Function space

In mathematics, a function space is a set of functions between two fixed sets. Often, the domain and/or codomain will have additional structure which is inherited by the function space. For example, the set of functions from any set X into a vector space has a natural vector space structure given by pointwise addition and scalar multiplication. In other scenarios, the function space might inherit a topological or metric structure, hence the name function space. Often in mathematical jargon, especially in analysis or geometry, a function could refer to a map of the form ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$ or ${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$ where ${\displaystyle X}$ is the space in question. Whilst other maps of the form ${\displaystyle X\to Y}$ between any two spaces are simply referred to as maps. Example of this can be the space of compactly supported functions on a topological space. However in a larger context a function space could just consist of a set of functions (set theoretically) equipped with possibly some extra structure.

Let F be a field and let X be any set. The set of functions X → F can be given the structure of a vector space over F where the operations are defined pointwise^[1]. That is, for any f, g : X → F, any x in X, and any c in F, define $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x).\end{aligned}}}$$ When the domain X has additional structure, one might consider instead the subset (or subspace) of all such functions which respect that structure. For example, if V and also X itself are vector spaces over F, the set of linear mapsX → V form a vector space over F with pointwise operations (often denoted Hom(X,V)). One such space is the dual space of X: the set of linear functionalsX → F with addition and scalar multiplication defined pointwise.

The cardinal dimension of a function space with no extra structure can be found by the Erdős–Kaplansky theorem.

تظهر فضاءات الدوال في مجالات مختلفة من الرياضيات:

• في نظرية المجموعات ، يمكن الإشارة إلى مجموعة الدوال من X إلى Y بالرمز { X → Y } أو Y ^X .
  • كحالة خاصة، يمكن تحديد مجموعة القوى لمجموعة X مع مجموعة جميع الدوال من X إلى {0، 1}، ويرمز لها بـ 2 ^X.
• يُرمز إلى مجموعة التقابلات من X إلى Y بالرمز التالي:${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$يمكن استخدام رمز المضروب X ! لتباديل مجموعة واحدة X.
• في التحليل الوظيفي ، يُلاحظ الشيء نفسه بالنسبة للتحويلات الخطية المستمرة ، بما في ذلك الطوبولوجيا على فضاءات المتجهات المذكورة أعلاه، والعديد من الأمثلة الرئيسية هي فضاءات الدوال التي تحمل طوبولوجيا ؛ وتشمل الأمثلة الأكثر شهرة فضاءات هيلبرت وفضاءات باناخ .
• في التحليل الوظيفي ، تُسمى مجموعة جميع الدوال من الأعداد الطبيعية إلى مجموعة ما X فضاء المتتاليات . وهي تتكون من مجموعة جميع المتتاليات الممكنة لعناصر X.
• في علم الطوبولوجيا ، يمكن محاولة تطبيق طوبولوجيا على فضاء الدوال المتصلة من فضاء طوبولوجي X إلى آخر Y ، وتعتمد فائدة ذلك على طبيعة الفضاءات. ومن الأمثلة الشائعة طوبولوجيا الفضاءات المفتوحة المدمجة ، مثل فضاء الحلقات . كما تتوفر طوبولوجيا الضرب على فضاء الدوال النظرية للمجموعات (أي الدوال غير المتصلة بالضرورة) Y ∈ ^X. في هذا السياق، تُعرف هذه الطوبولوجيا أيضًا بطوبولوجيا التقارب النقطي .
• في الطوبولوجيا الجبرية ، فإن دراسة نظرية التماثل هي في الأساس دراسة الثوابت المنفصلة لفضاءات الدوال؛
• في نظرية العمليات العشوائية ، تتمثل المشكلة التقنية الأساسية في كيفية بناء مقياس احتمالي على فضاء دالة مسارات العملية (دوال الزمن)؛
• في نظرية الفئات ، يُطلق على فضاء الدوال اسم الكائن الأسي أو كائن الخريطة . ويظهر من جهة كتمثيل ثنائي الدالة المتعارف عليه ؛ ولكن كدالة (مفردة)، من النوع${\displaystyle [X,-]}$، يظهر كدالة مرافقة لدالة من النوع${\displaystyle -\times X}$على الكائنات؛
• في البرمجة الوظيفية وحساب لامدا ، تُستخدم أنواع الدوال للتعبير عن فكرة الدوال ذات الرتبة العليا
• في البرمجة بشكل عام، تظهر العديد من مفاهيم الدوال ذات الرتبة العليا مع أو بدون تحديد صريح للأنواع، مثل الإغلاقات .
• في نظرية المجال ، تتمثل الفكرة الأساسية في إيجاد تركيبات من الترتيبات الجزئية التي يمكنها نمذجة حساب التفاضل والتكامل لامدا، عن طريق إنشاء فئة مغلقة ديكارتية جيدة السلوك .
• في نظرية تمثيل المجموعات المنتهية ، إذا كان لدينا تمثيلان محدودان الأبعاد V و W لمجموعة G ، فيمكن تكوين تمثيل لـ G على فضاء المتجهات للتطبيقات الخطية Hom( V , W ) يسمى تمثيل Hom . ^{[ 2 ]}

يتمثل أحد المحاور الرئيسية للتحليل الوظيفي في دراسة فضاءات الدوال وفضاءات المتجهات ذات البنية الأكثر تعقيدًا من الحد الأدنى للبنية الخطية. فعلى سبيل المثال، بعضها فضاءات متجهات طوبولوجية ، وبعضها فضاءات باناخ ، وبعضها فضاءات هيلبرت ، وما إلى ذلك. وهذا يُمكّن علماء الرياضيات من تطبيق الحدس المستمد من فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة.

تتمتع الفضاءات الوظيفية بعلاقات متبادلة معقدة، مثل الاستيفاء والتضمين والتمثيل وتماثل فضاء باناخ، وما إلى ذلك. وتتناول العديد من النظريات والإنشاءات الأساسية في التحليل الوظيفي علاقاتها، مثل نظرية تمثيل ريز ، ونظرية ريز-ثورين ، ومتباينة الاستيفاء لجالياردو-نيرنبرغ ، ونظرية ريليش-كوندراشوف ، ودالة هاردي-ليتلوود القصوى ، وما إلى ذلك.

يترك${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$أن تكون مجموعة جزئية مفتوحة.

• ${\displaystyle B(\Omega )}$الدوال المحدودة
• متصلة
  • ${\displaystyle C(\Omega )}$الدوال المتصلة المزودة بطوبولوجيا المعيار المنتظم
  • ${\displaystyle C_{c}(\Omega )}$وظائف متصلة مع دعم مضغوط
  • ${\displaystyle C_{b}(\Omega )}$الدوال المتصلة والمحدودة
  • ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$الدوال المتصلة التي تتلاشى عند اللانهاية؛ فضاء جزئي مغلق من${\displaystyle C_{b}(\Omega )}$^{[ 3 ]}
  • ${\displaystyle C^{r}(\Omega )}$الدوال المتصلة التي لها مشتقات متصلة من الرتبة r .
• ناعمة
  • ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$وظائف سلسة
  • ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$دوال سلسة ذات دعم مضغوط (أي مجموعة دوال النتوء )
  • ${\displaystyle C^{\omega }(\Omega )}$الدوال التحليلية الحقيقية
• ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$، ل${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$، هو فضاء L ^p للدوال القابلة للقياس التي يكون معيارها p${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\Omega }|f|^{p}\right)^{1/p}}$محدود
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\Omega )}$، فضاء شوارتز للدوال الملساء المتناقصة بسرعة ونظيره المتصل،${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\Omega )}$توزيعات معتدلة
• ${\displaystyle D(\Omega )}$الدعم المضغوط في طوبولوجيا الحد
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\Omega )}$، فضاء جميع دوال ليبشيتز على${\displaystyle \Omega }$التي تتلاشى عند الصفر.
• ${\displaystyle W^{k,p}}$فضاء سوبوليف للدوال التي تكون مشتقاتها الضعيفة حتى الرتبة k في${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$الدوال الهولومورفية
• ${\displaystyle BMO(\Omega )}$فضاء التذبذب المتوسط ​​المحدود . ويُسمى أيضًا فضاء جون-نيرنبرغ
• الدوال الخطية
• الدوال الخطية المجزأة
• الدوال المتصلة، والطوبولوجيا المفتوحة المدمجة
• جميع الدوال، فضاء التقارب النقطي
• مساحة هاردي
• مساحة هولدر
• فضاء Skorokhod : فضاء الدوال càdlàg .
• مساحة بيسوف
• مساحة سوتشيك
• فضاء تريبل-ليزوركين
• بارون سبيس

إذا كان y عنصرًا من فضاء الدوال${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$المعيار لجميع الدوال المتصلة المعرفة على فترة مغلقة [ a , b ]${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$محدد في${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$هي القيمة المطلقة القصوى لـ y ( x ) لـ a ≤ x ≤ b ، ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

ويطلق عليه المعيار الموحد أو المعيار الأعلى ('sup norm').

• كولموغوروف، أ.ن. ، وفومين، س.ف. (1967). عناصر نظرية الدوال والتحليل الوظيفي. منشورات كورير دوفر.
• شتاين، إلياس ؛ شاكارشي، ر. (2011). التحليل الوظيفي: مقدمة لمواضيع أخرى في التحليل. مطبعة جامعة برينستون.

• قائمة الدوال الرياضية
• جبر كليفورد
• حقل الموتر
• النظرية الطيفية
• المحدد الوظيفي
• استمرارية متساوية
• نظرية أسكولي