أسس الحساب

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

كتاب "أسس الحساب" ( بالألمانية : Die Grundlagen der Arithmetik ) من تأليف غوتلوب فريجه ، نُشر عام ١٨٨٤، ويتناول فيهالأسس الفلسفية للحساب . يدحض فريجه في هذا الكتاب النظريات المثالية والماديةالأخرى للأعداد ، ويطور نظريته الأفلاطونية الخاصة بالأعداد. كما ساهم كتاب "أسس الحساب" في تحفيز أعمال فريجه اللاحقة في المنطق .

كان للكتاب أيضاً دور محوري في فلسفة اللغة . ويعزو مايكل دوميت التحول اللغوي إلى مبادئ فريجه الأساسية ومبدأ السياق .

لم يلقَ الكتاب استحسانًا كبيرًا ولم ينتشر على نطاق واسع عند نشره. إلا أنه لفت انتباه برتراند راسل ولودفيج فيتجنشتاين ، اللذين تأثرا بشدة بفلسفة فريجه. ونُشرت ترجمة إنجليزية له (أكسفورد، 1950) بقلم جيه إل أوستن ، وصدرت طبعة ثانية منه عام 1960. [ 1 ]

التحول اللغوي

غوتلوب فريجه، مقدمة لأسس الحساب (1884/1980)
في التحقيق الذي يلي، التزمت بثلاثة مبادئ أساسية:
دائماً ما يجب الفصل بشكل حاد بين النفسي والمنطقي، وبين الذاتي والموضوعي؛
لا تسأل أبدًا عن معنى كلمة بمعزل عن سياقها، بل فقط في سياق قضية ما
عدم إغفال التمييز بين المفهوم والموضوع.

للإجابة على سؤال كانطي حول الأعداد ، "كيف تُعطى لنا الأعداد، مع العلم أننا لا نملك أي فكرة أو حدس عنها؟"، يستحضر فريجه " مبدأ السياق " الذي ذكره في بداية الكتاب، والذي ينص على أن الكلمات لا تكتسب معناها إلا في سياق قضية ما، وبالتالي يجد الحل في تعريف "معنى القضية التي ترد فيها كلمة عددية". وهكذا، تُحل مشكلة وجودية ومعرفية ، كانت تُحل تقليديًا وفقًا لأسس مثالية ، من منظور لغوي .

انتقادات للماضي

التفسيرات النفسية للرياضيات

يعترض فريجه على أي تفسير للرياضيات قائم على النزعة النفسية ، أي الرأي القائل بأن الرياضيات والأعداد نسبية للأفكار الذاتية للأشخاص الذين يفكرون بها. فبحسب فريجه، تستند التفسيرات النفسية إلى ما هو ذاتي، بينما الرياضيات موضوعية بحتة : فهي مستقلة تمامًا عن الفكر البشري. ويرى فريجه أن الكيانات الرياضية لها خصائص موضوعية بغض النظر عن تفكير البشر فيها: فليس من الممكن اعتبار العبارات الرياضية شيئًا تطور بشكل طبيعي عبر التاريخ البشري والتطور . ويرى فريجه فرقًا جوهريًا بين المنطق (وامتداده، وفقًا لفريجه، الرياضيات) وعلم النفس. فالمنطق يفسر الحقائق الضرورية، بينما يدرس علم النفس عمليات فكرية معينة في عقول الأفراد. [ 2 ] الأفكار خاصة، لذا فإن المثالية في الرياضيات تعني وجود "اثنان لي" و"اثنان لك" بدلًا من مجرد العدد اثنين.

كانط

يُقدّر فريجه عمل إيمانويل كانط تقديرًا كبيرًا . مع ذلك، ينتقده أساسًا على أساس أن العبارات العددية ليست تركيبية قبلية ، بل تحليلية قبلية. [ 3 ] يزعم كانط أن 7 + 5 = 12 عبارة تركيبية غير قابلة للإثبات. [ 4 ] مهما حللنا فكرة 7 + 5 ، فلن نجد فيها فكرة 12. يجب أن نصل إلى فكرة 12 من خلال تطبيقها على الأشياء في الحدس. يشير كانط إلى أن هذا يصبح أكثر وضوحًا مع الأعداد الأكبر. في هذه النقطة تحديدًا، يُجادل فريجه في الاتجاه المعاكس. يفترض كانط خطأً أنه في قضية تحتوي على أعداد "كبيرة"، يجب علينا عدّ النقاط أو ما شابه ذلك لتأكيد قيمتها الصادقة . يُجادل فريجه بأنه حتى بدون أن يكون لدينا أي حدس تجاه أي من الأعداد في المعادلة التالية: 654,768 + 436,382 = 1,091,150، يمكننا مع ذلك تأكيد صحتها. يُقدَّم هذا كدليل على أن هذه القضية تحليلية. وبينما يوافق فريجه على أن الهندسة تركيبية بطبيعتها، فإن الحساب يجب أن يكون تحليليًا. [ 5 ]

مطحنة

ينتقد فريجه بشدة النزعة التجريبية لجون ستيوارت ميل . [ 6 ] [ 7 ] ويزعم أن فكرة ميل القائلة بأن الأعداد تُقابل الطرق المختلفة لتقسيم مجموعات الأشياء إلى مجموعات فرعية تتعارض مع الثقة في الحسابات التي تتضمن أعدادًا كبيرة. [ 8 ] [ 9 ] ويضيف ساخرًا: "الحمد لله أن كل شيء ليس ثابتًا!" كما ينفي فريجه أن فلسفة ميل تتناول مفهوم الصفر بشكل كافٍ . [ 10 ]

ويواصل القول بأن عملية الجمع لا يمكن فهمها على أنها تشير إلى الكميات الفيزيائية، وأن ارتباك ميل في هذه النقطة هو عرض لمشكلة أكبر تتمثل في الخلط بين تطبيقات الحساب والحساب نفسه.

يستخدم فريجه مثال مجموعة أوراق اللعب ليُبيّن أن الأرقام لا تتأصل في الأشياء. فالسؤال "كم عدد؟" سؤالٌ لا معنى له دون توضيح إضافي بشأن الأوراق أو أنواعها أو ماهيتها، مما يُظهر أن الأرقام تنتمي إلى المفاهيم، لا إلى الأشياء.

مشكلة يوليوس قيصر

يحتوي الكتاب على مسألة يوليوس قيصر الشهيرة لفريجه، والتي تُعدّ مناهضةً للبنيوية . يزعم فريجه أن نظريةً رياضيةً سليمةً ستُفسّر لماذا لا يُعتبر يوليوس قيصر عددًا. [ 11 ] [ 12 ]

تطوير وجهة نظر فريجه الخاصة حول عدد من

يُفرّق فريجه بين العبارات العددية المحددة، مثل 1+1=2، والعبارات العامة، مثل أ+ب=ب+أ. فالعبارات العامة صحيحة بالنسبة للأعداد تمامًا كما هي بالنسبة للعبارات المحددة. لذا، من الضروري البحث عن تعريف لمفهوم العدد نفسه. يبحث فريجه في إمكانية تحديد العدد من خلال أشياء خارجية. ويُبيّن كيف تعمل الأعداد في اللغة الطبيعية تمامًا كما تعمل الصفات. فعبارة "هذا المكتب به 5 أدراج" تُشابه في شكلها عبارة "هذا المكتب به أدراج خضراء". كون الأدراج خضراء حقيقة موضوعية، مُرتبطة بالعالم الخارجي. لكن الأمر ليس كذلك مع العدد 5. يُجادل فريجه بأن كل درج أخضر بحد ذاته، ولكن ليس كل درج هو 5. [ 13 ] ويُذكّرنا فريجه بأنه لا يُستنتج من هذا أن الأعداد قد تكون ذاتية. في الواقع، تُشبه الأعداد الألوان على الأقل من حيث كونهما موضوعيين تمامًا. يخبرنا فريجه أنه يمكننا تحويل عبارات الأعداد التي تظهر فيها كلمات الأعداد كصفات (مثل: "هناك أربعة خيول") إلى عبارات تظهر فيها حدود الأعداد كمصطلحات مفردة ("عدد الخيول أربعة"). [ 14 ] يوصي فريجه بهذه التحويلات لأنه يعتبر الأعداد أشياءً. فليس من المنطقي التساؤل عما إذا كانت أي أشياء تندرج تحت العدد 4. بعد أن يقدم فريجه بعض الأسباب التي تدعم فكرة أن الأعداد أشياء، يخلص إلى أن عبارات الأعداد هي تأكيدات حول مفاهيم.

يعتبر فريجه هذه الملاحظة الفكرة الأساسية لكتابه " الأسس ". فعلى سبيل المثال، تعني جملة "عدد الخيول في الإسطبل أربعة" أن أربعة أشياء تندرج تحت مفهوم " حصان في الإسطبل" . ويحاول فريجه شرح فهمنا للأعداد من خلال تعريف سياقي لعملية الكاردينالية ("عدد...").شمالx:Fx{\displaystyle Nx:Fx}يحاول فريجه بناء مضمون حكم يتعلق بالهوية العددية بالاعتماد على مبدأ هيوم (الذي ينص على أن عدد العناصر F يساوي عدد العناصر G إذا وفقط إذا كان F و G متساويين في العدد ، أي في تناظر واحد لواحد). [ 15 ] يرفض فريجه هذا التعريف لأنه لا يحدد قيمة الصواب لعبارات الهوية عندما يحيط بعلامة الهوية حد مفرد ليس على شكل "عدد العناصر F". ثم يقدم فريجه تعريفًا صريحًا للعدد من حيث امتدادات المفاهيم، لكنه يبدي بعض التردد.

تعريف فريجه للعدد

يجادل فريجه بأن الأعداد كائنات وتؤكد شيئًا ما عن مفهوم ما. يُعرّف فريجه الأعداد بأنها امتدادات للمفاهيم. يُعرّف "عدد F" بأنه امتداد المفهوم "... هو مفهوم مكافئ عدديًا لـ F". يؤدي المفهوم المعني إلى فئة تكافؤ لجميع المفاهيم التي لها عدد F (بما في ذلك F). يُعرّف فريجه الصفر بأنه امتداد المفهوم غير المتطابق مع ذاته . لذا، فإن عدد هذا المفهوم هو امتداد المفهوم لجميع المفاهيم التي لا تندرج تحتها أي كائنات. العدد 1 هو امتداد التطابق مع الصفر. [ 16 ]

إرث

كان للكتاب دورٌ محوريٌّ في تطوير فرعين رئيسيين من فروع المعرفة، وهما أسس الرياضيات والفلسفة. ورغم أن برتراند راسل اكتشف لاحقًا خللًا جوهريًا في القانون الأساسي الخامس لفريجه (يُعرف هذا الخلل بمفارقة راسل ، والتي حُلّت بنظرية المجموعات البديهية )، إلا أن الكتاب كان له تأثيرٌ بالغٌ في التطورات اللاحقة، مثل كتاب "مبادئ الرياضيات" . ويمكن اعتبار الكتاب أيضًا نقطة انطلاق في الفلسفة التحليلية ، إذ يتمحور أساسًا حول تحليل اللغة، بهدف توضيح مفهوم العدد. كما تُشكّل آراء فريجه في الرياضيات نقطة انطلاق في فلسفة الرياضيات ، لأنها تُقدّم رؤيةً مبتكرةً في نظرية المعرفة للأعداد والرياضيات عمومًا، تُعرف بالمنطقية.

الطبعات

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فريجه 1960 .
  2. ↑ فريجه 1884 ، §27.
  3. ↑ فريجه 1884 ، §12: "لكن الحدس بهذا المعنى [كانط] لا يمكن أن يكون أساسًا لمعرفتنا بقوانين الحساب".
  4. ↑ فريجه 1884 ، الفقرة 5: "يُعلن كانط أن [عبارات مثل 2 + 3 = 5] غير قابلة للإثبات وتركيبية، لكنه يتردد في تسميتها بديهيات لأنها ليست عامة ولأن عددها لا نهائي. ويصف هانكل هذا التصور للحقائق الأولية غير القابلة للإثبات التي لا حصر لها بأنه غير متجانس ومتناقض."
  5. ↑ فريجه 1884 ، الفقرة 14: "إن إمكانية [إنكار مسلمة التوازي ] تُظهر أن بديهيات الهندسة مستقلة عن بعضها البعض وعن القوانين المنطقية الأولية، وبالتالي فهي تركيبية. هل يمكن قول الشيء نفسه عن القضايا الأساسية لعلم الأعداد؟ هنا، يكفي أن نحاول إنكار أي منها، وسيحدث ارتباك تام."
  6. ↑ فريجه 1960 ، ص 9-12.
  7. ↑ شابيرو 2000 ، ص 96: "يحتوي كتاب فريجه "أسس الحساب " على هجوم متواصل ومرير على رواية ميل عن الحساب"
  8. ↑ فريجه 1960 ، ص 10: "إذا كان تعريف كل رقم فردي يؤكد حقًا حقيقة فيزيائية خاصة، فلن نتمكن أبدًا من الإعجاب بما فيه الكفاية، لمعرفته بالطبيعة، برجل يحسب بأرقام مكونة من تسعة أرقام."
  9. ↑ شابيرو 2000 ، ص 98: "ينتقد فريجه أيضًا ميل فيما يتعلق بالأعداد الكبيرة."
  10. ↑ فريجه 1960 ، ص 11: "[...] سيكون الرقم 0 لغزًا؛ لأنه حتى الآن لم يرَ أحد، على ما أعتقد، أو يلمس 0 حصاة."
  11. ↑ ص 68
  12. ↑ غريمان، ديرك. "ما هي مشكلة يوليوس قيصر عند فريجه؟" ديالكتيكا ، المجلد 57، العدد 3، 2003، الصفحات 261-278. JSTOR ، http://www.jstor.org/stable/42971497. تاريخ الوصول: 25 أبريل 2024.
  13. ↑ فريجه 1884 ، §22: "أليس من المعاني المختلفة تمامًا أن نتحدث عن شجرة لها 1000 ورقة، ثم نتحدث عن شجرة لها أوراق خضراء؟ إننا ننسب اللون الأخضر إلى كل ورقة على حدة، ولكن ليس إلى العدد 1000."
  14. ↑ فريجه 1884 ، §57: "على سبيل المثال، يمكن تحويل العبارة 'للمشتري أربعة أقمار' إلى 'عدد أقمار المشتري هو أربعة'"
  15. ↑ فريجه 1884 ، §63: "عبّر هيوم منذ زمن بعيد عن مثل هذه الوسيلة: 'عندما يتم دمج عددين بحيث يكون لأحدهما دائمًا وحدة تقابل كل وحدة من الآخر، فإننا نعلن أنهما متساويان'"
  16. ↑ بولوس 1998 ، ص 154: "يعرّف فريجه الصفر بأنه عدد المفهوم: كونه غير متطابق مع ذاته . وبما أن كل شيء متطابق مع ذاته، فلا يندرج أي شيء تحت هذا المفهوم. ويعرّف فريجه الواحد بأنه عدد المفهوم المتطابق مع الصفر . ويندرج الصفر وحده تحت هذا المفهوم الأخير."

مصادر