مجموعة ضبابية

لأي مجموعة ضبابية${\displaystyle A=(U,m)}$و${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$تم تعريف المجموعات الواضحة التالية:

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$يُطلق عليه اسم القطع ألفا (أو مجموعة المستوى ألفا )
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$يُطلق عليه اسم القطع القوي ألفا (أو مجموعة المستوى القوي ألفا )
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$يُطلق عليه اسم دعمه
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$يُطلق عليه اسم النواة (أو أحيانًا النواة)${\displaystyle \operatorname {Kern} (A)}$).

لاحظ أن بعض المؤلفين يفهمون "الجوهر" بطريقة مختلفة؛ انظر أدناه.

• مجموعة ضبابية${\displaystyle A=(U,m)}$فارغ (​${\displaystyle A=\varnothing }$) إذا وفقط إذا

${\displaystyle \forall }$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• مجموعتان ضبابيتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$متساويان (​${\displaystyle A=B}$) إذا

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• مجموعة ضبابية${\displaystyle A}$مُدرج في مجموعة ضبابية${\displaystyle B}$(${\displaystyle A\subseteq B}$) إذا

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• لأي مجموعة ضبابية${\displaystyle A}$أي عنصر${\displaystyle x\in U}$ذلك يرضي

${\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

تُسمى نقطة التقاطع .

• بالنظر إلى مجموعة ضبابية${\displaystyle A}$، أي${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$، والتي من أجلها${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$لا يُطلق عليه المستوى أ ، فهو ليس فارغًا.
• مجموعة المستويات للمجموعة A هي مجموعة جميع المستويات${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$تمثل هذه الصورة قطعًا مميزة.${\displaystyle \mu _{A}}$:

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• لمجموعة ضبابية${\displaystyle A}$، ويُعطى ارتفاعه بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

أين${\displaystyle \sup }$يشير إلى القيمة العليا ، والتي توجد بسبب${\displaystyle \mu _{A}(U)}$غير فارغة ومحدودة من الأعلى بـ 1. إذا كانت U محدودة، فيمكننا ببساطة استبدال القيمة العليا بالقيمة القصوى.

• مجموعة ضبابية${\displaystyle A}$يُقال إنها مُعَيَّرة إذا وفقط إذا

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

في الحالة المحدودة، حيث تكون القيمة العليا قيمة عظمى، فهذا يعني أن عنصرًا واحدًا على الأقل من المجموعة الضبابية له عضوية كاملة. مجموعة ضبابية غير فارغة${\displaystyle A}$يمكن تطبيع النتيجة${\displaystyle {\tilde {A}}}$عن طريق قسمة دالة الانتماء للمجموعة الضبابية على ارتفاعها:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

إلى جانب أوجه التشابه، يختلف هذا عن التطبيع المعتاد في أن ثابت التطبيع ليس مجموعًا.

• للمجموعات الضبابية${\displaystyle A}$من الأعداد الحقيقية${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} )}$مع الدعم المحدود ، يتم تعريف العرض على النحو التالي

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

في حالة عندما${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$إذا كانت مجموعة منتهية، أو بشكل أعم مجموعة مغلقة ، فإن عرضها هو فقط

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

في الحالة ذات الأبعاد n${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} ^{n})}$يمكن استبدال ما سبق بحجم ذي أبعاد n${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$.

بشكل عام، يمكن تعريف ذلك بإعطاء أي مقياس على U ، على سبيل المثال عن طريق التكامل (مثل تكامل ليبيغ ) لـ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$.

• مجموعة ضبابية حقيقية${\displaystyle A(U\subseteq \mathbb {R} )}$يُقال إنها محدبة (بالمعنى غير الدقيق، وليس المقصود هنا مجموعة محدبة محددة )، إذا وفقط إذا

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

دون فقدان للعمومية، يمكننا أن نأخذ x ≤ y ، مما يعطي الصيغة المكافئة

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل فضاءً طوبولوجيًا عامًا U : نقول المجموعة الضبابية${\displaystyle A}$تكون محدبة عندما، لأي مجموعة جزئية Z من U ، يتحقق الشرط

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

يحجز، حيث${\displaystyle \partial Z}$يشير إلى حدود Z و${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$يرمز إلى صورة المجموعة X (هنا)${\displaystyle \partial Z}$) تحت دالة f (هنا${\displaystyle \mu _{A}}$).

على الرغم من أن مكمل المجموعة الضبابية له تعريف واحد شائع للغاية، إلا أن العمليات الرئيسية الأخرى، الاتحاد والتقاطع، بها بعض الغموض.

• بالنسبة لمجموعة ضبابية معينة${\displaystyle A}$مكملها​${\displaystyle \neg {A}}$(يشار إليه أحيانًا باسم${\displaystyle A^{c}}$أو${\displaystyle cA}$يتم تعريف ) بواسطة دالة العضوية التالية:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$.

• ليكن t معيارًا من النوع t ، و s المعيار المقابل من النوع s (المعروف أيضًا باسم المعيار الموحد من النوع t). بالنظر إلى زوج من المجموعات الضبابية${\displaystyle A,B}$تقاطعهم​${\displaystyle A\cap {B}}$يُعرَّف بما يلي:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$،

واتحادهم​${\displaystyle A\cup {B}}$يُعرَّف بما يلي:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$.

بحسب تعريف معيار t، نلاحظ أن الاتحاد والتقاطع عمليتان تبادليتان ، رتيبتان ، وتجميعيتان ، ولكل منهما عنصر صفري وعنصر محايد . بالنسبة للتقاطع، هما ∅ و U على التوالي، بينما في الاتحاد، ينعكس هذان العنصران. مع ذلك، قد لا ينتج عن اتحاد مجموعة ضبابية ومتممتها المجموعة الكاملة U ، وقد لا ينتج عن تقاطعهما المجموعة الفارغة ∅. ولأن التقاطع والاتحاد عمليتان تجميعيتان، فمن الطبيعي تعريف تقاطع واتحاد عائلة محدودة من المجموعات الضبابية بشكل تكراري. ومن الجدير بالذكر أن المعاملين القياسيين المقبولين عمومًا لاتحاد وتقاطع المجموعات الضبابية هما معاملا الحد الأقصى والحد الأدنى.

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$و${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$[ ^{6 ]​}
• إذا كان النفي القياسي${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$إذا تم استبدالها بمُنفي قوي آخر ، فيمكن تعميم فرق المجموعة الضبابية (المُعرّف أدناه) بواسطة

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• تشكل الثلاثية المكونة من التقاطع الضبابي والاتحاد والمكمل ثلاثية دي مورغان . أي أن قوانين دي مورغان تمتد إلى هذه الثلاثية.

يمكن اشتقاق أمثلة لأزواج التقاطع/الاتحاد الضبابي مع النفي القياسي من العينات المقدمة في المقالة حول المعايير t .

لا يُعدّ التقاطع الضبابي عمليةً مُكرِّرةً بشكلٍ عام، لأنّ الحد الأدنى لمعيار t القياسي هو الوحيد الذي يتمتّع بهذه الخاصية. في الواقع، إذا استُخدم الضرب الحسابي كمعيار t، فإنّ عملية التقاطع الضبابي الناتجة لا تكون مُكرِّرةً. أي أنّ حساب تقاطع مجموعة ضبابية مع نفسها بشكلٍ تكراري ليس بالأمر البسيط. بل يُعرّف القوة m لمجموعة ضبابية، والتي يُمكن تعميمها بشكلٍ قياسي للأسس غير الصحيحة على النحو التالي:

• لأي مجموعة ضبابية${\displaystyle A}$و${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$القوة ν لـ${\displaystyle A}$يتم تعريفها بواسطة دالة العضوية:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

تُعتبر حالة الأس اثنين حالة خاصة بما يكفي لتمنحها اسماً.

• لأي مجموعة ضبابية${\displaystyle A}$التركيز​${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$يتم تعريفها

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

أخذ${\displaystyle 0^{0}=1}$لدينا${\displaystyle A^{0}=U}$و${\displaystyle A^{1}=A.}$

• بالنظر إلى المجموعات الضبابية${\displaystyle A,B}$، الفرق بين المجموعات الضبابية${\displaystyle A\setminus B}$، ويشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle A-B}$، ويمكن تعريفها بشكل مباشر من خلال دالة العضوية:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

وهذا يعني${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$مثال:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^{[ 7 ]}

يمكن أن يكون هناك اقتراح آخر لاختلاف المجموعة كالتالي:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^{[ 7 ]}

• قدّم دوبوا وبراد (1980) مقترحاتٍ لفروق المجموعات الضبابية المتناظرة، إما عن طريق أخذ القيمة المطلقة ، مما يُعطي

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

أو باستخدام مزيج من الحد الأقصى والحد الأدنى والنفي القياسي فقط، مما يعطي

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^{[ 7 ]}

اقترح فيمور وآخرون (2014) بديهيات لتعريف الفروق المتناظرة المعممة المشابهة لتلك الخاصة بالمعايير-t والمعايير-t المشتركة والمُنفيات، وذلك استنادًا إلى دراسات سابقة أجراها ألسينا وآخرون (2005) وبيدريغال وآخرون (2009). ^{[ 7 ]}

• وعلى النقيض من المجموعات الواضحة، يمكن أيضاً تعريف عمليات حساب المتوسط ​​للمجموعات الضبابية.

على عكس الغموض العام لعمليات التقاطع والاتحاد، هناك وضوح بالنسبة للمجموعات الضبابية المنفصلة: مجموعتان ضبابيتان${\displaystyle A,B}$تكون منفصلة إذا وفقط إذا

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

وهو ما يعادل

${\displaystyle \nexists }$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

وهو ما يعادل أيضًا

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

نضع في اعتبارنا أن min / max هو زوج at/s-norm، وأي زوج آخر سيعمل هنا أيضًا.

تكون المجموعات الضبابية منفصلة إذا وفقط إذا كانت دعاماتها منفصلة وفقًا للتعريف القياسي للمجموعات الواضحة.

للمجموعات الضبابية المنفصلة${\displaystyle A,B}$أي تقاطع سيعطي ∅، وأي اتحاد سيعطي نفس النتيجة، والتي يُرمز لها بـ

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

مع دالة عضويتها المعطاة بواسطة

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

لاحظ أن أحد الحدين فقط أكبر من الصفر.

للمجموعات الضبابية المنفصلة${\displaystyle A,B}$ينطبق ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

يمكن تعميم ذلك على العائلات المحدودة من المجموعات الضبابية على النحو التالي: بالنظر إلى عائلة${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$من المجموعات الضبابية ذات مجموعة الفهارس I (مثلاً I = {1,2,3,..., n }). تكون هذه العائلة منفصلة (ثنائياً) إذا وفقط إذا

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

عائلة من المجموعات الضبابية${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$تكون منفصلة، ​​إذا وفقط إذا كانت عائلة الدعامات الأساسية${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$منفصلة بالمعنى القياسي لعائلات المجموعات الواضحة.

بغض النظر عن زوج t/s-norm، فإن تقاطع عائلة منفصلة من المجموعات الضبابية سيعطي ∅ مرة أخرى، بينما الاتحاد ليس به أي غموض:

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

مع دالة عضويتها المعطاة بواسطة

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

ومرة أخرى، واحد فقط من الحدود المجموعية أكبر من الصفر.

للعائلات المنفصلة من المجموعات الضبابية${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$ينطبق ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

لمجموعة ضبابية${\displaystyle A}$مع دعم محدود${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$(أي "مجموعة ضبابية منتهية")، يتم تحديد عدد عناصرها (المعروف أيضًا باسم العدد القياسي أو عدد سيجما ) بواسطة

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$.

في حالة كون U مجموعة منتهية، فإن العدد النسبي للعناصر يُعطى بواسطة

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$.

يمكن تعميم ذلك بحيث يكون القاسم مجموعة ضبابية غير فارغة: بالنسبة للمجموعات الضبابية${\displaystyle A,G}$مع G ≠ ∅، يمكننا تعريف العدد النسبي كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$،

وهو ما يشبه إلى حد كبير صيغة الاحتمال الشرطي . ملاحظة:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$هنا.
• قد تعتمد النتيجة على التقاطع المحدد (معيار t) الذي تم اختياره.
• ل${\displaystyle G=U}$والنتيجة واضحة لا لبس فيها وتشبه التعريف السابق.

لأي مجموعة ضبابية${\displaystyle A}$دالة العضوية${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$يمكن اعتبارها عائلة${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$. هذا الأخير هو فضاء متري ذو عدة مقاييس${\displaystyle d}$معروف. يمكن اشتقاق مقياس من معيار (معيار متجهي).${\displaystyle \|\,\|}$عبر

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle U}$محدود، أي${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$ويمكن تعريف هذا المقياس على النحو التالي:

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$أين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هي متواليات من الأعداد الحقيقية بين 0 و 1.

إلى ما لا نهاية${\displaystyle U}$يمكن استبدال القيمة القصوى بقيمة عليا. ولأن المجموعات الضبابية تُعرَّف بشكل لا لبس فيه بواسطة دالة عضويتها، يمكن استخدام هذا المقياس لقياس المسافات بين المجموعات الضبابية على نفس الكون.

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$،

والذي يصبح في المثال أعلاه:

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$.

مرة أخرى إلى ما لا نهاية${\displaystyle U}$يجب استبدال القيمة القصوى بقيمة عليا. قد تتباعد المسافات الأخرى (مثل المعيار 2 المتعارف عليه) إذا كانت المجموعات الضبابية اللانهائية مختلفة جدًا، على سبيل المثال،${\displaystyle \varnothing }$و${\displaystyle U}$.

مقاييس التشابه (المشار إليها هنا بـ${\displaystyle S}$ويمكن بعد ذلك استنتاج ) من المسافة، على سبيل المثال بعد اقتراح من كوتشي:

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$لو${\displaystyle d(A,B)}$محدود،${\displaystyle 0}$آخر،

أو بعد ويليامز وستيل:

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$لو${\displaystyle d(A,B)}$محدود،${\displaystyle 0}$آخر

أين${\displaystyle \alpha >0}$هو معامل الانحدار و${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$.

في بعض الأحيان، تُستخدم صيغ أكثر عمومية لمفهوم المجموعة الضبابية، حيث تأخذ دوال الانتماء قيمًا في جبر أو بنية (ثابتة أو متغيرة).${\displaystyle L}$من نوع معين؛ وعادة ما يكون مطلوبًا أن${\displaystyle L}$يجب أن تكون على الأقل مجموعة مرتبة جزئيًا أو شبكة . تُسمى هذه عادةً مجموعات ضبابية من النوع L ، لتمييزها عن تلك التي تقع قيمها على الفترة [0، 1]. تُسمى دوال الانتماء المعتادة ذات القيم في [0، 1] دوال انتماء ذات قيم [0، 1]. نُظر في هذا النوع من التعميمات لأول مرة عام 1967 من قِبل جوزيف جوجين ، الذي كان تلميذًا لزاده. ^{[ 8 ]} قد تكون إحدى النتائج الكلاسيكية هي الإشارة إلى قيم الصواب والانتماء بـ {f، t} بدلًا من {0، 1}.

قدّم أتاناسوف امتدادًا للمجموعات الضبابية ، وهو ما يُعرف بالمجموعة الضبابية الحدسية (IFS).${\displaystyle A}$يتميز بوظيفتين:

1.${\displaystyle \mu _{A}(x)}$– درجة عضوية x

2.${\displaystyle \nu _{A}(x)}$– درجة عدم الانتماء إلى x

مع وظائف${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$مع${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$.

يشبه هذا وضع شخص ما يُشار إليه بـ${\displaystyle x}$التصويت

• لتقديم اقتراح${\displaystyle A}$: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$)
• ضد ذلك: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$)
• أو الامتناع عن التصويت: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$).

في النهاية، لدينا نسبة من الموافقات، ونسبة من الرفض، ونسبة من الامتناع عن التصويت.

في هذه الحالة، يمكن تعريف أدوات نفي "ضبابية حدسية" خاصة، وهي معايير t و s.${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$ومن خلال الجمع بين الوظيفتين لـ${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$يشبه هذا الوضع نوعًا خاصًا من مجموعات L الضبابية.

ومرة أخرى، تم توسيع هذا من خلال تعريف مجموعات الصور الضبابية (PFS) على النحو التالي: تتميز مجموعة الصور الضبابية A بثلاث وظائف تربط U بـ [0، 1]:${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$، "درجة العضوية الإيجابية"، و"درجة العضوية المحايدة"، و"درجة العضوية السلبية" على التوالي، وشرط إضافي${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ وهذا يوسع عينة التصويت المذكورة أعلاه باحتمالية إضافية تتمثل في "رفض التصويت".

مع${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$والمُنفيات الخاصة "الضبابية للصورة"، ومعايير t و s، وهذا يشبه نوعًا آخر من مجموعات L الضبابية. ^{[ 9 ]}

أحد امتدادات نظرية المجموعات الضبابية الحدسية هو ما يُعرف بالمجموعات الضبابية الفيثاغورية. تُحقق هذه المجموعات القيد التالي:${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$وهو ما يُذكّر بنظرية فيثاغورس. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} يمكن تطبيق مجموعات فيثاغورس الضبابية على تطبيقات الحياة الواقعية التي يكون فيها الشرط السابق لـ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$هذا غير صحيح. ومع ذلك، فإن الشرط الأقل تقييدًا هو${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$قد يكون مناسبًا في مجالات أكثر. ^{[ 13 ] [ 14 ]}