جبر الأردن

في الجبر المجرد ، جبر جوردان هو جبر غير ترابطي (مع عنصر محايد) على حقل تحقق عملية الضرب فيه البديهيات التالية:

1. ${\displaystyle xy=yx}$( قانون التبادل )
2. ${\displaystyle (xx)(xy)=x((xx)y)}$(الهوية الأردنية ).

يُشار أيضًا إلى حاصل ضرب عنصرين x و y في جبر جوردان بالرمز x ∘ y ، وذلك لتجنب الخلط مع حاصل ضرب جبر ترابطي ذي صلة .

تُشير البديهيات ^{[ 1 ]} إلى أن جبر جوردان هو جبر تجميعي للقوى ، مما يعني أن${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$وهو مستقل عن كيفية وضعنا لهذا التعبير بين قوسين. كما أنها تشير ضمناً ^{[ 1 ]} إلى أن${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$لكل عددين صحيحين موجبين m و n . وبالتالي، يمكننا تعريف جبر جوردان بشكل مكافئ بأنه جبر تبديلي، تجميعي القوة، بحيث يكون لأي عنصر${\displaystyle x}$عمليات الضرب بالقوى${\displaystyle x^{n}}$جميع رحلات التنقل.

قدّم باسكوال جوردان ( 1933 ) جبر جوردان في محاولة لصياغة مفهوم جبر الكميات القابلة للرصد في الديناميكا الكهربائية الكمومية . وسرعان ما تبيّن أن هذا الجبر غير مفيد في هذا السياق، إلا أنه وجد منذ ذلك الحين تطبيقات عديدة في الرياضيات. ^{[ 2 ]} كان يُطلق على هذا الجبر في الأصل اسم "أنظمة الأعداد r"، ولكن أعاد تسميته أبراهام أدريان ألبرت ( 1946 ) إلى "جبر جوردان" ، وهو الذي بدأ الدراسة المنهجية لجبر جوردان العام.  

لاحظ أولاً أن الجبر الترابطي هو جبر جوردان إذا وفقط إذا كان تبادليًا.

بفرض أي جبر ترابطي A (ليس من الخاصية 2)، يمكن للمرء إنشاء جبر جوردان A ⁺ باستخدام نفس الجمع الأساسي وعملية ضرب جديدة، وهو ناتج جوردان المعرف بواسطة:

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

تُسمى هذه الجبريات الجوردانية وجبرياتها الفرعية بالجبريات الجوردانية الخاصة ، بينما تُسمى جميع الجبريات الأخرى بالجبريات الجوردانية الاستثنائية . هذا البناء مماثل لجبر لي المرتبط بـ A ، والذي يُعرَّف جداءه (قوس لي) بواسطة المُبدِّل.${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$.

تنص نظرية شيرشوف -كوهن على أن أي جبر جوردان ذي مولدين هو جبر خاص. ^{[ 3 ]} وفي سياق متصل، تنص نظرية ماكدونالد على أن أي متعددة حدود في ثلاثة متغيرات، من الدرجة الأولى في أحد المتغيرات، والتي تنعدم في كل جبر جوردان خاص، تنعدم في كل جبر جوردان. ^{[ 4 ]}

1. مجموعة المصفوفات الحقيقية أو المركبة أو الرباعية ذاتية الترافق مع عملية الضرب

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

تشكيل جبر جوردان خاص.

2. مجموعة المصفوفات المترافقة ذاتيًا من الرتبة 3×3 على الأوكتونيونات ، مع الضرب أيضًا

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

هو جبر جوردان استثنائي ذو 27 بُعدًا (وهو استثنائي لأن الأوكتونيونات فيه غير تجميعية). كان هذا أول مثال على جبر ألبرت . زمرة التشاكل الذاتي الخاصة به هي زمرة لي الاستثنائية F⁴ . ولأنه، على الأعداد المركبة، هو جبر جوردان الاستثنائي البسيط الوحيد حتى التشاكل، ^{[ 5 ]} فإنه يُشار إليه غالبًا باسم "جبر جوردان الاستثنائي". على الأعداد الحقيقية، _توجد ثلاث فئات تشاكل لجبر جوردان الاستثنائي البسيط. ^{[ 5 ]}

الاشتقاق لجبر جوردان A هو تشاكل داخلي D لـ A بحيث يكون D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ). تشكل الاشتقاقات جبر لي der ( A ). تنص متطابقة جوردان على أنه إذا كان x و y عنصرين من A ، فإن التشاكل الداخلي الذي يرسل z إلى x ( yz ) - y ( xz ) هو اشتقاق. بالتالي ، يمكن تحويل المجموع المباشر لـ A و der ( A ) إلى جبر لي، يُسمى جبر البنية لـ A ، str ( A ).

يُقدّم جبر جوردان الهرميتي H( A , σ ) مثالًا بسيطًا على ذلك. في هذه الحالة، يُعرّف أي عنصر x من A حيث σ ( x ) = −x اشتقاقًا. في العديد من الأمثلة المهمة، يكون جبر البنية لـ H( A , σ ) هو A.

تشكل جبر الاشتقاق والبنية أيضًا جزءًا من بناء تيتس للمربع السحري فرويدنتال .

يُقال إن الجبر (الذي قد يكون غير تجميعي) على الأعداد الحقيقية حقيقي شكليًا إذا حقق الخاصية التي تنص على أن مجموع n مربعًا لا يمكن أن يساوي صفرًا إلا إذا تلاشى كل مربع على حدة. في عام 1932، حاول جوردان وضع بديهيات لنظرية الكم بالقول إن جبر الكميات القابلة للرصد لأي نظام كمي يجب أن يكون جبرًا حقيقيًا شكليًا، تبديليًا ( xy = yx ) وتجميعيًا قوىً (ينطبق قانون التجميع على الضرب الذي يتضمن x فقط ، بحيث تكون قوى أي عنصر x مُعرَّفة بشكل لا لبس فيه). وقد أثبت أن أي جبر من هذا القبيل هو جبر جوردان.

ليست كل جبر جوردان حقيقيًا رسميًا، لكن جوردان وفون نيومان وويغنر (1934) صنّفوا جبر جوردان الحقيقي رسميًا في الأبعاد المحدودة، والذي يُسمى أيضًا جبر جوردان الإقليدي . يمكن كتابة كل جبر جوردان حقيقي رسميًا كمجموع مباشر لما يُسمى بالجبر البسيط ، والذي لا يُعدّ في حد ذاته مجموعًا مباشرًا بطريقة غير بديهية. في الأبعاد المحدودة، تأتي جبر جوردان البسيط الحقيقي رسميًا في أربع عائلات لانهائية، بالإضافة إلى حالة استثنائية واحدة.

• جبر جوردان للمصفوفات الحقيقية ذاتية الترافق من الرتبة n × n ، كما هو مذكور أعلاه.
• جبر جوردان للمصفوفات المعقدة ذاتية الترافق من الرتبة n × n ، كما هو مذكور أعلاه.
• جبر جوردان للمصفوفات الرباعية ذاتية الترافق من الرتبة n × n . كما سبق.
• جبر جوردان المتولد بحرية بواسطة R ⁿ مع العلاقات

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

حيث يتم تعريف الجانب الأيمن باستخدام الضرب الداخلي المعتاد على R ⁿ . ويطلق على هذا أحيانًا اسم عامل الدوران أو جبر جوردان من نوع كليفورد .

• جبر جوردان للمصفوفات الثمانية المترافقة ذاتيًا 3×3، كما هو مذكور أعلاه (جبر جوردان استثنائي يسمى جبر ألبرت ).

من بين هذه الاحتمالات، يبدو حتى الآن أن الطبيعة تستخدم فقط المصفوفات المركبة من الرتبة n × n كجبر للكميات القابلة للرصد. ومع ذلك، تلعب عوامل الدوران دورًا في النسبية الخاصة ، وترتبط جميع جبر جوردان الحقيقية رسميًا بالهندسة الإسقاطية .

إذا كان e عنصرًا متساوي القوة في جبر جوردان A ( حيث e ²  = e ) و R هي عملية الضرب في e ، فإن 

R (2 R − 1)( R − 1) = 0,

_{إذن ،} القيم الذاتية الوحيدة لـ R هي 0، 1/2، 1. إذا كان جبر جوردان A محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية لا تساوي 2، فهذا يعني أنه مجموع مباشر للفضاءات الجزئية A  = A₀ ( e ) ⊕ A₁ _/₂ ( e ) ⊕ A₁ ₍ e ) للفضاءات الذاتية الثلاثة. وقد تناول جوردان وفون نيومان وويغنر (1934) هذا التفكيك لأول مرة لجبر جوردان الحقيقي كليًا. ثم درسه ألبرت (1947) بشكل عام وأطلق عليه اسم تفكيك بيرس لـ A بالنسبة للعنصر المتطابق e . ^{[ 6 ]}      

• الجبر الفرويدنتال
• نظام الأردن الثلاثي
• حذاء جوردان
• مشروع كانتور-كوشر-تيتس الإنشائي
• صنف سكورتزا

• ألبرت، أ. أدريان (1946)، "حول جبر جوردان للتحويلات الخطية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 59 (3): 524-555 ، doi : 10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1990270 ، MR 0016759   
• ألبرت، أ. أدريان (1947)، "نظرية هيكلية لجبر جوردان"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 48 (3): 546-567 ، doi : 10.2307/1969128 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1969128 ، MR 0021546   
• بايز، جون سي. (2002). "الأوكتونيونات، 3: الهندسة الأوكتونيونية الإسقاطية" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات . Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2): 145–205 . doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . MR 1886087. S2CID 586512 .  . نسخة HTML عبر الإنترنت .
• تشو، تش. (2012)، هياكل جوردان في الهندسة والتحليل ، سلسلة كامبريدج في الرياضيات، المجلد  190، رقم ISBN 978-1-107-01617-0
• فارو، ج.؛ كوراني، أ. (1994)، التحليل على المخاريط المتناظرة ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 0198534779
• هانش أولسن، هـ؛ Størmer، E. (1984)، الجبر المشغل الأردني ، دراسات ودراسات في الرياضيات، المجلد.  21، بيتمان، ISBN 0273086197
• جاكوبسون، ناثان (2008) [1968]، بنية وتمثيلات جبر جوردان ، منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد  39، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 9780821831793، MR 0251099 
• جوردان، باسكوال (1933)، “Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik”، Nachr. أكاد. ويس. غوتنغن. الرياضيات. فيز. كوالالمبور. ط ، 41 : 209- 217
• جوردان، ب.؛ فون نيومان، ج .؛ ويغنر، إ. (1934)، "حول تعميم جبري للصيغة الميكانيكية الكمومية"، حوليات الرياضيات ، 35 (1): 29-64 ، doi : 10.2307/1968117 ، JSTOR 1968117 
• كاك، فيكتور ج (1977)، "تصنيف الجبر الفائق البسيط من نوع لي ذي التدرج Z والجبر الفائق البسيط من نوع جوردان"، مجلة الاتصالات في الجبر ، 5 (13): 1375-1400 ، doi : 10.1080/00927877708822224 ، ISSN 0092-7872 ، MR 0498755  
• مكريمون، كيفن (1966)، "نظرية عامة لحلقات جوردان"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 56 (4): 1072-1079 ، Bibcode : 1966PNAS...56.1072M ، doi : 10.1073/pnas.56.4.1072 ، JSTOR 57792 ، MR 0202783 ، PMC 220000 ، PMID 16591377 ، Zbl 0139.25502     
• مكريمون، كيفن (2004)، لمحة عن جبر جوردان ، سلسلة Universitext، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، doi : 10.1007/b97489 ، ISBN 978-0-387-95447-9, السيد 2014924 , زبل 1044.17001 , خطأ فادح  
• إيشيرو ساتيك (1980)، البنى الجبرية للمجالات المتناظرة ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-08271-4. مراجعة
• شيفر، ريتشارد د. (1996)، مقدمة في الجبر غير الترابطي ، منشورات كوريير دوفر، رقم ISBN 978-0-486-68813-8، Zbl 0145.25601 
• زيفلاكوف، كا؛ سلينكو، صباحا؛ شيستاكوف، IP. شيرشوف، منظمة العفو الدولية (1982) [1978]. الحلقات التي تكاد تكون ترابطية . الصحافة الأكاديمية . رقم ISBN 0-12-779850-1. السيد 0518614 . زبل 0487.17001 .  
• سلينكو، أ.م. (2001) [1994]، "جبر الأردن" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• سبرينغر، توني أ. (1998) [1973]، جبر جوردان والمجموعات الجبرية ، كلاسيكيات في الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-3-642-61970-0 ، ISBN 978-3-540-63632-8، MR 1490836 ، Zbl 1024.17018  
• سبرينغر، توني أ.؛ فيلدكامب، فرديناند د. (2000) [1963]، الأوكتونيونات، وجبر جوردان، والمجموعات الاستثنائية ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-3-662-12622-6 ، ISBN 978-3-540-66337-9MR 1763974​ 
• أوبماير، هـ. (1985)، مشعبات باناخ المتناظرة وجبر جوردان C* ، دراسات الرياضيات في شمال هولندا، المجلد  104، ISBN 0444876510
• أوبماير، هـ. (1987)، جبر جوردان في التحليل، ونظرية المؤثرات، وميكانيكا الكم ، سلسلة مؤتمرات CBMS الإقليمية في الرياضيات، المجلد  67، الجمعية الأمريكية للرياضيات، ISBN 082180717X

• كنوس، ماكس-ألبرت ؛ ميركورجيف، ألكسندر ؛ روست، ماركوس ؛ تيغنول، جان-بيير (1998)، كتاب الالتفافات ، منشورات كولكيوم، المجلد  44، مع مقدمة بقلم ج. تيتس، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 0-8218-0904-0Zbl 0955.16001​ 

• الجبر الأردني في بلانيت ماث
• جبر جوردان-باناش وجبر جوردان-لي في بلانيت ماث