الجبر غير الترابطي

الجبر غير الترابطي ^{[ 1 ]} (أو الجبر التوزيعي ) هو جبر على حقل لا يُفترض فيه أن تكون عملية الضرب الثنائي ترابطية . أي أن البنية الجبرية A هي جبر غير ترابطي على حقل K إذا كانت فضاءً متجهيًا على K ومزودة بعملية ضرب ثنائي خطي من الرتبة K ، A × A → A ، والتي قد تكون ترابطية أو غير ترابطية. تشمل الأمثلة جبر لي ، وجبر جوردان ، والأوكتونيونات ، والفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد المزود بعملية الضرب الاتجاهي . ولأنه لا يُفترض أن تكون عملية الضرب ترابطية، فمن الضروري استخدام الأقواس للإشارة إلى ترتيب عمليات الضرب. على سبيل المثال، قد تُعطي التعبيرات ( ab )( cd )، و( a ( bc )) d، و a ( b ( cd )) إجابات مختلفة.

مع أن استخدام مصطلح "غير تجميعي" هنا يعني عدم افتراض التجميعية، إلا أنه لا يعني استبعادها. بعبارة أخرى، "غير تجميعي" يعني "ليس بالضرورة تجميعيًا"، تمامًا كما أن "غير تبديلي" يعني "ليس بالضرورة تبديليًا" بالنسبة للحلقات غير التبديلية .

تكون الجبر أحادية أو وحدوية إذا كان لها عنصر محايد e بحيث يكون ex = x = xe لكل x في الجبر. على سبيل المثال، الأوكتونيونات أحادية، لكن جبر لي ليس كذلك أبدًا.

يمكن دراسة بنية الجبر غير الترابطي لـ A من خلال ربطها بجبر ترابطي آخر، وهو جبر جزئي من الجبر الكامل للتشاكلات الداخلية من الرتبة K لـ A كفضاء متجهي من الرتبة K. ومن هذه الجبر جبر الاشتقاق وجبر التغليف (الترابطي) ، الذي يُعدّ بمعنى ما "أصغر جبر ترابطي يحتوي على A ".

بشكل أعم، يتناول بعض المؤلفين مفهوم الجبر غير الترابطي على حلقة تبديلية R : وهو وحدة نمطية R مزودة بعملية ضرب ثنائي خطي R. ^{[ 2 ]} إذا كان هيكل ما يلتزم بجميع بديهيات الحلقة باستثناء الترابطية (على سبيل المثال، أي جبر R )، فإنه يكون بطبيعة الحال $\mathbb {Z}$ الجبر، لذلك يشير بعض المؤلفين إلى الجبر غير الترابطي $\mathbb {Z}$ الجبر - كـالحلقات غير الترابطية s.

الجبر الذي يحقق المتطابقات

تُعدّ البنى الحلقية التي تحتوي على عمليتين ثنائيتين فقط، دون أي قيود أخرى، فئة واسعة، وهي فئة عامة جدًا بحيث يصعب دراستها. ولهذا السبب، فإنّ أشهر أنواع الجبر غير الترابطي تُحقق متطابقات ، أو خصائص، تُبسّط عملية الضرب إلى حدٍّ ما. وتشمل هذه الخصائص ما يلي.

الخصائص المعتادة

لنفترض أن $x$ و $y$ و $z$ تمثل عناصر اختيارية من الجبر $A$ على الحقل $K.$ ولنفترض أن القوى إلى عدد صحيح موجب (غير صفري) تُعرَّف بشكل متكرر بواسطة $x 1 ≝ x$ و إما $x n +1 ≝ x n x$ ^{[ 3 ]} (القوى اليمنى) أو $x n +1 ≝ xx n$ ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} (القوى اليسرى) حسب المؤلفين.

الوحدة : يوجد عنصر $e$ بحيث يكون $ex = x = xe$ ؛ في هذه الحالة يمكننا تعريف $x 0 ≝ e$ .
التجميعية : $(xy) z = x (yz)$ .
خاصية التبديل : $xy = yx$ .
مضاد التبادل : ^{[ 6 ]} $xy = - yx$ .
هوية جاكوبي : ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ أو $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0$ اعتمادًا على المؤلفين، ولكن هذه متكافئة بالنسبة للجبر المضاد للتبديل، وجبر لي هو جبر مضاد للتبديل يخضع لهوية جاكوبي.
هوية جوردان : ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} $(x2y) x = x2 (yx)$ أو $(xy$ $)$ $x2$ $=$ $x$ $($ $yx2$ $)$ اعتمادًا على المؤلفين، ولكن هذه متكافئة بالنسبة للجبر التبادلي، $وجبر$ $جوردان$ $هو$ جبر $تبادلي$ يخضع لهوية جوردان $.$
البديل : ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} $(xx) y = x (xy)$ (البديل الأيسر) و $(yx) x = y (xx)$ (البديل الأيمن).
مرن : ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} $(xy) x = x (yx)$ .
التجميعية من الرتبة n مع n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ⁿ لجميع الأعداد الصحيحة k بحيث 0 < k < n .
- التجميع من الدرجة الثالثة: $x 2 x = xx 2$ .
- خاصية التجميع للقوة الرابعة: $x 3 x = x 2 x 2 = xx 3$ (قارن مع خاصية التبديل للقوة الرابعة أدناه).
التجميعية الأسية : ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 3 ]} الجبر الفرعي الناتج عن أي عنصر هو تجميعي، أي تجميعي من الدرجة $n$ لجميع $n \geq 2$ .
القوة n التبديلية مع n ≥ 2 : x ^n−k x ^k = x ^k x ^n−k لجميع الأعداد الصحيحة k بحيث 0 < k < n .
- خاصية التبديل للقوة الثالثة: $x 2 x = xx 2$ .
- خاصية التبديل للقوة الرابعة: $x 3 x = xx 3$ (قارن مع خاصية التجميع للقوة الرابعة أعلاه).
التبديل الأسي: الجبر الفرعي الناتج عن أي عنصر هو تبديلي، أي $أن$ التبديل الأسي لجميع $n \geq 2$ .
العنصر الصفري ذو الدليل $n \geq 2$ : ناتج ضرب أي $n$ عنصر، في أي ارتباط، يتلاشى، ولكن ليس لبعض $n -1$ عنصر: $x 1 x 2 \dots x n = 0$ ويوجد $n -1$ عنصر بحيث $y 1 y 2 \dots y n -1 \neq 0$ لارتباط معين.
Nil of index $n \geq 2$ : power associative and $x n = 0$ and there exist an element $y$ so that $y n -1 \neq 0$ .

العلاقات بين الخصائص

بالنسبة لـ $K$ من أي خاصية :

الترابط يعني البديل .
أي اثنتين من الخصائص الثلاث - البديل الأيسر ، والبديل الأيمن ، والمرونة - تستلزمان الخاصية الثالثة.
- وبالتالي، فإن البديل يعني المرونة .
يشير البديل إلى الهوية الأردنية . ^{[ 17 ]}^{[ أ ]}
التبادلية تعني المرونة .
خاصية عدم التبادل تعني المرونة .
البديل يعني قوة الارتباط . ^{[ أ ]}
المرونة تعني الترابط من الدرجة الثالثة .
خاصية التجميع من الدرجة الثانية وخاصية التبديل من الدرجة الثانية صحيحتان دائماً.
القوة الثالثة التجميعية والقوة الثالثة التبديلية متكافئتان.
خاصية التجميع من الرتبة $n$ تستلزم خاصية التبديل من الرتبة $n$ .
عدم وجود فهرس 2 يعني خاصية مضادة للتبديل .
عدم وجود أي شيء في المؤشر 2 يعني هوية الأردن .
العنصر الصفري ذو المؤشر 3 يعني هوية جاكوبي .
إن العنصر ذو الدلالة $n$ يعني العنصر ذو الدلالة $N$ حيث $2 \leq N \leq n$ .
القيمتان "Unital" و "nil" من الفهرس $n$ غير متوافقتين.

إذا كان $K \neq GF(2)$ أو $dim(A) \leq 3$ :

إن الهوية الأردنية والتبادلية معًا تشيران إلى قوة ترابطية . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

إذا كان $الحرف (K) \neq 2$ :

البديل الصحيح يستلزم قوة ترابطية . ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}
- وبالمثل، فإن البديل الأيسر يعني ارتباط القوة .
الهوية الموحدة والهوية الأردنية معًا تشير إلى المرونة . ^{[ 25 ]}
الهوية الأردنية والمرونة معًا تشيران إلى ارتباط القوة . ^{[ 26 ]}
خاصية التبديل وخاصية عدم التبديل معًا تعنيان أن العدد عديم القوة ذو الدليل 2 .
خاصية التبادل العكسي تعني عدم وجود عنصر في الدليل 2 .
الوحدة والمضادة للتبديل غير متوافقتين.

إذا كان $الحرف (K) \neq 3$ :

هوية يونيتال وهوية جاكوبي غير متوافقة.

إذا كان $الحرف (K) \notin {2,3,5$ }:

إن خاصية التبديل و $x 4 = x 2 x 2$ (إحدى المتطابقتين اللتين تحددان خاصية التجميع من الدرجة الرابعة ) تستلزمان معًا خاصية التجميع من الدرجة الرابعة . ^{[ 27 ]}

إذا كانت $قيمة الحرف (K) تساوي 0$ :

إن خاصية التجميع من الدرجة الثالثة و $x 4 = x 2 x 2$ (إحدى المتطابقتين اللتين تحددان خاصية التجميع من الدرجة الرابعة ) تستلزمان معًا خاصية التجميع من الدرجة الرابعة . ^{[ 28 ]}

إذا كان $الحرف (K) = 2$ :

الخاصية التبادلية والخاصية المضادة للتبادل متكافئتان.

مساعد

الدالة الترابطية على A هي K - الخريطة متعددة الخطية $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$ مقدم من

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

.

يقيس هذا المقياس درجة عدم الترابط بين $A$ ويمكن استخدامها للتعبير بسهولة عن بعض الهويات المحتملة التي تحققها A.

لنفترض أن $x$ و $y$ و $z$ تمثل عناصر عشوائية من الجبر.

التجميعية: $[x, y, z] = 0$ .
البديل: [ x , x , y ] = 0 (البديل الأيسر) و [ y , x , x ] = 0 (البديل الأيمن).
- وهذا يعني أن تبديل أي حدين يغير الإشارة: $[x, y, z] = -[x, z, y] = -[z, y, x] = -[y, x, z]$ ؛ والعكس صحيح فقط إذا كان $char(K) \neq 2$ .
مرن: [ x , y , x ] = 0 .
- وهذا يعني أن تبديل الحدود المتطرفة يغير الإشارة: $[x, y, z] = -[z, y, x]$ ؛ والعكس صحيح فقط إذا كان $char(K) \neq 2$ .
هوية الأردن: ^{[ 29 ]} $[x 2, y, x] = 0$ أو $[x, y, x 2] = 0$ اعتمادًا على المؤلفين.
التجميع من الدرجة الثالثة: $[x, x, x] = 0$ .

النواة هي مجموعة العناصر التي ترتبط بجميع العناصر الأخرى: ^[³⁰^] أي العنصر $n$ في المجموعة A بحيث

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}

.

النواة هي حلقة فرعية ترابطية من A.

مركز

مركز المجموعة A هو مجموعة العناصر التي تتبادل وترتبط بكل شيء في A ، أي تقاطع

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

مع النواة. اتضح أنه بالنسبة لعناصر C(A)، يكفي أن يكون اثنان من المجموعات $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ نكون $\{0\}$ ليكون الثالث أيضاً هو مجموعة الصفر.

أمثلة

الفضاء الإقليدي R³ ^، حيث يُعطى الضرب بالضرب الاتجاهي للمتجهات، هو مثال على جبر مضاد للتبديل وغير تجميعي. كما أن الضرب الاتجاهي يحقق متطابقة جاكوبي.
جبر لي هو جبر يحقق خاصية التبادل المضاد وهوية جاكوبي.
جبر حقول المتجهات على مشعب قابل للتفاضل (إذا كان K هو R أو الأعداد المركبة C ) أو مجموعة جبرية (لـ K العامة )؛
جبر جوردان هو جبر يحقق قانون التبادل وهوية جوردان. ^{[ 9 ]}
كل جبر ترابطي يُنتج جبر لي باستخدام المُبدِّل كقوس لي. في الواقع، يمكن بناء كل جبر لي بهذه الطريقة، أو أنه جبر فرعي من جبر لي مبني بهذه الطريقة.
كل جبر ترابطي على حقل ذي خاصية غير 2 يُنتج جبر جوردان بتعريف عملية ضرب جديدة x*y = ( xy + yx )/2. على عكس حالة جبر لي، لا يمكن بناء كل جبر جوردان بهذه الطريقة. تُسمى تلك التي يمكن بناؤها بجبر جوردان خاص .
الجبر البديل هو جبر يحقق خاصية التناوب. من أهم أمثلة الجبر البديل الأوكتونيونات (جبر على الأعداد الحقيقية)، وتعميمات الأوكتونيونات على حقول أخرى، تُسمى جبر الأوكتونيونات ، مثل الأوكتونيونات الثنائية . جميع الجبر الترابطي بديل. حتى التشاكل، فإن الجبر البديل الحقيقي الوحيد ذو الأبعاد المحدودة، جبر القسمة (انظر أدناه)، هو الأعداد الحقيقية، والمركبات، والرباعيات، والأوكتونيونات.
الجبر التجميعي القوي هو ذلك الجبر الذي يحقق متطابقة التجميع القوي. ومن الأمثلة على ذلك جميع الجبر التجميعي، وجميع الجبر البديل، وجبر جوردان على حقل غير GF(2) (انظر القسم السابق)، والسيدنيونات .

المزيد من أنواع الجبر:

الجبر المتدرج . يشمل هذا النوع معظم أنواع الجبر ذات الأهمية في الجبر متعدد الخطوط ، مثل جبر الموترات ، والجبر المتناظر ، والجبر الخارجي على فضاء متجهي معين . ويمكن تعميم الجبر المتدرج ليشمل الجبر المُصفّى .
جبر القسمة ، الذي توجد فيه معكوسات ضربية. تم تصنيف جبر القسمة البديل ذي الأبعاد المحدودة على حقل الأعداد الحقيقية. وهي: الأعداد الحقيقية (بعد واحد)، والأعداد المركبة (بعدان)، والرباعيات (أربعة أبعاد)، والأوكتونيات ( ثمانية أبعاد). الرباعيات والأوكتونيات ليست تبديلية. من بين هذه الجبر، جميعها تجميعية باستثناء الأوكتونييات.
الجبر التربيعي ، الذي يشترط أن يكون xx = re + sx ، حيث r و s عنصران في الحقل الأساسي ، و e عنصر وحدة للجبر. تشمل الأمثلة جميع أنواع الجبر البديل ذي الأبعاد المحدودة، وجبر المصفوفات الحقيقية من الرتبة 2×2. حتى التشاكل، فإن أنواع الجبر التربيعي الحقيقي البديلة الوحيدة التي لا تقبل القسمة على صفر هي الأعداد الحقيقية، والمركبات، والرباعيات، والأوكتونيات.
جبر كايلي -ديكسون (حيث K هو R )، والذي يبدأ بما يلي:
- الأعداد المركبة C (جبر تبادلي وتجميعي)؛
- الأعداد الرباعية H (جبر ترابطي)؛
- المثمنات O ( جبر بديل ) ؛
- السدينيون S ؛
- الأعداد الثلاثية T والمتتالية اللانهائية من جبر كايلي-ديكسون ( الجبر التجميعي للقوى ).
جميع الجبريات فائقة التعقيد هي جبريات R أحادية الأبعاد محدودة الأبعاد ، وبالتالي فهي تشمل جبريات كايلي-ديكسون وغيرها الكثير.
تُعتبر جبر بواسون في التكميم الهندسي . وهي تحمل عمليتي ضرب، مما يحولها إلى جبر تبادلي وجبر لي بطرق مختلفة.
الجبر الوراثي هو نوع من الجبر غير الترابطي المستخدم في علم الوراثة الرياضي.
الأنظمة الثلاثية

ملكيات

هناك العديد من الخصائص التي قد تكون مألوفة من نظرية الحلقات، أو من الجبر الترابطي، والتي لا تنطبق دائمًا على الجبر غير الترابطي. على عكس الحالة الترابطي، قد تكون العناصر التي لها معكوس ضربي (ثنائي الجانب) قاسمًا للصفر أيضًا . على سبيل المثال، جميع العناصر غير الصفرية في السدينيونات لها معكوس ثنائي الجانب، ولكن بعضها أيضًا قاسم للصفر.

الجبر الحر غير الترابطي

يُعرَّف الجبر الحر غير الترابطي على مجموعة X فوق حقل K بأنه الجبر الذي يتكون أساسه من جميع أحاديات الحدود غير الترابطية، وهي نواتج شكلية منتهية لعناصر X مع الاحتفاظ بالأقواس. ويُعرَّف ناتج أحاديات الحدود u و v ببساطة على أنه ( u )( v ). ويكون الجبر أحاديًا إذا اعتبرنا الناتج الفارغ أحادي حد. ^{[ 31 ]}

أثبت كوروش أن كل جبر فرعي من جبر حر غير ترابطي هو جبر حر. ^{[ 32 ]}

الجبر المرتبط

الجبر A على الحقل K هو على وجه الخصوص فضاء متجهي K ، وبالتالي يمكن اعتبار الجبر الترابطي End _K ( A ) لتشاكل الفضاء المتجهي الخطي K لـ A. يمكننا ربط بنية الجبر على A بجبرين جزئيين من End _K ( A )، وهما جبر الاشتقاق وجبر التغليف (الترابطي) .

جبر الاشتقاق

الاشتقاق على A هو تطبيق D يتمتع بالخاصية

D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .

تشكل الاشتقاقات على A فضاءً جزئياً Der _K ( A ) في End _K ( A ). والمبدل بين اشتقاقين هو اشتقاق أيضاً، بحيث يُعطي قوس لي Der _K ( A ) بنية جبر لي . ^{[ 33 ]}

الجبر المغلف

توجد خرائط خطية L و R مرتبطة بكل عنصر a من الجبر A : ^{[ 34 ]}

L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .

هنا كل عنصر $L(a),R(a)$ يُعتبر عنصرًا من End _K ( A ). الجبر التجميعي المُغلف أو جبر الضرب لـ A هو الجبر التجميعي الفرعي لـ End _K ( A ) الناتج عن التحويلات الخطية اليسرى واليمنى. $L(a),R(a)$ [ ^{29 ]}^{[ 35 ]} مركز ثقل A هو مركز الجبر المُغلِّف في جبر التشكل الداخلي End K ( _A ) . يكون الجبر مركزيًا إذا ^كان مركز ثقله يتكون من مضاعفات K- العددية للعنصر المحايد. ^{[ 16 ]}

يمكن التعبير عن بعض الهويات الممكنة التي تحققها الجبر غير الترابطي بشكل ملائم من حيث الخرائط الخطية: ^{[ 36 ]}

تبادلي: كل L ( a ) يساوي R ( a ) المقابل له ؛
ارتباطي: أي L يتنقل مع أي R ؛
مرن: كل L ( a ) يتبادل مع R ( a ) المقابل له ؛
الأردن: كل L ( a ) يتنقل مع R ( a ² )؛
البديل: كل L ( a ) ² = L ( a ² ) وبالمثل بالنسبة لليمين.

يتم تعريف التمثيل التربيعي Q بواسطة ^{[ 37 ]}

Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\

،

أو ما يعادل ذلك،

Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .

تتناول المقالة المتعلقة بالجبر الشامل المغلف البناءَ المتعارف عليه للجبر المغلف، بالإضافة إلى نظريات من نوع PBW الخاصة به. بالنسبة لجبر لي، يتمتع هذا النوع من الجبر المغلف بخاصية شاملة، لا تنطبق عمومًا على الجبر غير الترابطي. ولعلّ أشهر مثال على ذلك هو جبر ألبرت ، وهو جبر جوردان استثنائي لا يندرج ضمن البناء المتعارف عليه للجبر المغلف لجبر جوردان.

انظر أيضاً

قائمة الجبر
الصهارة التبادلية غير الترابطية ، التي تُنتج جبرًا غير ترابطي

الاقتباسات

↑ شيفر 1995 ، الفصل 1.
↑ شيفر 1995 ، ص. 1.
1 2 ألبرت 1948 أ، ص 553.
1 2 Schafer 1995 ، ص. 30.
1 2 Schafer 1995 ، ص. 128.
1 2 Schafer 1995 ، ص. 3.
^ أوكوبو 2005 ، ص. 12.
↑ Schafer 1995 ، ص 91.
1 2 أوكوبو 2005 ، ص. 13.
↑ Schafer 1995 ، ص 5.
^ أوكوبو 2005 ، ص. 18.
↑ مكريمون 2004 ، ص 153.
↑ Schafer 1995 ، ص 28.
^ أوكوبو 2005 ، ص. 16.
^ أوكوبو 2005 ، ص. 17.
1 2 كنوس وآخرون. 1998 ، ص. 451.
↑ روزنفيلد 1997 ، ص 91.
↑ جاكوبسون 1968 ، ص 36.
↑ شيفر 1995 ، ص 92.
↑ كوكوريس 1955 ، ص 710.
↑ ألبرت 1948ب ، ص 319.
↑ ميخيف 1976 ، ص 179.
^ زيفلاكوف وآخرون. 1982 ، ص. 343.
↑ Schafer 1995 ، ص 148.
^ بريمنر، موراكامي وشستاكوف 2013 ، ص. 18.
^ بريمنر، موراكامي وشستاكوف 2013 ، ص 18-19، الحقيقة 6.
^ ألبرت 1948 أ ، ص. 554، ليما 4.
^ ألبرت 1948 أ ، ص. 554، ليما 3.
1 2 Schafer 1995 ، ص. 14.
↑ مكريمون 2004 ، ص 56.
↑ روين 2008 ، ص 321.
^ كوروش 1947 ، ص 237 – 262.
↑ شيفر 1995 ، ص 4.
^ أوكوبو 2005 ، ص. 24.
↑ ألبرت 2003 ، ص 113.
↑ مكريمون 2004 ، ص 57.
↑ كوتشر 1999 ، ص 57.

ملحوظات

1 2 ويترتب على ذلك من نظرية آرتين .

مراجع

ألبرت، أ. أدريان (2003) [1939]. بنية الجبر . منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 24 (طبعة منقحة من طبعة 1961 المنقحة). نيويورك: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901 .
ألبرت، أ. أدريان ( 1948 أ ). "الحلقات التجميعية الأسية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 64 : 552-593 . doi : 10.2307/1990399 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1990399. MR 0027750. Zbl 0033.15402 .
ألبرت، أ. أدريان (1948ب). "حول الجبر البديل الأيمن". حوليات الرياضيات . 50 : 318-328 . doi : 10.2307/1969457 . JSTOR 1969457 .
بريمنر، موراي؛ موراكامي، لوسيا؛ شيستاكوف، إيفان (2013) [2006]. "الفصل 86: الجبر غير الترابطي" (ملف PDF) . في هوغبن، ليزلي (محرر). دليل الجبر الخطي ( الطبعة الثانية). مطبعة CRC . ISBN 978-1-498-78560-0.
هيرستين، إن. إن .، محرر. (2011) [1965]. بعض جوانب نظرية الحلقات: محاضرات ألقيت في مدرسة صيفية تابعة للمركز الرياضي الصيفي الدولي (CIME) عُقدت في فارينا (كومو)، إيطاليا، في الفترة من 23 إلى 31 أغسطس 1965. سلسلة مدارس CIME الصيفية. المجلد 37 (طبعة مُعاد طباعتها ). دار نشر سبرينغر . ISBN 3-6421-1036-3.
جاكوبسون، ناثان (1968). بنية وتمثيلات جبر جوردان . منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 39. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-821-84640-7MR 0251099 .
كنوس، ماكس-ألبرت ؛ ميركورجيف، ألكسندر ؛ روست، ماركوس ؛ تيغنول، جان-بيير (1998). كتاب الالتفافات . منشورات كولكيوم. المجلد 44. مع مقدمة بقلم ج. تيتس . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001 .
كوتشر، ماكس (1999). كريج، ألويس؛ والشر، سيباستيان (محرران). ملاحظات مينيسوتا حول جبر جوردان وتطبيقاته . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1710. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-66360-6. Zbl 1072.17513 .
كوكوريس، لويس أ. (1955). "حلقات التجميع الأسي ذات الخاصية اثنين" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 6 (5). الجمعية الرياضية الأمريكية : 705-710 . doi : 10.2307/2032920 .
كوروش، أ. ج. (1947). " الجبر غير الترابطي والضرب الحر للجبر". مات. سبورنيك . 20 (62). MR 0020986. Zbl 0041.16803 .
مكريمون، كيفن (2004). لمحة عن جبر جوردان . سلسلة Universitext. برلين، نيويورك: Springer-Verlag . doi : 10.1007/b97489 . ISBN 978-0-387-95447-9. السيد 2014924 . زبل 1044.17001 . خطأ .
ميخيف، آي إم (1976). "العدمية اليمنى في الحلقات البديلة اليمنى". المجلة الرياضية السيبيرية . 17 (1): 178-180 . doi : 10.1007/BF00969304 .
أوكوبو، سوسومو (2005) [1995]. مقدمة في الأوكتونيونات وغيرها من الجبر غير الترابطي في الفيزياء . سلسلة محاضرات مونترول التذكارية في الفيزياء الرياضية. المجلد 2. مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511524479 . ISBN 0-521-01792-0. Zbl 0841.17001 .
روزنفيلد، بوريس (1997). هندسة زمر لي . الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 393. دوردريخت: دار كلوير للنشر الأكاديمي. ISBN 0-7923-4390-5. Zbl 0867.53002 .
روان، لويس هالي (2008). الجبر المتقدم: منظور غير تبادلي . دراسات عليا في الرياضيات. الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 0-8218-8408-5.
شيفر، ريتشارد د. (1995) [1966]. مقدمة في الجبر غير الترابطي . دوفر. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
زيفلاكوف، كونستانتين أ.؛ سلينكو، أركادي م.؛ شيستاكوف، إيفان ب.؛ شيرشوف، أناتولي إ. (1982) [1978]. الحلقات شبه الترابطية . ترجمة: سميث، هاري ف. ISBN 0-12-779850-1.

[FOOTNOTESchafer1995Chapter_1-1] شيفر 1995 ، الفصل 1.

[FOOTNOTESchafer19951-2] شيفر 1995 ، ص. 1.

[FOOTNOTEAlbert1948a553-3] 1 2 ألبرت 1948 أ، ص 553.

[FOOTNOTESchafer199530-4] 1 2 Schafer 1995 ، ص. 30.

[FOOTNOTESchafer1995128-5] 1 2 Schafer 1995 ، ص. 128.

[FOOTNOTESchafer19953-6] 1 2 Schafer 1995 ، ص. 3.

[FOOTNOTEOkubo200512-7] أوكوبو 2005 ، ص. 12.

[FOOTNOTESchafer199591-8] Schafer 1995 ، ص 91.

[FOOTNOTEOkubo200513-9] 1 2 أوكوبو 2005 ، ص. 13.

[FOOTNOTESchafer19955-10] Schafer 1995 ، ص 5.

[FOOTNOTEOkubo200518-11] أوكوبو 2005 ، ص. 18.

[FOOTNOTEMcCrimmon2004153-12] مكريمون 2004 ، ص 153.

[FOOTNOTESchafer199528-13] Schafer 1995 ، ص 28.

[FOOTNOTEOkubo200516-14] أوكوبو 2005 ، ص. 16.

[FOOTNOTEOkubo200517-15] أوكوبو 2005 ، ص. 17.

[FOOTNOTEKnusMerkurjevRostTignol1998451-16] 1 2 كنوس وآخرون. 1998 ، ص. 451.

[FOOTNOTERosenfeld199791-17] روزنفيلد 1997 ، ص 91.

[FOOTNOTEJacobson196836-19] جاكوبسون 1968 ، ص 36.

[FOOTNOTESchafer199592-20] شيفر 1995 ، ص 92.

[FOOTNOTEKokoris1955710-21] كوكوريس 1955 ، ص 710.

[FOOTNOTEAlbert1948b319-22] ألبرت 1948ب ، ص 319.

[FOOTNOTEMikheev1976179-23] ميخيف 1976 ، ص 179.

[FOOTNOTEZhevlakovSlin'koShestakovShirshov1982343-24] زيفلاكوف وآخرون. 1982 ، ص. 343.

[FOOTNOTESchafer1995148-25] Schafer 1995 ، ص 148.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318-26] بريمنر، موراكامي وشستاكوف 2013 ، ص. 18.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318–19fact_6-27] بريمنر، موراكامي وشستاكوف 2013 ، ص 18-19، الحقيقة 6.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_4-28] ألبرت 1948 أ ، ص. 554، ليما 4.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_3-29] ألبرت 1948 أ ، ص. 554، ليما 3.

[FOOTNOTESchafer199514-30] 1 2 Schafer 1995 ، ص. 14.

[FOOTNOTEMcCrimmon200456-31] مكريمون 2004 ، ص 56.

[FOOTNOTERowen2008321-32] روين 2008 ، ص 321.

[FOOTNOTEKurosh1947237–262-33] كوروش 1947 ، ص 237 – 262.

[FOOTNOTESchafer19954-34] شيفر 1995 ، ص 4.

[FOOTNOTEOkubo200524-35] أوكوبو 2005 ، ص. 24.

[FOOTNOTEAlbert2003113-36] ألبرت 2003 ، ص 113.

[FOOTNOTEMcCrimmon200457-37] مكريمون 2004 ، ص 57.

[FOOTNOTEKoecher199957-38] كوتشر 1999 ، ص 57.

[Artin-18] 1 2 ويترتب على ذلك من نظرية آرتين .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ أ ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗