المنطق ذو القيم اللانهائية

في المنطق ، يُعرف المنطق ذو القيم اللانهائية (أو المنطق ذو القيم الحقيقية أو المنطق ذو القيم اللانهائية المتعددة ) بأنه منطق متعدد القيم، حيث تشكل قيم الصواب فيه نطاقًا متصلًا . تقليديًا، في منطق أرسطو ، كان المنطق غير الثنائي شاذًا، إذ أن قانون الوسط المرفوع يمنع وجود أكثر من قيمتين محتملتين (أي "صحيح" و"خطأ") لأي قضية . ^{[ 1 ]} يسمح المنطق ثلاثي القيم الحديث (المنطق الثلاثي) بقيمة صواب إضافية محتملة (أي "غير محسوم") ^{[ 2 ]} ، وهو مثال على المنطق ذي القيم المحدودة ، حيث تكون قيم الصواب منفصلة وليست متصلة. يشمل المنطق ذو القيم اللانهائية المنطق الضبابي المتصل ، مع أن المنطق الضبابي في بعض أشكاله قد يشمل أيضًا المنطق ذي القيم المحدودة. على سبيل المثال، يمكن تطبيق المنطق ذو القيم المحدودة في نمذجة القيم البوليانية ، ^{[ 3 ] [ 4 ]} ومنطق الوصف ، ^{[ 5 ]} وإزالة الضبابية ^{[ 6 ] [ 7 ]} للمنطق الضبابي.

استخدم إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنتز مفهومي اللانهاية والمتناهيات في الصغر لتطوير حساب التفاضل والتكامل في أواخر القرن السابع عشر. كما وضع ريتشارد ديديكيند ، الذي عرّف الأعداد الحقيقية بدلالة مجموعات معينة من الأعداد النسبية في القرن التاسع عشر، ^{[ 8 ]} بديهية الاستمرارية التي تنص على وجود قيمة صحيحة واحدة عند نهاية أي تقريب قائم على التجربة والخطأ . وفي عام 1938، برهن فيليكس هاوسدورف على الإمكانية المنطقية لترتيب مستمر مطلق للكلمات التي تتألف من قيم ثنائية، حيث يكون طول كل كلمة لانهائيًا مطلقًا . ومع ذلك، لا يزال تعريف العدد الحقيقي العشوائي، أي العدد الحقيقي الذي لا يملك أي وصف نهائي على الإطلاق، يُعتبر نوعًا من المفارقة . ^{[ 9 ]}

قام يان لوكاسيفيتش بتطوير نظام منطقي ثلاثي القيم في عام 1920. ثم عمّم هذا النظام ليشمل المنطق متعدد القيم في عام 1922، وواصل تطوير أنواع أخرى من المنطق.${\displaystyle \aleph _{0}}$قيم الصدق (غير محدودة ضمن نطاق). طور كورت غودل نظامًا استنتاجيًا ، قابلًا للتطبيق على كل من منطق الرتبة الأولى ذي القيم المحدودة وغير المحدودة (منطق صوري يمكن فيه للمسند أن يشير إلى موضوع واحد ) وكذلك على المنطق الوسيط ( منطق حدسي صوري يُستخدم لتقديم براهين مثل برهان الاتساق في الحساب )، وأظهر في عام 1932 أن الحدس المنطقي لا يمكن وصفه بالمنطق ذي القيم المحدودة . ^{[ 10 ]}

إن مفهوم التعبير عن قيم الصواب كأعداد حقيقية في النطاق بين 0 و1 قد يُوحي بإمكانية استخدام الأعداد المركبة للتعبير عن قيم الصواب. ستكون لهذه القيم بُعد تخيلي ، على سبيل المثال بين 0 و i . قد يكون الصواب ثنائي الأبعاد أو ذو الأبعاد الأعلى مفيدًا في أنظمة المنطق شبه المتسق . إذا ظهرت تطبيقات عملية لمثل هذه الأنظمة، فقد يتطور المنطق متعدد الأبعاد ذو القيم اللانهائية كمفهوم مستقل عن المنطق ذي القيم الحقيقية. ^{[ 11 ]}

اقترح لطفي زاده منهجية رسمية للمنطق الضبابي وتطبيقاته في أوائل سبعينيات القرن العشرين. وبحلول عام ١٩٧٣، كان باحثون آخرون يطبقون نظرية وحدات التحكم الضبابية لزاده على عمليات ميكانيكية وصناعية متنوعة. وقد طُبِّق مفهوم النمذجة الضبابية ، الذي تطور من هذا البحث، على الشبكات العصبية في ثمانينيات القرن العشرين، وعلى التعلم الآلي في تسعينياته. كما أدت المنهجية الرسمية إلى تعميم النظريات الرياضية في عائلة منطق t-norm الضبابي . ^{[ ١٢ ]}

المنطق الضبابي الأساسي هو منطق المعايير الثنائية المستمرة ( العمليات الثنائية على الفترة الحقيقية [0، 1]). ^{[ 13 ]} تشمل تطبيقات المنطق الضبابي أنظمة التعرف على الوجوه ، والأجهزة المنزلية ، وأنظمة منع انغلاق المكابح ، وناقلات الحركة الأوتوماتيكية ، ووحدات التحكم لأنظمة النقل السريع والطائرات بدون طيار ، وأنظمة التحسين القائمة على المعرفة والهندسة ، وأنظمة التنبؤ بالطقس ، والتسعير ، ونمذجة تقييم المخاطر ، والتشخيص الطبي وتخطيط العلاج، وأنظمة التجارة الدولية ، وغيرها. ^{[ 14 ]} يُستخدم المنطق الضبابي لتحسين كفاءة منظمات الحرارة للتحكم في التدفئة والتبريد، وللأتمتة الصناعية والتحكم في العمليات ، والرسوم المتحركة الحاسوبية ، ومعالجة الإشارات ، وتحليل البيانات . ^{[ 15 ]} وقد أسهم المنطق الضبابي إسهامًا كبيرًا في مجالات التعلم الآلي واستخراج البيانات . ^{[ 16 ]}

في المنطق اللانهائي ، يمكن التعبير عن درجات إثبات القضايا من حيث المنطق اللانهائي القيم الذي يمكن وصفه عبر صيغ مُقَيَّمة، مكتوبة كأزواج مرتبة يتكون كل منها من رمز درجة الصدق وصيغة. ^{[ 17 ]}

في الرياضيات ، يمكن للدلالات الخالية من الأعداد التعبير عن حقائق حول المفاهيم الرياضية الكلاسيكية وجعلها قابلة للاستنتاج المنطقي في منطق ذي قيم لا نهائية. ويمكن تطبيق منطق T-norm الضبابي لإزالة الإشارات إلى الأعداد الحقيقية من التعريفات والنظريات، وذلك لتبسيط بعض المفاهيم الرياضية وتسهيل بعض التعميمات. ويُعرف الإطار المستخدم لصياغة المفاهيم الرياضية بشكل رسمي خالٍ من الأعداد بنظرية الفئات الضبابية. ^{[ 18 ]}

لقد تمّت دراسة مسائل فلسفية، بما فيها مفارقة سوريتس ، ​​استنادًا إلى منطق ذي قيم لا نهائية يُعرف بالمعرفة الضبابية . ^{[ 19 ]} تشير مفارقة سوريتس إلى أنه إذا لم تُؤدِّ إضافة حبة رمل إلى شيء ليس كومة إلى تكوين كومة، فلا يمكن تكوين كومة من الرمل. ويميل النهج التدريجي نحو النهاية، الذي تتسرب فيه الحقيقة تدريجيًا، إلى دحض هذا الاقتراح. ^{[ 20 ]}

في دراسة المنطق نفسه، شكّل المنطق ذو القيم اللانهائية أداةً لفهم طبيعة الفهم البشري للمفاهيم المنطقية. حاول كورت غودل فهم قدرة الإنسان على الحدس المنطقي من منظور المنطق ذي القيم المحدودة، قبل أن يخلص إلى أن هذه القدرة مبنية على المنطق ذي القيم اللانهائية. ^{[ 21 ]} ولا تزال هناك تساؤلات مفتوحة حول كيفية التعامل مع قيم الصدق غير المحددة في دلالات اللغة الطبيعية . ^{[ 22 ]}

• منطق متعدد القيم
• المنطق ذو القيم المحدودة
• المنطق الحدسي
• الحدس المنطقي
• المنطق الضبابي
• رقم ضبابي
• بناء المعايير الفنية
• نظرية المجموعات