سلم موسيقي

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Diatonic scale" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2013) (Learn how and when to remove this message)

في نظرية الموسيقى ، السلم الموسيقي الدياتوني هو أي سلم موسيقي سباعي يتضمن خمس خطوات كاملة (نغمات كاملة) ونصف خطوتين (أنصاف نغمات) في كل أوكتاف، حيث يتم فصل نصفي الخطوتين عن بعضهما البعض إما بخطوتين كاملتين أو ثلاث خطوات كاملة، اعتمادًا على موضعهما في السلم. يضمن هذا النمط أنه في السلم الموسيقي الدياتوني الذي يمتد لأكثر من أوكتاف واحد، تكون جميع نصف الخطوات منفصلة عن بعضها البعض إلى أقصى حد (أي منفصلة بخطوتين كاملتين على الأقل).

يمكن أيضًا الحصول على النغمات السبع لأي مقياس موسيقي ثنائي باستخدام سلسلة من ستة خماسيات مثالية . على سبيل المثال، يمكن الحصول على فئات النغمات الطبيعية السبع التي تشكل مقياس دو ماجور من مجموعة من الخماسيات المثالية بدءًا من فا:

ف-ج-ز-د-أ-هـ-ب

أي تسلسل من سبع نغمات طبيعية متتالية ، مثل دو-ري-مي-فا-صول-لا-سي، وأي نقل منها، هو مقياس موسيقي ثنائي النغمات. تم تصميم لوحات المفاتيح الموسيقية الحديثة بحيث تشكل النغمات ذات المفتاح الأبيض مقياسًا موسيقيًا ثنائي النغمات، على الرغم من أن عمليات نقل هذا المقياس الموسيقي الثنائي تتطلب مفتاحًا أسود واحدًا أو أكثر. يمكن وصف المقياس الموسيقي الثنائي أيضًا بأنه رباعي النغمات يفصل بينهما نغمة كاملة. في نظرية المجموعة الموسيقية ، يصنف ألين فورتي المقاييس الموسيقية الثنائية النغمات على أنها مجموعة من 7 إلى 35.

يشير مصطلح الدياتونيك في الأصل إلى الجنس الدياتوني ، وهو أحد الأجناس الثلاثة لليونانيين القدماء، ويأتي من اليونانية القديمة : διατονικός ، والرومانية :  diatonikós ، ذات أصل غير مؤكد. على الأرجح، يشير إلى الفواصل الزمنية "الممتدة" في هذا الضبط، على النقيض من الجنسَين الآخرين (الكروماتيكي والإنهارموني).

لا تتناول هذه المقالة المقاييس البديلة المكونة من سبع نغمات مثل المقاييس الثانوية التوافقية أو الثانوية اللحنية والتي، على الرغم من تسميتها أحيانًا "بالمقاييس الموسيقية الدياتونية"، لا تفي بشرط الفصل الأقصى للنغمات النصفية المشار إليها أعلاه.

تعتمد الموسيقى الغربية منذ العصور الوسطى حتى أواخر القرن التاسع عشر (انظر فترة الممارسة الشائعة ) على المقياس الموسيقي الدياتوني والعلاقات الهرمية الفريدة التي أنشأها هذا النظام لتنظيم سبع نغمات.

تم العثور على دليل على أن السومريين والبابليين استخدموا نسخة من المقياس الموسيقي الدياتوني في النقوش المسمارية التي تحتوي على كل من المؤلفات الموسيقية ونظام ضبط. ^[1] [ ^2] وعلى الرغم من الطبيعة التخمينية لإعادة بناء الأغاني الحورية ، فإن الطبيعة الدياتونية لنظام الضبط تتجلى من خلال حقيقة أنه ينطوي على سلسلة من ستة خماسيات مثالية، وهي وصفة لبناء مقياس موسيقي دياتوني.

تشير المزامير التي يبلغ عمرها 9000 عام والتي تم العثور عليها في جياهو بالصين إلى تطور المزامير التي تحتوي على 4 و5 و6 فتحات على مدى 1200 عام إلى مزامير تحتوي على 7 و8 فتحات، حيث أظهرت الأخيرة تشابهًا مذهلاً مع المسافات بين الفتحات والأصوات الدياتونية. ^[3]

كانت المقاييس المقابلة لأنماط الكنيسة في العصور الوسطى دياتونية. واعتمادًا على أي من النغمات السبع للمقياس الدياتوني تستخدمها كبداية، فإن مواضع الفواصل تقع على مسافات مختلفة من نغمة البداية ("النغمة المرجعية")، مما ينتج عنه سبعة مقاييس مختلفة. أحد هذه المقاييس، الذي يبدأ على سي ، لا يحتوي على خامس نقي فوق نغمته المرجعية (سي-فا هي خامسة منقوصة ): ربما لهذا السبب لم يتم استخدامه. ومن بين المقاييس الستة المتبقية، تم وصف اثنين على أنهما يتوافقان مع اثنين آخرين مع سي ♭ بدلاً من سي ♮ :

1. تم وصف A–B–C–D–E–F–G–A بأنها D–E–F–G–A–B ♭ –C–D ( الأنماط الأيولية الحديثة التي تكون ملاحظاتها المرجعية هي A وD، على التوالي، والتي تتوافق مع الأنماط الأيولية لـ C major و F major ، على التوالي)
2. تم وصف C–D–E–F–G–A–B–C بأنها F–G–A–B ♭ –C–D–E–F ( الأنماط الأيونية الحديثة التي تكون ملاحظاتها المرجعية هي C وF، على التوالي، والتي تتوافق مع الأنماط الأيونية لـ C major و F major ، على التوالي).

نتيجة لذلك، وصفت النظرية في العصور الوسطى أنماط الكنيسة بأنها تتوافق مع أربعة مقاييس دياتونية فقط (اثنان منها كان لهما المتغير B ♮ / ♭). كانت هذه الأنماط هي الأنماط الدورية والفريجية والليدية والميكسوليدية الحديثة لـ C major ، بالإضافة إلى الأنماط الأيولية والأيونية لـ F major عندما تم استبدال B ♭ في الأنماط الدورية والليدية لـ C major ، على التوالي.

اعتبر هاينريش جلاريان أن المقاييس النمطية التي تتضمن سي ♭ لابد وأن تكون نتيجة للنقل. وفي كتابه دوديكاشوردون ، لم يصف فقط ستة مقاييس دياتونية "طبيعية" (مع إهمال المقاييس السابعة التي تحتوي على خامسة منقوصة فوق النغمة المرجعية)، بل وصف أيضًا ستة مقاييس "منقولة"، كل منها تتضمن سي ♭ ، مما أدى إلى إجمالي اثني عشر مقياسًا تبرر عنوان أطروحته. كانت هذه هي المقاييس الستة غير اللوكرية لدو ماجور وفا ماجور .

بحلول بداية عصر الباروك ، تم تأسيس مفهوم المفتاح الموسيقي ، الذي يصف عمليات النقل الإضافية المحتملة للسلم الموسيقي الدياتوني. أصبحت السلالم الموسيقية الرئيسية والثانوية مهيمنة حتى بداية القرن العشرين على الأقل، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن أنماطها الفاصلة مناسبة لتعزيز الثالوث المركزي . نجت بعض الأنماط الكنسية حتى أوائل القرن الثامن عشر، بالإضافة إلى ظهورها في الموسيقى الكلاسيكية والقرن العشرين ، والجاز (انظر نظام السلم الموسيقي ).

من بين المقاييس الطبيعية الستة لـ Glarean، ثلاثة منها لها ثلاثية رئيسية ثالثة/أولى: ( Ionian و Lydian و Mixolydian )، وثلاثة لها ثلاثية ثانوية: Dorian و Phrygian و Aeolian ). يمكن إضافة المقياس السابع الدياتوني إلى هذه المقاييس، مع خامس مخفف فوق النغمة المرجعية، المقياس Locrian . يمكن نقل هذه المقاييس ليس فقط لتشمل شقة واحدة في التوقيع (كما وصفها Glarean)، ولكن إلى جميع النغمات الاثنتي عشرة للمقياس اللوني ، مما ينتج عنه إجمالي أربعة وثمانين مقياسًا دياتونيًا.

نشأت لوحة المفاتيح الموسيقية الحديثة كلوحة مفاتيح دياتونية بمفاتيح بيضاء فقط. ^[4] تمت إضافة المفاتيح السوداء تدريجيًا لأغراض عديدة:

• تحسين التوافقات، وخاصة الثلثات، من خلال توفير ثلث رئيسي في كل درجة؛
• السماح بجميع النقلات الاثني عشر الموضحة أعلاه؛
• ومساعدة الموسيقيين في العثور على اتجاهاتهم على لوحة المفاتيح. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يمكن تمثيل نمط الفواصل الأولية التي تشكل السلم الموسيقي الدياتوني إما بالحرفين T ( نغمة ) وS ( نصف نغمة ) على التوالي. باستخدام هذا الاختصار، يمكن تمثيل السلم الموسيقي الرئيسي، على سبيل المثال، على النحو التالي:

ت–ت–س–ت–ت–ت–س

السلم الموسيقي الرئيسي أو الوضع الأيوني هو أحد المقاييس الموسيقية الدياتونية. ويتكون من سبع نغمات مميزة ، بالإضافة إلى ثمن يكرر الأول بمقدار أوكتاف أعلى. ونمط الفواصل السبع التي تفصل بين النغمات الثماني هو T–T–S–T–T–T–S. وفي السولفيج ، فإن المقاطع المستخدمة لتسمية كل درجة من درجات السلم هي Do–Re–Mi–Fa–Sol–La–Ti–Do . وتسلسل النغمات الطبيعية المتعاقبة التي تبدأ من C هو مثال على السلم الموسيقي الرئيسي، ويسمى سلم C الرئيسي .

ملاحظات في دو الكبرى:

ج

د

هـ

ف

ج

أ

ب

ج

درجات في الصولفيج:

يفعل

يكرر

مي

فا

سول

لا

تي

يفعل

تسلسل الفاصل الزمني:

ت

ت

س

ت

ت

ت

س

تُعرف الدرجات الثماني للمقياس أيضًا بأسماء تقليدية، خاصةً عند استخدامها في سياق نغمي:

• 1- النغمة الأساسية (النغمة الرئيسية)
• 2- سوبرتونيك
• 3- الوسيط
• 4- مسيطر جزئيا
• 5- مهيمن
• 6- تحت المتوسط
• 7- النغمة الرائدة
• 8 - تونيك ( أوكتاف )

لكل مقياس رئيسي، يوجد مقياس ثانوي طبيعي مماثل ، يُسمى أحيانًا المقياس الثانوي النسبي . ويستخدم نفس تسلسل النوتات مثل المقياس الرئيسي المقابل ولكنه يبدأ من نغمة مختلفة. أي أنه يبدأ من الدرجة السادسة من المقياس الرئيسي ويتقدم خطوة بخطوة إلى الأوكتاف الأول من الدرجة السادسة. تسلسل النوتات الطبيعية المتتالية التي تبدأ من A هو مثال على مقياس ثانوي طبيعي، يُسمى مقياس A الثانوي الطبيعي.

ملاحظات في لا الصغرى:

أ

ب

ج

د

هـ

ف

ج

أ

تسلسل الفاصل الزمني:

ت

س

ت

ت

س

ت

ت

تحمل درجات السلم الصغير الطبيعي، وخاصة في السياق النغمي، نفس أسماء درجات السلم الرئيسي، باستثناء الدرجة السابعة، التي تُعرف بالدرجة الفرعية لأنها درجة كاملة أسفل الدرجة الرئيسية. يُستخدم مصطلح النغمة الرائدة بشكل عام للدرجات السابعة التي تكون نصف درجة (نصف نغمة) أسفل الدرجة الرئيسية، كما هو الحال في السلم الرئيسي.

بالإضافة إلى السلم الصغير الطبيعي، يمكن الحصول على خمسة أنواع أخرى من السلالم من نوتات السلم الرئيسي، وذلك ببساطة عن طريق اختيار نغمة مختلفة كنغمة بداية. وتتوافق كل هذه السلالم مع تعريف السلم الدياتوني.

يمكن تقسيم المجموعة الكاملة من المقاييس الموسيقية الدياتونية كما هو موضح أعلاه إلى سبعة مقاييس مختلفة.

كما هو موضح أعلاه، تستخدم جميع المقاييس الرئيسية نفس تسلسل الفواصل T–T–S–T–T–T–S. وقد أطلق Glarean على تسلسل الفواصل هذا اسم الوضع الأيوني . وهو أحد الأوضاع الحديثة السبعة. من أي مقياس رئيسي، يتم الحصول على مقياس جديد من خلال أخذ درجة مختلفة باعتبارها النغمة الأساسية. وبهذه الطريقة، من الممكن توليد ستة مقاييس أو أوضاع أخرى من كل مقياس رئيسي. وهناك طريقة أخرى لوصف نفس النتيجة وهي أن نعتبر أنه يوجد خلف المقاييس الدياتونية نظام دياتوني أساسي وهو عبارة عن سلسلة من النوتات الدياتونية بدون نغمة مرجعية؛ ويؤدي تعيين النغمة المرجعية بدورها لكل من النوتات السبع في كل أوكتاف من النظام إلى إنتاج سبعة مقاييس دياتونية، يتميز كل منها بتسلسل فاصل مختلف:

وضع	ويعرف أيضا باسم	النغمة الافتتاحية بالنسبة للسلم الرئيسي	تسلسل الفاصل الزمني	مثال بالمفاتيح البيضاء	مثال مع المنشط C
أيوني	مقياس رئيسي	أنا	ت–ت–س–ت–ت–ت–س	ج-د-هـ-و-ز-أ-ب-ج
دوريان		الثاني	ت-س-ت-ت-ت-ت-س-ت	د-هـ-و-ز-أ-ب-ج-د	دو–ري–مي♭–ف–صول–لا–بي♭–دو
الفريجي		ثالثا	س-ت-ت-ت-ت-س-ت-ت	هـ-و-ز-أ-ب-ج-د-هـ	دو-ري♭-مي♭-ف-صول-لا♭-بي♭-دو
ليديا		الرابع	ت–ت–ت–س–ت–ت–س	و-ز-أ-ب-ج-د-هـ-و	دو–ري–مي–فا♯–صول–لا–بي–دو
ميكسوليديان		الخامس	ت-ت-س-ت-ت-س-ت	ج-أ-ب-ج-د-هـ-و-ز	دو–ري–مي–فا–صول–لا–سي♭–دو
إيوليان	السلم الصغير الطبيعي	السادس	ت-س-ت-ت-ت-س-ت-ت	أ-ب-ج-د-هـ-و-ز-أ	دو-ري-مي♭-ف-صول-لا♭-بي♭-دو
لوكريان		سابعا	س-ت-ت-س-ت-ت-ت	ب-ج-د-هـ-و-ز-أ-ب	دو-ري♭-مي♭-ف-صول♭-لا♭-بي♭-دو

تتكون أمثلة العمود الأول الموضحة أعلاه من نوتات طبيعية (أي ليست حادة ولا مسطحة، وتسمى أيضًا "نوتات بيضاء"، حيث يمكن عزفها باستخدام المفاتيح البيضاء في لوحة مفاتيح البيانو ). ومع ذلك، فإن أي نقل لكل من هذه المقاييس (أو للنظام الذي يكمن وراءها) هو مثال صالح للوضع المقابل. بعبارة أخرى، يحافظ النقل على الوضع. يظهر هذا في العمود الثاني، مع نقل كل وضع ليبدأ عند C.

تُعرَّف المجموعة الكاملة من المقاييس الموسيقية الدياتونية عادةً على أنها المجموعة المكونة من هذه المقاييس السبعة ذات النغمات الطبيعية، إلى جانب كل عمليات النقل الممكنة لها. وكما ناقشنا في مكان آخر ، يتم أحيانًا اعتماد تعريفات مختلفة لهذه المجموعة في الأدبيات.

يمكن أيضًا وصف السلم الموسيقي الدياتوني بأنه رباعي الوترين منفصلين بنغمة كاملة . على سبيل المثال، وفقًا لهذا الرأي، ستكون بنيتا الرباعي الوترين لـ C major على النحو التالي:

[ج-د-هـ-و] – [ز-أ-ب-ج]

كل رباعي يتكون من نغمتين ونصف نغمة، T–T–S،

والصغير الطبيعي لـ A سيكون:

[أ–ب–ج–د] – [هـ–و–ز–أ]

شكلت رباعيتين مختلفتين، الأولى تتكون من نصف نغمة بين نغمتين، T–S–T، والثانية تتكون من نصف نغمة ونغمتين، S–T–T.

ومع ذلك، كان المفهوم في العصور الوسطى للبنية الرباعية الأوتار يعتمد على رباعي أوتار واحد، وهو مقياس D،

[د–هـ–و–ز] – [أ–ب–ج–د]

كل منها يتكون من نصف نغمة بين النغمات، T–S–T. وقد نظر إلى المقاييس الموسيقية الأخرى على أنها رباعيات أوتار منفصلة ومتصلة تتداخل بشكل مختلف:

مقياس E: E–F–G | A–B–C–D = D–E

مقياس F: F–G | A–B–C–D = D–E–F

مقياس G: G | A–B–C–D = D–E–F–G

مقياس أ: أ-ب-ج-د = د-هـ-و-ز | أ

مقياس ب: ب-ج-د = د-هـ-و-ز | أ-ب

مقياس C: C–D = D–E–F–G | A–B–C

(حيث يشير G | A إلى انفصال الرباعيات، دائمًا بين G وA، وD = D يشير إلى اقترانهما، دائمًا على النغمة المشتركة D).

يمكن ضبط المقاييس الموسيقية الدياتونية بطرق مختلفة، إما عن طريق تكرار الخماسي المثالي أو المعتدل، أو عن طريق مزيج من الخماسي المثالي والثلثي المثالي ( التجويد العادل )، أو ربما عن طريق مزيج من الخماسي والثلثي بأحجام مختلفة، كما هو الحال في المزاج الجيد .

إذا تم إنتاج المقياس عن طريق تكرار ستة خماسيات مثالية، على سبيل المثال F–C–G–D–A–E–B، فإن النتيجة هي ضبط فيثاغورس :

ملحوظة	ف	ج	ج	د	أ	هـ	ب
يقذف	2 ⁄ 3	1 ⁄ 1	3 ⁄ 2	9 ⁄ 4	27 ⁄ 8	81 ⁄ 16	243 ⁄ 32
أدخل إلى الأوكتاف الرئيسي	4 ⁄ 3	1 ⁄ 1	3 ⁄ 2	9 ⁄ 8	27 ⁄ 16	81 ⁄ 64	243 ⁄ 128
فرز حسب ترتيب الملاحظات	ج	د	هـ	ف	ج	أ	ب	ج'
الفاصلة فوق C	1 ⁄ 1	9 ⁄ 8	81 ⁄ 64	4 ⁄ 3	3 ⁄ 2	27 ⁄ 16	243 ⁄ 128	2 ⁄ 1
الفاصل بين النوتات		9 ⁄ 8	9 ⁄ 8	256 ⁄ 243	9 ⁄ 8	9 ⁄ 8	9 ⁄ 8	256 ⁄ 243

يعود تاريخ هذا الضبط إلى بلاد ما بين النهرين القديمة ^[5] (انظر موسيقى بلاد ما بين النهرين § نظرية الموسيقى )، وكان يتم ذلك بالتناوب بين الخماسيات الصاعدة والرباعيات الهابطة (تساوي خامسًا صاعدًا يتبعه أوكتاف هابط)، مما أدى إلى وقوع نوتات المقياس الخماسي أو السباعي داخل أوكتاف.

ستة من الفواصل "الخامسة" (C–G, D–A, E–B, F–C', G–D', A–E') كلها 3 ⁄ 2 = 1.5 (701.955 سنتًا )، لكن B–F' هي النغمة الثلاثية المتنافرة ، هنا 729 ⁄ 512 = 1.423828125 (611.73 سنتًا). كل نغمة هي 9 ⁄ 8 = 1.125 (203.91 سنتًا) والنغمات النصفية الدياتونية هي 256 ⁄ 243 ≈ 1.0535 (90.225 سنتًا).

إن توسيع سلسلة الخماسيات إلى إحدى عشر خماسيًا من شأنه أن يؤدي إلى المقياس اللوني فيثاغورس .

المزاج المتساوي هو تقسيم الأوكتاف إلى اثني عشر نصف نغمة متساوية. تصبح نسبة تردد النصف نغمة بعد ذلك هي الجذر الثاني عشر لاثنين ( ¹² √ 2 ≈ 1.059463، 100 سنت ). النغمة هي مجموع نصف نغمتين. نسبتها هي الجذر السادس لاثنين ( ⁶ √ 2 ≈ 1.122462، 200 سنت). يمكن إنتاج المزاج المتساوي من خلال سلسلة من الخماسيات المعتدلة، كل منها بنسبة 2 ^{7 ⁄ 12} ≈ 1.498307، 700 سنت.

يمكن تعديل الخماسيات بشكل أكبر من نفس المزاج، من أجل إنتاج ثُلاثيات أفضل. انظر ربع الفاصلة meantone لمزاج meantone المستخدم بشكل شائع في القرنين السادس عشر والسابع عشر وأحيانًا بعد ذلك، والذي ينتج ثُلاثيات رئيسية مثالية.

غالبًا ما يتم تمثيل التجويد العادل باستخدام مقياس تونيت لليونهارد أويلر ، حيث يُظهر المحور الأفقي الخماسيات المثالية والمحور الرأسي الثلثات الرئيسية المثالية. في مقياس تونيت، يظهر السلم الدياتوني بالتجويد العادل على النحو التالي:

أ	هـ	ب
ف	ج	ج	د

F–A وC–E وG–B، المتراصة رأسيًا، هي ثالثات رئيسية مثالية؛ A–E–B وF–C–G–D هما سلسلتان من الخماسيات المثالية. يتم خفض نغمات الخط العلوي، A وE وB، بواسطة الفاصلة التوافقية ، 81 ⁄ 80 ، والخماسية "الذئب" D–A ضيقة جدًا بنفس المقدار. نغمة F–B الثلاثية هي 45 ⁄ 32 ≈ 1.40625.

وقد وصف بطليموس هذا الضبط لأول مرة ، ويُعرف باسم مقياس بطليموس الدياتوني المكثف . كما ذكره زارلينو في القرن السادس عشر، ووصفه منظرون في القرنين السابع عشر والثامن عشر بأنه المقياس "الطبيعي".

ملحوظات	ج	د	هـ	ف	ج	أ	ب	ج'
يقذف	1 ⁄ 1	9 ⁄ 8	5 ⁄ 4	4 ⁄ 3	3 ⁄ 2	5 ⁄ 3	15 ⁄ 8	2 ⁄ 1
الفاصل بين النوتات		9 ⁄ 8	10 ⁄ 9	16 ⁄ 15	9 ⁄ 8	10 ⁄ 9	9 ⁄ 8	16 ⁄ 15

نظرًا لأن نسب التردد تعتمد على القوى البسيطة للأعداد الأولية 2 و3 و5، يُعرف هذا أيضًا باسم ضبط الحد الخامس .

• جدول نص دائرة الخماسيات
• الدياتونيكية والكروماتيكية
• تاريخ الموسيقى
• الصوتيات الموسيقية
• ترددات مفاتيح البيانو
• موسيقى ما قبل التاريخ

• كلوج، جون (1979). "جوانب المجموعات الدياتونية"، مجلة نظرية الموسيقى 23 : 45-61.
• فرانكلين، جون سي. (2002). "الموسيقى الدياتونية في اليونان: إعادة تقييم لقدمها"، Mnemosyne 56.1 : 669–702
• جولد، مارك (2000). "بالزانو وزويفل: نظرة أخرى على المقاييس الدياتونية المعممة"، آفاق الموسيقى الجديدة 38/2 : 88-105
• إلين هيكمان، آن د. كيلمر وريكاردو أيخمان، (محرر) دراسات في علم الآثار الموسيقية III ، 2001، VML Verlag Marie Leidorf، ألمانيا ISBN 3-89646-640-2 . 
• جونسون، تيموثي (2003). أساسيات النظرية الدياتونية: نهج قائم على الرياضيات لأساسيات الموسيقى . دار النشر كي كوليدج. رقم ISBN 1-930190-80-8 . 
• كيلمر، أ.د. (1971) "اكتشاف نظرية موسيقية قديمة في بلاد ما بين النهرين". وقائع الجمعية الفلسفية الأمريكية 115 : 131-149.
• كيلمر، آن درافكورن؛ كروكر، ريتشارد إل؛ براون، روبرت آر: أصوات من الصمت: الاكتشافات الحديثة في موسيقى الشرق الأدنى القديمة ، المجلد 1. 1976، منشورات بيت إنكي، بيركلي، كاليفورنيا. OCLC  463314183
• ديفيد روثنبرج (1978). "نموذج لإدراك الأنماط مع التطبيقات الموسيقية الجزء الأول: هياكل النغمة كخرائط تحافظ على النظام"، نظرية الأنظمة الرياضية 11 : 199-234

• السلم الموسيقي الدياتوني محفوظ في 9 ديسمبر 2015 على موقع واي باك مشين ، كنز الموسيقى الذي يمتلكه إريك فايسشتاين
• السلم الموسيقي الدياتوني على الجيتار