المنطق الضبابي

قد يُحدد تطبيق أساسي نطاقات فرعية مختلفة لمتغير مستمر . على سبيل المثال، قد يتضمن قياس درجة حرارة نظام منع انغلاق المكابح عدة دوال عضوية منفصلة تُحدد نطاقات درجات حرارة معينة ضرورية للتحكم في المكابح بشكل صحيح. تُحوّل كل دالة قيمة درجة الحرارة نفسها إلى قيمة منطقية في النطاق من 0 إلى 1. ويمكن استخدام هذه القيم المنطقية لتحديد كيفية التحكم في المكابح. ^{[ 10 ]} توفر نظرية المجموعات الضبابية وسيلة لتمثيل عدم اليقين.

في تطبيقات المنطق الضبابي، تُستخدم القيم غير الرقمية غالبًا لتسهيل التعبير عن القواعد والحقائق. ^{[ 11 ]}

قد يقبل متغير لغوي مثل العمر قيمًا مثل "شاب" ونقيضه " كبير في السن ". ولأن اللغات الطبيعية لا تحتوي دائمًا على عدد كافٍ من مصطلحات القيم للتعبير عن مقياس قيم غير دقيق، فمن الشائع تعديل القيم اللغوية بالصفات أو الظروف . على سبيل المثال، يمكننا استخدام كلمتي " إلى حد ما " و "قديم نوعًا ما" لتكوين القيم الإضافية " كبير نوعًا ما" أو "شاب نوعًا ما" . ^{[ 12 ]}

النظام الأكثر شهرة هو نظام مامداني القائم على القواعد. ^{[ 13 ]} وهو يستخدم القواعد التالية:

1. قم بتحويل جميع قيم الإدخال إلى دوال عضوية ضبابية.
2. قم بتنفيذ جميع القواعد المطبقة في قاعدة القواعد لحساب وظائف الإخراج الضبابية.
3. قم بإزالة الغموض عن وظائف الإخراج الضبابية للحصول على قيم إخراج "واضحة".

التمويه

التضبيب هو عملية إسناد المدخلات العددية لنظام ما إلى مجموعات ضبابية بدرجة انتماء معينة. قد تقع درجة الانتماء هذه في أي مكان ضمن الفترة [0، 1]. إذا كانت 0، فإن القيمة لا تنتمي إلى المجموعة الضبابية المحددة، وإذا كانت 1، فإن القيمة تنتمي إليها تمامًا. أي قيمة بين 0 و1 تمثل درجة عدم اليقين بشأن انتماء القيمة إلى المجموعة. عادةً ما تُوصف هذه المجموعات الضبابية بالكلمات، وبالتالي، من خلال إسناد مدخلات النظام إلى مجموعات ضبابية، يمكننا التعامل معها بطريقة لغوية طبيعية.

على سبيل المثال، في الصورة أدناه، تُمثَّل معاني التعبيرات "بارد" و "دافئ " و" ساخن" بدوال تُحدِّد مقياسًا لدرجة الحرارة. لكل نقطة على هذا المقياس ثلاث "قيم حقيقية" - قيمة لكل دالة من الدوال الثلاث. يُمثِّل الخط الرأسي في الصورة درجة حرارة مُحدَّدة تُشير إليها الأسهم الثلاثة (القيم الحقيقية). بما أن السهم الأحمر يُشير إلى الصفر، يُمكن تفسير هذه الدرجة على أنها "ليست ساخنة"؛ أي أن هذه الدرجة لا تنتمي إلى المجموعة الضبابية "ساخنة". يُمكن للسهم البرتقالي (الذي يُشير إلى 0.2) وصفها بأنها "دافئة قليلاً"، والسهم الأزرق (الذي يُشير إلى 0.8) بأنها "باردة إلى حدٍّ ما". لذلك، تنتمي هذه الدرجة إلى المجموعة الضبابية "دافئة" بمقدار 0.2، وإلى المجموعة الضبابية "باردة" بمقدار 0.8. درجة الانتماء المُخصَّصة لكل مجموعة ضبابية هي نتيجة عملية التضبيب.

تُعرَّف المجموعات الضبابية عادةً على شكل منحنيات مثلثة أو شبه منحرفة، حيث يكون لكل قيمة ميلٌ عند تزايد القيمة، وذروةٌ عند القيمة تساوي 1 (والتي قد يكون طولها صفرًا أو أكبر)، وميلٌ عند تناقص القيمة. ^{[ 14 ]} ويمكن تعريفها أيضًا باستخدام دالة سيجمويد . ^{[ 15 ]} ومن الأمثلة الشائعة دالة اللوجستية القياسية المُعرَّفة على النحو التالي:

${\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

والتي تتمتع بخاصية التناظر التالية

$${\displaystyle S(x)+S(-x)=1.}$$

ويترتب على ذلك أن

$${\displaystyle (S(x)+S(-x))\cdot (S(y)+S(-y))\cdot (S(z)+S(-z))=1}$$

x AND y = x * y ليس x = 1 - x لذلك، x OR y = NOT( AND( NOT(x), NOT(y) ) ) x OR y = NOT( AND( 1 - x, 1 - y) ) x OR y = NOT( (1 - x) * (1 - y) ) x أو y = 1 - (1 - x) * (1 - y) x أو y = x + y - xy 

إذا كانت درجة الحرارة منخفضة للغاية، فسيتم إيقاف سرعة المروحة. إذا كانت درجة الحرارة منخفضة، فإن سرعة المروحة تكون منخفضة. إذا كانت درجة الحرارة دافئة، فإن سرعة المروحة تكون متوسطة. إذا كانت درجة الحرارة مرتفعة، فإن سرعة المروحة تكون عالية. 

طُوِّر نظام تاكاغي-سوغينو (TSK) من قِبَل توموهيرو تاكاغي وميتشيو سوغينو لتحديد الأنظمة الضبابية وتطبيقاتها في النمذجة والتحكم. ^{[ 20 ]} طوّر سوغينو وكانغ لاحقًا طرقًا لتحديد بنية هذه النماذج الضبابية من بيانات المدخلات والمخرجات. ^{[ 21 ]} يُشبه نظام TSK نظام مامداني، لكن عملية إزالة الضبابية مُدمجة في تنفيذ القواعد الضبابية. كما تم تعديل هذه القواعد بحيث يتم تمثيل نتيجة القاعدة بدالة متعددة الحدود، عادةً ما تكون ثابتة في نموذج من الرتبة الصفرية أو خطية في نموذج من الرتبة الأولى. مثال على قاعدة ذات مخرج ثابت:

إذا كانت درجة الحرارة منخفضة جدًا، فإن سرعة المروحة = 2 

في هذه الحالة، ستكون النتيجة مساوية لثابت النتيجة (مثلاً 2). في معظم الحالات، سيكون لدينا قاعدة قواعد كاملة، تحتوي على قاعدتين أو أكثر. في هذه الحالة، ستكون نتيجة قاعدة القواعد الكاملة هي متوسط ​​نتيجة كل قاعدة i (Y _i )، مُرجّحة وفقًا لقيمة انتماء سابقتها (h _i ).

${\displaystyle {\frac {\sum _{i}(h_{i}\cdot Y_{i})}{\sum _{i}h_{i}}}}$

مثال على قاعدة ذات مخرجات خطية سيكون كالتالي:

إذا كانت درجة الحرارة منخفضة جدًا والرطوبة عالية، فإن سرعة المروحة تساوي ضعف درجة الحرارة + واحد الرطوبة. 

في هذه الحالة، ستكون مخرجات القاعدة هي نتيجة الدالة في النتيجة. المتغيرات في النتيجة هي متغيرات إدخال النظام مُقَيَّمة عند المدخل الحالي، بينما تحدد قيم عضوية المقدمة أوزان القواعد. وكما في السابق، في حال وجود قاعدة قواعد كاملة تحتوي على قاعدتين أو أكثر، ستكون المخرجات الإجمالية هي المتوسط ​​المرجح لمخرجات كل قاعدة.

تتمثل الميزة الرئيسية لاستخدام TSK بدلاً من Mamdani في كفاءتها الحسابية وتوافقها الجيد مع الخوارزميات الأخرى، مثل التحكم التناسبي التكاملي التفاضلي (PID) وخوارزميات التحسين. كما أنها تضمن استمرارية سطح الإخراج. مع ذلك، يُعد Mamdani أكثر سهولة في الاستخدام وأكثر بديهية. لذا، يُستخدم TSK عادةً ضمن طرق معقدة أخرى، مثل أنظمة الاستدلال العصبي الضبابي التكيفي .

عند تحليل الذكاء الاصطناعي القائم على الشبكات العصبية والمنطق الضبابي، نجد أنهما شيء واحد، فالمنطق الأساسي للشبكات العصبية ضبابي. تستقبل الشبكة العصبية مدخلات متنوعة ذات قيم مختلفة، وتمنحها أوزانًا متباينة، وتجمع القيم الوسيطة عددًا معينًا من المرات، لتصل في النهاية إلى قرار بقيمة محددة. لا يوجد في هذه العملية أي شيء يُشبه تسلسلات القرارات الثنائية التي تميز الرياضيات غير الضبابية، وبرمجة الحاسوب ، والإلكترونيات الرقمية . في ثمانينيات القرن الماضي، انقسم الباحثون حول النهج الأكثر فعالية للتعلم الآلي : تعلم شجرة القرار أم الشبكات العصبية. يستخدم النهج الأول المنطق الثنائي، بما يتوافق مع الأجهزة التي يعمل عليها، ولكنه لم يُسفر، رغم الجهود الكبيرة المبذولة، عن أنظمة ذكية. في المقابل، أنتجت الشبكات العصبية نماذج دقيقة للمواقف المعقدة، وسرعان ما شقت طريقها إلى العديد من الأجهزة الإلكترونية. ^{[ 23 ]} كما يُمكن الآن تنفيذها مباشرةً على الرقائق الدقيقة التناظرية، على عكس التطبيقات شبه التناظرية السابقة على الرقائق الرقمية. إن الكفاءة الأكبر لهذه التقنيات تعوض عن الدقة الأقل المتأصلة في الأنظمة التناظرية في مختلف حالات الاستخدام.

يُعدّ المنطق الضبابي مفهوماً هاماً في اتخاذ القرارات الطبية . ونظراً لأن البيانات الطبية والرعاية الصحية قد تكون ذاتية أو ضبابية، فإن التطبيقات في هذا المجال لديها إمكانات كبيرة للاستفادة بشكل كبير من استخدام المناهج القائمة على المنطق الضبابي.

يمكن استخدام المنطق الضبابي في العديد من الجوانب المختلفة ضمن إطار اتخاذ القرارات الطبية. تشمل هذه الجوانب ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} تحليل الصور الطبية ، وتحليل الإشارات الطبية الحيوية، وتجزئة الصور ^{[ 27 ]} أو الإشارات، واستخلاص /اختيار الميزات من الصور ^{[ 27 ]} أو الإشارات. ^{[ 28 ]}

السؤال الأهم في هذا المجال التطبيقي هو مقدار المعلومات المفيدة التي يمكن استخلاصها باستخدام المنطق الضبابي. ويكمن التحدي الأكبر في كيفية استخلاص البيانات الضبابية المطلوبة. ويزداد هذا التحدي صعوبةً عند استخلاص هذه البيانات من البشر (عادةً المرضى). كما ذُكر سابقاً

"إن نطاق ما يمكن تحقيقه وما لا يمكن تحقيقه في التشخيص الطبي، هو في حد ذاته نطاق غامض".

لا يزال استخلاص البيانات الضبابية والتحقق من دقتها جهدًا مستمرًا، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بتطبيق المنطق الضبابي. وتُعدّ مشكلة تقييم جودة البيانات الضبابية من المشكلات المعقدة. ولذلك، يُعتبر المنطق الضبابي خيارًا واعدًا للغاية في مجال اتخاذ القرارات الطبية، ولكنه لا يزال بحاجة إلى مزيد من البحث لتحقيق كامل إمكاناته. ^{[ 29 ]}

بمجرد تحديد العلاقات الضبابية، يصبح من الممكن تطوير قواعد بيانات علائقية ضبابية . ظهرت أول قاعدة بيانات علائقية ضبابية، FRDB، في أطروحة ماريا زيمانكوفا (1983). لاحقًا، ظهرت نماذج أخرى مثل نموذج باكلز-بيتري، ونموذج براد-تيستمال، ونموذج أومانو-فوكامي، ونموذج GEFRED الذي وضعه كل من جيه إم ميدينا وإم إيه فيلا وآخرون.

تم تعريف لغات الاستعلام الضبابي، مثل SQLf بواسطة P. Bosc وآخرون و FSQL بواسطة J. Galindo وآخرون. تحدد هذه اللغات بعض الهياكل من أجل تضمين الجوانب الضبابية في عبارات SQL، مثل الشروط الضبابية، والمقارنات الضبابية، والثوابت الضبابية، والقيود الضبابية، والعتبات الضبابية، والتصنيفات اللغوية، وما إلى ذلك.

أهم أنواع المنطق الضبابي الافتراضي هي:

• المنطق الضبابي الافتراضي القائم على معيار t أحادي الشكل (MTL) هو نظام بديهي للمنطق، حيث يُعرَّف الاقتران بواسطة معيار t متصل من اليسار، ويُعرَّف الاستلزام على أنه باقي معيار t. تتوافق نماذجه مع جبر MTL الذي هو عبارة عن شبكات متبقية متكاملة محدودة تبادلية ما قبل الخطية .
• المنطق الضبابي الافتراضي الأساسي BL هو امتداد لمنطق MTL حيث يتم تعريف الاقتران بواسطة معيار t مستمر، ويتم تعريف الاستلزام أيضًا على أنه باقي معيار t. تتوافق نماذجه مع جبر BL.
• منطق لوكاسيفيتش الضبابي هو امتداد للمنطق الضبابي الأساسي BL حيث يكون الاقتران القياسي هو معيار لوكاسيفيتش t. يحتوي على بديهيات المنطق الضبابي الأساسي بالإضافة إلى بديهية النفي المزدوج، وتتوافق نماذجه مع جبر MV .
• منطق غودل الضبابي هو امتداد لمنطق غودل الضبابي الأساسي، حيث يمثل الاقتران معيار غودل t (أي الحد الأدنى). ويحتوي على بديهيات منطق غودل الضبابي الأساسي بالإضافة إلى بديهية عدم تكرار الاقتران، وتُسمى نماذجه جبر غودل.
• المنطق الضبابي الناتج هو امتداد للمنطق الضبابي الأساسي، حيث يمثل الاقتران معيار t الناتج. ويحتوي على بديهيات المنطق الضبابي الأساسي بالإضافة إلى بديهية أخرى تتعلق بإلغاء الاقتران، وتُسمى نماذجه جبر الناتج.
• المنطق الضبابي ذو البنية المُقَيَّمة (يُسمى أحيانًا منطق بافيلكا)، ويُرمز له بـ EVŁ، هو تعميم إضافي للمنطق الضبابي الرياضي. فبينما تتميز أنواع المنطق الضبابي المذكورة أعلاه بالبنية التقليدية والدلالات متعددة القيم، فإن البنية في EVŁ مُقَيَّمة أيضًا. وهذا يعني أن لكل صيغة تقييمًا. وتستند بديهيات EVŁ إلى منطق لوكاسزيفيتش الضبابي. ويمكن إثبات تعميم لنظرية غودل الكلاسيكية للاكتمال في EVŁ. ^{[ 19 ]}

على غرار كيفية اشتقاق منطق المسند من منطق القضايا ، توسّع منطق المسند الضبابي الأنظمة الضبابية باستخدام مُكمِّمات شاملة ووجودية . دلالة المُكمِّم الشامل في منطق t-norm الضبابي هي الحد الأدنى لدرجات صدق حالات الصيغة الفرعية المُكمَّمة، بينما دلالة المُكمِّم الوجودي هي الحد الأعلى لها.

تُعدّ مفاهيم "المجموعة الجزئية القابلة للتقرير" و" المجموعة الجزئية القابلة للتعداد التكراري " مفاهيم أساسية في الرياضيات الكلاسيكية والمنطق الكلاسيكي . لذا، فإنّ مسألة إيجاد امتداد مناسب لهاتين المفهومين إلى نظرية المجموعات الضبابية تُعدّ مسألة بالغة الأهمية. وقدّم إي إس سانتوس أول اقتراح في هذا الاتجاه من خلال مفاهيم آلة تورينغ الضبابية ، وخوارزمية ماركوف الضبابية العادية، والبرنامج الضبابي (انظر سانتوس 1970). لاحقًا، جادل كلٌّ من إل. بياكينو وجي. جيرلا بأنّ التعريفات المقترحة محلّ شكّ. على سبيل المثال، يُبيّن في المرجع ^{[ 31 ]} أنّ آلات تورينغ الضبابية غير مناسبة لنظرية اللغات الضبابية، نظرًا لوجود لغات ضبابية طبيعية قابلة للحساب بديهيًا لا يمكن لآلة تورينغ الضبابية التعرّف عليها. ثمّ اقترحا التعريفات التالية: لنرمز بـ Ü إلى مجموعة الأعداد النسبية في الفترة [0,1]. عندئذٍ، تُعرّف المجموعة الجزئية الضبابية s  : S بأنها مجموعة جزئية ضبابية.${\displaystyle \rightarrow }$ تكون المجموعة [0,1] من المجموعة S قابلة للتعداد التكراري إذا كانت الدالة التكرارية h  : S × N${\displaystyle \rightarrow }$يوجد Ü بحيث يكون، لكل x في S ، الدالة h ( x , n ) متزايدة بالنسبة إلى n و s ( x ) = lim h ( x , n ). نقول إن s قابلة للتقرير إذا كانت كل من s ومتممتها – s قابلة للتعداد التكراري. من الممكن تعميم هذه النظرية على الحالة العامة للمجموعات الجزئية L (انظر جيرلا 2006). ترتبط التعريفات المقترحة ارتباطًا وثيقًا بالمنطق الضبابي. في الواقع، تتحقق النظرية التالية (شريطة أن يحقق جهاز الاستدلال في المنطق الضبابي المدروس خاصية فعالية واضحة).

أي نظرية ضبابية "قابلة للتأصيل" قابلة للتعداد التكراري. وعلى وجه الخصوص، فإن المجموعة الضبابية للصيغ الصحيحة منطقيًا قابلة للتعداد التكراري على الرغم من أن المجموعة الواضحة للصيغ الصحيحة غير قابلة للتعداد التكراري بشكل عام. علاوة على ذلك، فإن أي نظرية قابلة للتأصيل وكاملة قابلة للتقرير.

لا يزال دعم "أطروحة تشيرش" في الرياضيات الضبابية سؤالًا مفتوحًا ، ويُعدّ مفهوم التعداد التكراري للمجموعات الجزئية الضبابية هو المفهوم المناسب. ولحلّ هذه المسألة، يلزم توسيع مفهومي القواعد الضبابية وآلة تورينج الضبابية . وثمة سؤال آخر مفتوح يتمثل في الانطلاق من هذا المفهوم لإيجاد امتداد لنظريات غودل إلى المنطق الضبابي.

يتناول المنطق الضبابي ونظرية الاحتمالات أشكالًا مختلفة من عدم اليقين. فبينما يُمكن لكليهما تمثيل درجات أنواع معينة من المعتقدات الذاتية، تستخدم نظرية المجموعات الضبابية مفهوم انتماء المجموعة الضبابية، أي مدى انتماء ملاحظة ما إلى مجموعة غير محددة بدقة، بينما تستخدم نظرية الاحتمالات مفهوم الاحتمال الذاتي ، أي تكرار حدوث حدث أو شرط ما أو احتمالية وقوعه . وقد طُوّر مفهوم المجموعات الضبابية في منتصف القرن العشرين في بيركلي ^{[ 32 ]} استجابةً لغياب نظرية احتمالات تُعنى بنمذجة عدم اليقين والغموض معًا . ^{[ 33 ]}

يزعم بارت كوسكو في كتابه "الضبابية مقابل الاحتمالية" ^{[ 34 ]} أن نظرية الاحتمالات هي نظرية فرعية من المنطق الضبابي، إذ يمكن تمثيل مسائل درجات الاعتقاد في انتماء المجموعات المتنافية في نظرية الاحتمالات كحالات معينة من الانتماء المتدرج غير المتنافي في النظرية الضبابية. وفي هذا السياق، يستنتج أيضًا نظرية بايز من مفهوم المجموعة الجزئية الضبابية. ويجادل لطفي زاده بأن المنطق الضبابي يختلف في طبيعته عن الاحتمالية، ولا يُعد بديلًا عنها. وقد قام بتحويل الاحتمالية إلى احتمالية ضبابية، ثم عممها لتشمل نظرية الإمكانية . ^{[ 35 ]}

وبشكل عام، يعتبر المنطق الضبابي أحد الامتدادات العديدة المختلفة للمنطق الكلاسيكي التي تهدف إلى التعامل مع قضايا عدم اليقين خارج نطاق المنطق الكلاسيكي، وعدم قابلية تطبيق نظرية الاحتمالات في العديد من المجالات، ومفارقات نظرية دمبستر-شافر .

يستخدم عالم نظرية الحوسبة، ليزلي فاليانت، مصطلح " الخوارزميات البيئية " لوصف كيفية تطبيق العديد من الأنظمة والتقنيات الأقل دقة، مثل المنطق الضبابي (والمنطق "الأقل متانة")، على خوارزميات التعلم . ويعيد فاليانت تعريف التعلم الآلي بشكل أساسي باعتباره تطوريًا. في الاستخدام الشائع، تُعرَّف الخوارزميات البيئية بأنها خوارزميات تتعلم من بيئاتها الأكثر تعقيدًا (ومن هنا جاءت تسميتها بـ" البيئة" ) لتعميم منطق الحل وتقريبه وتبسيطه. ومثل المنطق الضبابي، تُستخدم هذه الخوارزميات للتغلب على المتغيرات المستمرة أو الأنظمة المعقدة للغاية بحيث يصعب حصرها أو فهمها بشكل منفصل أو دقيق. ^{[ 36 ]} وتشترك الخوارزميات البيئية والمنطق الضبابي أيضًا في خاصية التعامل مع الاحتمالات أكثر من التعامل مع الاحتمالات، على الرغم من أن التغذية الراجعة والتغذية الأمامية ، وهما في الأساس أوزان عشوائية، تُعدان سمة مشتركة بينهما عند التعامل، على سبيل المثال، مع الأنظمة الديناميكية .

يُعد منطق غودل G∞ نظامًا منطقيًا آخر، حيث تكون قيم الصواب أعدادًا حقيقية بين 0 و1، ويتم فيه استبدال عاملي AND وOR بعاملي MIN وMAX _. يتشابه هذا المنطق كثيرًا مع المنطق الضبابي، ولكنه يُعرّف النفي بشكل مختلف، وله دلالة ضمنية.${\displaystyle \neg _{G}}$والتبعات${\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}$يتم تعريفها على النحو التالي:

$\begin{aligned}\neg_{G}u&=\begin{cases}1,&{\text{إذا كان }}u=0\\0,&{\text{إذا كان }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel{\xrightarrow[{G}]{}}v&=\begin{cases}1,&{\text{إذا كان }}u\leq v\\v,&{\text{إذا كان }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}$

مما يحوّل النظام المنطقي الناتج إلى نموذج للمنطق الحدسي ، ويجعله نظامًا مثاليًا بشكل خاص بين جميع الخيارات الممكنة للأنظمة المنطقية التي تستخدم الأعداد الحقيقية بين 0 و1 كقيم حقيقية. في هذه الحالة، يمكن تفسير الاستلزام على أنه "س أقل صحة من ص"، والنفي على أنه "س أقل صحة من 0" أو "س خاطئ تمامًا"، وذلك لأي${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$لدينا ذلك${\displaystyle {\text{AND}}(x,x\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} y )={\text{AND}}(x,y)}$. على وجه الخصوص، في منطق غودل، لم يعد النفي عبارة عن انعكاس، والنفي المزدوج يرسم أي قيمة غير صفرية إلى 1.