قابلية القسمة اللانهائية

تظهر قابلية القسمة اللانهائية بطرق مختلفة في الفلسفة والفيزياء والاقتصاد ونظرية النظام ( فرع من الرياضيات) ونظرية الاحتمالات (فرع آخر من الرياضيات). ويمكن الحديث عن قابلية القسمة اللانهائية، أو انعدامها، للمادة والفضاء والزمان والمال ، أو حتى عن مفاهيم رياضية مجردة كالمتصل .

يمكن تتبع أصول هذه الفكرة في التراث الغربي إلى القرن الخامس قبل الميلاد، بدءًا من الفيلسوف اليوناني القديم ديموقريطس، أحد فلاسفة ما قبل سقراط، ومعلمه ليوكيبوس ، اللذين نظّرا لإمكانية انقسام المادة إلى ما هو أبعد من نطاق إدراك الحواس، وصولًا إلى الذرة غير القابلة للانقسام. كما اقترح الفيلسوف الهندي ماهاريشي كانادا نظرية ذرية، إلا أن هناك غموضًا حول الفترة الزمنية التي عاش فيها، والتي تتراوح بين القرنين السادس والثاني قبل الميلاد. في حوالي عام 500 قبل الميلاد، افترض أنه إذا واصلنا تقسيم المادة ( بادارث )، فسنحصل على جسيمات أصغر فأصغر. وفي النهاية، سيأتي وقت نصادف فيه أصغر الجسيمات التي لا يمكن تقسيمها أكثر من ذلك. أطلق على هذه الجسيمات اسم بارمانو . وقد فصّل فيلسوف هندي آخر، هو باكودا كاتياياما ، هذه النظرية، وقال إن هذه الجسيمات توجد عادةً في صورة مركبة تُعطينا أشكالًا مختلفة من المادة. ^{[ 1 ] [ 2 ]} تم استكشاف نظرية الذرية في حوار طيماوس لأفلاطون . أثبت أرسطو أن كلاً من الطول والزمن قابلان للقسمة إلى ما لا نهاية، داحضًا بذلك نظرية الذرية. ^{[ 3 ]} يقدم أندرو بايل شرحًا وافيًا لمفهوم قابلية القسمة اللانهائية في الصفحات الأولى من كتابه "الذرية ونقادها" . يوضح فيه كيف أن قابلية القسمة اللانهائية تنطوي على فكرة وجود عنصر ممتد ، كالتفاحة مثلاً، يمكن تقسيمه إلى عدد لا نهائي من المرات، دون أن يصل التقسيم إلى نقطة أو إلى ذرات من أي نوع. يزعم العديد من الفلاسفة أن قابلية القسمة اللانهائية تتضمن إما مجموعة من عدد لا نهائي من العناصر (بما أن هناك تقسيمات لا نهائية، فلا بد من وجود مجموعة لا نهائية من الأشياء)، أو (في حالات نادرة) عناصر بحجم نقطة ، أو كليهما. يوضح بايل أن رياضيات الامتدادات القابلة للقسمة اللانهائية لا تتضمن أيًا من هذين الأمرين - أي أن هناك تقسيمات لا نهائية، ولكن فقط مجموعات محدودة من الأشياء، ولا يمكن تقسيمها أبدًا إلى عناصر بحجم نقطة أو بدون امتداد.

في مفارقة سهم زينون ، تساءل زينون كيف يمكن للسهم أن يتحرك إذا كان في لحظة ما هنا بلا حراك، وفي لحظة لاحقة يكون في مكان آخر بلا حراك.

إلا أن استدلال زينون مغلوط، حين يقول إنه إذا كان كل شيء ساكنًا عندما يشغل حيزًا متساويًا، وإذا كان ما يتحرك يشغل هذا الحيز دائمًا في أي لحظة، فإن السهم الطائر يكون بالتالي ساكنًا. هذا غير صحيح، لأن الزمن لا يتألف من لحظات غير قابلة للتجزئة، تمامًا كما أن أي مقدار آخر لا يتألف من أجزاء غير قابلة للتجزئة. ^{[ 4 ]}

في إشارة إلى مفارقة زينون للسهم الطائر، كتب ألفريد نورث وايتهيد أن "عددًا لا نهائيًا من أفعال الصيرورة قد يحدث في وقت محدود إذا كان كل فعل لاحق أصغر في سلسلة متقاربة": ^{[ 5 ]}

إن الحجة، بقدر ما هي صحيحة، تُثير تناقضًا بين مقدمتين: (أ) أن الشيء ( res vera ) يصبح في طور الصيرورة، و(ب) أن كل فعل صيرورة قابل للتقسيم إلى جزأين، أحدهما سابق والآخر لاحق، وهما في حد ذاتهما أفعال صيرورة. لنأخذ، على سبيل المثال، فعل صيرورة خلال ثانية واحدة. ينقسم هذا الفعل إلى فعلين، أحدهما خلال النصف الأول من الثانية، والآخر خلال النصف الثاني منها. وبالتالي، فإن ما يصبح خلال الثانية بأكملها يفترض مسبقًا ما يصبح خلال النصف الأول منها. وبالمثل، فإن ما يصبح خلال النصف الأول من الثانية يفترض مسبقًا ما يصبح خلال الربع الأول منها، وهكذا إلى ما لا نهاية. لذا، إذا نظرنا إلى عملية الصيرورة حتى بداية الثانية المعنية، وسألنا عما يصبح بعد ذلك، فلن نجد إجابة. لأن أي كائن نشير إليه يفترض مسبقًا كائنًا سابقًا أصبح بعد بداية الثانية وقبل الكائن المشار إليه. لذلك لا يوجد شيء يصبح، بحيث يُحدث انتقالاً إلى الثاني المذكور. ^{[ 5 ]}

قبل اكتشاف ميكانيكا الكم ، لم يكن هناك تمييز بين مسألة ما إذا كانت المادة قابلة للتقسيم إلى ما لا نهاية ومسألة ما إذا كان من الممكن تقسيم المادة إلى أجزاء أصغر إلى ما لا نهاية .

نتيجةً لذلك، تُترجم الكلمة اليونانية átomos ( ἄτομος )، والتي تعني حرفيًا "غير قابل للتقسيم"، عادةً إلى "غير قابل للتجزئة". في حين أن الذرة الحديثة قابلة للتجزئة بالفعل، إلا أنها في الواقع غير قابلة للتقسيم: فلا يوجد تقسيم للفضاء بحيث تتوافق أجزاؤها مع الأجزاء المادية للذرة. بعبارة أخرى، لم يعد الوصف الكمي للمادة متوافقًا مع نموذج "التقسيم إلى أجزاء". ^{[ 6 ]} يُلقي هذا ضوءًا جديدًا على معضلة قديمة تتعلق بقابلية المادة للتجزئة. إن تعددية الجسم المادي - أي عدد أجزائه - لا تعتمد على وجود أسطح فاصلة، بل على وجود علاقات مكانية داخلية (مواقع نسبية بين الأجزاء)، وهذه العلاقات تفتقر إلى قيم محددة. وفقًا للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات، فإن الجسيمات التي تُكوّن الذرة - الكواركات والإلكترونات - هي جسيمات نقطية : فهي لا تشغل حيزًا. إن ما يجعل الذرة تشغل حيزًا ليس أي "مادة" ممتدة مكانيًا "تشغل حيزًا"، والتي يمكن تقسيمها إلى أجزاء أصغر فأصغر، ولكن عدم تحديد علاقاتها المكانية الداخلية.

كثيراً ما يُنظر إلى الفضاء المادي على أنه قابل للتقسيم إلى ما لا نهاية: يُعتقد أن أي منطقة في الفضاء، مهما صغر حجمها، يمكن تقسيمها إلى أجزاء أصغر. وبالمثل، يُنظر إلى الزمن على أنه قابل للتقسيم إلى ما لا نهاية.

مع ذلك، ووفقًا لأفضل نظرية مقبولة حاليًا في الفيزياء، وهي النموذج القياسي ، توجد مسافة (تُسمى طول بلانك ، 1.616229(38)×10⁻³⁵ ^مترًا ، سُميت تيمنًا بأحد آباء نظرية الكم، ماكس بلانك ) وبالتالي فترة زمنية (الزمن الذي يستغرقه الضوء لقطع تلك المسافة في الفراغ، 5.39116(13) ^{× 10⁻⁴⁴}  ثانية  ، تُعرف بزمن بلانك ) يُتوقع عندها أن ينهار النموذج القياسي، مما يجعل هذه المسافة أصغر مقياس فيزيائي يُمكن الاستناد إليه حاليًا. ويتطلب التنبؤ بالسلوك الفيزيائي للزمكان والجسيمات الأساسية على مسافات أصغر نظرية جديدة للجاذبية الكمية ، تُوحّد نظريتي ميكانيكا الكم والنسبية العامة اللتين كانتا متناقضتين حتى الآن.

الدولار الواحد ، أو اليورو الواحد ، يُقسّم إلى 100 سنت؛ ولا يُمكن الدفع إلا بمضاعفات السنت. ومن الشائع أن تكون أسعار بعض السلع، كالبنزين، بمضاعفات عُشر السنت للغالون أو اللتر. فإذا كان سعر البنزين 3.979 دولارًا للغالون، واشترينا 10 غالونات، فإنّ 9/10 من السنت "الإضافية" تُساوي عشرة أضعاف ذلك: أي 9 سنتات "إضافية"، وبالتالي يُدفع السنت في هذه الحالة. النقود قابلة للقسمة بلا حدود لأنها مبنية على نظام الأعداد الحقيقية. مع ذلك، فإنّ العملات المعدنية الحديثة غير قابلة للقسمة (في الماضي، كانت بعض العملات تُوزن في كل عملية شراء، وتُعتبر قابلة للقسمة دون حدّ مُحدد). هناك حدّ للدقة في كل عملية شراء غير مُجدٍ، لأنّ هذه المبالغ الصغيرة من المال لا تُشكّل أهمية تُذكر للبشر. وكلما زاد عدد مرات ضرب السعر، زادت أهمية هذه الدقة. على سبيل المثال، عند شراء مليون سهم، قد يهتم البائع والمشتري بفارق سعر ضئيل للغاية، لكنه مجرد خيار. وينطبق الأمر نفسه على جميع جوانب قياس الأعمال واختياراتها، حيث يمكن تقسيمها بنفس القدر الذي يهم الأطراف. فعلى سبيل المثال، قد تُعدّ التقارير المالية سنويًا أو ربع سنويًا أو شهريًا. بل إن بعض مديري الأعمال يُعدّون تقارير التدفق النقدي أكثر من مرة في اليوم.

على الرغم من أن الوقت قابل للقسمة إلى ما لا نهاية، فإن بيانات أسعار الأوراق المالية تُنشر في أوقات محددة. فعلى سبيل المثال، عند النظر إلى سجلات أسعار الأسهم في عشرينيات القرن الماضي، قد نجد الأسعار في نهاية كل يوم، ولكن ليس بالضرورة عند ثلاثة أجزاء من مئة من الثانية بعد الساعة 12:47 ظهرًا. مع ذلك، من الناحية النظرية، يمكن لطريقة جديدة أن تُنشر البيانات بمعدل مضاعف، وهو ما لن يمنع زيادة سرعة النشر. ولعل من المفارقات أن الرياضيات التقنية المطبقة على الأسواق المالية غالبًا ما تكون أبسط عند استخدام الوقت القابل للقسمة إلى ما لا نهاية كتقريب. حتى في هذه الحالات، يتم اختيار دقة معينة للعمل بها، وتُقرّب القياسات إلى هذا التقريب. أما فيما يتعلق بالتفاعل البشري، فإن المال والوقت قابلان للقسمة، ولكن فقط إلى الحد الذي لا تُجدي فيه أي قسمة إضافية، وهو حد لا يمكن تحديده بدقة.

القول بأن حقل الأعداد النسبية قابل للقسمة إلى ما لا نهاية (أي كثيف نظرياً ) يعني أنه بين أي عددين نسبيين يوجد عدد نسبي آخر. في المقابل، فإن حلقة الأعداد الصحيحة ليست قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية.

لا يعني قابلية القسمة اللانهائية انعدام الفجوات: فالأعداد النسبية لا تتمتع بخاصية الحد الأعلى الأدنى . هذا يعني أنه إذا قُسّمت الأعداد النسبية إلى مجموعتين غير فارغتين A و B، حيث تحتوي A على جميع الأعداد النسبية الأقل من عدد غير نسبي ( π مثلاً)، وتحتوي B على جميع الأعداد النسبية الأكبر منه، فلن يكون لـ A أكبر عدد، ولن يكون لـ B أصغر عدد. على النقيض من ذلك، فإن حقل الأعداد الحقيقية قابل للقسمة اللانهائية ولا يحتوي على فجوات. أي مجموعة مرتبة خطيًا قابلة للقسمة اللانهائية ولا تحتوي على فجوات، ولها أكثر من عدد واحد، تكون لانهائية غير قابلة للعد . للاطلاع على برهان، انظر برهان كانتور الأول على عدم قابلية العد . إن قابلية القسمة اللانهائية وحدها تستلزم اللانهائية، ولكن ليس عدم قابلية العد، كما توضح الأعداد النسبية.

إن القول بأن التوزيع الاحتمالي F على الخط الحقيقي قابل للقسمة إلى ما لا نهاية يعني أنه إذا كان X أي متغير عشوائي توزيعه هو F ، فإنه لكل عدد صحيح موجب n يوجد n متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع X ₁ ، ... ، X _n مجموعها يساوي في التوزيع X ( عادةً لا يكون لتلك المتغيرات العشوائية n الأخرى نفس التوزيع الاحتمالي مثل X ).

يُعدّ كلٌّ من توزيع بواسون ، وتوزيع بواسون المتقطع، وتوزيع ذي الحدين السالب ، وتوزيع غاما أمثلةً على التوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود، وكذلك التوزيع الطبيعي ، وتوزيع كوشي، وجميع أفراد عائلة التوزيعات المستقرة الأخرى . أما التوزيع الطبيعي المائل فهو مثالٌ على التوزيعات غير القابلة للقسمة بلا حدود. (انظر دومينغيز-مولينا وروشا-أرتيغا (2007)).

كل توزيع احتمالي قابل للقسمة بلا حدود يتوافق بطريقة طبيعية مع عملية ليفي ، أي عملية عشوائية { X _t  : t ≥ 0 } ذات زيادات مستقلة ثابتة ( الثابتة تعني أنه بالنسبة لـ s < t ، فإن التوزيع الاحتمالي لـ X _t − X _s يعتمد فقط على t − s ؛ الزيادات المستقلة تعني أن هذا الفرق مستقل عن الفرق المقابل على أي فترة لا تتداخل مع [ s , t ]، وبالمثل لأي عدد محدود من الفترات).

تم تقديم مفهوم قابلية تقسيم التوزيعات الاحتمالية إلى ما لا نهاية في عام 1929 من قبل برونو دي فينيتي .

• الزمرة القابلة للقسمة ، هي زمرة رياضية يكون فيها كل عنصر مضاعفًا اختياريًا لعنصر آخر.
• توزيع غير قابل للتحلل
• تقطيع السلامي
• مفارقات زينون

• دومينغيز-مولينا، جيه إيه؛ روشا-أرتيغا، إيه. (2007) "حول قابلية القسمة اللانهائية لبعض التوزيعات المتماثلة الملتوية". رسائل الإحصاء والاحتمالات ، 77 (6)، 644-648 . doi : 10.1016 /j.spl.2006.09.014

• التداخل الهرمي اللانهائي للمادة (ترجمة لصفحة ويكيبيديا الروسية)