التفرع (الرياضيات)

التفرع في نظرية الأعداد الجبرية يعني تحليل المثالي الأولي في امتداد بحيث يعطي بعض العوامل المثالية الأولية المتكررة. أي، ليكن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$لتكن حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي جبري${\displaystyle K}$، و${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$مثال رئيسي لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$لتوسيع المجال${\displaystyle L/K}$يمكننا اعتبار حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$(وهو الإغلاق التكاملي لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$في${\displaystyle L}$) والمثالي${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$قد يكون هذا المثال أوليًا أو لا، ولكن بالنسبة للعدد المحدود${\displaystyle [L:K]}$، ولها تحليل إلى عوامل أولية:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

حيث${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$هي مُثُلٌ عليا متميزة لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$. ثم${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ويُقال إنها تتفرع في${\displaystyle L}$لو${\displaystyle e_{i}>1}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i}$وإلا فإنهغير متفرعة . بعبارة أخرى،${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يتفرع في${\displaystyle L}$إذا كان مؤشر التفرع${\displaystyle e_{i}}$أكبر من واحد بالنسبة للبعض${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$الشرط المكافئ هو أن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$يحتوي على عنصر عديم القوة غير صفري : فهو ليس ناتج ضرب حقول منتهية . وقد أشار ريتشارد ديديكيند وهاينريش م. ويبر إلى هذا التشابه مع حالة سطح ريمان في القرن التاسع عشر.

تم ترميز التداعيات في${\displaystyle K}$بواسطة المميز النسبي وفي${\displaystyle L}$بسبب الاختلاف النسبي . الأول هو مثال لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$وهو قابل للقسمة على${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$إذا وفقط إذا كان هناك شيء مثالي${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$الفاصل${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$متفرعة. وهذا الأخير هو مثال لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$وهو قابل للقسمة على المثالي الأولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$متى بالضبط${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$متفرعة.

تكون التداعيات محدودة عندما تكون مؤشرات التداعيات${\displaystyle e_{i}}$جميعها أولية نسبياً بالنسبة لخاصية البقايا p لـ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$وإلا فهو جامح . هذا الشرط مهم في نظرية وحدات غالوا . امتداد إيتالي عام محدود${\displaystyle B/A}$تكون نطاقات ديديكيند مُروضة إذا وفقط إذا كان الأثر${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$هو شامل.

يمكن إجراء تحليل أكثر تفصيلاً للتفرع في حقول الأعداد باستخدام امتدادات الأعداد p-adic ، لأنها مسألة محلية . في هذه الحالة، يُعرَّف مقياس كمي للتفرع لامتدادات غالوا ، وذلك أساسًا عن طريق تحديد مدى تحريك زمرة غالوا لعناصر الحقل بالنسبة للمقياس. تُعرَّف سلسلة من زمر التفرع ، تُجسِّد (من بين أمور أخرى) التفرع الجامح (غير المُروَّض). وهذا يتجاوز النظير الهندسي.