مجموعة التفرع

في نظرية الأعداد ، وبشكل أكثر تحديدًا في نظرية حقل الفئة المحلية ، تعتبر مجموعات التفرع بمثابة ترشيح لمجموعة غالوا لامتداد حقل محلي ، مما يوفر معلومات مفصلة عن ظواهر التفرع للامتداد.

في الرياضيات ، تدرس نظرية التفرع للتقييمات مجموعة امتدادات التقييم v لحقل K إلى امتداد L لـ K. وهي تعميم لنظرية التفرع لمجالات ^{ديديكيند . [ 1 ]} [ ² ]

تكون بنية مجموعة الامتدادات معروفة بشكل أفضل عندما يكون L / K هو Galois .

Ramification groups are a refinement of the Galois group ${\displaystyle G}$ of a finite ${\displaystyle L/K}$Galois extension of local fields. We shall write ${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$ for the valuation, the ring of integers and its maximal ideal for ${\displaystyle L}$. As a consequence of Hensel's lemma, one can write ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$ for some ${\displaystyle \alpha \in L}$ where ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ is the ring of integers of ${\displaystyle K}$.^[3] (This is stronger than the primitive element theorem.) Then, for each integer ${\displaystyle i\geq -1}$, we define ${\displaystyle G_{i}}$ to be the set of all ${\displaystyle s\in G}$ that satisfies the following equivalent conditions.

• (i) ${\displaystyle s}$ operates trivially on ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii) ${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$ for all ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (iii) ${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

The group ${\displaystyle G_{i}}$ is called ${\displaystyle i}$-th ramification group. They form a decreasing filtration,

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

In fact, the ${\displaystyle G_{i}}$ are normal by (i) and trivial for sufficiently large ${\displaystyle i}$ by (iii). For the lowest indices, it is customary to call ${\displaystyle G_{0}}$ the inertia subgroup of ${\displaystyle G}$ because of its relation to splitting of prime ideals, while ${\displaystyle G_{1}}$ the wild inertia subgroup of ${\displaystyle G}$. The quotient ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ is called the tame quotient.

The Galois group ${\displaystyle G}$ and its subgroups ${\displaystyle G_{i}}$ are studied by employing the above filtration or, more specifically, the corresponding quotients. In particular,

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$ where ${\displaystyle l,k}$ are the (finite) residue fields of ${\displaystyle L,K}$.^[4]
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$ is unramified.
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$ is tamely ramified (i.e., the ramification index is prime to the residue characteristic.)

The study of ramification groups reduces to the totally ramified case since one has ${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$ for ${\displaystyle i\geq 0}$.

One also defines the function ${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$. (ii) in the above shows ${\displaystyle i_{G}}$ is independent of choice of ${\displaystyle \alpha }$ and, moreover, the study of the filtration ${\displaystyle G_{i}}$ is essentially equivalent to that of ${\displaystyle i_{G}}$.^[5]${\displaystyle i_{G}}$ satisfies the following: for ${\displaystyle s,t\in G}$,

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

Fix a uniformizer ${\displaystyle \pi }$ of ${\displaystyle L}$. Then ${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$ induces the injection ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$ where ${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$. (The map actually does not depend on the choice of the uniformizer.^[6]) It follows from this^[7]

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ is cyclic of order prime to ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ is a product of cyclic groups of order ${\displaystyle p}$.

In particular, ${\displaystyle G_{1}}$ is a p-group and ${\displaystyle G_{0}}$ is solvable.

The ramification groups can be used to compute the different${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$ of the extension ${\displaystyle L/K}$ and that of subextensions:^[8]

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

If ${\displaystyle H}$ is a normal subgroup of ${\displaystyle G}$, then, for ${\displaystyle \sigma \in G}$, ${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$.^[9]

Combining this with the above one obtains: for a subextension ${\displaystyle F/K}$ corresponding to ${\displaystyle H}$,

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

If ${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$, then ${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$.^[10] In the terminology of Lazard, this can be understood to mean the Lie algebra${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$ is abelian.

If ${\displaystyle u}$ is a real number ${\displaystyle \geq -1}$, let ${\displaystyle G_{u}}$ denote ${\displaystyle G_{i}}$ where i the least integer ${\displaystyle \geq u}$. In other words, ${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$ Define ${\displaystyle \phi }$ by^[12]

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

where, by convention, ${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$ is equal to ${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$ if ${\displaystyle t=-1}$ and is equal to ${\displaystyle 1}$ for ${\displaystyle -1<t\leq 0}$[ ^{13 ]} ثم^​${\displaystyle \phi (u)=u}$ل${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$من الواضح أن${\displaystyle \phi }$هي دالة متصلة ومتزايدة تمامًا، وبالتالي فإن لها دالة عكسية متصلة${\displaystyle \psi }$محدد في${\displaystyle [-1,\infty )}$. يُعرِّف ${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$. ${\displaystyle G^{v}}$ويُطلق عليها حينها اسم مجموعة التفرع رقم v في الترقيم الأعلى. بعبارة أخرى،${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$. ملحوظة${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$تم تعريف الترقيم العلوي بحيث يكون متوافقًا مع الانتقال إلى القسمة: ^{[ 14 ]} إذا${\displaystyle H}$أمر طبيعي في${\displaystyle G}$، ثم

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$للجميع${\displaystyle v}$

(بينما يكون الترقيم الأدنى متوافقًا مع الانتقال إلى المجموعات الفرعية.)

• امتدادات محدودة للحقول المحلية

• ب. كونراد، رياضيات ٢٤٨أ. مجموعات التفرع العليا
• فروليش، أ .؛ تايلور، م. ج. (1991). نظرية الأعداد الجبرية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  27. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 . 
• نيوكيرتش، يورغن (1999). جبرية زهلينثيوري . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  322. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-65399-8. السيد 1697859 . زبل 0956.11021 .  
• سير، جان بيير (1967). "السادس. نظرية حقل الأصناف المحلية". في: كاسيلز، جيه دبليو إس ؛ فروليش، أ. (محرران). نظرية الأعداد الجبرية. وقائع مؤتمر تعليمي نظمته جمعية لندن الرياضية (معهد دراسات متقدمة تابع لحلف الناتو) بدعم من الاتحاد الرياضي الدولي . لندن: أكاديميك برس. ص 128-161 . Zbl 0153.07403 .  
• سير، جان بيير (1979). الحقول المحلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  67. ترجمة مارفن جاي غرينبيرغ . برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-90424-7. السيد 0554237 . زبل 0423.12016 .  
• سنايث، فيكتور ب. (1994). بنية وحدة غالوا . سلسلة دراسات معهد فيلدز. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-0264-X. Zbl 0830.11042 .