مستويات لاندو

من بين الحلول الممكنة لـ A ، يتم استخدام تثبيت المقياس الذي قدمه ليف لانداو غالبًا للجسيمات المشحونة في مجال مغناطيسي ثابت. ^{[ 2 ]}

متى${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ثم ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}}$يُعدّ هذا حلاً محتملاً ^{[ 3 ]} في مقياس لاندو (لا ينبغي الخلط بينه وبين مقياس لاندو) .${\displaystyle R_{\xi }}$كَيّل ).

في هذا المقياس، يكون الهاميلتوني $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$ المشغل${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$يتنقل مع هذا الهاميلتوني، لأن المؤثر${\displaystyle {\hat {y}}}$غير موجود في هذا الاختيار للمقياس. وبالتالي فإن المشغل${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$يمكن استبدالها بقيمتها الذاتية${\displaystyle \hbar k_{y}}$. منذ${\displaystyle {\hat {z}}}$لا يظهر في الهاميلتوني ويظهر الزخم z فقط في الطاقة الحركية ، وهذه الحركة على طول اتجاه z هي حركة حرة.

يمكن أيضًا كتابة الهاميلتوني بشكل أبسط من خلال ملاحظة أن تردد السيكلوترون هو${\displaystyle \omega _{c}=qB/m}$، إعطاء $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$ هذا هو بالضبط الهاميلتوني للمذبذب التوافقي الكمومي ، باستثناء أن الحد الأدنى للجهد قد تم إزاحته في فضاء الإحداثيات بمقدار${\displaystyle x_{0}=\hbar k_{y}/m\omega _{c}}$.

لإيجاد الطاقات، تجدر الإشارة إلى أن تغيير جهد المذبذب التوافقي لا يؤثر على الطاقات. وبالتالي، فإن طاقات هذا النظام مطابقة لطاقات المذبذب التوافقي الكمومي القياسي ، ^{[ 4 ]}$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0.}$$ الطاقة لا تعتمد على العدد الكمي${\displaystyle k_{y}}$لذلك سيكون هناك عدد محدود من حالات الانحلال (إذا وُضع الجسيم في فضاء غير محصور، فإن حالة الانحلال هذه ستتوافق مع سلسلة متصلة من${\displaystyle p_{y}}$قيمة${\displaystyle p_{z}}$تكون الدالة متصلة إذا كان الجسيم غير مقيد في اتجاه المحور z، ومتقطعة إذا كان الجسيم مقيدًا في اتجاه المحور z أيضًا. كل مجموعة من الدوال الموجية لها نفس قيمة${\displaystyle n}$يُطلق عليه مستوى لاندو .

بالنسبة للدوال الموجية، تذكر أن${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$يتبادل مع الهاميلتوني. ثم تتحلل الدالة الموجية إلى حاصل ضرب حالات الزخم الذاتية في${\displaystyle y}$الاتجاه والحالات الذاتية للمذبذب التوافقي${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$تم تغييرها بمقدار${\displaystyle x_{0}}$في${\displaystyle x}$اتجاه: $${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$$ أين${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$و${\displaystyle \phi _{n}(x-x_{0})}$تمثل الحالة رقم n للمذبذب التوافقي الكمومي. باختصار، تتميز حالة الإلكترون بالأعداد الكمومية .${\displaystyle n}$،${\displaystyle k_{y}}$و${\displaystyle k_{z}}$.

افترض الاشتقاق أن x و y غير متناظرين. مع ذلك، وبسبب تناظر النظام، لا توجد كمية فيزيائية تميز بين هذين الإحداثيين. كان من الممكن الحصول على النتيجة نفسها بتبديل مناسب بين x و y .

يُعد المقياس المتناظر خيارًا أكثر ملاءمة، وهو ما يشير إلى الاختيار $${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$$

يمكن التعبير عن الهاميلتوني بدلالة الأطوال والطاقات عديمة الأبعاد على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$$

يمكن استعادة الوحدات الصحيحة عن طريق إدخال عوامل من${\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} }$و${\displaystyle m}$.

ضع في اعتبارك المشغلين $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

تتبع هذه المؤثرات علاقات تبادلية معينة $${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}$$

باستخدام المؤثرات المذكورة أعلاه، يمكن كتابة الهاميلتوني على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$ حيث أعدنا إدخال الوحدات مرة أخرى.

مؤشر مستوى لاندو${\displaystyle n}$هي القيمة الذاتية للمؤثر${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$.

تطبيق${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$الزيادات${\displaystyle m_{z}}$بوحدة واحدة مع الحفاظ على${\displaystyle n}$، بينما${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$زيادة التطبيق في وقت واحد${\displaystyle n}$وينخفض${\displaystyle m_{z}}$بمقدار وحدة واحدة. يوفر التشبيه بالمذبذب التوافقي الكمومي حلولاً.$${\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,}$$ أين $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ و $${\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$$

يمكن التحقق من أن الحالات المذكورة أعلاه تتوافق مع اختيار دوال موجية تتناسب مع $${\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$$ أين${\displaystyle w=x-iy}$.

وعلى وجه الخصوص، أدنى مستوى لاندو${\displaystyle n=0}$يتكون من دوال تحليلية عشوائية تضرب دالة غاوسية،${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$.

لا يمكن ملاحظة تأثيرات مستويات لاندو إلا عندما يكون متوسط ​​الطاقة الحرارية kT أصغر من فرق مستوى الطاقة .${\displaystyle kT\ll \hbar \omega _{c}}$، أي درجات حرارة منخفضة ومجالات مغناطيسية قوية.

كل مستوى من مستويات لاندو يكون متدهورًا بسبب العدد الكمي الثاني${\displaystyle k_{y}}$والتي يمكن أن تأخذ القيم $${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},}$$ أين${\displaystyle N}$هو عدد صحيح. القيم المسموح بها لـ${\displaystyle N}$وتزداد القيود المفروضة عليها بسبب شرط أن يكون مركز قوة المذبذب،${\displaystyle x_{0}}$يجب أن يكون موجوداً فعلياً داخل النظام،${\displaystyle 0\leq x_{0}<L_{x}}$وهذا يعطي النطاق التالي لـ${\displaystyle N}$، $${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$$

بالنسبة للجسيمات المشحونة${\displaystyle q=Ze}$، الحد الأعلى لـ${\displaystyle N}$يمكن كتابتها ببساطة كنسبة بين التدفقات ، $${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$ أين${\displaystyle \Phi _{0}=h/e}$هو الكم الأساسي للتدفق المغناطيسي و${\displaystyle \Phi =BA}$يمثل التدفق عبر النظام (مع مساحة${\displaystyle A=L_{x}L_{y}}$).

وبالتالي، بالنسبة للجسيمات ذات اللف المغزلي${\displaystyle S}$، العدد الأقصى${\displaystyle D}$عدد الجسيمات لكل مستوى لاندو هو $${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$ والتي بالنسبة للإلكترونات (حيث${\displaystyle Z=1}$و${\displaystyle S=1/2}$) يعطي${\displaystyle D=2\Phi /\Phi _{0}}$، حالتان متاحتان لكل كمية تدفق تخترق النظام.

ما سبق لا يعطي سوى فكرة تقريبية عن تأثيرات الهندسة ذات الحجم المحدود. وبالمعنى الدقيق، فإن استخدام الحل القياسي للمذبذب التوافقي لا يكون صالحًا إلا للأنظمة غير المحدودة في${\displaystyle x}$-اتجاه (شرائط لا نهائية). إذا كان الحجم${\displaystyle L_{x}}$بما أن المجال المغناطيسي محدود، فإن الشروط الحدية في ذلك الاتجاه تُؤدي إلى شروط تكميم غير قياسية، تشمل (من حيث المبدأ) كلا حلّي معادلة هيرميت. ولا يزال ملء هذه المستويات بالعديد من الإلكترونات مجالًا بحثيًا نشطًا ^{[ 5 ] .}

بشكل عام، تُلاحظ مستويات لاندو في الأنظمة الإلكترونية. مع زيادة المجال المغناطيسي، يمكن لعدد أكبر من الإلكترونات أن تشغل مستوى لاندو معين. يتراوح شغل أعلى مستوى لاندو من الامتلاء التام إلى الفراغ التام، مما يؤدي إلى تذبذبات في مختلف الخصائص الإلكترونية (انظر تأثير دي هاس-فان ألفين وتأثير شوبنيكوف-دي هاس ).

إذا أُخذ انقسام زيمان في الحسبان، فإن كل مستوى لاندو ينقسم إلى زوج، أحدهما للإلكترونات ذات الدوران المغزلي للأعلى والآخر للإلكترونات ذات الدوران المغزلي للأسفل. عندئذٍ، يكون شغل كل مستوى لاندو ذي الدوران المغزلي هو نسبة التدفقات.${\displaystyle D=\Phi /\Phi _{0}}$يؤثر انقسام زيمان بشكل كبير على مستويات لاندو لأن مقاييس الطاقة الخاصة بها متطابقة.${\displaystyle 2\mu _{B}B=\hbar \omega _{c}}$ومع ذلك، تظل طاقة فيرمي وطاقة الحالة الأرضية متماثلة تقريبًا في نظام يحتوي على العديد من المستويات الممتلئة، حيث تلغي أزواج مستويات الطاقة المنقسمة بعضها البعض عند جمعها.

علاوة على ذلك، افترض الاشتقاق المذكور أعلاه في مقياس لاندو وجود إلكترون محصور في${\displaystyle z}$في الاتجاه -، وهو وضع تجريبي ذو صلة - موجود في غازات الإلكترون ثنائية الأبعاد، على سبيل المثال. ومع ذلك، فإن هذا الافتراض ليس ضروريًا للنتائج. إذا كانت الإلكترونات حرة في التحرك على طول${\displaystyle z}$في الاتجاه -، تكتسب الدالة الموجية حدًا ضربيًا إضافيًا${\displaystyle \exp(ik_{z}z)}$الطاقة المقابلة لهذه الحركة الحرة،${\displaystyle (\hbar k_{z})^{2}/(2m)}$، ويضاف إلى${\displaystyle E}$تمت مناقشته. ثم يملأ هذا المصطلح الفجوة في طاقة مستويات لاندو المختلفة، مما يطمس تأثير التكميم. ومع ذلك، فإن الحركة في${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$لا يزال المستوى -، العمودي على المجال المغناطيسي، كميًا.

يحتوي كل مستوى من مستويات لاندو على مدارات متدهورة مصنفة حسب الأعداد الكمية${\displaystyle m_{z}}$في مقياس متناظر. يكون الانحلال لكل وحدة مساحة متساوياً في كل مستوى من مستويات لاندو.

المركبة z للزخم الزاوي هي $${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$$

استغلال الممتلكات${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$اخترنا الدوال الذاتية التي تُقطّر${\displaystyle {\hat {H}}}$و${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$، القيمة الذاتية لـ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle -m_{z}\hbar }$، حيث يتضح أن${\displaystyle m_{z}\geq -n}$في${\displaystyle n}$مستوى لاندو. ومع ذلك، قد يكون كبيرًا بشكل تعسفي، وهو أمر ضروري للحصول على الانحلال اللانهائي (أو الانحلال المحدود لكل وحدة مساحة) الذي يُظهره النظام.