رباعي الأضلاع دائري

في الهندسة الإقليدية ، الشكل الرباعي الدائري أو الرباعي المحيط هو شكل رباعي تقع جميع رؤوسه على دائرة واحدة . تسمى هذه الدائرة الدائرة المحيطة أو الدائرة المقيدة ، ويقال إن الرؤوس دائرية . يُطلق على مركز الدائرة ونصف قطرها اسم مركز الدائرة ونصف قطرها المحيط على التوالي. أسماء أخرى لهذه الأشكال الرباعية هي الرباعي الدائري والرباعي الوتر ، والأخير لأن أضلاع الشكل الرباعي هي أوتار الدائرة المحيطة. عادةً ما يُفترض أن الشكل الرباعي محدب ، ولكن هناك أيضًا رباعيات دائرية متقاطعة. الصيغ والخصائص الواردة أدناه صالحة في حالة المحدب.

كلمة دوري تأتي من الكلمة اليونانية القديمة κύκλος ( kuklos )، والتي تعني "دائرة" أو "عجلة".

تحتوي جميع المثلثات على دائرة محيطة ، ولكن ليس جميع الأشكال الرباعية. ومن الأمثلة على الأشكال الرباعية التي لا يمكن أن تكون دائرية الشكل المعين غير المربع . توضح توصيفات القسم أدناه الشروط الضرورية والكافية التي يجب أن يستوفيها الشكل الرباعي ليكون له دائرة محيطة.

أي مربع أو مستطيل أو شبه منحرف متساوي الساقين أو متوازي أضلاع مضاد يكون دائريًا. تكون الطائرة الورقية دائرية إذا وفقط إذا كان لها زاويتان قائمتان - طائرة ورقية قائمة . الشكل الرباعي ثنائي المركز هو شكل رباعي دائري مماسي أيضًا والشكل الرباعي ثنائي المركز سابقًا هو شكل رباعي دائري مماسي أيضًا . الشكل الرباعي التوافقي هو شكل رباعي دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال الأضلاع المتقابلة متساويًا.

يكون الشكل الرباعي المحدب دائريًا إذا وفقط إذا كانت المنصفات الأربعة العمودية على الجانبين متزامنة . هذه النقطة المشتركة هي مركز الدائرة . ^[1]

يكون الشكل الرباعي المحدب ABCD دائريًا إذا وفقط إذا كانت زواياه المتقابلة متكاملة ، أي ^{[1] [2]}

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{راديان}}\ (=180^{\circ}).}$

كانت النظرية المباشرة هي الاقتراح 22 في الكتاب الثالث من عناصر إقليدس . [ 3 ^] وعلى نحو مكافئ، يكون الشكل الرباعي المحدب دائريًا إذا وفقط إذا كانت كل زاوية خارجية تساوي الزاوية الداخلية المقابلة .

في عام 1836، عمم دنكان جريجوري هذه النتيجة على النحو التالي: إذا كان لأي مضلع دائري محدب 2 n ، فإن مجموع الزاويتين الداخليتين المتبادلتين يساوي كل منهما ( n -1) . ^[4] ويمكن تعميم هذه النتيجة على النحو التالي: إذا كانت A1A2...A2n (n > 1) أي مضلع دائري 2 n حيث تكون الرأس Ai->Ai+k (الرأس Ai متصل بـ Ai+k )، فإن مجموع الزاويتين الداخليتين المتبادلتين يساوي كل منهما m (حيث m = n — k و k = 1, 2, 3, ... هو الدوران الكلي). ^[5]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

من خلال أخذ الإسقاط المجسم (ظل نصف الزاوية) لكل زاوية، يمكن إعادة التعبير عن ذلك،

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2} }\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{ 1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .}$

وهذا يعني أن ^[6]

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac { \دلتا {2}}}=1}$

يكون الشكل الرباعي المحدب ABCD دائريًا إذا وفقط إذا كانت الزاوية بين أحد الأضلاع والقطر مساوية للزاوية بين الضلع المقابل والقطر الآخر. ^[7] أي، على سبيل المثال،

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

الشروط الأخرى الضرورية والكافية لكي يكون الشكل الرباعي المحدب ABCD دائريًا هي: ليكن E نقطة تقاطع القطرين، وليكن F نقطة تقاطع امتدادي الضلعين AD و BC ، وليكن دائرة قطرها القطعة المستقيمة EF ، وليكن P و Q نقطتين باسكاليتين على الضلعين AB و CD المشكلتين بواسطة الدائرة . (1) يكون ABCD رباعيًا دائريًا إذا وفقط إذا كانت النقطتان P و Q على استقامة واحدة مع مركز الدائرة O. (2) يكون ABCD رباعيًا دائريًا إذا وفقط إذا كانت النقطتان P و Q نقطتي منتصف الضلعين AB و CD . ^[2]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$
${\displaystyle \omega }$

إذا تقاطع خطان مستقيمان، أحدهما يحتوي على القطعة AC والآخر يحتوي على القطعة BD ، عند النقطة E ، فإن النقاط الأربع A و B و C و D تكون دائرية إذا وفقط إذا ^[8]

${\displaystyle \displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.}$

قد يكون التقاطع E داخليًا أو خارجيًا للدائرة. في الحالة الأولى، يكون الشكل الرباعي الدائري ABCD ، وفي الحالة الثانية، يكون الشكل الرباعي الدائري ABDC . عندما يكون التقاطع داخليًا، تنص المساواة على أن حاصل ضرب أطوال القطع التي يقسمها E قطرًا واحدًا يساوي حاصل ضرب القطر الآخر. يُعرف هذا باسم نظرية الأوتار المتقاطعة لأن أقطار الشكل الرباعي الدائري هي أوتار للدائرة المحيطة.

تعبر نظرية بطليموس عن حاصل ضرب طولي القطرين e و f في الشكل الرباعي الدائري على أنه يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة: ^{[9] : ص 25  [2]}

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,}$

حيث أن a و b و c و d هي أطوال الأضلاع بالترتيب. والعكس صحيح أيضًا. أي أنه إذا تحققت هذه المعادلة في شكل رباعي محدب، فسيتكون شكل رباعي دائري.

في الشكل الرباعي المحدب ABCD ، ليكن EFG هو المثلث القطري لـ ABCD وليكن الدائرة ذات النقاط التسع لـ EFG . يكون ABCD دوريًا إذا وفقط إذا كانت نقطة تقاطع المتوسطين لـ ABCD تنتمي إلى الدائرة ذات النقاط التسع . ^{[10] [11] [2]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

المساحة K لشكل رباعي دائري بأضلاع a ، b ، c ، d تعطى بواسطة صيغة براهماجوبتا ^[9] : ^{ص 24}

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}\,}$

حيث s ، نصف المحيط ، هو s = ⁠1/2( أ + ب + ج + د ) . هذه نتيجة تكميلية لصيغة بريتشنايدر للرباعي العام، حيث أن الزوايا المتقابلة تكون متكاملة في الحالة الدائرية. إذا كان د = 0 أيضًا ، يصبح الرباعي الدائري مثلثًا ويتم تقليص الصيغة إلى صيغة هيرون .

يتمتع الشكل الرباعي الدائري بأقصى مساحة بين جميع الأشكال الرباعية التي لها نفس أطوال الأضلاع (بغض النظر عن التسلسل). وهذا نتيجة أخرى لصيغة بريتشنايدر. ويمكن أيضًا إثباتها باستخدام حساب التفاضل والتكامل . ^[12]

أربعة أطوال غير متساوية، كل منها أقل من مجموع الثلاثة الأخرى، هي أضلاع كل من الأشكال الرباعية الدائرية غير المتطابقة الثلاثة، ^[13] والتي وفقًا لصيغة براهماجوبتا لها جميعًا نفس المساحة. على وجه التحديد، بالنسبة للأضلاع أ ، ب ، ج ، ود ، يمكن أن يكون الضلع أ مقابلًا لأي من الضلع ب ، أو الضلع ج ، أو الضلع د .

يمكن التعبير عن مساحة الشكل الرباعي الدائري الذي له أضلاع متتالية أ ، ب ، ج ، د ، والزاوية أ بين الضلعين أ ود ، والزاوية ب بين الضلعين أ وب على النحو التالي ^{[9] : ص25}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

أو

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}}$

أو ^{[9] : ص26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}$

حيث θ هي الزاوية بين القطرين. بشرط ألا تكون A زاوية قائمة، يمكن أيضًا التعبير عن المساحة على النحو التالي ^{[9] : ص 26}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

صيغة أخرى هي ^{[14] : ص 83}

${\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

حيث R هو نصف قطر الدائرة المحيطة . وكنتيجة مباشرة، ^[15]

${\displaystyle K\leq 2R^{2}}$

حيث تكون هناك مساواة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي مربعًا.

في شكل رباعي دائري له رؤوس متعاقبة A و B و C و D وأضلاعه a = AB و b = BC و c = CD و d = DA ، يمكن التعبير عن أطوال الأقطار p = AC و q = BD من حيث الأضلاع على النحو التالي ^{[9] : ص.25،   [16] [17] : ص.84}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$و${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

وبذلك نظهر نظرية بطليموس

${\displaystyle pq=ac+bd.}$

وفقًا لنظرية بطليموس الثانية ، ^{[9] : ص 25،   [16]}

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$

باستخدام نفس الرموز المذكورة أعلاه.

بالنسبة لمجموع الأقطار لدينا المتباينة ^{[18] : ص 123، #2975}

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان للأقطار طول متساوٍ، وهو ما يمكن إثباته باستخدام متباينة AM-GM .

علاوة على ذلك، ^{[18] : ص64، #1639}

${\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

في أي شكل رباعي محدب، يقسم القطران معًا الشكل الرباعي إلى أربعة مثلثات؛ وفي الشكل الرباعي الدائري، تكون الأزواج المتقابلة من هذه المثلثات الأربعة متشابهة مع بعضها البعض.

إذا كان ABCD شكلًا رباعيًا دائريًا حيث يلتقي AC مع BD عند E ، فإن ^[19]

${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

يمكن ترتيب مجموعة من الأضلاع التي يمكن أن تشكل شكلًا رباعيًا دائريًا في أي من ثلاث تسلسلات مميزة يمكن لكل منها أن تشكل شكلًا رباعيًا دائريًا بنفس المساحة في نفس الدائرة المحيطة (تكون المساحات هي نفسها وفقًا لصيغة مساحة براهماجوبتا). أي شكلين رباعيين دائريين من هذه الأشكال لهما طول قطري مشترك. ^{[17] : ص. 84}

بالنسبة لشكل رباعي دائري بأضلاع متتالية a و b و c و d ونصف محيط s وزاوية A بين الضلعين a و d ، فإن الدوال المثلثية لـ A تُعطى بواسطة ^[20]

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

الزاوية θ بين القطرين والتي تقابل الضلعين أ وج تحقق [ 9 ] ^{: ص26}

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}$

إذا تقاطع امتدادا الضلعين المتقابلين أ وج بزاوية φ ، فإن

${\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

حيث s هو نصف المحيط . ^{[9] : ص31}

لنفترض أن الزاوية بين الضلعين و ، والزاوية بين و ، والزاوية بين و ، إذن: ^[21]${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle C}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle D}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

الشكل الرباعي الدائري ذو الأضلاع المتتالية a و b و c و d ونصف محيطه s له نصف قطر محيطي ( نصف قطر الدائرة المحيطة ) يعطى بواسطة ^{[16] [22]}

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

تم التوصل إلى هذه النظرية بواسطة عالم الرياضيات الهندي فاتاسيري باراميشفارا في القرن الخامس عشر. (لاحظ أن نصف القطر ثابت عند تبادل أي أطوال أضلاع.)

باستخدام صيغة براهماجوبتا ، يمكن إعادة صياغة صيغة باراميشفارا على النحو التالي:

${\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$

حيث K هي مساحة الشكل الرباعي الدائري.

أربعة قطع مستقيمة، كل منها عمودي على أحد جانبي الشكل الرباعي الدائري ويمر عبر نقطة منتصف الجانب المقابل ، متزامنة . ^{[23] : ص 131،   [24]} تسمى هذه القطع المستقيمة بالعرض ، [ ^25] وهو اختصار لارتفاع نقطة المنتصف. تسمى النقطة المشتركة بينهما بالمركز المضاد . لها خاصية كونها انعكاسًا لمركز الدائرة في "مركز رأس الشكل الرباعي الدائري" . وبالتالي، في الشكل الرباعي الدائري، يكون مركز الدائرة و"مركز رأس الشكل الرباعي" والمركز المضاد على استقامة واحدة . ^[24]

إذا تقاطعت أقطار الشكل الرباعي الدائري في النقطة P ، وكانت نقاط منتصف القطرين هي M و N ، فإن المركز المقابل للشكل الرباعي هو مركز عمودي المثلث MNP .

مركز الدائرة في الشكل الرباعي الدائري هو نقطة بونسليه لرؤوسه.

• في الشكل الرباعي الدائري ABCD ، تكون مراكز الانحراف M ₁ و M ₂ و M ₃ و M ₄ (انظر الشكل الموجود على اليمين) في المثلثات DAB و ABC و BCD و CDA هي رؤوس المستطيل . هذه إحدى النظريات المعروفة باسم النظرية اليابانية . تكون مراكز الانحراف في نفس المثلثات الأربعة هي رؤوس الشكل الرباعي المطابق لـ ABCD ، وتكون مراكز ثقل هذه المثلثات الأربعة هي رؤوس الشكل الرباعي الدائري الآخر. ^[7]
• في الشكل الرباعي الدائري ABCD ومركزه المحيط هو O ، دع النقطة P تكون نقطة تقاطع القطرين AC و BD . عندئذٍ تكون الزاوية APB هي المتوسط ​​الحسابي للزاويتين AOB و COD . وهذا نتيجة مباشرة لنظرية الزاوية المحيطية ونظرية الزاوية الخارجية .
• لا توجد أشكال رباعية دائرية ذات مساحة نسبية وأضلاع نسبية غير متساوية في المتوالية الحسابية أو الهندسية . ^[26]

• إذا كان الشكل الرباعي الدائري له أضلاع طولها تشكل متوالية حسابية فإن الشكل الرباعي يكون أيضًا ثنائي المركز .
• إذا تم تمديد الأضلاع المتقابلة في شكل رباعي دائري لتلتقي عند E و F ، فإن منصفات الزاوية الداخلية للزوايا عند E و F تكون متعامدة. ^[13]

رباعي الأضلاع براهماجوبتا ^[27] هو رباعي أضلاع دائري بأضلاع صحيحة وأقطار صحيحة ومساحة صحيحة. يمكن الحصول على جميع رباعيات الأضلاع براهماجوبتا بأضلاع a و b و c و d وأقطار e و f ومساحة K ونصف قطر محيطي R عن طريق مسح المقامات من التعبيرات التالية التي تتضمن معلمات نسبية t و u و v :

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

بالنسبة لشكل رباعي دائري قطري أيضًا (له أقطار متعامدة )، افترض أن تقاطع الأقطار يقسم قطرًا واحدًا إلى قطعتين بطول p ₁ و p ₂ ويقسم القطر الآخر إلى قطعتين بطول q ₁ و q _2. إذن ^[28] (المساواة الأولى هي الاقتراح 11 في كتاب المبرهنات لأرخميدس )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

حيث D هو قطر الدائرة المحيطة . وهذا صحيح لأن الأقطار هي أوتار عمودية للدائرة . تعني هذه المعادلات أن نصف القطر المحيط R يمكن التعبير عنه على النحو التالي

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

أو من حيث أضلاع الشكل الرباعي، كما هو الحال في ^[23]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

ويترتب على ذلك أيضًا أن ^[23]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

وبالتالي، وفقًا لنظرية أويلر في الشكل الرباعي ، يمكن التعبير عن نصف القطر المحيط من حيث القطرين p و q ، والمسافة x بين نقاط منتصف القطرين كما يلي:

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

يمكن الحصول على صيغة لمساحة K لرباعي أضلاع دائري قطري من حيث الأضلاع الأربعة مباشرة عند الجمع بين نظرية بطليموس وصيغة مساحة رباعي أضلاع دائري قطري . والنتيجة هي ^{[29] : ص 222}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

• في الشكل الرباعي الدائري القطري، يتطابق المركز المضاد مع النقطة التي يتقاطع فيها الأقطار. ^[23]
• تنص نظرية براهماجوبتا على أنه بالنسبة للرباعي الدائري الذي يكون أيضًا قطريًا ، فإن العمود من أي جانب يمر عبر نقطة تقاطع القطرين ينصف الجانب المقابل. ^[23]
• إذا كان الشكل الرباعي الدائري قطريًا أيضًا، فإن المسافة من مركز الدائرة إلى أي جانب تساوي نصف طول الضلع المقابل. ^[23]
• في الشكل الرباعي الدائري القطري، تكون المسافة بين منتصفات الأقطار مساوية للمسافة بين مركز الدائرة ونقطة تقاطع الأقطار. ^[23]

في الهندسة الكروية ، يكون الشكل الرباعي الكروي المكون من أربع دوائر كبرى متقاطعة دوريًا إذا وفقط إذا كانت مجموع الزوايا المتقابلة متساوية، أي α + γ = β + δ للزوايا المتتالية α وβ وγ وδ للشكل الرباعي. ^{[30] أثبت أندرس} يوهان ليكسيل أحد اتجاهات هذه النظرية في عام 1782. ^[31] أظهر ليكسيل أنه في الشكل الرباعي الكروي المحاط بدائرة صغيرة من الكرة يكون مجموع الزوايا المتقابلة متساويًا، وأنه في الشكل الرباعي المحيط يكون مجموع الأضلاع المتقابلة متساويًا. أول هاتين النظريتين هي النظير الكروي لنظرية المستوى، والنظرية الثانية هي ثنائية، أي نتيجة تبادل الدوائر العظمى وأقطابها. ^[32] كيبر وآخرون. ^[33] أثبت عكس النظرية: إذا كانت مجموع الأضلاع المتقابلة متساوية في شكل رباعي كروي، فإنه يوجد دائرة محيطة لهذا الشكل الرباعي.

• نظرية الفراشة
• مثلث براهماجوبتا
• مضلع دوري
• قوة النقطة
• جدول بطليموس للأوتار
• خماسي روبينز

• د. فرايفرت: رباعيات الأضلاع ذات النقاط الباسكالية المرسومة في رباعي أضلاع دائري

• اشتقاق صيغة مساحة الشكل الرباعي الدائري
• مركزات في الشكل الرباعي الدائري عند قطع العقدة
• أربعة خطوط متزامنة في شكل رباعي دائري عند قطع العقدة
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الشكل الرباعي الدائري". MathWorld .