجموعات المفتوحة مفتوحًا. وتُعد الفضاءات الطوبولوجية المنتهية فئة خاصة من الفضاءات المولدة نهائيًا.

كل فضاء طوبولوجي منتهٍ يكون متراصًا، لأن أي غطاء مفتوح له يكون منتهيًا بالفعل. في الواقع، غالبًا ما يُنظر إلى الفضاءات المتراصة على أنها تعميم للفضاءات المنتهية، نظرًا لتشابه العديد من خصائصها.

كل فضاء طوبولوجي محدود يكون أيضًا قابلًا للعد الثاني (لا يوجد سوى عدد محدود من المجموعات المفتوحة) وقابلًا للفصل (لأن الفضاء نفسه قابل للعد ).

إذا كان الفضاء الطوبولوجي المحدود من النوع _T1 ( وخاصةً إذا كان من نوع هاوسدورف )، فإنه يجب أن يكون منفصلاً. وذلك لأن متممة أي مجموعة أحادية هي اتحاد عدد محدود من المجموعات الأحادية المغلقة، وبالتالي فهي مغلقة. وعليه، يجب أن تكون كل مجموعة أحادية مفتوحة.

لذلك، فإن أي فضاء طوبولوجي محدود غير منفصل لا يمكن أن يكون T ₁ أو هاوسدورف أو أي شيء أقوى.

مع ذلك، من الممكن أن يكون الفضاء المحدود غير المنفصل من النوع T₀ _. عمومًا، تكون النقطتان x و y غير قابلتين للتمييز طوبولوجيًا إذا وفقط إذا كان x ≤ y و y ≤ x ، حيث ≤ هو الترتيب الجزئي للتخصيص على X. وبالتالي، يكون الفضاء X من _النوع T₀ إذا وفقط إذا كان الترتيب الجزئي للتخصيص ≤ على X ترتيبًا جزئيًا . توجد العديد من الترتيبات الجزئية على مجموعة محدودة، ويُعرّف كل منها طوبولوجيا فريدة من النوع _T₀ .

وبالمثل، يكون الفضاء R₀ إذا وفقط إذا كانت علاقة الترتيب الجزئي للتخصيص _علاقة تكافؤ . وبالنظر إلى أي علاقة تكافؤ على مجموعة منتهية X، فإن الطوبولوجيا المرتبطة بها هي طوبولوجيا التقسيم على X. وستكون فئات التكافؤ هي فئات النقاط غير القابلة للتمييز طوبولوجيًا. وبما أن طوبولوجيا التقسيم قابلة للقياس الزائف ، فإن الفضاء المنتهي يكون R₀ _إذا وفقط إذا كان منتظمًا تمامًا .

يمكن أن تكون الفضاءات المنتهية غير المنفصلة فضاءات طبيعية أيضًا . إن طوبولوجيا النقطة المستبعدة على أي مجموعة منتهية هي فضاء T ₀ طبيعي تمامًا وغير منفصل.

يُمكن فهم الاتصال في فضاء محدود X على أفضل وجه من خلال النظر في الترتيب الجزئي المخصص ≤ على X. يُمكننا ربط أي مجموعة مرتبة جزئيًا X برسم بياني موجه Γ عن طريق اعتبار نقاط X رؤوسًا ورسم حافة x → y عندما يكون x ≤ y . يُمكن فهم اتصال الفضاء المحدود X من خلال النظر في اتصال الرسم البياني المرتبط به Γ.

في أي فضاء طوبولوجي، إذا كان x ≤ y، فإنه يوجد مسار من x إلى y . يمكننا ببساطة اعتبار f (0) = x و f ( t ) = y لـ t > 0. من السهل التحقق من أن f دالة متصلة. يترتب على ذلك أن مكونات المسار في فضاء طوبولوجي محدود هي تحديدًا المكونات المتصلة (بشكل ضعيف) للرسم البياني المرتبط به Γ. أي، يوجد مسار طوبولوجي من x إلى y إذا وفقط إذا كان هناك مسار غير موجه بين الرؤوس المتناظرة في Γ.

كل فضاء محدود يكون متصلاً محلياً بالمسارات لأن المجموعة

${\displaystyle \mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}}$

هي جوار مفتوح متصل بمسارات حول النقطة x، ويحتوي كل جوار آخر على هذه المجموعة. بعبارة أخرى، تشكل هذه المجموعة قاعدة محلية عند النقطة x .

لذا، يكون الفضاء المحدود متصلاً إذا وفقط إذا كان متصلاً عبر المسارات. والمكونات المتصلة هي تحديداً مكونات المسارات. كل مكون من هذه المكونات يكون مغلقاً ومفتوحاً في الفضاء X.

قد تتمتع الفضاءات المحدودة بخصائص اتصال أقوى. الفضاء المحدود X هو

• تكون المجموعة فائقة الترابط إذا وفقط إذا وُجد عنصر أعظم بالنسبة لترتيب التخصيص المسبق. هذا العنصر هو العنصر الذي يكون إغلاقه هو الفضاء X بأكمله .
• تكون المجموعة فائقة الاتصال إذا وفقط إذا وُجد عنصر أصغر بالنسبة لترتيب التخصيص المسبق. هذا العنصر هو العنصر الذي جواره الوحيد هو الفضاء X بأكمله .

على سبيل المثال، تكون طوبولوجيا النقطة المحددة على فضاء محدود متصلة اتصالاً فائقاً، بينما تكون طوبولوجيا النقطة المستبعدة متصلة اتصالاً فائقاً للغاية. أما فضاء سيربينسكي فهو كلاهما.

تكون الفضاءات الطوبولوجية المنتهية قابلة للقياس الزائف إذا وفقط إذا كانت R ∈ ℝ⁰ _. في هذه الحالة، يُعطى أحد القياسات الزائفة الممكنة بواسطة

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x\equiv y\\1&x\not \equiv y\end{cases}}}$

حيث x ≡ y تعني أن x و y غير قابلين للتمييز طوبولوجيًا . الفضاء الطوبولوجي المحدود قابل للقياس إذا وفقط إذا كان منفصلاً.

وبالمثل، يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للتوحيد إذا وفقط إذا كان R _0. وسيكون الهيكل الموحد هو التوحيد شبه القياسي الناتج عن شبه القياسي المذكور أعلاه .

لعلّ من المفاجئ وجود فضاءات طوبولوجية منتهية ذات زمر أساسية غير تافهة . ومن الأمثلة البسيطة على ذلك الدائرة الزائفة ، وهي فضاء X يحتوي على أربع نقاط، اثنتان منها مفتوحتان واثنتان مغلقتان. يوجد تطبيق متصل من دائرة الوحدة S1 إلى X ^، وهو تكافؤ تماثلي ضعيف (أي أنه يُنشئ تماثلًا بين زمر التماثل ). وبناءً على ذلك، فإن الزمرة الأساسية للدائرة الزائفة دورية لانهائية .

بشكلٍ أعم، لقد ثبت أنه لأي مُركّب تبسيطي مجرد محدود K ، يوجد فضاء طوبولوجي محدود X _K وتكافؤ تماثلي ضعيف f  : | K | → X _K حيث | K | هو التحقيق الهندسي لـ K. ويترتب على ذلك أن مجموعات التماثل لـ | K | و X _K متماثلة. في الواقع، يمكن اعتبار المجموعة الأساسية لـ X _K هي K نفسها، مع الطوبولوجيا المرتبطة بالترتيب الجزئي للتضمين.