مغالطة رياضية

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرض أنواع معينة من البراهين الخاطئة ، بل وتُجمع أحيانًا، كأمثلة توضيحية لمفهوم يُسمى المغالطة الرياضية . ثمة فرق بين الخطأ البسيط والمغالطة الرياضية في البرهان، فالخطأ في البرهان يؤدي إلى برهان غير صحيح، بينما في أشهر الأمثلة على المغالطات الرياضية، يوجد عنصر من التمويه أو الخداع في عرض البرهان.

على سبيل المثال، قد يُعزى سبب فشل صحة الاستدلال إلى قسمة على صفر مُخفية بالرموز الجبرية. للمغالطة الرياضية سمةٌ خاصة: فهي، كما تُعرض عادةً، لا تؤدي إلى نتيجةٍ عبثية فحسب، بل تفعل ذلك بطريقةٍ ماكرةٍ أو ذكية. [ 1 ] لذا، ولأسبابٍ تعليمية، تتخذ هذه المغالطات عادةً شكل براهين زائفة لتناقضاتٍ واضحة . ورغم أن البراهين معيبة، فإن الأخطاء، عادةً عن قصد، دقيقةٌ نسبيًا، أو مُصممة لإظهار أن بعض الخطوات مشروطة، ولا تنطبق في الحالات التي تُمثل استثناءً من القواعد.

الطريقة التقليدية لعرض المغالطة الرياضية هي تقديم خطوة استنتاجية غير صحيحة ممزوجة بخطوات صحيحة، بحيث يختلف معنى المغالطة هنا قليلاً عن المغالطة المنطقية . فالأخيرة تُشير عادةً إلى شكل من أشكال الحجة لا يتوافق مع قواعد الاستدلال المنطقي الصحيحة، بينما الخطوة الرياضية الإشكالية هي عادةً قاعدة صحيحة مُطبقة بافتراض خاطئ ضمني. وبعيدًا عن الجانب التربوي، يُمكن أن يُؤدي حل المغالطة إلى فهم أعمق للموضوع (مثل تقديم بديهية باش في الهندسة الإقليدية ، [ 2 ] ونظرية الألوان الخمسة في نظرية المخططات ). ويُنسب كتاب "Pseudaria" ، وهو كتاب قديم مفقود يحتوي على براهين خاطئة، إلى إقليدس . [ 3 ]

توجد المغالطات الرياضية في العديد من فروع الرياضيات. ففي الجبر الابتدائي ، قد تتضمن الأمثلة الشائعة خطوة القسمة على صفر ، أو استخراج جذر بشكل خاطئ، أو بشكل أعم، مساواة قيم مختلفة لدالة متعددة القيم . كما توجد مغالطات معروفة في الهندسة الإقليدية الابتدائية وحساب التفاضل والتكامل . [ 4 ] [ 5 ]

رسائل هاولرز

ددx1x=دد1x2=دد1x2=-1x2\begin{array}{l}\;\;\;\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {\cancel {d}}{\cancel {d}}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}
الإلغاء الشاذ في حساب التفاضل والتكامل

توجد أمثلة على نتائج صحيحة رياضياً تم التوصل إليها من خلال استدلالات خاطئة. هذا النوع من الاستدلال، مهما بدت النتيجة صحيحة، غير صحيح رياضياً ويُعرف عادةً باسم " الخطأ الفادح" . فيما يلي مثال على خطأ فادح يتضمن إلغاءً شاذاً : 1664= 1664 =14.{\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {\ 1{\cancel {6}}}{{\cancel {6}}4\ }}={\frac {1}{4}}.}

هنا، على الرغم من صحة الاستنتاج 16/64 = 1/4، إلا أن هناك خطأً في عملية الحذف في الخطوة الوسطى. [ملاحظة 1 ] مثال كلاسيكي آخر على هذا الخطأ الفادح هو إثبات نظرية كايلي - هاميلتون بمجرد استبدال المتغيرات العددية لكثير الحدود المميز بالمصفوفة.

أطلق إدوين ماكسويل على البراهين أو الحسابات أو الاشتقاقات الزائفة التي تُبنى لإنتاج نتيجة صحيحة على الرغم من المنطق أو العمليات غير الصحيحة اسم "الأخطاء الفادحة" . [ 2 ] خارج مجال الرياضيات، يحمل مصطلح " الأخطاء الفادحة " معاني مختلفة، وعادةً ما تكون أقل تحديدًا.

القسمة على صفر

تتعدد أشكال مغالطة القسمة على صفر . يستخدم المثال التالي قسمة على صفر مُقنّعة "لإثبات" أن 2  =  1، ولكن يمكن تعديله لإثبات أن أي عدد يساوي أي عدد آخر.

  1. لنفترض أن a و b كميتان متساويتان وغير صفريتين
    أ=ب{\displaystyle a=b}
  2. اضرب في
    أ2=أب{\displaystyle a^{2}=ab}
  3. اطرح 2 ب
    أ2-ب2=أب-ب2{\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}
  4. حلل كلا الطرفين: يُحلل الطرف الأيسر كفرق بين مربعين ، ويُحلل الطرف الأيمن باستخراج b من كلا الحدين.
    (أ-ب)(أ+ب)=ب(أ-ب){\displaystyle (ab)(a+b)=b(ab)}
  5. اقسم ( أ - ب )
    أ+ب=ب{\displaystyle a+b=b}
  6. استخدم حقيقة أن أ = ب
    ب+ب=ب{\displaystyle b+b=b}
  7. اجمع الحدود المتشابهة على اليسار
    2ب=ب{\displaystyle 2b=b}
  8. اقسم على b غير الصفري
    2=1{\displaystyle 2=1}
QED [ 6 ]

يكمن الخطأ في السطر الخامس: فالتسلسل من السطر الرابع إلى السطر الخامس يتضمن القسمة على (أ  - ب) ، وهي تساوي صفرًا لأن (أ = ب) . وبما أن القسمة على صفر غير معرفة، فإن الحجة غير صحيحة.   

تحليل

قد يؤدي التحليل الرياضي، بوصفه دراسة رياضية للتغيرات والنهايات ، إلى مغالطات رياضية إذا تم تجاهل خصائص التكاملات والتفاضلات . على سبيل المثال، يمكن استخدام التكامل بالتجزئة بشكل ساذج لتقديم برهان خاطئ على أن 0 = 1: [ 7 ]  

∫1xسجل⁡xدx=1+∫1xسجل⁡xدx{\displaystyle \int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}

بعد ذلك، يمكن حذف الدوال الأصلية، مما ينتج عنه 0  =  1. تكمن المشكلة في أن الدوال الأصلية معرفة فقط حتى قيمة ثابتة ، ويُسمح بإزاحتها بمقدار 1 أو أي قيمة أخرى. يتضح الخطأ جليًا عند إدخال حدود تكامل اختيارية a و b .

∫أب1xسجل⁡xدx=1|أب+∫أب1xسجل⁡xدx=0+∫أب1xسجل⁡xدx=∫أب1xسجل⁡xدx\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx}

بما أن الفرق بين قيمتين لدالة ثابتة يتلاشى، فإن التكامل المحدد نفسه يظهر على جانبي المعادلة.

الدوال متعددة القيم

لا تمتلك العديد من الدوال دالة عكسية وحيدة . على سبيل المثال، بينما يُعطي تربيع عدد ما قيمةً واحدةً فقط، إلا أن هناك جذرين تربيعيين محتملين لعدد موجب. الجذر التربيعي متعدد القيم . يمكن اختيار إحدى القيم اصطلاحًا كقيمة أساسية ؛ في حالة الجذر التربيعي، تكون القيمة غير السالبة هي القيمة الأساسية، ولكن لا يوجد ما يضمن أن الجذر التربيعي المُعطى كقيمة أساسية لمربع عدد ما سيكون مساويًا للعدد الأصلي (مثلًا، الجذر التربيعي الأساسي لمربع -2 هو 2). وينطبق هذا أيضًا على الجذور النونية .

الجذور الإيجابية والسلبية

يجب توخي الحذر عند حساب الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة . فعدم القيام بذلك يؤدي إلى "إثبات" أن [ 8 ] 5  =  4.

دليل:

ابدأ من
-20=-20{\displaystyle -20=-20}
اكتب هذا على النحو التالي:
25-45=16-36{\displaystyle 25-45=16-36}
أعد كتابة النص على النحو التالي:
52-5×9=42-4×9{\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}
أضف 81 / 4 على كلا الجانبين :
52-5×9+814=42-4×9+814{\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}
هذه مربعات كاملة:
(5-92)2=(4-92)2{\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}
خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين:
5-92=4-92{\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}
أضف 9 / 2 على كلا الجانبين :
5=4{\displaystyle 5=4}
QED

يكمن الخطأ في السطر قبل الأخير، حيث تم حساب الجذر التربيعي للطرفين: المعادلة a² = b² تعني أن a = b فقط إذا كان لـ a و b نفس الإشارة، وهو ما لا ينطبق هنا. في هذه الحالة ، تعني المعادلة أن a = -b ، لذا يجب أن تكون المعادلة كالتالي:      

5-92=-(4-92){\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)}

والذي، بإضافة 9 / 2 على كلا الجانبين ، يختزل بشكل صحيح إلى 5 = 5.  

مثال آخر يوضح خطورة أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة يتضمن الهوية الأساسية التالية [ 9 ]

كوس2⁡x=1-الخطيئة2⁡x{\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}

وهذا صحيح كنتيجة لنظرية فيثاغورس . ثم، بأخذ الجذر التربيعي،

كوس⁡x=1-الخطيئة2⁡x{\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}

بتقييم هذا عندما x  = π ، نحصل على أن 

-1=1-0{\displaystyle -1={\sqrt {1-0}}}

أو

-1=1{\displaystyle -1=1}

وهذا غير صحيح.

يكمن الخطأ في كل من هذه الأمثلة أساسًا في حقيقة أن أي معادلة من الشكل

x2=أ2{\displaystyle x^{2}=a^{2}}

أينأ≠0{\displaystyle a\neq 0}، له حلان:

x=±أ{\displaystyle x=\pm a}

ومن الضروري التحقق من أيٍّ من هذه الحلول مناسب للمشكلة المطروحة. [ 10 ] في المغالطة المذكورة أعلاه، يكون الجذر التربيعي الذي سمح باستنتاج المعادلة الثانية من الأولى صحيحًا فقط عندما يكون جيب تمام الزاوية س موجبًا. وعلى وجه الخصوص، عندما تُساوي س π ، تصبح المعادلة الثانية غير صالحة. 

الجذور التربيعية للأعداد السالبة

غالباً ما تكون البراهين غير الصالحة التي تستخدم القوى والجذور من النوع التالي:

1=1=(-1)(-1)=-1-1=أنا⋅أنا=-1.{\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.}

المغالطة هي أن القاعدةxy=xy{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}لا يكون صالحًا بشكل عام إلا إذا كان واحد على الأقل مما يلي صحيحًا:x{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}[ 11 ] غير سالبة (عند التعامل مع الأعداد الحقيقية)، وهو ليس الحال هنا.

أو بدلاً من ذلك، يتم إخفاء الجذور الوهمية على النحو التالي:

أنا=-1=(-1)24=((-1)2)14=114=1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}=\left(-1\right)^{\frac {2}{4}}=\left(\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1}

يكمن الخطأ هنا في الاستخدام غير الصحيح للدوال متعددة القيم.(-1)12{\displaystyle (-1)^{\frac {1}{2}}}له قيمتانأنا{\displaystyle i}و-أنا{\displaystyle -i}دون اختيار مسبق للفرع، بينما-1{\displaystyle {\sqrt {-1}}}يشير فقط إلى القيمة الرئيسيةأنا{\displaystyle i}[ 12 ] وبالمثل ،114{\displaystyle 1^{\frac {1}{4}}}له أربع قيم مختلفة1{\displaystyle 1}،أنا{\displaystyle i}،-1{\displaystyle -1}، و-أنا{\displaystyle -i}، منها فقطأنا{\displaystyle i}يساوي الطرف الأيسر من المعادلة الأولى.

الأسس المركبة

عند رفع عدد إلى قوة مركبة، لا تكون النتيجة محددة بشكل فريد (انظر قسم الأسس §  فشل متطابقات القوة واللوغاريتم ). إذا لم يتم التعرف على هذه الخاصية، فقد ينتج عن ذلك أخطاء مثل ما يلي:

هـ2πأنا=1(هـ2πأنا)أنا=1أناهـ-2π=1{\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i}&=1\\\left(e^{2\pi i}\right)^{i}&=1^{i}\\e^{-2\pi }&=1\\\end{aligned}}}

يكمن الخطأ هنا في أن قاعدة ضرب الأسس كما في حالة الانتقال إلى السطر الثالث لا تنطبق دون تعديل على الأسس المركبة، حتى لو تم اختيار القيمة الأساسية فقط عند رفع كلا الطرفين إلى القوة i . عند التعامل معها كدوال متعددة القيم ، ينتج كلا الطرفين نفس مجموعة القيم، وهي{هـ2πن|ن∈Z}.{\displaystyle \{e^{2\pi n}|n\in \mathbb {Z} \}.}

الهندسة

تنشأ العديد من المغالطات الرياضية في الهندسة من استخدام معادلة جمعية تتضمن كميات موجهة (مثل جمع متجهات على طول خط معين أو جمع زوايا موجهة في المستوى) في متطابقة صحيحة، ولكنها تحدد القيمة المطلقة لإحدى هذه الكميات فقط. ثم تُدمج هذه الكمية في المعادلة بتوجيه خاطئ، مما يؤدي إلى نتيجة غير منطقية. عادةً ما يُلمح إلى هذا التوجيه الخاطئ ضمنيًا من خلال تقديم رسم تخطيطي غير دقيق للموقف، حيث تُختار المواضع النسبية للنقاط أو الخطوط بطريقة مستحيلة في الواقع وفقًا لفرضيات الحجة، ولكنها غير بديهية.

عمومًا، يسهل كشف هذا الخطأ برسم صورة دقيقة للوضع، حيث تختلف بعض المواضع النسبية عن تلك الموجودة في الرسم التوضيحي. ولتجنب هذه الأخطاء، يجب أن يثبت أي استدلال هندسي صحيح، باستخدام جمع أو طرح المسافات أو الزوايا، أن الكميات مُدرجة بتوجيهاتها الصحيحة.

مغالطة المثلث متساوي الساقين

تزعم مغالطة المثلث متساوي الساقين، الواردة في ( ماكسويل، 1959 ، الفصل الثاني، الفقرة 1) ، أن كل مثلث متساوي الساقين ، أي أن ضلعين من أضلاعه متطابقان . كانت هذه المغالطة معروفة لدى لويس كارول ، وربما يكون هو من اكتشفها. وقد نُشرت عام 1899. [ 13 ] [ 14 ]

بفرض وجود مثلث △ABC، أثبت أن AB = AC:

  1. ارسم خطًا ينصف الزاوية ∠A.
  2. ارسم المنصف العمودي للقطعة المستقيمة BC، والذي ينصف BC عند النقطة D.
  3. لنفترض أن هذين الخطين يلتقيان عند النقطة O.
  4. ارسم الخط OR عموديًا على AB، والخط OQ عموديًا على AC.
  5. ارسم الخطين OB و OC.
  6. بواسطة AAS ، △RAO ≅ △QAO (∠ORA = ∠OQA = 90°؛ ∠RAO = ∠QAO؛ AO = AO (ضلع مشترك)).
  7. بواسطة RHS ، [ ملاحظة 2 ] △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°؛ BO = OC (الوتر)؛ RO = OQ (الساق)).
  8. وبالتالي، AR = AQ، RB = QC، و AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

وكنتيجة لذلك، يمكن للمرء أن يثبت أن جميع المثلثات متساوية الأضلاع، من خلال إثبات أن AB = BC و AC = BC بنفس الطريقة.

يكمن الخطأ في البرهان في افتراض الرسم البياني أن النقطة O تقع داخل المثلث. في الواقع، تقع O دائمًا على الدائرة المحيطة بالمثلث ABC (باستثناء المثلثات متساوية الساقين ومتساوية الأضلاع حيث تتطابق AO وOD). علاوة على ذلك، يمكن إثبات أنه إذا كان AB أطول من AC، فإن R تقع داخل AB، بينما تقع Q خارج AC، والعكس صحيح (في الواقع، أي رسم بياني مرسوم بأدوات دقيقة كافية سيؤكد هاتين الحقيقتين). لهذا السبب، يظل AB هو AR  +  RB، لكن AC هو في الواقع AQ  −  QC؛ وبالتالي فإن الأطوال ليست بالضرورة متساوية.

البرهان بالاستقراء

توجد عدة براهين استقرائية مغلوطة يكون فيها أحد مكوناتها، إما الحالة الأساسية أو خطوة الاستقراء، خاطئًا. وبشكل بديهي، تعمل البراهين الاستقرائية على الاستدلال بأنه إذا كانت عبارة ما صحيحة في حالة معينة، فإنها صحيحة في الحالة التالية، وبالتالي، بتطبيق هذا المبدأ بشكل متكرر، يمكن إثبات صحتها في جميع الحالات. يُظهر "البرهان" التالي أن جميع الخيول لها نفس اللون . [ 15 ] [ ملاحظة 3 ]

  1. لنفترض أن أي مجموعة من N حصان جميعها من نفس اللون.
  2. إذا أزلنا حصانًا من المجموعة، فسيتبقى لدينا مجموعة من N  -  1 حصانًا من نفس اللون. وإذا أضفنا حصانًا آخر، فسيتبقى لدينا مجموعة أخرى من N حصانًا. وبناءً على افتراضنا السابق، فإن جميع الخيول في هذه المجموعة الجديدة من نفس اللون، لأنها مجموعة من N حصانًا.
  3. وهكذا، قمنا بتكوين مجموعتين من N حصانًا، جميعها من نفس اللون، مع وجود N  -  1 حصانًا مشتركًا بينهما. وبما أن هاتين المجموعتين تشتركان في بعض الخيول، فلا بد أن تكونا من نفس اللون.
  4. لذلك، بدمج جميع الخيول المستخدمة، نحصل على مجموعة من N  +  1 حصان من نفس اللون.
  5. وبالتالي، إذا كانت جميع الخيول N من نفس اللون، فإن أي N  +  1 من الخيول ستكون من نفس اللون.
  6. هذا صحيحٌ تمامًا عندما يكون N  =  1 (أي أن حصانًا واحدًا يُمثّل مجموعةً جميع خيولها من اللون نفسه). وبالتالي، بالاستقراء الرياضي، فإن N حصانًا لها اللون نفسه لأي عدد صحيح موجب N ، ومن ثمّ فإن جميع الخيول لها اللون نفسه.

يكمن الخلل في هذا البرهان في السطر الثالث. فعندما يكون N  =  1، تشترك مجموعتا الخيول في N  −  1  =  0 حصانًا، وبالتالي ليس بالضرورة أن تكون جميعها من نفس اللون، لذا فإن مجموعة N  +  1  =  2 حصانًا ليست بالضرورة جميعها من نفس اللون. ويصحّ الاستلزام "كل N حصان من نفس اللون، إذن N  +  1 حصان من نفس اللون" لأي N  >  1، ولكنه لا يصحّ عندما يكون N  =  1. الحالة الأساسية صحيحة، لكن خطوة الاستقراء تعاني من خلل جوهري.

تغيير الوحدات

عند إجراء العمليات الحسابية على وحدات العالم الحقيقي، غالبًا ما تتغير هذه الوحدات أيضًا. يُبين التحليل البُعدي كيف يمكن أن يكون هذا مفيدًا. مع ذلك، فإن إغفال هذا الأمر قد يؤدي إلى مشاكل مثل: [ 16 ]

ربع دولار = 25 سنتًا

بأخذ الجذر التربيعي للأعداد على كلا الجانبين

نصف دولار = 5 سنتات.

لكن الأضلاع ليست أرقامًا، بل هي وحدات نقدية. ولكي يكون ذلك منطقيًا، يجب أن يحتوي السطر الأول على مربعات الدولارات والسنتات، أو على جذور تربيعية للدولار والسنتات، وهذا غير منطقي.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ وينطبق نفس الخطأ أيضاً على ما يلي: 1995= 1995 =152665= 2665 =254998= 4998 =48=12{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {19}{95}}={\frac {\ 1{\cancel {9}}}{{\cancel {9}}5\ }}&={\frac {1}{5}}\\{\frac {26}{65}}={\frac {\ 2{\cancel {6}}}{{\cancel {6}}5\ }}&={\frac {2}{5}}\\{\frac {49}{98}}={\frac {\ 4{\cancel {9}}}{{\cancel {9}}8\ }}&={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}
  2. ↑ تطابق الوتر مع الساق
  3. ↑ كان "الدليل" الأصلي لجورج بوليا هو أن أي عدد من الفتيات لديهن نفس لون العيون.

مراجع

  1. ↑ ماكسويل 1959 ، ص 9 
  2. 1 2 ماكسويل 1959
  3. ↑ هيث وهيبرغ 1908 ، الفصل الثاني، القسم الأول
  4. ↑ باربو، إد (1991). "المغالطات، والعيوب، والخداع" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 22 (5). ISSN 0746-8342 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 24-10-2019 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-10-2019 . 
  5. ↑ "سؤال سهل – أفضل البراهين الزائفة؟ (مجموعة كذبة أبريل من موقع M.SE)" . موقع تبادل الأسئلة والأجوبة في الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 أكتوبر 2019 .
  6. ^ هيوزر، هارو (1989). تحليل Lehrbuch der – Teil 1 ( الطبعة السادسة). تيوبنر. ص. 51. ردمك   978-3-8351-0131-9.
  7. ↑ باربو، إد (1990). "المغالطات والعيوب والخداع رقم 19: نظرية الأحمق". مجلة الرياضيات الجامعية . 21 (3): 216-218 . doi : 10.1080/07468342.1990.11973308 .
  8. ↑ فروليشتاين، جاك (1967). متعة الرياضيات، ألعاب وألغاز ( طبعة مصورة). شركة كورير. ص 207. ISBN   0-486-20789-7.مقتطف من الصفحة 207
  9. ↑ ماكسويل 1959 ، الفصل السادس، القسم الأول.1
  10. ↑ ماكسويل 1959 ، الفصل السادس، القسم الثاني
  11. ^ ناهين، بول ج. (2010). حكاية خيالية: قصة " أنا " . مطبعة جامعة برينستون. ص. 12. رقم ISBN  978-1-4008-3029-9.مقتطف من الصفحة 12
  12. ↑ ساف، إي بي؛ سنايدر، آرثر ديفيد (18 يوليو 2013). أساسيات التحليل المركب: الهندسة والعلوم والرياضيات . هارلو، إسكس، إنجلترا: بيرسون. ISBN 978-1-292-02375-5.
  13. ↑ كارول، لويس (1899). كولينجوود، ستيوارد دوجسون (محرر). كتاب لويس كارول المصور . تي إف أنوين. الصفحات 190-191 . 
  14. ↑ ويلسون، روبن ج. (2008). لويس كارول في عالم الأرقام: حياته الرياضية المنطقية الخيالية: معاناة في ثماني نوبات (الطبعة الأمريكية الأولى ). نيويورك: دبليو دبليو نورتون. ص 169-170 . ISBN   978-0-393-06027-0. OCLC 227016411 . 
  15. ↑ بوليا، جورج (1954). الاستقراء والقياس في الرياضيات . الرياضيات والاستدلال المعقول. المجلد 1. برينستون. ص 120.  
  16. ↑ براديس، ف.م.؛ مينكوفسكي، ف.ل.؛ خارتشيفا، أ.ك. (1959). ثغرات في الاستدلال الرياضي . دار بيرغامون للنشر. ص 63.