انقسام المُثُل الأولية في امتدادات غالوا

في الرياضيات ، يُعدّ التفاعل بين زمرة غالوا G لامتداد غالوا L لحقل عددي K ، وكيفية تحليل المُثُل الأولية P لحلقة الأعداد الصحيحة OK إلى عواملها الأولية كحاصل ضرب مُثُل أولية في _OL ، _أحد أغنى جوانب نظرية الأعداد الجبرية . يُنسب انقسام المُثُل الأولية في امتدادات غالوا أحيانًا إلى ديفيد هيلبرت، ويُطلق عليه نظرية هيلبرت . يوجد نظير هندسي، للأغطية المتفرعة لأسطح ريمان ، وهو أبسط إذ يتطلب النظر إلى نوع واحد فقط من الزمر الفرعية G ، بدلًا من نوعين. كان هذا الأمر معروفًا بالتأكيد قبل هيلبرت.

التعريفات

ليكن L / K امتدادًا محدودًا لحقول الأعداد، وليكن O _K و O _L هما الحلقة المقابلة للأعداد الصحيحة لـ K و L ، على التوالي ، والتي تُعرف بأنها الإغلاق التكاملي للأعداد الصحيحة Z في الحقل المعني.

{\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array}}

وأخيرًا، ليكن p مثاليًا أوليًا غير صفري في O _K ، أو بشكل مكافئ ، مثاليًا أقصى ، بحيث يكون الباقي O _K / p حقلًا .

يستنتج من النظرية الأساسية للحلقات أحادية البعد وجود تحليل فريد

pO_{L}=\prod _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j}}

من المثالي pO _L المتولد في O _L بواسطة p إلى ناتج مثاليات قصوى متميزة P _j ، مع تعددية e _j .

الحقل F = O _K / p يندمج بشكل طبيعي في F _j = O _L / P _j لكل j ، تسمى درجة f _j = [ O _L / P _j : O _K / p ] لهذا الامتداد المتبقي للحقل درجة القصور الذاتي لـ P _j على p .

يُطلق على التعددية e _j اسم مؤشر التفرع لـ P _j على p . إذا كانت أكبر من 1 لبعض قيم j ، يُقال إن امتداد الحقل L / K متفرع عند p (أو نقول إن p متفرع في L ، أو أنه متفرع في L ). وإلا، يُقال إن L / K غير متفرع عند p . في هذه الحالة، وبحسب نظرية الباقي الصينية ، فإن خارج القسمة OL / pOL هو حاصل ضرب الحقول _F_ j _ . يكون الامتداد L / K متفرعًا في الأعداد الأولية التي تقسم المميز النسبي تحديدًا ، وبالتالي يكون الامتداد غير متفرع في جميع المُثُل الأولية باستثناء عدد محدود منها.

خاصية التضاعف للمعيار المثالي تعني

[L:K]=\sum _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.

إذا كان f _j = e _j = 1 لكل j (وبالتالي g = [ L : K ])، نقول إن p ينقسم كليًا في L. إذا كان g = 1 و f _1 = 1 (وبالتالي e _1 = [ L : K ])، نقول إن p يتفرع كليًا في L. أخيرًا، إذا كان g = 1 و e _1 = 1 (وبالتالي f _1 = [ L : K ]) ، نقول إن p خامل في L.

وضع غالوا

فيما يلي، يُفترض أن الامتداد L / K هو امتداد غالوا . عندئذٍ، يمكن استخدام مبرهنة تجنب الأعداد الأولية لإثبات زمرة غالوا. $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ يؤثر بشكل متعدٍ على P _j . أي أن عوامل المثالي الأولي لـ p في L تُشكّل مدارًا واحدًا تحت تأثير التشاكلات الذاتية لـ L على K. من هذا، ومن نظرية التحليل الفريد ، يتبين أن f = f _j و e = e _j مستقلتان عن j ؛ وهو أمر ليس بالضرورة صحيحًا بالنسبة للامتدادات غير الغالوا. وبالتالي، تصبح العلاقات الأساسية كما يلي:

pO_{L}=\left(\prod _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}

.

و

[L:K]=efg.

تُظهر العلاقة أعلاه أن [ L : K ]/ ef يساوي عدد العوامل الأولية g للعدد p في O _L. وبحسب صيغة مُثبِّت المدار، _فإن $هذا$ العدد يساوي أيضًا $| G | / | DPj |$ لكل j ، حيث DPj _{_،} وهي زمرة التفكيك لـ Pj _، هي الزمرة الجزئية لعناصر G التي تُعيد Pj إلى نفسها _{. وبما} $أن$ درجة L / K ورتبة G متساويتان وفقًا لنظرية غالوا _{الأساسية}_{_،} فإن رتبة زمرة التفكيك DPj تساوي ef لكل j .

تحتوي مجموعة التفكيك هذه على مجموعة فرعية $I P j$ ، تُسمى مجموعة القصور الذاتي لـ P _j ، وتتكون من تشاكلات ذاتية لـ L / K تُنتج التشاكل الذاتي المحايد على F _j . بعبارة أخرى، $I P j$ هي نواة خريطة الاختزال. $D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ يمكن إثبات أن هذه الخريطة شاملة، ويترتب على ذلك أن $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ متماثل مع $D P j / I P j$ ورتبة مجموعة القصور الذاتي $I P j$ هي e .

تتجاوز نظرية عنصر فروبينيوس $ذلك$ ، لتحديد عنصر من $DPj / IPj$ لقيمة j معينة $،$ والذي يُقابل التشاكل الذاتي لفروبينيوس في زمرة غالوا لامتداد الحقل المنتهي Fj / _F $. في الحالة غير المتفرعة ،$ $تكون$ رتبة DPj هي f ويكون _IPj $تافهًا$ $،$ لذا فإن عنصر فروبينيوس في هذه الحالة هو عنصر من _DPj ، وبالتالي هو أيضًا عنصر من G. بالنسبة لقيم j المتغيرة $،$ _{_تكون} الزمر DPj زمرًا فرعية _{مترافقة} داخل G _: مع الأخذ في الاعتبار أن _{_G} تؤثر بشكل متعدٍ على _Pj_،_{_يمكن} التحقق مما إذا كان $σ$ يُسقط Pj إلى Pj _′ ، $\sigma D_{P_{j}}\sigma ^{-1}=D_{P_{j'}}$ لذلك، إذا كانت G زمرة تبديلية ، فإن عنصر فروبينيوس لعدد أولي غير متفرع P لا يعتمد على أي P _j نختار. علاوة على ذلك، في الحالة التبديلية، فإن ربط عدد أولي غير متفرع من K بعنصر فروبينيوس الخاص به وتوسيعه ضربيًا يُعرّف تشاكلًا من زمرة المُثُل غير المتفرعة لـ K إلى G. هذا التطبيق، المعروف باسم تطبيق آرتين ، هو عنصر أساسي في نظرية حقل الأصناف ، التي ^تدرس الامتدادات التبديلية المنتهية لحقل عددي مُعطى K. ^[¹ ]

في النظير الهندسي، بالنسبة للمشعبات المعقدة أو الهندسة الجبرية فوق حقل مغلق جبريًا ، تتطابق مفاهيم مجموعة التفكيك ومجموعة القصور الذاتي . هناك، بالنظر إلى غطاء غالوا المتفرع، فإن جميع النقاط تقريبًا لها نفس عدد الصور العكسية .

يمكن دراسة انقسام الأعداد الأولية في الامتدادات غير الغالواية باستخدام حقل انقسام مبدئي، أي امتداد غالواي أكبر قليلاً. على سبيل المثال، عادةً ما تُنظَّم الحقول التكعيبية بواسطة حقل من الدرجة السادسة يحتوي عليها.

مثال - الأعداد الصحيحة الغاوسية

يصف هذا القسم انقسام المُثُل الأولية في امتداد الحقل Q ( i )/ Q . أي، نأخذ K = Q و L = Q ( i )، وبالتالي فإن _OK هو ببساطة Z ، و L = Z [ i ] هي حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية . على الرغم من أن هذه الحالة بعيدة كل البعد عن التمثيلية - ففي النهاية، _Z [ i ] لها تحليل وحيد ، ولا يوجد الكثير من الحقول التربيعية التخيلية ذات التحليل الوحيد - إلا أنها تُظهر العديد من سمات النظرية.

عند كتابة G لمجموعة غالوا لـ Q ( i )/ Q ، و σ للتشاكل الذاتي للاقتران المعقد في G ، هناك ثلاث حالات يجب مراعاتها.

العدد الأولي p = 2

العدد الأولي 2 من Z يتفرع في Z [ i ]:

(2)=(1+i)^{2}

وبالتالي، فإن مؤشر التفرع هنا هو e = 2. حقل البقايا هو

O_{L}/(1+i)O_{L}

وهو الحقل المنتهي ذو العنصرين. يجب أن تكون زمرة التفكيك مساويةً لجميع عناصر G ، حيث لا يوجد سوى عدد أولي واحد في Z [ i ] أكبر من 2. كما أن زمرة القصور الذاتي هي أيضًا جميع عناصر G ، لأن

a+bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i

لأي عددين صحيحين a و b ، كما $a+bi=2bi+a-bi=(1+i)\cdot (1-i)bi+a-bi\equiv a-bi{\bmod {1}}+i$ .

في الواقع، 2 هو العدد الأولي الوحيد الذي يتفرع في Z [ i ]، لأن كل عدد أولي يتفرع يجب أن يقسم المميز لـ Z [ i ]، وهو - 4.

الأعداد الأولية p ≡ 1 mod 4

أي عدد أولي p ≡ 1 mod 4 ينقسم إلى مثاليين أوليين متميزين في Z [ i ]؛ وهذا تجلٍّ لنظرية فيرما حول مجموع مربعين . على سبيل المثال:

13=(2+3i)(2-3i)

في هذه الحالة، تكون مجموعتا التفكيك هما المجموعة التافهة {1}؛ في الواقع، يُبدّل التشاكل الذاتي σ العددين الأوليين ( 2 + 3i ) و( 2 - 3i ) ، لذا لا يمكن أن يكون ضمن مجموعة تفكيك أيٍّ منهما. مجموعة القصور الذاتي، كونها مجموعة جزئية من مجموعة التفكيك، هي أيضًا المجموعة التافهة. يوجد حقلان متبقيان، واحد لكل عدد أولي.

O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\ ,

وكلاهما متماثلان مع الحقل المنتهي ذي 13 عنصرًا. عنصر فروبينيوس هو التشاكل الذاتي التافه؛ وهذا يعني أن

(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i

لأي عددين صحيحين a و b .

الأعداد الأولية p ≡ 3 mod 4

أي عدد أولي p ≡ 3 mod 4 يبقى غير نشط في Z [ i ]؛ أي أنه لا ينقسم. على سبيل المثال، يبقى (7) عددًا أوليًا في Z [ i ]. في هذه الحالة، تكون مجموعة التفكيك هي G بأكملها ، وذلك لوجود عامل أولي واحد فقط. مع ذلك، تختلف هذه الحالة عن حالة p = 2، لأن σ لا يؤثر الآن بشكل تافه على حقل البواقي.

O_{L}/(7)O_{L}\ ,

وهو الحقل المنتهي الذي يحتوي على 7 ^{× 2} = 49 عنصرًا. على سبيل المثال، الفرق بين $1+i$ و $\sigma (1+i)=1-i$ يكون $2i$ وهو بالتأكيد لا يقبل القسمة على 7. لذلك، فإن زمرة القصور الذاتي هي الزمرة التافهة {1}. زمرة غالوا لهذا الحقل المتبقي على الحقل الجزئي Z /7 Z لها رتبة 2، وهي مُولَّدة بصورة عنصر فروبينيوس. عنصر فروبينيوس ليس سوى σ؛ وهذا يعني أن

(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7}}

لأي عددين صحيحين a و b .

ملخص

عدد أولي في Z	كيف ينقسم إلى Z [ i ]	مجموعة القصور الذاتي	مجموعة التحلل
2	يتفرع بمؤشر 2	جي	جي
p ≡ 1 mod 4	ينقسم إلى عاملين متميزين	1	1
p ≡ 3 mod 4	يبقى خاملاً	1	جي

حساب التحليل إلى عوامل

لنفترض أننا نرغب في تحديد تحليل مثالي أولي P من OHK إلى أعداد أولية من OHL _. الإجراء التالي (Neukirch، ص 47) يحل هذه المشكلة في كثير _من الحالات. تتمثل الاستراتيجية في اختيار عدد صحيح θ في OHL بحيث _يكون L مولدًا على K بواسطة θ (يضمن وجود مثل هذا العدد θ بموجب _نظرية العنصر الأولي )، ثم فحص متعددة الحدود الدنيا H ( X ) لـ θ على K ؛ وهي متعددة حدود أحادية بمعاملات في OHK . باختزال معاملات H ( X ) بتردد P ، نحصل على متعددة حدود أحادية h ( X ) بمعاملات في F ، حقل البواقي (المنتهي) OH / P . لنفترض أن h ( X ) يتحلل في حلقة متعددات الحدود F [ X ] كما يلي _:

h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n}},

حيث تمثل h _j كثيرات حدود أحادية غير قابلة للاختزال متميزة في F [ X ]. وطالما أن P ليس أحد الأعداد الأولية الاستثنائية المحدودة (يُشرح الشرط الدقيق أدناه)، فإن تحليل P يكون بالشكل التالي:

PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n}},

حيث تمثل Q _j مثاليات أولية متميزة في O _L. علاوة على ذلك، فإن درجة القصور الذاتي لكل Q _j تساوي درجة متعددة الحدود المقابلة h _j ، وهناك صيغة صريحة لـ Q _j :

Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},

حيث يشير h _j هنا إلى رفع متعدد الحدود h _j إلى K [ X ].

في حالة غالوا، تكون درجات القصور الذاتي متساوية، وتكون مؤشرات التفرع e ₁ = ... = e _n متساوية.

الأعداد الأولية الاستثنائية، التي لا تنطبق عليها النتيجة المذكورة أعلاه بالضرورة، هي تلك التي ليست أولية نسبياً مع موصل الحلقة O _K [θ]. يُعرَّف الموصل بأنه المثالي

\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};

يقيس مدى بُعد الترتيب O _K [θ] عن كونه الحلقة الكاملة للأعداد الصحيحة (الترتيب الأقصى) O _L .

من أهم المحاذير وجود أمثلة لـ L / K و P بحيث لا توجد قيمة θ متاحة تحقق الفرضيات المذكورة أعلاه (انظر على سبيل المثال ^{[ 2 ]} ). لذلك، لا يمكن استخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه لتحليل P في هذه الحالة ، ويجب استخدام أساليب أكثر تعقيدًا، مثل تلك الموضحة في ^{[ 3 ] .}

مثال

لنعد إلى حالة الأعداد الصحيحة الغاوسية. نعتبر θ الوحدة التخيلية $i$ ، مع الحد الأدنى لكثير الحدود H ( X ) = X ² + 1. بما أن Z [ $i$ ] هي الحلقة الكاملة للأعداد الصحيحة في Q ( $i$ )، الموصل هو المثالي الواحد، لذلك لا توجد أعداد أولية استثنائية.

بالنسبة لـ P = (2)، نحتاج إلى العمل في المجال Z /(2) Z ، وهو ما يعادل تحليل كثير الحدود X ² + 1 modulo 2:

X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2}}.

لذلك، يوجد عامل أولي واحد فقط، بدرجة قصور ذاتي 1 ومعامل تفرع 2، وهو معطى بالصيغة التالية:

Q=(2)\mathbf {Z} [i]+(i+1)\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i].

الحالة التالية هي P = ( p ) لعدد أولي p ≡ 3 mod 4. وللتوضيح، سنأخذ P = (7). كثير الحدود X² + 1 غير قابل للاختزال modulo 7. لذلك، يوجد عامل أولي واحد فقط، بدرجة قصور ذاتي 2 ومعامل تفرع 1، وهو معطى بالصيغة التالية ^: