نموذج درود

طُرح نموذج درود، أو نموذج درود-لورنتز، للتوصيل الكهربائي في المعادن عام 1900 على يد بول درود ، ثم طوّره هندريك لورنتز عام 1905. يحاول نموذج درود تفسير التوصيل الكهربائي من خلال تشتت الإلكترونات (حاملات الشحنة الكهربائية) بفعل الأيونات الأقل حركة في المعدن، والتي تعمل كعوائق أمام تدفق الإلكترونات. يُعدّ هذا النموذج تطبيقًا لنظرية الحركة الكهربائية ، حيث يفترض أن الإلكترونات في مادة صلبة، عند تعرضها للمجال الكهربائي، تتصرف كما لو كانت في آلة كرة ودبابيس . فبحر الإلكترونات المتذبذبة باستمرار، والتي ترتد مرارًا وتكرارًا عن الأيونات الموجبة الأثقل والأقل حركة، يُنتج حركة جماعية صافية في الاتجاه المعاكس للمجال الكهربائي المطبق.

ينعكس هذا، في المصطلحات الحديثة، في نموذج إلكترونات التكافؤ، حيث يتكون بحر الإلكترونات من إلكترونات التكافؤ فقط، ^{[ 1 ]} وليس من مجموعة الإلكترونات الكاملة المتاحة في المادة الصلبة، ومراكز التشتت هي الأغلفة الداخلية للإلكترونات المرتبطة بقوة بالنواة. ^{[ 2 ]} تحمل مراكز التشتت شحنة موجبة تعادل عدد تكافؤ الذرات. ^{[ 3 ]} أدى هذا التشابه، بالإضافة إلى بعض أخطاء الحساب في ورقة درود، إلى تقديم نظرية نوعية معقولة للمواد الصلبة قادرة على تقديم تنبؤات جيدة في بعض الحالات، وإعطاء نتائج خاطئة تمامًا في حالات أخرى. كلما حاول الباحثون إضفاء المزيد من الجوهر والتفصيل على طبيعة مراكز التشتت، وآليات التشتت، ومعنى طول التشتت، باءت جميع هذه المحاولات بالفشل. ^{[ 4 ]}

أطوال التشتت المحسوبة في نموذج درود هي من رتبة 10 إلى 100 مسافة بين الذرات، ولم يكن من الممكن إعطاء تفسيرات مجهرية مناسبة لها.

يُقدّم هذا النموذج تنبؤات أفضل للمعادن، لا سيما فيما يتعلق بالتوصيلية الكهربائية، ^{[ 5 ]} ويُطلق عليه أحيانًا نظرية درود للمعادن. ويعود ذلك إلى أن المعادن تُقدّم تقريبًا أفضل لنموذج الإلكترون الحر ، أي أن المعادن لا تمتلك بنى نطاقات معقدة ، وتتصرف الإلكترونات فيها كجسيمات حرة ، وفي حالة المعادن، يكون العدد الفعال للإلكترونات غير المتمركزة مساويًا تقريبًا لعدد التكافؤ. ^{[ 6 ]}

أهم نتيجتين لنموذج درود هما معادلة الحركة الإلكترونية، ${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$ وعلاقة خطية بين كثافة التيار $J$ والمجال الكهربائي $E$ ، $\mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .$

هنا ، يُمثل $t$ الزمن، و⟨ p⟩ متوسط الزخم لكل إلكترون $، وq وn وm$ و $τ$ على التوالي شحنة الإلكترون، وكثافة عدد الإلكترونات، وكتلته، ومتوسط الزمن الحر بين التصادمات الأيونية. يُعد التعبير الأخير بالغ الأهمية لأنه يُفسر، بعبارات شبه كمية، سبب صحة قانون أوم ، أحد أكثر العلاقات شيوعًا في الكهرومغناطيسية. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

تاريخ

في عام 1853، اكتشف غوستاف ويدمان ورودولف فرانز أن النسبة بين الموصلية الحرارية للمادة وموصليتها الكهربائية ثابتة، وأصبحت هذه العلاقة تُعرف بقانون ويدمان-فرانز . وفي عام 1881، ناقش لودفيج لورنز أيضًا اعتماد هذه النسبة على درجة الحرارة، وأصبح ثابت التناسب يُعرف بثابت لورنز. ^{[ 10 ]} وفي عام 1897، اكتشف جيه جيه طومسون الإلكترون . ^{[ 10 ]}

عمل الفيزيائي الألماني بول درود على مسائل متعلقة بالبصريات في أطروحته عام 1887، تحت إشراف فولدمار فويغت . وبعد عدة تجارب، حاول تفسير الخصائص البصرية والكهربائية للمواد الصلبة باستخدام معادلات الحركة في بحثه المنشور عام 1899. ^{[ 10 ]} مستلهمًا من نظرية طومسون، اقترح بول درود نموذجه المجهري للمعادن في فبراير 1900 ^{[ 11 ]}^{[ 10 ]} (نُشرت ورقة بحثية ثانية في سبتمبر ^{[ 12 ]} ). افترض نموذجًا مبسطًا للمادة الصلبة: مراكز تشتت موجبة الشحنة وغاز من الإلكترونات، مما ينتج عنه مادة صلبة متعادلة كهربائيًا، وذلك باستخدام النظرية الحركية للغازات . ^{[ 13 ]} وقد استطاع نموذجه استنتاج قانون فيدمان-فرانز. ^{[ 10 ]}

في أغسطس، قدّم درود أيضًا عمله في المؤتمر الدولي للفيزياء عام 1900 خلال المعرض العالمي في باريس. وخلال المؤتمر، دافع عن وجود الإلكترونات، وهو الأمر الذي كان لا يزال محل نقاش. ^{[ 14 ]} وبشكل مستقل عن درود، استنتج جيه جيه طومسون نموذجًا مطابقًا تقريبًا وقدّمه. ^{[ 10 ]}^{[ 15 ]}

نقد رينغانوم ومراسلات أينشتاين-درود

مباشرة بعد نشر ورقة درود، أشار ماكس رينجانوم إلى وجود مشكلة تتعلق بالحرارة النوعية وأن ذلك لا يتوافق مع قانون دولونج-بيتيت . ^{[ 10 ]}

في عام ١٩٠١، كتب ألبرت أينشتاين ، أثناء دراسته للدكتوراه، رسالةً إلى درود يشكك فيها بالأساس الإحصائي لنموذجه. لم يُعثر على الرسائل قط، ولكن جرى استخلاص جزء من محتواها من مراسلات أينشتاين مع ميليفا ماريتش . تمحور اعتراض أينشتاين الأول حول ثغرة في الميكانيكا الإحصائية للودفيج بولتزمان ، وردّ درود مدافعًا عن بولتزمان. وقُدِّم اعتراض ثانٍ، لكن محتواه مفقود. وبعد هذا الحوار، كتب أينشتاين بحثًا في الميكانيكا الإحصائية عام ١٩٠٢. ^{[ ١٦ ]}^{[ ١٧ ]}

تحسين لورنتز

درس هندريك أنطون لورنتز دور الإلكترون في نظريته عن الأثير وفي نموذج مذبذب لورنتز . في عام 1903، استخدم نموذج درود لاستنتاج قانون بلانك في حالة الطول الموجي الطويل. ^{[ 10 ]} وفي محاضرة ألقاها في برلين عام 1904، قدم نموذج درود مُحسَّنًا نشره عام 1905، ولذا يُعرف أيضًا بنموذج درود-لورنتز . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 10 ]} وقد أدخل تأثيرات المجال الكهربائي ودرجة الحرارة بطريقة متسقة. اعتبر رودولف سيليجر أن لورنتز قد حقق "في إحصاءات الإلكترون ما حققه بولتزمان وماكسويل في عصرهما من خلال توسيعهما للمعادلات الأصلية لكلاوزيوس ". ^{[ 10 ]}

كما قام لورنتز بتصحيح عامل 2 في اشتقاق درود لقانون ويدمان-فرانز، مما أدى إلى تنبؤ أقل دقة. ^{[ 10 ]}

مزيد من الانتقادات

في عام 1906، وجد ريتشارد غانز أن نموذج درود لم يكن دقيقًا بما يكفي فيما يتعلق بتجاربه على تأثير هول ، وخاصة فيما يتعلق بإشارة معامل هول. وبحلول عام 1911، نشر كارل بايديكر أن نموذج درود غير دقيق لجميع الظواهر الجلفانومغناطيسية. وفي العام نفسه، أظهر نيلز بور في أطروحته (وفقًا لنظرية بور-فان ليوين ) أن نموذج درود لا يمكنه تفسير المغناطيسية المعاكسة في المعادن. وقد دفعه هذا إلى صياغة نموذج بور للذرة. ^{[ 10 ]}

كان الإجماع في عام 1911 أيضًا على وجود مشكلة في السعة الحرارية النوعية المتوقعة من نموذج درود. إما أن التنبؤ كان خاطئًا أو أن مساهمة الإلكترونات في السعة الحرارية النوعية كانت ضئيلة. ^{[ 10 ]} في عام 1912 ، أظهر بيتر ديباي في نموذجه ديباي أن سلوك السعة الحرارية النوعية عند درجات الحرارة المنخفضة يمكن تفسيره بمساهمة الشبكة البلورية باستخدام نظرية الكم التي طُوّرت حديثًا . ^[¹⁰^]

كتب فيلهلم فين في عام 1913 أن نموذج درود بدأ يصبح مصدراً لتكهنات خاطئة. ورأى أن "مسألة التوصيل الحراري وعلاقتها بنظرية الكم لا يبدو أنها قد تطورت إلى الحد الذي يسمح بصياغة نظرية". ^{[ 10 ]}

في عام ١٩٢٤، عُقد مؤتمر سولفاي الرابع لمناقشة مشاكل نموذج درود. وفي ذلك الوقت تقريبًا، نُوقشت نظريات الانحلال. في عام ١٩٢٤، حاول أينشتاين، بالتعاون مع ساتيندرا ناث بوس ، تطبيق إحصاءات بوس-أينشتاين التي طُوّرت حديثًا على الإلكترونات في المعادن، لكنه أثبت عدم توافقها. في عام ١٩٢٥، اقترح فولفغانغ باولي مبدأ الاستبعاد للإلكترونات. وفي عام ١٩٢٦، قدّم كلٌّ من إنريكو فيرمي وبول ديراك، بشكلٍ مستقل، إحصاءات فيرمي-ديراك. وقد كان فيرمي تحديدًا مدفوعًا بإخفاقات نموذج درود. ^{[ ١٠ ]}

النموذج اللاحق

استخدم درود إحصاءات ماكسويل-بولتزمان لغاز الإلكترونات ولاستنباط النموذج، الذي كان النموذج الوحيد المتاح آنذاك. وباستبدال هذه الإحصاءات بإحصاءات فيرمي-ديراك الصحيحة، ابتكر أرنولد سومرفيلد نموذج الإلكترون الحر عام ١٩٢٧، مما حسّن التنبؤات بشكل ملحوظ. ^{[ ٢٠ ]} واتفقت نظرية سومرفيلد بدقة أكبر مع القيمة التجريبية لرقم لورنتز. ^{[ ١٠ ]} كما حلّ مسألة الحرارة النوعية. وقدّم نظريته المكثفة خلال مؤتمر كومو . ^{[ ١٠ ]}

الافتراضات

استخدم درود النظرية الحركية للغازات المطبقة على غاز الإلكترونات المتحركة على خلفية ثابتة من " الأيونات "؛ وهذا على عكس الطريقة المعتادة لتطبيق نظرية الغازات كغاز متعادل مخفف بدون خلفية. وقد افترض أن كثافة عدد الإلكترونات في الغاز هي $n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},$ حيث Z هو العدد الفعال للإلكترونات غير المتمركزة لكل أيون، والذي استخدم درود له رقم التكافؤ، و A هي الكتلة الذرية لكل مول، ^{[ 13 ]} $\rho _{\text{m}}$ تمثل كثافة الكتلة (الكتلة لكل وحدة حجم) ^{[ 13 ]} للأيونات، و NA هو ثابت أفوجادرو . بافتراض _أن متوسط الحجم المتاح لكل إلكترون هو حجم كرة: ${\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.$ الكمية $r_{\text{s}}$ هو معامل يصف كثافة الإلكترونات، وغالبًا ما يكون في حدود ضعفين أو ثلاثة أضعاف نصف قطر بور ، وبالنسبة للمعادن القلوية يتراوح من 3 إلى 6، وفي بعض المركبات المعدنية قد يصل إلى 10. وتكون الكثافات في حدود 1000 ضعف كثافة الغاز الكلاسيكي النموذجي. ^{[ 21 ]}

الافتراضات الأساسية التي يقوم عليها نموذج درود هي التالية:

طبق درود النظرية الحركية للغاز المخفف، على الرغم من الكثافات العالية، وبالتالي تجاهل تفاعلات الإلكترون-الإلكترون والإلكترون-الأيون باستثناء التصادمات. ^{[ 22 ]}
يعتبر نموذج درود أن المعدن يتكون من مجموعة من الأيونات الموجبة الشحنة التي انفصل عنها عدد من "الإلكترونات الحرة". ويمكن اعتبار هذه الإلكترونات إلكترونات التكافؤ للذرات التي أصبحت غير متمركزة بفعل المجال الكهربائي للذرات الأخرى. ^{[ 21 ]}
يتجاهل نموذج درود التفاعل بعيد المدى بين الإلكترون والأيونات أو بين الإلكترونات؛ وهذا ما يسمى بتقريب الإلكترون المستقل. ^{[ 21 ]}
تتحرك الإلكترونات في خطوط مستقيمة بين تصادم وآخر؛ وهذا ما يسمى بتقريب الإلكترون الحر. ^{[ 21 ]}
تم اعتبار التفاعل الوحيد للإلكترون الحر مع بيئته بمثابة تصادمات مع النواة الأيونية غير القابلة للاختراق. ^{[ 21 ]}
يبلغ متوسط الزمن بين التصادمات المتتالية لهذا الإلكترون $τ$ ، ويتبع توزيع بواسون عديم الذاكرة . ولا تؤثر طبيعة الجسيم المتصادم مع الإلكترون على حسابات واستنتاجات نموذج درود. ^[²¹^]
بعد وقوع تصادم، يتحدد توزيع سرعة واتجاه الإلكترون بدرجة الحرارة المحلية فقط، وهو مستقل عن سرعة الإلكترون قبل التصادم. ^{[ 21 ]} ويُفترض أن الإلكترون يكون في حالة اتزان حراري مع درجة الحرارة المحلية مباشرةً بعد التصادم.

إن إزالة كل من هذه الافتراضات أو تحسينها يؤدي إلى نماذج أكثر دقة، يمكنها وصف المواد الصلبة المختلفة بدقة أكبر:

يؤدي تحسين فرضية إحصائيات ماكسويل-بولتزمان باستخدام إحصائيات فيرمي-ديراك إلى نموذج درود-سومرفيلد .
يؤدي تحسين فرضية إحصائيات ماكسويل-بولتزمان باستخدام إحصائيات بوز-أينشتاين إلى اعتبارات حول الحرارة النوعية لذرات الدوران الصحيح ^{[ 23 ]} وإلى مكثف بوز-أينشتاين .
يظل إلكترون نطاق التكافؤ في أشباه الموصلات إلكترونًا حرًا ضمن نطاق طاقة محدد (أي أن التصادمات النادرة عالية الطاقة التي تؤدي إلى تغيير النطاق هي فقط التي ستتصرف بشكل مختلف)؛ ويظل تقريب الإلكترون المستقل صالحًا بشكل أساسي (أي لا يوجد تشتت بين الإلكترونات)، حيث يتم التخلي عن فرضية تمركز أحداث التشتت (بعبارة أخرى، الإلكترون موجود ويتشتت في كل مكان). ^{[ 24 ]}

المعالجة الرياضية

مجال التيار المستمر

يفترض أبسط تحليل لنموذج درود أن المجال الكهربائي $E$ منتظم وثابت، وأن السرعة الحرارية للإلكترونات عالية بما يكفي بحيث لا تتراكم إلا كمية ضئيلة من الزخم $d p$ بين التصادمات، والتي تحدث في المتوسط كل $τ$ ثانية. ^{[ 7 ]}

عندئذٍ، سيكون الإلكترون المعزول عند الزمن $t$ قد قطع في المتوسط مسافة زمنية قدرها $τ$ منذ آخر تصادم له، وبالتالي سيكون قد تراكمت لديه كمية من الزخم. $\Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

خلال تصادمه الأخير، كان من المحتمل أن يرتد هذا الإلكترون للأمام كما لو كان للخلف، لذا يمكن تجاهل جميع المساهمات السابقة في زخم الإلكترون، مما ينتج عنه التعبير التالي: $\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$

استبدال العلاقات ${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{محاذاة}}$ ينتج عن ذلك صياغة قانون أوم المذكور أعلاه: $\mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\mathbf {E} .$

تحليل متغير مع الزمن

استجابة درود لكثافة التيار لحقل كهربائي متناوب.

يمكن أيضًا وصف الديناميكيات بإدخال قوة سحب فعّالة. عند الزمن $t = t₀ + dt،$ ستكون كمية حركة الإلكترون كما يلي $:$ $\mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)$ أين $\mathbf {f} (t)$ يمكن تفسيرها على أنها قوة عامة (مثل قوة لورنتز ) على حامل الشحنة أو بشكل أكثر تحديدًا على الإلكترون. $\mathbf {g} (t_{0})$ يمثل زخم الجسم الحامل ذي الاتجاه العشوائي بعد التصادم (أي بزخم $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$ ) وبطاقة حركية مطلقة ${\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.$

في المتوسط، جزء من $\textstyle 1-{\frac {dt}{\tau }}$ لن تتعرض نسبة من الإلكترونات لتصادم آخر، أما النسبة المتبقية التي تعرضت للتصادم فستخرج في المتوسط باتجاه عشوائي ولن تساهم في الزخم الكلي إلا بنسبة ضئيلة. $\textstyle {\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ وهو من الدرجة الثانية. ^{[ 25 ]}

مع قليل من الجبر وحذف حدود الترتيب $dt^{2}$ وينتج عن ذلك المعادلة التفاضلية العامة ${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$

أما الحد الثاني فهو في الواقع حد قوة السحب الإضافية أو حد التخميد بسبب تأثيرات درود.

مجال كهربائي ثابت

عند الزمن $t = t₀ + dt،$ سيكون متوسط زخم الإلكترون $هو$ $\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right)،$ وثم ${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} - {\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$ حيث $يرمز$ $⟨p⟩$ إلى متوسط الزخم و $q$ إلى شحنة الإلكترونات. ويمكن حل هذه المعادلة التفاضلية غير المتجانسة للحصول على الحل العام $لـ$ $\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }$ بالنسبة لـ $p (t)$ . يكون حل الحالة المستقرة ، $⁠ d / dt ⁠ ⟨ p ⟩ = 0$ ، هو $\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .$

كما سبق، قد يرتبط متوسط الزخم بمتوسط السرعة، وهذا بدوره قد يرتبط بكثافة التيار. ${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{محاذاة}}$ ويمكن إثبات أن المادة تحقق قانون أوم $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ مع موصلية تيار مستمر $σ 0$ : $\sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}$

حقل

الموصلية المعقدة للترددات المختلفة بافتراض أن $τ = 10 -5$ وأن $σ 0 = 1$ .

يمكن لنموذج درود أيضًا التنبؤ بالتيار كاستجابة لحقل كهربائي متغير مع الزمن بتردد زاوي $ω$ . الموصلية المركبة هي $\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.$

يفترض هنا ما يلي: ${\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}$ في الهندسة، يتم استبدال $i بشكل عام بـ$ $- i$ (أو $- j$ ) في جميع المعادلات، مما يعكس فرق الطور بالنسبة إلى الأصل، بدلاً من التأخير عند نقطة الملاحظة التي تنتقل في الوقت المناسب.

البرهان باستخدام معادلة الحركة ^{[ 26 ]}

منح ${\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}$ ومعادلة الحركة أعلاه ${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$ استبدال $-i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}$ منح ${\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}$ تحديد الموصلية المعقدة من: $\mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )$ لدينا: $\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$

يشير الجزء التخيلي إلى أن التيار يتأخر عن المجال الكهربائي. يحدث هذا لأن الإلكترونات تحتاج إلى زمن $τ$ تقريبًا للتسارع استجابةً لتغير في المجال الكهربائي. هنا، يُطبَّق نموذج درود على الإلكترونات؛ ويمكن تطبيقه على كلٍّ من الإلكترونات والفجوات؛ أي حاملات الشحنة الموجبة في أشباه الموصلات. تُظهر الرسومات البيانية منحنيات $σ (ω) .$

إذا كان المجال الكهربائي متغيراً بشكل جيبي بتردد $\omega$ عند تطبيق مجال كهربائي على المادة الصلبة، تتصرف الإلكترونات سالبة الشحنة كبلازما تميل إلى التحرك مسافة $x$ بعيدًا عن الخلفية موجبة الشحنة. ونتيجة لذلك، تستقطب العينة وتتراكم شحنة زائدة على سطحيها المتقابلين.

يُعبّر عن ثابت العزل الكهربائي للعينة على النحو التالي: $\varepsilon _{r}={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}$ أين $D$ الإزاحة الكهربائية و $P$ هي كثافة الاستقطاب .

تُكتب كثافة الاستقطاب على النحو التالي: $P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}$ وكثافة الاستقطاب مع كثافة الإلكترون $n هي$ $P=-nex$ بعد إجراء بعض العمليات الجبرية، يمكن التعبير عن العلاقة بين كثافة الاستقطاب والمجال الكهربائي على النحو التالي: $P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E$ دالة العزل الكهربائي للمادة الصلبة التي تعتمد على التردد هي $\varepsilon _{r}(\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}$

البرهان باستخدام معادلات ماكسويل ^{[ 27 ]}

بالنظر إلى التقريبات الخاصة بـ $\sigma (\omega )$ المذكور أعلاه

افترضنا عدم وجود مجال كهرومغناطيسي: وهذا أصغر دائمًا بمعامل v/c نظرًا لوجود حد لورنتز إضافي $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ في معادلة الحركة
افترضنا مجالًا متجانسًا مكانيًا: وهذا صحيح إذا لم يتذبذب المجال بشكل ملحوظ عبر بضعة مسارات حرة متوسطة للإلكترونات. لكن هذا ليس هو الحال عادةً: فالمسار الحر المتوسط يكون في حدود الأنجستروم، وهو ما يتوافق مع الأطوال الموجية النموذجية للأشعة السينية.

فيما يلي معادلات ماكسويل بدون مصادر (والتي يتم التعامل معها بشكل منفصل في نطاق تذبذبات البلازما )، بوحدات غاوسية : ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}$ ثم $\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)$ أو $-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E}$ وهي معادلة الموجة الكهرومغناطيسية لوسط متجانس مستمر ذي ثابت عزل كهربائي $\varepsilon (\omega )$ في شكل هيلمهولتز $-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\mathbf {E}$ حيث يكون معامل الانكسار ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}$ وسرعة الطور هي $v_{\text{p}}={\frac {c}{n(\omega )}}$ وبالتالي فإن ثابت العزل الكهربائي المركب هو $\varepsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)$ وهو ما ينطبق في هذه الحالة $\omega \tau \gg 1$ يمكن تقريبها إلى: $\varepsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.$ في وحدات النظام الدولي للوحدات $4\pi$ يتم استبدال البسط بـ $\varepsilon _{0}$ في المقام، ويُكتب ثابت العزل الكهربائي على النحو التالي: $\varepsilon _{r}$ .

عند تردد الرنين $\omega _{\rm {p}}$ ، والتي تسمى تردد البلازما ، تتغير إشارة دالة العزل الكهربائي من السالب إلى الموجب وينخفض الجزء الحقيقي من دالة العزل الكهربائي إلى الصفر. $\omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}$ يمثل تردد البلازما رنين تذبذب البلازما أو البلازمون . ويمكن استخدامه كمقياس مباشر للجذر التربيعي لكثافة إلكترونات التكافؤ في المادة الصلبة. وتتوافق القيم المرصودة بشكل معقول مع هذا التوقع النظري لعدد كبير من المواد. ^{[ 28 ]} عند ترددات أقل من تردد البلازما، تكون دالة العزل الكهربائي سالبة، ولا يستطيع المجال اختراق العينة. وينعكس الضوء ذو التردد الزاوي الأقل من تردد البلازما انعكاسًا كليًا. أما عند ترددات أعلى من تردد البلازما، فتستطيع موجات الضوء اختراق العينة، ومن الأمثلة النموذجية على ذلك المعادن القلوية التي تصبح شفافة في نطاق الأشعة فوق البنفسجية . ^{[ 29 ]}

الموصلية الحرارية للمعادن

من أبرز إنجازات نموذج درود تفسيره لقانون فيدمان-فرانز . ويعود ذلك إلى إلغاء مصادفة للأخطاء في حسابات درود الأصلية. وقد تنبأ درود بقيمة عدد لورنتز. ${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}}$ تتراوح القيم التجريبية عادةً ضمن نطاق $2-3\times 10^{-8}~\mathrm {W{\cdot }\Omega /K^{2}}$ للمعادن عند درجات حرارة تتراوح بين 0 و 100 درجة مئوية. ^{[ 30 ]}

الاشتقاق وأخطاء درود ^{[ 27 ]}

تستطيع المواد الصلبة توصيل الحرارة عبر حركة الإلكترونات والذرات والأيونات. تتميز الموصلات بكثافة عالية من الإلكترونات الحرة، بينما تفتقر العوازل إلى ذلك؛ وقد توجد الأيونات في كليهما. ونظرًا للتوصيل الكهربائي والحراري الجيد في المعادن، والتوصيل الكهربائي والحراري الضعيف في العوازل، فإن نقطة البداية الطبيعية لتقدير التوصيل الحراري هي حساب مساهمة إلكترونات التوصيل.

كثافة التيار الحراري هي التدفق لكل وحدة زمنية للطاقة الحرارية عبر وحدة مساحة عمودية على اتجاه التدفق. وهي تتناسب طردياً مع تدرج درجة الحرارة. $\mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T$ أين $\kappa$ هي الموصلية الحرارية. في سلك أحادي البعد، تعتمد طاقة الإلكترونات على درجة الحرارة المحلية. $\varepsilon [T(x)]$ إذا تخيلنا تدرجًا حراريًا تنخفض فيه درجة الحرارة في الاتجاه الموجب لمحور السينات، فإن متوسط سرعة الإلكترون يساوي صفرًا (ولكن ليس متوسط سرعته). ستصل الإلكترونات إلى الموقع $x$ من الجانب ذي الطاقة الأعلى بطاقات مختلفة. $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ بينما سيأتي أولئك القادمون من الجانب ذي الطاقة المنخفضة بطاقاتهم $\varepsilon [T(x+v\tau )]$ . هنا، $v$ هي متوسط سرعة الإلكترونات و $\tau$ هو متوسط الوقت منذ آخر تصادم.

صافي تدفق الطاقة الحرارية عند الموقع $x$ هو الفرق بين ما يمر من اليسار إلى اليمين وما يمر من اليمين إلى اليسار: $\mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}$ يُفسر العامل 1/2 حقيقة أن احتمالية تحرك الإلكترونات في كلا الاتجاهين متساوية. يساهم نصفها فقط في التدفق عند النقطة $x$ .

عندما يكون متوسط المسار الحر $\ell =v\tau$ صغيرة، الكمية ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ يمكن تقريبها بمشتقة بالنسبة إلى $x$ . وهذا يعطي $\mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)$ بما أن الإلكترون يتحرك في $x$ ، $y$ ، و $z$ الاتجاهات، متوسط مربع السرعة في $x$ الاتجاه هو $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ لدينا أيضًا $n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}$ ، أين $c_{v}$ هي السعة الحرارية النوعية للمادة.

وبجمع كل هذا معًا، فإن كثافة تيار الطاقة الحرارية هي $\mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T$ وهذا يحدد الموصلية الحرارية: $\kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}$ $(يتجاهل هذا الاشتقاق اعتماد السرعة v$ على درجة الحرارة، وبالتالي اعتمادها على الموضع . ولن يؤدي ذلك إلى خطأ كبير إلا إذا تغيرت درجة الحرارة بسرعة على مسافة قابلة للمقارنة بمتوسط المسار الحر.)

تقسيم الموصلية الحرارية $\kappa$ عن طريق التوصيل الكهربائي $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ يلغي وقت التشتت $\tau$ ويعطي ${\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}$

في هذه المرحلة من الحساب، وضع درود افتراضين تبين الآن أنهما خاطئان. أولاً، استخدم النتيجة الكلاسيكية للسعة الحرارية النوعية لإلكترونات التوصيل: $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ وهذا يبالغ في تقدير المساهمة الإلكترونية في السعة الحرارية النوعية بمعامل يقارب 100. ثانيًا، استخدم درود متوسط مربع السرعة الكلاسيكي للإلكترونات. ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$ يُقلل هذا من تقدير طاقة الإلكترونات بمعامل يقارب 100. ويؤدي إلغاء هذين الخطأين إلى تقريب جيد لموصلية المعادن. إضافةً إلى هذين التقديرين، ارتكب درود خطأً إحصائيًا أيضًا، حيث بالغ في تقدير متوسط الزمن بين التصادمات بمعامل 2. وقد أعطى هذا التداخل بين الأخطاء قيمةً لرقم لورنتز قريبةً بشكل ملحوظ من القيم التجريبية.

القيمة الصحيحة لرقم لورنز كما تم تقديرها من نموذج درود هي ^{[ 31 ]} ${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.$

الطاقة الحرارية

عند تطبيق تدرج حراري عام على قضيب رفيع، فإنه يُولّد تيارًا من الإلكترونات باتجاه الجانب ذي درجة الحرارة المنخفضة. وبما أن التجارب تُجرى في دائرة مفتوحة، فإن هذا التيار سيتراكم على ذلك الجانب مُولّدًا مجالًا كهربائيًا يُعاكس التيار الكهربائي. يُسمى هذا المجال بالمجال الكهروحراري. $\mathbf {E} =Q\nabla T$ وتُسمى $Q$ بالقوة الحرارية. وتُعتبر تقديرات درود أقل بمئة ضعف نظراً لاعتمادها المباشر على الحرارة النوعية. $Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}\mathrm {~V/K}$ حيث تكون القدرة الكهروحرارية النموذجية عند درجة حرارة الغرفة أصغر بمئة مرة، من رتبة الميكروفولت. ^{[ 32 ]}

البرهان مع أخطاء درود ^{[ 33 ]}

من النموذج البسيط أحادي البعد $v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)$ التوسع إلى 3 درجات من الحرية $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)$ متوسط السرعة الناتج عن المجال الكهربائي (بالنظر إلى معادلة الحركة أعلاه عند التوازن) $\mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}$ للحصول على تيار صفري كلي $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ لدينا $Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}$ وكما هو معتاد في حالة درود $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}~\mathrm {V/K}$ حيث تكون القدرة الكهروحرارية النموذجية عند درجة حرارة الغرفة أصغر بمئة مرة من رتبة الميكروفولت. ^{[ 32 ]}

دقة النموذج

يُقدّم نموذج درود تفسيراً ممتازاً للتوصيلية الكهربائية المستمرة والمتناوبة في المعادن، وتأثير هول ، والمقاومة المغناطيسية ^{[ 25 ]} في المعادن عند درجات حرارة قريبة من درجة حرارة الغرفة. كما يُفسّر النموذج جزئياً قانون فيدمان-فرانز لعام 1853.

تم اشتقاق صيغة درود بشكل محدود، بافتراض أن حاملات الشحنة تُشكل غازًا مثاليًا كلاسيكيًا . عند الأخذ بنظرية الكم، يمكن توسيع نموذج درود ليشمل نموذج الإلكترون الحر ، حيث تتبع حاملات الشحنة توزيع فيرمي-ديراك . وتكون الموصلية المتوقعة مماثلة لتلك في نموذج درود لأنها لا تعتمد على شكل توزيع سرعة الإلكترونات. مع ذلك، يُبالغ نموذج درود بشكل كبير في تقدير السعة الحرارية الإلكترونية للمعادن. في الواقع، تتمتع المعادن والعوازل بسعة حرارية متقاربة عند درجة حرارة الغرفة. كما أن نموذج درود لا يُفسر التشتت في اتجاه الموصلية الكهربائية مقابل التردد فوق 2 تيراهيرتز تقريبًا. ^[³⁴^]^[³⁵^]

يمكن تطبيق النموذج أيضًا على حاملات الشحنة الموجبة (الثقوب).

استجابة درود في المواد الحقيقية

يُطلق على السلوك المميز لمعدن درود في المجال الزمني أو الترددي، أي الاسترخاء الأسي بثابت زمني $τ$ أو اعتماد $σ (ω)$ على التردد المذكور أعلاه، اسم استجابة درود. في المعادن التقليدية البسيطة الحقيقية (مثل الصوديوم أو الفضة أو الذهب في درجة حرارة الغرفة)، لا يُلاحظ هذا السلوك تجريبيًا، لأن التردد المميز $τ⁻¹$ $يقع$ في نطاق تردد الأشعة تحت الحمراء، حيث تلعب خصائص أخرى غير مُدرجة في نموذج درود (مثل بنية النطاق ) دورًا هامًا. ^{[ 34 ]} ولكن بالنسبة لبعض المواد الأخرى ذات الخصائص المعدنية، وُجد أن الموصلية تعتمد على التردد وتتبع بدقة تنبؤ درود البسيط لـ $σ (ω)$ . هذه مواد يكون فيها معدل الاسترخاء $τ⁻¹$ عند ترددات أقل بكثير. ^{[ 34 ]} ينطبق هذا على بعض البلورات الأحادية لأشباه الموصلات المُطعّمة ، ^{[ 36 ]} وغازات الإلكترونات ثنائية الأبعاد عالية الحركة ، ^{[ 37 ]} والمعادن $ذات$ الفرميونات الثقيلة . ^{[ 38 ]}

انظر أيضاً

مراجع

↑ سبرينغر، محرر (2009). "الإلكترونات الحرة في المواد الصلبة. الصفحات 135-158 . doi : 10.1007/978-3-540-93804-0_6 . ISBN 978-3-540-93803-3.
↑ آش كروفت وميرمين 1976 ، ص. 3، ملاحظة الصفحة 6
↑ آش كروفت وميرمين 1976 ، ص. 3، ملاحظة الصفحة 4 والشكل 1.1
↑ آش كروفت وميرمين 1976 ، ص. 3، ملاحظة الصفحة 7 والشكل 1.2
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 8، الجدول 1.2
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص. 5 جدول 1.1
1 2 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 6-7
↑ إدوارد م. بورسيل (1965). الكهرباء والمغناطيسية . ماكجرو هيل. الصفحات 117-122 . ISBN 978-0-07-004908-6.
↑ ديفيد ج . غريفيث (1999). مقدمة في الديناميكا الكهربائية . برنتيس هول. ص 289. ISBN 978-0-13-805326-0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 هوديسون، ليليان؛ براون، إرنست؛ تايخمان، يورغن؛ ويرت، سبنسر (1992-10-01). الخروج من متاهة الكريستال: فصول من تاريخ فيزياء الحالة الصلبة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-534532-2.
^ درود ، بول (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle" . أنالين دير فيزيك . 306 (3): 566–613 . بيب كود : 1900AnP...306..566D . دوى : 10.1002/andp.19003060312 .
^ درود ، بول (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte" . أنالين دير فيزيك . 308 (11): 369– 402. بيب كود : 1900AnP...308..369D . دوى : 10.1002/andp.19003081102 .
1 2 3 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 2-3
↑ ستالي، ريتشارد (2008). جيل أينشتاين: أصول ثورة النسبية . مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-77057-4.
^ طومسون ، جي جي (1900). "مؤشرات مرتبطة بالمواد المقدمة من خلال الأبحاث الحديثة حول مرور الكهرباء عبر الغاز". التقارير المقدمة إلى المؤتمر الدولي للياقة البدنية (باللغة الفرنسية). باريس: 138 – 151 – طريق غوتييه فيلار.
↑ هوارد، دون؛ ستاشل، جون ج. (2000). أينشتاين: سنوات التكوين، 1879-1909 . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-8176-4030-9.
↑ رين، يورغن (1997-12-01). "جدل أينشتاين مع درود وأصل الميكانيكا الإحصائية: لمحة جديدة من "رسائل الحب""" . أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 51 (4): 315–354 . doi : 10.1007/BF00518232 . hdl : 11858/00-001M-0000-002A-7399-A . ISSN 1432-0657 .
↑ لورنتز، هندريك (1905). "حركة الإلكترونات في الأجسام المعدنية 1" (ملف PDF) . الأكاديمية الملكية للفنون والعلوم ، وقائع . 7 : 438-453 – عبر الأكاديمية الملكية للفنون والعلوم.
↑ كيم، كي يونغ (24-10-2012). البلازمونيات: المبادئ والتطبيقات . BoD – كتب حسب الطلب. ISBN 978-953-51-0797-2.
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 4
1 2 3 4 5 6 7 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 2-6
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 4
^ أينشتاين (1924). “نظرية الكم للغاز المثالي أحادي الذرة”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften، Physikalisch-mathematische Klasse : 261– 267.
↑ "فيزياء الحالة الصلبة، المحاضرة 17: ديناميكيات الإلكترونات في نطاقات الطاقة" . يوتيوب .
1 2 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص. 11
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 16
1 2 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 17
↑ سي. كيتل (1953-1976). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة . وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-49024-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 18 جدول 1.5
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 18 جدول 1.6
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 25، غالبا 1
1 2 Ashcroft & Mermin 1976 ، ص. 25 خطأ في الاستشهاد: تم تعريف المرجع المسمى ":22" عدة مرات بمحتوى مختلف (انظر صفحة المساعدة ).
^ أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 24
1 2 3 م. دريسل؛ م. شيفلر (2006). “التحقق من استجابة درود”. أنالين دير فيزيك . 15 ( 7– 8): 535– 544. بيب كود : 2006AnP...518..535D . دوى : 10.1002/andp.200510198 . S2CID 14153937 .
↑ جيون، تاي-إن؛ غريشكوفسكي، د.؛ موخرجي، أ.ك.؛ مينون، ريغو (16-10-2000). "الخصائص الكهربائية للبوليبيرول الموصل باستخدام مطيافية المجال الزمني تيراهيرتز" . رسائل الفيزياء التطبيقية . 77 (16): 2452-2454 . Bibcode : 2000ApPhL..77.2452J . doi : 10.1063/1.1319188 . hdl : 11244/19868 . ISSN 0003-6951 .
↑ م. فان إكستر؛ د. غريشكوفسكي (1990). "ديناميكيات حاملات الإلكترونات والفجوات في السيليكون متوسط التشويب" (ملف PDF) . مجلة Physical Review B. 41 ( 17): 12140–12149 . Bibcode : 1990PhRvB..4112140V . doi : 10.1103/PhysRevB.41.12140 . hdl : 11244/19898 . PMID 9993669 .
↑ بي جيه بيرك؛ آي بي سبيلمان؛ جيه بي أيزنشتاين؛ إل إن فايفر؛ كيه دبليو ويست (2000). "موصلية التردد العالي لغاز الإلكترونات ثنائي الأبعاد عالي الحركة" (ملف PDF) . رسائل الفيزياء التطبيقية . 76 (6): 745-747 . Bibcode : 2000ApPhL..76..745B . doi : 10.1063/1.125881 .
↑ م. شيفلر؛ م. دريسل؛ م. جوردان؛ هـ. أدريان (2005). "استرخاء درود البطيء للغاية للإلكترونات المترابطة". مجلة نيتشر . 438 (7071): 1135-1137 . Bibcode : 2005Natur.438.1135S . doi : 10.1038/nature04232 . PMID 16372004. S2CID 4391917 .

عام

أشكرُفت، نيل ؛ ميرمين، ن. ديفيد (1976). فيزياء الحالة الصلبة . نيويورك: هولت، راينهارت ووينستون. ISBN 978-0-03-083993-1.
كيتل، تشارلز (2005). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثامنة). جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-41526-X.
زيمان، ج.م. (1972). مبادئ نظرية المواد الصلبة ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-29733-8.

روابط خارجية

هيني، مايكل ب. (2003). "التوصيلية الكهربائية والمقاومة الكهربائية" . في: ويبستر، جون ج. (محرر). القياس الكهربائي، ومعالجة الإشارات، والشاشات . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 9780203009406.

[1] سبرينغر، محرر (2009). "الإلكترونات الحرة في المواد الصلبة. الصفحات 135-158 . doi : 10.1007/978-3-540-93804-0_6 . ISBN 978-3-540-93803-3.

[:11-2] آش كروفت وميرمين 1976 ، ص. 3، ملاحظة الصفحة 6

[:9-3] آش كروفت وميرمين 1976 ، ص. 3، ملاحظة الصفحة 4 والشكل 1.1

[:10-4] آش كروفت وميرمين 1976 ، ص. 3، ملاحظة الصفحة 7 والشكل 1.2

[:12-5] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 8، الجدول 1.2

[:13-6] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص. 5 جدول 1.1

[:0-7] 1 2 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 6-7

[8] إدوارد م. بورسيل (1965). الكهرباء والمغناطيسية . ماكجرو هيل. الصفحات 117-122 . ISBN 978-0-07-004908-6.

[9] ديفيد ج . غريفيث (1999). مقدمة في الديناميكا الكهربائية . برنتيس هول. ص 289. ISBN 978-0-13-805326-0.

[:3-10] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 هوديسون، ليليان؛ براون، إرنست؛ تايخمان، يورغن؛ ويرت، سبنسر (1992-10-01). الخروج من متاهة الكريستال: فصول من تاريخ فيزياء الحالة الصلبة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-534532-2.

[11] درود ، بول (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle" . أنالين دير فيزيك . 306 (3): 566–613 . بيب كود : 1900AnP...306..566D . دوى : 10.1002/andp.19003060312 .

[12] درود ، بول (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte" . أنالين دير فيزيك . 308 (11): 369– 402. بيب كود : 1900AnP...308..369D . دوى : 10.1002/andp.19003081102 .

[:8-13] 1 2 3 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 2-3

[14] ستالي، ريتشارد (2008). جيل أينشتاين: أصول ثورة النسبية . مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-77057-4.

[15] طومسون ، جي جي (1900). "مؤشرات مرتبطة بالمواد المقدمة من خلال الأبحاث الحديثة حول مرور الكهرباء عبر الغاز". التقارير المقدمة إلى المؤتمر الدولي للياقة البدنية (باللغة الفرنسية). باريس: 138 – 151 – طريق غوتييه فيلار.

[16] هوارد، دون؛ ستاشل، جون ج. (2000). أينشتاين: سنوات التكوين، 1879-1909 . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-8176-4030-9.

[17] رين، يورغن (1997-12-01). "جدل أينشتاين مع درود وأصل الميكانيكا الإحصائية: لمحة جديدة من "رسائل الحب""" . أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 51 (4): 315–354 . doi : 10.1007/BF00518232 . hdl : 11858/00-001M-0000-002A-7399-A . ISSN 1432-0657 .

[18] لورنتز، هندريك (1905). "حركة الإلكترونات في الأجسام المعدنية 1" (ملف PDF) . الأكاديمية الملكية للفنون والعلوم ، وقائع . 7 : 438-453 – عبر الأكاديمية الملكية للفنون والعلوم.

[19] كيم، كي يونغ (24-10-2012). البلازمونيات: المبادئ والتطبيقات . BoD – كتب حسب الطلب. ISBN 978-953-51-0797-2.

[:15-20] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 4

[:1-21] 1 2 3 4 5 6 7 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 2-6

[:5-22] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 4

[einstein24-23] أينشتاين (1924). “نظرية الكم للغاز المثالي أحادي الذرة”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften، Physikalisch-mathematische Klasse : 261– 267.

[24] "فيزياء الحالة الصلبة، المحاضرة 17: ديناميكيات الإلكترونات في نطاقات الطاقة" . يوتيوب .

[:2-25] 1 2 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص. 11

[:16-26] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 16

[:17-27] 1 2 أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 17

[Kittel2-28] سي. كيتل (1953-1976). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة . وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-49024-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[:18-29] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 18 جدول 1.5

[:19-30] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 18 جدول 1.6

[:20-31] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 25، غالبا 1

[:22-32] 1 2 Ashcroft & Mermin 1976 ، ص. 25 خطأ في الاستشهاد: تم تعريف المرجع المسمى ":22" عدة مرات بمحتوى مختلف (انظر صفحة المساعدة ).

[:21-33] أشكروفت وميرمين 1976 ، ص 24

[Dressel-34] 1 2 3 م. دريسل؛ م. شيفلر (2006). “التحقق من استجابة درود”. أنالين دير فيزيك . 15 ( 7– 8): 535– 544. بيب كود : 2006AnP...518..535D . دوى : 10.1002/andp.200510198 . S2CID 14153937 .

[35] جيون، تاي-إن؛ غريشكوفسكي، د.؛ موخرجي، أ.ك.؛ مينون، ريغو (16-10-2000). "الخصائص الكهربائية للبوليبيرول الموصل باستخدام مطيافية المجال الزمني تيراهيرتز" . رسائل الفيزياء التطبيقية . 77 (16): 2452-2454 . Bibcode : 2000ApPhL..77.2452J . doi : 10.1063/1.1319188 . hdl : 11244/19868 . ISSN 0003-6951 .

[36] م. فان إكستر؛ د. غريشكوفسكي (1990). "ديناميكيات حاملات الإلكترونات والفجوات في السيليكون متوسط التشويب" (ملف PDF) . مجلة Physical Review B. 41 ( 17): 12140–12149 . Bibcode : 1990PhRvB..4112140V . doi : 10.1103/PhysRevB.41.12140 . hdl : 11244/19898 . PMID 9993669 .

[37] بي جيه بيرك؛ آي بي سبيلمان؛ جيه بي أيزنشتاين؛ إل إن فايفر؛ كيه دبليو ويست (2000). "موصلية التردد العالي لغاز الإلكترونات ثنائي الأبعاد عالي الحركة" (ملف PDF) . رسائل الفيزياء التطبيقية . 76 (6): 745-747 . Bibcode : 2000ApPhL..76..745B . doi : 10.1063/1.125881 .

[38] م. شيفلر؛ م. دريسل؛ م. جوردان؛ هـ. أدريان (2005). "استرخاء درود البطيء للغاية للإلكترونات المترابطة". مجلة نيتشر . 438 (7071): 1135-1137 . Bibcode : 2005Natur.438.1135S . doi : 10.1038/nature04232 . PMID 16372004. S2CID 4391917 .

[ 1 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ ١٦ ]

[ ١٧ ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 28 ]

[

[

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗