رقم عادي

الأعداد المنتظمة هي الأعداد التي تقسم قوى العدد 60 (أو، بصورة مكافئة، قوى العدد 30 ) بالتساوي. وبعبارة أخرى، هي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على 2 و 3 و 5 . على سبيل المثال، 60² ⁼  3600  =  48  × 75 ، لذا فإن العددين 48 و75، كقواسم لقوى العدد 60، يُعتبران عددين منتظمين.  

تظهر هذه الأرقام في العديد من مجالات الرياضيات وتطبيقاتها، ولها أسماء مختلفة نابعة من مجالات دراستها المختلفة.

• في نظرية الأعداد ، تُسمى هذه الأعداد بالأعداد السلسة من الدرجة 5 ، لأنها تتميز بأن عواملها الأولية هي 2 أو 3 أو 5 فقط . وهذه حالة خاصة من الأعداد الأكثر عمومية التي تُسمى بالأعداد السلسة من الدرجة k ، وهي الأعداد التي لا يوجد لها أي عامل أولي أكبر من k .
• في دراسة الرياضيات البابلية ، تسمى قواسم قوى العدد 60 بالأعداد المنتظمة أو الأعداد الستينية المنتظمة ، وهي ذات أهمية كبيرة في هذا المجال بسبب نظام الأعداد الستيني (الأساس 60) الذي استخدمه البابليون لكتابة أعدادهم، والذي كان أساسيًا في الرياضيات البابلية.
• في نظرية الموسيقى ، تظهر الأعداد المنتظمة في نسب النغمات في نظام التناغم الخماسي . وفي سياق نظرية الموسيقى والنظريات المعمارية ذات الصلة ، تُسمى هذه الأعداد بالأعداد التوافقية الكاملة .
• في علم الحاسوب ، تُعرف الأعداد المنتظمة غالبًا باسم أعداد هامينغ ، نسبةً إلى ريتشارد هامينغ ، الذي طرح مسألة إيجاد خوارزميات حاسوبية لتوليد هذه الأعداد بترتيب تصاعدي. وقد استُخدمت هذه المسألة كحالة اختبار للبرمجة الوظيفية .

بشكل رسمي، العدد العادي هو عدد صحيح على الصورة${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$، للأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle i}$،${\displaystyle j}$، و${\displaystyle k}$هذا العدد هو قاسم لـ${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$تُسمى الأعداد المنتظمة أيضًا بالأعداد السلسة من الرتبة 5 ، مما يشير إلى أن أكبر عامل أولي لها لا يتجاوز 5. ^{[ 2 ]} وبشكل أعم، فإن العدد السلس من الرتبة k هو عدد يكون أكبر عامل أولي له لا يتجاوز k . ^{[ 3 ]}

الأرقام المنتظمة القليلة الأولى هي ^{[ 2 ]}

تتضمن العديد من المتتاليات الأخرى في الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة تعريفات تتضمن أعدادًا سلسة من الدرجة 5. ^{[ 4 ]}

على الرغم من أن الأعداد المنتظمة تبدو كثيفة ضمن النطاق من 1 إلى 60، إلا أنها قليلة جدًا بين الأعداد الصحيحة الأكبر. العدد المنتظم${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$أقل من أو يساوي عتبة معينة${\displaystyle N}$إذا وفقط إذا كانت النقطة${\displaystyle (i,j,k)}$ينتمي إلى رباعي الأوجه المحدد بمستويات الإحداثيات والمستوى $${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$ كما يتضح من خلال أخذ اللوغاريتمات لكلا طرفي المتباينة${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$لذلك، فإن عدد الأعداد المنتظمة التي لا تتجاوز${\displaystyle N}$يمكن تقدير حجم هذا الهرم الرباعي، وهو $${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$ وبشكل أدق، باستخدام ترميز Big O ، فإن عدد الأعداد المنتظمة حتى${\displaystyle N}$يكون $${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$ وقد تم التكهن بأن حد الخطأ في هذا التقريب هو في الواقع${\displaystyle O(\log \log N)}$[ ^{2 ]} صيغة مماثلة لعدد الأعداد السلسة من الدرجة 3 ^حتى${\displaystyle N}$ورد ذلك في رسالة سرينيفاسا رامانوجان الأولى إلى جي إتش هاردي . ^{[ 5 ]}

في النظام الستيني البابلي ، يكون لمقلوب العدد المنتظم تمثيل محدود. إذا${\displaystyle n}$يقسم${\displaystyle 60^{k}}$ثم التمثيل الستيني لـ${\displaystyle 1/n}$هذا هو بالضبط بالنسبة لـ${\displaystyle 60^{k}/n}$، مع إزاحتها بعدد من المنازل. وهذا يسمح بسهولة القسمة على هذه الأرقام: للقسمة على${\displaystyle n}$، اضرب في${\displaystyle 1/n}$ثم انتقل. ^{[ 6 ]}

على سبيل المثال، لنأخذ القسمة على العدد العادي 54 = 2¹³³ ^. العدد 54 قاسم للعدد 60³ ^، و60³ /54 = 4000، لذا يمكن القسمة على 54 في النظام الستيني بضرب الناتج في 4000 ثم إزاحة الناتج ثلاث خانات. في النظام الستيني، 4000 = 1 ^× 3600 + 6 × 60 + 40 × 1، أو (كما ذكر جويس) 1:6:40. بالتالي، فإن 1/54 في النظام الستيني هو 1/60 + 6/60² ^{+ 40} /60³ ^، ويُشار إليه أيضًا بـ 1:6:40 لأن اصطلاحات التدوين البابلية لم تُحدد قوة الرقم الأول. وعلى العكس من ذلك، فإن 1/4000 = 54/60 ³ ، لذا يمكن تحقيق القسمة على 1:6:40 = 4000 عن طريق الضرب في 54 وتحريك ثلاثة منازل ستينية.

استخدم البابليون جداول مقلوب الأعداد المنتظمة، ولا يزال بعضها موجودًا حتى اليوم. ^{[ 7 ]} وقد ظلت هذه الجداول دون تغيير يُذكر طوال العصر البابلي. ^{[ 6 ]} يحتوي لوحٌ من العصر السلوقي ، من صنع شخص يُدعى إناقبيت آنو، على مقلوب 136 عددًا من أصل 231 عددًا منتظمًا بستة أرقام، يبدأ كل منها برقم 1 أو 2، مُرتبةً حسب الترتيب. كما يتضمن مقلوب بعض الأعداد التي تتكون من أكثر من ستة أرقام، مثل 3²³ ⁽ 2 ، 1، 4، 8، 3، 0، 27 بالنظام الستيني)، والذي يتكون مقلوبه من 17 رقمًا ستينيًا. ونظرًا لصعوبة حساب هذه الأعداد وترتيبها، أشاد دونالد كنوث في عام 1972 بإناقبيت آنو ووصفه بأنه "أول رجل في التاريخ يحل مسألة حسابية تستغرق أكثر من ثانية واحدة على جهاز حاسوب إلكتروني حديث!". (يوجد أيضًا جدولان معروفان يقدمان تقريبات لمقلوبات الأعداد غير المنتظمة، أحدهما يعطي مقلوبات جميع الأعداد من 56 إلى 80.) ^{[ 8 ] [ 9 ]}

على الرغم من أن السبب الرئيسي لتفضيل الأعداد المنتظمة على غيرها يكمن في محدودية مقلوباتها، إلا أن بعض الحسابات البابلية الأخرى، غير المقلوبات، استخدمت الأعداد المنتظمة. فعلى سبيل المثال، عُثر على جداول للمربعات المنتظمة ^{[ 6 ]} ، وقد فسّر نويغباور اللوح المكسور بليمبتون 322 على أنه يسرد ثلاثيات فيثاغورس.${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$^{[ 10 ]} يناقش فاولر وروبسون حساب الجذور التربيعية، مثل كيف وجد البابليون تقريبًا للجذر التربيعي للعدد 2 ، ربما باستخدام تقريبات عددية منتظمة للكسور مثل 17/12. ^{[ 9 ]}

في نظرية الموسيقى ، يعتمد الضبط الطبيعي للسلم الموسيقي الدياتوني على الأعداد المنتظمة: إذ تتناسب ترددات النغمات في أوكتاف واحد من هذا السلم مع ترددات الأعداد المنتظمة المتتالية تقريبًا 24، 27، 30، 32، 36، 40، 45، 48. ^{[ 11 ]} وبالتالي، بالنسبة لآلة موسيقية مضبوطة بهذا الشكل، فإن جميع النغمات هي توافقيات عددية منتظمة لتردد أساسي واحد . يُسمى هذا السلم بضبط الحد الخامس ، مما يعني أن الفاصل بين أي نغمتين يمكن وصفه بأنه حاصل ضرب ^قوى الأعداد ^{الأولية حتى} 5، أو بصورة مكافئة كنسبة بين أعداد منتظمة ^{. [} 12 ^]

استُخدمت أيضًا سلالم موسيقية ذات حد خماسي، بخلاف السلم الدياتوني المألوف في الموسيقى الغربية، في كلٍّ من الموسيقى التقليدية لثقافات أخرى وفي الموسيقى التجريبية الحديثة: فقد أدرج هونينغ وبود (2005) 31 سلمًا موسيقيًا مختلفًا ذي حد خماسي، مُستقاة من قاعدة بيانات أوسع للسلالم الموسيقية. يشترك كلٌّ من هذه السلالم الـ 31 مع التناغم الطبيعي الدياتوني في خاصية أن جميع الفواصل هي نسب لأعداد منتظمة. ^{[ 12 ]} توفر شبكة أويلر ( tonnetz ) تمثيلًا بيانيًا ملائمًا للنغمات في أي ضبط ذي حد خماسي، وذلك بفصل علاقات الأوكتاف (قوى العدد 2) بحيث تُشكّل القيم المتبقية شبكة مستوية . ^{[ 12 ]} وقد ذكر بعض منظري الموسيقى، بشكل عام، أن الأعداد المنتظمة أساسية للموسيقى النغمية نفسها، وأن نسب النغمات القائمة على أعداد أولية أكبر من 5 لا يمكن أن تكون متناغمة . ^{[ 13 ]} ومع ذلك، فإن نظام التوزيع المتساوي للبيانو الحديث ليس نظام ضبط محدودًا بخمسة أرقام، ^{[ 14 ]} وقد جرب بعض الملحنين المعاصرين أنظمة ضبط تعتمد على أعداد أولية أكبر من خمسة. ^{[ 15 ]}

فيما يتعلق بتطبيق الأعداد المنتظمة على نظرية الموسيقى، من المهم إيجاد أزواج من الأعداد المنتظمة التي يختلف كل منها بمقدار واحد. يوجد عشرة أزواج من هذا النوع بالضبط.${\displaystyle (x,x+1)}$ويحدد كل زوج من هذه الأزواج نسبة فائقة الخصوصية${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$وهذا له معنى كفاصل موسيقي. هذه الفواصل هي: 2/1 ( الأوكتاف )، 3/2 ( الخامسة التامة )، 4/3 ( الرابعة التامة )، 5/4 ( الثالثة الكبيرة )، 6/5 ( الثالثة الصغيرة )، 9/8 ( النغمة الكبيرة )، 10/9 ( النغمة الصغيرة )، 16/15 ( نصف النغمة الديوتونية )، 25/24 ( نصف النغمة الكروماتية )، و81/80 ( الفاصلة السينتونية ). ^{[ 16 ]}

في نظرية عصر النهضة للتناغم الكوني ، استُخدمت النسب الموسيقية في تطبيقات أخرى، بما في ذلك هندسة المباني. وفي سياق تحليل هذه النسب الموسيقية والمعمارية المشتركة، كما هو الحال في عمارة بالاديو ، أُطلق على الأعداد المنتظمة أيضًا اسم الأعداد الصحيحة المتناغمة . ^{[ 17 ]}

انتشرت خوارزميات حساب الأعداد المنتظمة بترتيب تصاعدي بفضل إدسكار ديكسترا . ينسب ديكسترا ( 1976 ، 1981 ) إلى هامينغ مسألة بناء متتالية تصاعدية لانهائية لجميع الأعداد ذات الترتيب 5؛ تُعرف هذه المسألة الآن باسم مسألة هامينغ ، وتُسمى الأعداد الناتجة عنها أيضًا بأعداد هامينغ . فيما يلي أفكار ديكسترا لحساب هذه الأعداد: 

• تبدأ سلسلة أرقام هامينغ بالرقم 1.
• أما القيم المتبقية في المتتالية فهي على الشكل التالي:${\displaystyle 2h}$،${\displaystyle 3h}$، و${\displaystyle 5h}$، أين${\displaystyle h}$أي عدد هامينغ.
• لذلك، فإن التسلسل${\displaystyle H}$يمكن توليدها عن طريق إخراج القيمة 1، ثم دمج التسلسلات${\displaystyle 2H}$،${\displaystyle 3H}$، و${\displaystyle 5H}$.

تُستخدم هذه الخوارزمية غالبًا لتوضيح قوة لغة البرمجة الوظيفية الكسولة ، لأنه من السهل إنشاء تطبيقات فعالة متزامنة (ضمنياً) باستخدام عدد ثابت من العمليات الحسابية لكل قيمة مُولَّدة، كما هو موضح أعلاه. وبالمثل، من الممكن إنشاء تطبيقات وظيفية صارمة أو تسلسلية إجرائية فعالة، بينما قد تكون الحلول التوليدية المتزامنة صراحةً معقدة. ^{[ 18 ]}

في لغة البرمجة بايثون ، يُستخدم الكود الوظيفي الكسول لتوليد الأرقام المنتظمة كأحد الاختبارات المدمجة للتحقق من صحة تطبيق اللغة. ^{[ 19 ]}

تتمثل إحدى المشكلات ذات الصلة، التي ناقشها كنوت (1972) ، في سرد ​​جميع${\displaystyle k}$-digit sexagesimal numbers in ascending order (see #Babylonian mathematics above). In algorithmic terms, this is equivalent to generating (in order) the subsequence of the infinite sequence of regular numbers, ranging from ${\displaystyle 60^{k}}$ to ${\displaystyle 60^{k+1}}$.^[8] See Gingerich (1965) for an early description of computer code that generates these numbers out of order and then sorts them;^[20] Knuth describes an ad hoc algorithm, which he attributes to Bruins (1970), for generating the six-digit numbers more quickly but that does not generalize in a straightforward way to larger values of ${\displaystyle k}$.^[8]Eppstein (2007) describes an algorithm for computing tables of this type in linear time for arbitrary values of ${\displaystyle k}$.^[21]

Heninger, Rains & Sloane (2006) show that, when ${\displaystyle n}$ is a regular number and is divisible by 8, the generating function of an ${\displaystyle n}$-dimensional extremal even unimodular lattice is an ${\displaystyle n}$th power of a polynomial.^[22]

As with other classes of smooth numbers, regular numbers are important as problem sizes in computer programs for performing the fast Fourier transform, a technique for analyzing the dominant frequencies of signals in time-varying data. For instance, the method of Temperton (1992) requires that the transform length be a regular number.^[23]

Book VIII of Plato's Republic involves an allegory of marriage centered on the highly regular number 60⁴ = 12,960,000 and its divisors (see Plato's number). Later scholars have invoked both Babylonian mathematics and music theory in an attempt to explain this passage.^[24]

Certain species of bamboo release large numbers of seeds in synchrony (a process called masting) at intervals that have been estimated as regular numbers of years, with different intervals for different species, including examples with intervals of 10, 15, 16, 30, 32, 48, 60, and 120 years.^[25] It has been hypothesized that the biological mechanism for timing and synchronizing this process lends itself to smooth numbers, and in particular in this case to 5-smooth numbers. Although the estimated masting intervals for some other species of bamboo are not regular numbers of years, this may be explainable as measurement error.^[25]

• جدول مقلوب الأعداد المنتظمة حتى 3600 من موقع البروفيسور ديفيد إي. جويس، جامعة كلارك.
• توليد أرقام هامينغ باستخدام برنامج RosettaCode في حوالي 50 لغة برمجة