تكامل ريمان

في التحليل الحقيقي ، يُعدّ تكامل ريمان تعريفًا دقيقًا لتكامل دالة على فترة . يُعرّف التكامل بتقريب المنطقة أسفل منحنى الدالة بمجاميع محدودة لمساحات مستطيلات رأسية. بالنسبة للدوال المناسبة، بما في ذلك كل دالة متصلة على فترة مغلقة ومحدودة، تقترب مجاميع ريمان هذه من قيمة حدية واحدة كلما أصبحت تقسيمات الفترة أدق. تُعرّف هذه القيمة الحدية التكامل، ويمكن استخدام مجاميع ريمان القريبة من هذه القيمة الحدية كتقريبات عددية .

قدم برنارد ريمان التكامل في عمل قدمه إلى أعضاء هيئة التدريس في جامعة غوتنغن في عام 1854 ونُشر في عام 1868. ^{[ 1 ]} وهو التكامل الأكثر شيوعًا في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي ، على الرغم من أنه في التحليل المتقدم غالبًا ما يتم استبداله بمفاهيم أكثر عمومية مثل تكامل ليبيغ .

ملخص

لنفترض منحنىً على رسم بياني يقع فوق المحور $السيني$ ، ويبدأ عند $x = a$ وينتهي عند $x = b$ . المساحة تحت هذا المنحنى، من $a$ إلى $b$ ، هي ما نريد إيجاده. يمكن وصف هذه المساحة بأنها مجموعة جميع النقاط $(x, y)$ على الرسم البياني التي تحقق القواعد التالية: $a \leq x \leq b$ (حيث تقع إحداثيات $x$ بين $a$ و $b$ ) و $0 < y < f (x)$ (حيث تقع إحداثيات $y$ بين 0 وارتفاع المنحنى $f (x)$ ). رياضياً، يمكن التعبير عن هذه المنطقة باستخدام ترميز بناء المجموعة كما يلي: $S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.$

لقياس هذه المساحة، نستخدم تكامل ريمان ، والذي يُكتب على النحو التالي: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

هذا الترميز يعني "تكامل $f (x)$ من $a$ إلى $b$ "، وهو يمثل المساحة الدقيقة أسفل المنحنى $f (x)$ وفوق المحور $x$ ، بين $x = a$ و $x = b$ .

تعتمد فكرة تكامل ريمان على تقسيم المساحة إلى أشكال صغيرة وبسيطة (مثل المستطيلات)، وجمع مساحاتها، ثم تصغير المستطيلات تدريجيًا للحصول على تقدير أدق. في النهاية، عندما تصبح المستطيلات متناهية الصغر، يعطي المجموع المساحة الدقيقة، وهو ما يمثله التكامل.

إذا انخفض المنحنى أسفل المحور $السيني$ ، فإن التكامل يعطي مساحةً مُوَجَّهة . وهذا يعني أن التكامل يجمع الجزء الواقع أعلى المحور $السيني$ كقيمة موجبة ويطرح الجزء الواقع أسفل المحور $السيني$ كقيمة سالبة. لذا، فإن نتيجة التكامل هي: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو صفر، اعتمادًا على مقدار المنحنى الموجود فوق أو تحت المحور $السيني$ .

تعريف

تقسيمات الفترة

تجزئة الفترة $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ هي سلسلة منتهية من الأرقام على شكل ^[²^] . $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b$

تُسمى كل فترة $[xᵢ,$ $xᵢ + 1] فترةً جزئيةً من$ التقسيم . ويُعرَّف معيار التقسيم بأنه طول أطول فترة جزئية، أي $\max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].$

التقسيم المُعَلَّم $P (x, t)$ للفترة $[a, b]$ هو تقسيم مع اختيار نقطة عينة داخل كل فترة فرعية: أي، الأعداد $t₀$ $,$ $...$ $, tₙ₋₁$ $حيث ti \in [xi,$ $xi₊₁$ $]$ لكل $i . شبكة التقسيم المُعَلَّم$ $هي$ $نفسها$ شبكة $التقسيم$ $العادي$ .

حاجز $Q$ يقال إنه يحسن التقسيم $P$ إذا كانت الفترات في التقسيم $Q$ جميعها فترات فرعية من الفترات الموجودة في التقسيم $P$ بحيث تكون النقاط التي تحدد التقسيم في $Q$ بما في ذلك تلك الخاصة بـ $P$ وربما غيرها مما يجعلها أدق. يتم تعريف تحسين التقسيم الموسوم بحيث يكون كل وسم $t_{i}$ ل $P$ هو علامة على فاصل زمني ما في $Q$ .

يمكننا تحويل مجموعة جميع الأقسام الموسومة إلى مجموعة موجهة بالقول إن أحد الأقسام الموسومة أكبر من أو يساوي قسمًا آخر إذا كان الأول تحسينًا للقسم الأخير.

مجموع ريمان

متتالية من مجاميع ريمان على تجزئة منتظمة لفترة زمنية. الرقم الموجود في الأعلى هو المساحة الكلية للمستطيلات، والتي تتقارب إلى تكامل الدالة.

لا يشترط أن يكون التقسيم منتظمًا كما هو موضح هنا. يعمل التقريب طالما أن عرض كل قسم فرعي يؤول إلى الصفر.

لتكن $f$ دالة حقيقية القيمة معرفة على الفترة $[a, b]$ . مجموع ريمان للدالة $f$ بالنسبة إلى تجزئة مُعَلَّمة $P (x, t)$ للفترة $[a, b]$ هو ^{[ 3 ].} $\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).$

كل حد في المجموع هو حاصل ضرب قيمة الدالة عند نقطة معينة في طول فترة. بالتالي، يمثل كل حد المساحة (المُوَجَّهة) لمستطيل ارتفاعه $f (ti)$ وعرضه $x($ $i$ $+1)$ $-$ $x($ $i$ $)$ . مجموع ريمان هو المساحة (المُوَجَّهة) لجميع المستطيلات. ^{[ 4 ]}

المفاهيم ذات الصلة الوثيقة هي مجموع داربو السفلي والعلوي . وهي تشبه مجموع ريمان، ولكن يتم استبدال العلامات بالحد الأدنى والحد الأعلى (على التوالي) للدالة $f$ على كل فترة فرعية: ${\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}$

إذا كانت الدالة $f$ متصلة، فإن مجموعي داربو السفلي والعلوي لتقسيم غير مُوسَم يساويان مجموع ريمان لهذا التقسيم، حيث تُختار الوسوم لتكون الحد الأدنى أو الحد الأقصى (على التوالي) للدالة $f$ على كل فترة جزئية. (عندما تكون $الدالة f$ غير متصلة على فترة جزئية، قد لا يوجد وسم يحقق الحد الأدنى أو الحد الأقصى على تلك الفترة الجزئية). تكامل داربو ، المشابه لتكامل ريمان ولكنه يعتمد على مجموع داربو، يُكافئ تكامل ريمان.

تكامل ريمان

بصورة عامة، يُعرَّف تكامل ريمان بأنه نهاية مجاميع ريمان لدالة ما عندما تصبح التقسيمات أدق. إذا كانت هذه النهاية موجودة، يُقال إن الدالة قابلة للتكامل (أو تحديدًا قابلة للتكامل وفقًا لريمان ). ويمكن جعل مجموع ريمان قريبًا قدر الإمكان من تكامل ريمان عن طريق جعل التقسيم دقيقًا بما فيه الكفاية. ^{[ 5 ]}

من الشروط المهمة أن تصغر شبكة التقسيمات تدريجيًا حتى تصل إلى الصفر. وإلا، فلن نحصل على تقريب جيد للدالة على فترات جزئية معينة. في الواقع، هذا يكفي لتعريف التكامل. تحديدًا، نقول إن تكامل ريمان للدالة $f$ موجود ويساوي $s$ إذا تحقق الشرط التالي:

لكل $ε > 0$ ، يوجد $δ > 0$ بحيث أنه لأي تجزئة مُوسومة $x 0 ، ...، x n$ و $t 0 ، ...، t n - 1$ التي تكون شبكتها أقل من $δ$ ، لدينا $\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$

لسوء الحظ، يصعب استخدام هذا التعريف. لذا، من المفيد وضع تعريف مكافئ لتكامل ريمان يكون أسهل في التعامل معه. سنضع هذا التعريف الآن، مع تقديم برهان التكافؤ لاحقًا. ينص تعريفنا الجديد على أن تكامل ريمان للدالة $f$ موجود ويساوي $s$ إذا تحقق الشرط التالي:

لكل $ε > 0$ ، يوجد تقسيم مُوسَم $y 0, ..., y m$ و $r 0, ..., r m - 1$ بحيث أنه لأي تقسيم مُوسَم $x 0, ..., x n$ و $t 0, ..., t n - 1$ والذي يُعد تحسينًا لـ $y 0, ..., y m$ و $r 0, ..., r m - 1$ ، لدينا $\left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .$

يعني هذان الأمران أنه في النهاية، يتقارب مجموع ريمان للدالة $f$ بالنسبة لأي تجزئة مع $s$ . وبما أن هذا صحيح بغض النظر عن مدى تقارب المجاميع المطلوب، نقول إن مجاميع ريمان تتقارب مع $s$ . هذه التعريفات هي في الواقع حالة خاصة من مفهوم أعمّ، وهو الشبكة .

كما ذكرنا سابقًا، هذان التعريفان متكافئان. بعبارة أخرى، يتحقق $الشرط s$ في التعريف الأول إذا وفقط إذا $تحقق$ في التعريف الثاني. لإثبات أن التعريف الأول يستلزم الثاني، نبدأ بقيمة $ε$ ، ثم نختار قيمة $δ$ تحقق الشرط. نختار أي تقسيم مُوسَم تكون شبكته أقل من $δ$ . يقع مجموع ريمان الخاص به ضمن نطاق $ε$ من $s$ ، وأي تحسين لهذا التقسيم ستكون شبكته أيضًا أقل من $δ$ ، وبالتالي سيكون مجموع ريمان للتحسين أيضًا ضمن نطاق $ε$ من $s$ .

لإثبات أن التعريف الثاني يستلزم التعريف الأول، من الأسهل استخدام تكامل داربو . أولًا، نُثبت أن التعريف الثاني مُكافئ لتعريف تكامل داربو؛ وللمزيد من التفاصيل، يُرجى مراجعة $مقالة$ تكامل داربو . الآن، سنُثبت أن دالة قابلة للتكامل وفقًا لداربو تُحقق التعريف الأول. لنُثبت قيمة $ε$ ، ولنختر تجزئة $y₀, ..., yᵐ$ بحيث يكون مجموع داربو الأدنى والأعلى بالنسبة لهذه التجزئة ضمن نطاق $ε /2$ من قيمة $s$ لتكامل داربو. $r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.$

إذا كانت $r = 0$ ، فإن $f$ هي الدالة الصفرية، وهي قابلة للتكامل وفقًا لداربو وريمان ولها صفر صحيح. لذلك، سنفترض أن $r > 0.$ إذا كانت $m > 1$ ، فإننا نختار $δ$ بحيث $\delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}$

إذا كانت $m$ $= 1$ ، فإننا نختار $δ$ لتكون أقل من واحد. نختار تجزئة مُعَلَّمة $x₀ ، ...،$ $xₙ$ $و$ t₀ $،$ $... ، tₙ₋₁ بشبكة$ أصغر من $δ$ . يجب أن نُثبت أن مجموع ريمان يقع ضمن $ε$ من $s$ .

لتوضيح ذلك، اختر فترة $[xi, xi + 1] . إذا$ $كانت$ هذه الفترة محصورة ضمن فترة ما $[$ $yj,$ $yj$ $+$ $1$ $]$ $،$ فإن $m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j}$ حيث يمثل $m j$ و $M j$ على التوالي الحد الأدنى والحد الأعلى للدالة f على الفترة $[y j, y j +1]$ . لو كانت جميع الفترات تتمتع بهذه الخاصية، لكان ذلك كافيًا لإتمام البرهان، لأن كل حد في مجموع ريمان سيكون محدودًا بحد مقابل في مجاميع داربو، وقد اخترنا مجاميع داربو لتكون قريبة من $s$ . هذا هو الحال عندما $m = 1$ ، وبالتالي ينتهي البرهان في هذه الحالة.

لذلك، يمكننا افتراض أن $m > 1.$ في هذه الحالة، من الممكن ألا تكون إحدى القيمتين $[xi, xi + 1]$ موجودة في أي من القيمتين $[$ $yj, yj + 1]$ . بدلاً من ذلك، قد تمتد عبر فترتين من الفترات المحددة بواسطة $y0$ $, ...$ $,$ $ym$ $.$ $($ لا يمكنها أن تتقاطع مع ثلاث فترات لأن $δ$ يُفترض أنها أصغر من طول أي فترة منها). ويمكن تمثيل ذلك بالرموز كما يلي: $y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.$

(يمكننا أن نفترض أن جميع المتباينات صارمة لأنه بخلاف ذلك نكون في الحالة السابقة بسبب افتراضنا بشأن طول $δ$ .) يمكن أن يحدث هذا على الأكثر $m - 1$ مرة.

لمعالجة هذه الحالة، سنقدر الفرق بين مجموع ريمان ومجموع داربو عن طريق تقسيم التجزئة $x 0, ..., x n$ عند $y j + 1.$ ينقسم الحد $f (t i)(x i + 1 - x i)$ في مجموع ريمان إلى حدين: $f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).$

لنفترض، دون فقدان للعمومية ، أن $tᵢ \in [yⱼ, yⱼ + 1 ]$ . $عندئذٍ$ $m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j},$ إذن، هذا الحد محدود بالحد المقابل له في مجموع داربو لـ $y j$ . ولتحديد الحد الآخر، لاحظ أن $x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},$

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لبعض (بل أي) $t * i \in [y j + 1, x i + 1]$ ، $\left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.$

بما أن هذا يحدث على الأكثر $m - 1$ مرة، فإن المسافة بين مجموع ريمان ومجموع داربو لا تتجاوز $ε /2$ . وبالتالي، فإن المسافة بين مجموع ريمان و $s$ لا تتجاوز $ε$ .

أمثلة

يترك $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ لتكن f دالة تأخذ القيمة 1 عند كل نقطة. أي مجموع ريمان للدالة $f$ على الفترة $[0, 1]$ سيكون له القيمة 1، وبالتالي فإن تكامل ريمان للدالة $f$ على الفترة $[0, 1]$ يساوي 1.

يترك $I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R}$ لتكن دالة المؤشر للأعداد النسبية في الفترة $[0، 1]$ ؛ أي، $I_{\mathbb {Q} }$ تأخذ هذه الدالة القيمة 1 على الأعداد النسبية و0 على الأعداد غير النسبية. ولا يوجد لهذه الدالة تكامل ريمان. ولإثبات ذلك، سنوضح كيفية إنشاء تجزئات مُعَلَّمة تقترب مجاميع ريمان الخاصة بها من الصفر والواحد بشكل تعسفي.

لنبدأ بتقسيم مُعَلَّم (حيث يقع كل $tᵢ$ بين xᵢ و $xᵢⱼ$ + $1$ $)$ $،$ $ولنُحدد$ $x₀$ ، ...، xₙ و t₀، ...، tₙⱼ - 1. اختر $ε > 0. لقد$ تم $اختيار$ $قيم$ $tᵢ$ $مسبقًا ، ولا$ $يُمكننا$ $تغيير$ قيمة $f$ $عند$ هذه $النقاط$ . ولكن إذا قمنا بتقسيم التقسيم إلى أجزاء صغيرة حول كل $tᵢ$ $،$ يُمكننا تقليل تأثير $tᵢ$ $.$ بعد ذلك، باختيار العلامات الجديدة بعناية، يُمكننا جعل قيمة مجموع ريمان ضمن نطاق $ε$ $من$ الصفر أو الواحد.

خطوتنا الأولى هي تقسيم التقسيم. لدينا $n$ من المتغيرات $tᵢ$ $،$ ونريد أن يكون تأثيرها الكلي أقل من $ε$ . إذا حصرنا كل متغير منها في فترة طولها أقل من $ε / n$ ، فإن مساهمة كل متغير $tᵢ$ في مجموع ريمان ستكون على الأقل $0 \cdot ε / n$ وعلى الأكثر $1 \cdot ε / n$ . هذا يجعل المجموع الكلي على الأقل صفرًا وعلى الأكثر $ε$ . لذا، ليكن $δ$ $عددًا$ موجبًا أقل من $ε / n$ . إذا حدث أن اثنين من المتغيرات $tᵢ$ $يقعان$ ضمن نطاق $δ$ من بعضهما، نختار $قيمة δ$ أصغر. إذا حدث أن أحد المتغيرات $tᵢ$ $يقع$ ضمن نطاق $δ$ من متغير $xⱼ$ $،$ وكان $tᵢ$ لا يساوي $xⱼ$ ، نختار $قيمة δ أصغر. بما أن عدد$ $المتغيرات$ $tᵢ$ و $xⱼ$ محدود $،$ يمكننا دائمًا اختيار $قيمة$ $δ$ $صغيرة$ بما يكفي.

نضيف الآن قطعتين إلى التقسيم لكل قيمة $tᵢ$ $.$ ستكون إحدى القطعتين عند $tᵢ - δ /2 ،$ والأخرى عند $tᵢ + δ /2$ . إذا خرجت إحدى هاتين القطعتين من الفترة [0، 1]، فإننا نستبعدها. $ستكون$ $tᵢ$ $هي$ العلامة المقابلة للفترة الفرعية $\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$

إذا كانت $t i$ تقع مباشرة فوق إحدى $x j$ ، فإننا نعتبر $t i$ هي العلامة لكلا الفترتين: $\left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].$

لا يزال يتعين علينا اختيار علامات للفترات الفرعية الأخرى. سنختارها بطريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي اختيار نقطة نسبية دائمًا ، بحيث يكون مجموع ريمان أكبر ما يمكن. سيجعل هذا قيمة مجموع ريمان على الأقل $1 - ε$ . أما الطريقة الثانية فهي اختيار نقطة غير نسبية دائمًا، بحيث يكون مجموع ريمان أصغر ما يمكن. سيجعل هذا قيمة مجموع ريمان على الأكثر $ε$ .

بما أننا بدأنا من تقسيم عشوائي وانتهينا بالقرب من الصفر أو الواحد كما نشاء، فمن الخطأ القول بأننا محصورون في النهاية بالقرب من عدد ما $s$ ، لذا فإن هذه الدالة غير قابلة للتكامل وفقًا لريمان. مع ذلك، فهي قابلة للتكامل وفقًا لليبيغ . بمعنى ليبيغ، تكاملها يساوي صفرًا، لأن الدالة تساوي صفرًا في كل مكان تقريبًا . لكن هذه حقيقة تتجاوز نطاق تكامل ريمان.

وهناك أمثلة أسوأ من ذلك. $I_{\mathbb {Q} }$ تُكافئ الدالة `I_C` (أي أنها متساوية تقريبًا في كل مكان) دالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان، ولكن توجد دوال محدودة غير قابلة للتكامل وفقًا لريمان، وهي لا تُكافئ أي دالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان. على سبيل المثال، لنفترض أن $C$ هي مجموعة سميث-فولتيرا-كانتور ، ولتكن $`I_C`$ $دالة$ المؤشر الخاصة بها. بما أن $C$ ليست قابلة للقياس وفقًا لجوردان ، فإن $`I_C`$ $ليست$ قابلة للتكامل وفقًا لريمان. علاوة على ذلك، لا توجد دالة $g$ مكافئة لـ $`I_C`$ $قابلة$ للتكامل وفقًا لريمان: يجب أن تساوي $g$ ، مثل $`I_C`$ $،$ صفرًا على مجموعة كثيفة، لذا كما في المثال السابق، فإن أي مجموع ريمان لـ $g$ له تحسين يقع ضمن $ε$ من الصفر لأي عدد موجب $ε$ . ولكن إذا كان تكامل ريمان لـ $g$ موجودًا، فيجب أن يساوي تكامل ليبيغ لـ $`I_C`$ $،$ وهو $1/2$ . لذلك، فإن $g$ ليست قابلة للتكامل وفقًا لريمان.

مفاهيم مماثلة

يشيع تعريف تكامل ريمان بتكامل داربو . ويعود ذلك إلى أن تكامل داربو أبسط من الناحية التقنية، ولأن الدالة تكون قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا وفقط إذا كانت قابلة للتكامل وفقًا لداربو.

لا تستخدم بعض كتب التفاضل والتكامل التقسيمات الموسومة العامة، بل تقتصر على أنواع محددة منها. وإذا ما تم تقييد نوع التقسيم بشكل مفرط، فقد تبدو بعض الدوال غير القابلة للتكامل قابلة للتكامل.

أحد القيود الشائعة هو استخدام مجاميع ريمان "اليسرى" و"اليمنى". في مجموع ريمان الأيسر، يكون $tᵢ$ $= xᵢ لكل$ i $،$ وفي مجموع ريمان الأيمن، يكون $tᵢ$ $= xᵢ$ $+ 1$ $لكل$ $i$ $.$ لا $يُمثل$ هذا القيد وحده مشكلة: إذ يُمكننا تحسين أي تجزئة بحيث تُصبح مجموعًا أيسر أو أيمن بتقسيمها عند كل $tᵢ$ $.$ بعبارة أخرى، تُعتبر مجموعة جميع مجاميع ريمان اليسرى ومجموعة جميع مجاميع ريمان اليمنى مجموعتين نهائيتين في مجموعة جميع التجزئات المُوسومة.

ومن القيود الشائعة الأخرى استخدام التقسيمات المنتظمة لفترة زمنية. على سبيل المثال، يتكون التقسيم المنتظم رقم $n للفترة$ $[0، 1]$ من الفترات $\left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].$

مرة أخرى، هذا القيد وحده لا يفرض مشكلة، لكن التفكير المطلوب لرؤية هذه الحقيقة أصعب مما هو عليه في حالة مجموعات ريمان اليسرى واليمنى.

مع ذلك، فإن الجمع بين هذه القيود، بحيث يُستخدم فقط مجموع ريمان الأيسر أو الأيمن على فترات منتظمة التقسيم، أمرٌ محفوفٌ بالمخاطر. فإذا كانت الدالة معروفة مسبقًا بأنها قابلة للتكامل وفقًا لريمان، فإن هذه التقنية ستعطي القيمة الصحيحة للتكامل. ولكن في ظل هذه الشروط، فإن دالة المؤشر $I_{\mathbb {Q} }$ سيبدو أن الدالة قابلة للتكامل على الفترة $[0, 1]،$ حيث يساوي التكامل واحدًا: ستكون كل نقطة نهاية لكل فترة جزئية عددًا نسبيًا، لذا سيتم دائمًا حساب قيمة الدالة عند الأعداد النسبية، وبالتالي سيبدو دائمًا مساويًا للواحد. تظهر مشكلة هذا التعريف عند محاولة تقسيم التكامل إلى جزأين. ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة: $\int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.$

إذا استخدمنا التقسيمات المنتظمة ومجاميع ريمان اليسرى أو اليمنى، فإن الحدين الموجودين على اليسار يساويان صفرًا، لأن كل نقطة نهاية باستثناء 0 و1 ستكون غير نسبية، ولكن كما رأينا فإن الحد الموجود على اليمين سيساوي 1.

كما هو موضح أعلاه، يتجنب تكامل ريمان هذه المشكلة برفضه إجراء التكامل $I_{\mathbb {Q} }.$ يتم تعريف التكامل Lebesgue بطريقة تجعل جميع هذه التكاملات تساوي صفرًا.

ملكيات

الخطية

التكامل الريماني هو تحويل خطي؛ أي، إذا كانت الدالتان $f$ و $g$ قابلتين للتكامل الريماني على الفترة $[a, b]$ وكانت $α$ و $β$ ثابتتين، فإن $\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

لأن تكامل ريمان لدالة ما هو عدد، فإن هذا يجعل تكامل ريمان دالة خطية على الفضاء المتجهي للدوال القابلة للتكامل بواسطة ريمان.

قابلية التكامل

تكون الدالة المحدودة على فترة مغلقة $[a, b]$ قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا وفقط إذا كانت متصلة تقريبًا في كل مكان (مجموعة نقاط عدم الاتصال الخاصة بها لها قياس يساوي صفرًا ، بمعنى قياس ليبيغ ). هذا هونظرية ليبيغ-فيتالي (في توصيف الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان). وقد تم إثباتها بشكل مستقل من قبلجوزيبي فيتاليوهنريليبيغفي عام 1907، وتستخدم مفهومالقياس الصفري، ولكنها لا تستخدم قياس ليبيغ العام أو التكامل.

يمكن إثبات شرط التكامل بطرق مختلفة، ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} إحداها موضحة أدناه.

دليل

إن البرهان أسهل باستخدام تعريف داربوكس التكاملي للتكامل (رسميًا، شرط ريمان للتكامل) - تكون الدالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا وفقط إذا كان من الممكن جعل المجموعين العلوي والسفلي متقاربين بشكل تعسفي عن طريق اختيار تقسيم مناسب.

يمكن إثبات أحد الاتجاهات باستخدام تعريف التذبذب للاستمرارية: ^{[ 10 ]} لكل قيمة موجبة $ε$ ، ليكن $X ε$ مجموعة النقاط في الفترة $[a, b]$ التي لها تذبذب لا يقل عن $ε$ . بما أن كل نقطة تكون عندها الدالة $f$ غير مستمرة لها تذبذب موجب، والعكس صحيح، فإن مجموعة النقاط في الفترة $[a, b]$ التي تكون عندها الدالة $f$ غير مستمرة تساوي اتحاد ${X 1/ n$ } لجميع الأعداد الطبيعية $n$ .

إذا لم يكن لهذه المجموعة قياس ليبيغ يساوي صفرًا ، فبسبب خاصية الجمع المعدود للقياس، يوجد على الأقل عدد $n$ بحيث لا يكون قياس $X 1/ n$ يساوي صفرًا. وبالتالي، يوجد عدد موجب $c$ بحيث يكون الطول الإجمالي لكل مجموعة قابلة للعد من الفترات المفتوحة التي تغطي $X 1/ n$ $على الأقل c$ . وينطبق هذا بشكل خاص على كل مجموعة منتهية من هذه الفترات. ويبقى هذا صحيحًا أيضًا بالنسبة لـ $X 1/ n$ ناقص عدد منتهٍ من النقاط (إذ يمكن دائمًا تغطية عدد منتهٍ من النقاط بمجموعة منتهية من الفترات ذات طول إجمالي صغير كيفيًا).

لكل تجزئة للفترة $[a, b]$ ، نعتبر مجموعة الفترات التي تحتوي داخلها على نقاط من $X 1/ n$ . تتكون هذه الفترات من غطاء مفتوح محدود لـ $X 1/ n$ ، قد يصل إلى عدد محدود من النقاط (التي قد تقع على حواف الفترات). بالتالي، يبلغ الطول الإجمالي لهذه الفترات $c على الأقل. بما أن الدالة$ $f$ تتذبذب عند هذه النقاط بمقدار $1/ n$ على الأقل ، فإن الحد الأدنى والحد الأعلى للدالة $f$ في كل فترة من هذه الفترات يختلفان بمقدار $1/ n$ على الأقل . وبالتالي، يختلف مجموع الحدين الأعلى والأدنى للدالة $f$ بمقدار $c / n$ على الأقل . ولأن هذا ينطبق على كل تجزئة، فإن الدالة $f$ غير قابلة للتكامل وفقًا لريمان.

نبرهن الآن على الاتجاه المعاكس باستخدام المجموعات $X ε$ المعرفة أعلاه. ^{[ 11 ]} لكل $ε$ ، تكون $X ε$ متراصة ، لأنها محدودة (بـ $a$ و $b$ ) ومغلقة:

لكل سلسلة من النقاط في $Xε$ تتقارب في الفترة [a, b]، فإن $نهايتها$ $تقع أيضًا في Xε .$ وذلك لأن كل جوار لنقطة النهاية هو جوار لنقطة ما في $Xε$ $، وبالتالي$ فإن للدالة $f$ تذبذبًا لا يقل عن $ε$ عليها. ومن ثم $،$ فإن نقطة النهاية تقع في $Xε .$

لنفترض الآن أن الدالة $f$ متصلة تقريبًا في كل مكان . عندئذٍ $،$ لكل $ε$ ، يكون قياس ليبيغ للمجموعة $Xε$ $مساويًا$ للصفر . بالتالي، توجد مجموعة قابلة للعد من الفترات المفتوحة في $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ تُشكل غطاءً مفتوحًا للمجموعة $Xε$ ، بحيث يكون مجموع أطوالها صغيرًا كيفيًا. ولأن $Xε$ مجموعة متراصة ، يوجد غطاء جزئي منتهٍ - مجموعة منتهية من الفترات المفتوحة في $[$ $a$ $,$ $b$ $] ذات طول إجمالي صغير كيفيًا$ $،$ تحتوي جميعها على جميع النقاط في $Xε$ . نرمز لهذه الفترات $بـ$ ${$ $I$ $($ $ε$ $)$ $i$ }، حيث $1 \leq$ $i$ $\leq$ $k$ $، و k$ عدد طبيعي .

إن مكمل اتحاد هذه الفترات هو نفسه اتحاد لعدد محدود من الفترات، والذي نرمز إليه بـ ${J (ε) i$ } (لـ $1 \leq i \leq k - 1$ وربما لـ $i = k ، k + 1$ أيضًا).

سنبين الآن أنه لكل $ε > 0$ ، توجد مجموعتان عليا وسفلى يكون الفرق بينهما أقل من $ε$ ، ومن ثمّ نستنتج قابلية التكامل وفقًا لريمان. ولتحقيق ذلك، سننشئ تجزئة للفترة $[a, b]$ على النحو التالي:

لنرمز إلى $ε₁$ $= ε /$ $2$ $($ $b$ $-$ $a$ $)$ و $ε₂ = ε /2(M - m)$ $،$ حيث $m$ و $M$ هما الحد الأدنى والحد الأعلى للدالة f $على$ الفترة [ $a, b] .$ بما أنه يمكننا اختيار فترات ${I (ε₁) ᵢ$ } ذات طول إجمالي صغير كيفيًا، فإننا نختارها بحيث يكون طولها الإجمالي أصغر من $ε₂ .$

لكل فترة من الفترات ${J (ε1) i$ } تقاطع فارغ مع $Xε1 ، لذا فإن$ لكل نقطة فيها جوارًا بتذبذب أصغر من $ε1 .$ تتكون هذه الجوارات من غطاء مفتوح للفترة، وبما أن الفترة متراصة، فهناك غطاء جزئي محدود منها. هذا الغطاء الجزئي عبارة عن مجموعة محدودة من الفترات المفتوحة، وهي فترات جزئية من $J$ $(ε1) i ($ باستثناء تلك التي تتضمن نقطة حافة، حيث نأخذ فقط تقاطعها مع $J(ε1$ $) i$ $)$ $.$ $نأخذ$ $نقاط$ حواف الفترات الجزئية لجميع $J (ε1) i - s ، بما$ $في$ ذلك نقاط حواف الفترات نفسها، كتقسيم لنا $.$

وبالتالي، يقسم التقسيم الفترة $[أ ، ب]$ إلى نوعين من الفترات:

الفترات من النوع الأخير (وهي نفسها فترات فرعية من $J (ε1) i$ ). في كل منها، يتذبذب $f$ بمقدار أقل من $ε1$ . وبما أن الطول الإجمالي لهذه الفترات لا يتجاوز $b - a$ ، فإنها مجتمعة تساهم بما لا $يزيد$ $عن$ $ε 1 (b - a) = ε /2$ إلى الفرق بين المجموعين العلوي والسفلي للتقسيم.
الفترات ${I (ε) i$ }. يبلغ طولها الإجمالي أقل من $ε² ،$ وتتذبذب $f$ عليها بما لا يزيد عن $M - m$ . وبالتالي، فإنها مجتمعة تساهم بأقل من $ε 2 (M - m) = ε /2$ إلى الفرق بين المجموعين العلوي والسفلي للتقسيم.

إجمالاً، يكون الفرق بين المجموعين العلوي والسفلي للتقسيم أصغر من $ε$ ، كما هو مطلوب.

على وجه الخصوص، أي مجموعة قابلة للعد على الأكثر يكون قياسها في ليبيغ صفرًا، وبالتالي فإن أي دالة محدودة (على فترة مغلقة) ذات عدد محدود أو قابل للعد من نقاط الانقطاع تكون قابلة للتكامل وفقًا لريمان. وهناك معيار كافٍ آخر للتكامل وفقًا لريمان على الفترة $[a, b]$ ، ولكنه لا يتضمن مفهوم القياس، وهو وجود نهاية من اليمين (أو من اليسار) عند كل نقطة في $[a, b)$ (أو $(a, b)$ ). ^{[ 12 ]}

تكون دالة المؤشر لمجموعة محدودة قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا وفقط إذا كانت المجموعة قابلة للقياس وفقًا لمقياس جوردان . ويمكن تفسير التكامل الريماني ، من منظور نظرية القياس، على أنه التكامل بالنسبة لمقياس جوردان.

إذا كانت دالة حقيقية القيمة رتيبة على الفترة $[a, b]،$ فإنها قابلة للتكامل وفقًا لريمان، لأن مجموعة نقاط عدم استمراريتها قابلة للعد على الأكثر، وبالتالي فإن قياسها وفقًا لليبيغ يساوي صفرًا. إذا كانت دالة حقيقية القيمة على الفترة $[a, b]$ قابلة للتكامل وفقًا لريمان، فإنها قابلة للتكامل وفقًا لليبيغ أيضًا . أي أن قابلية التكامل وفقًا لريمان شرط أقوى (أي أصعب تحقيقًا) من قابلية التكامل وفقًا لليبيغ. ولا يصح العكس؛ فليست كل الدوال القابلة للتكامل وفقًا لليبيغ قابلة للتكامل وفقًا لريمان.

لا تفترض نظرية ليبيغ-فيتالي أن جميع أنواع الانقطاعات لها نفس التأثير على شرط قابلية التكامل الريماني لدالة حقيقية محدودة على الفترة $[a, b]$ . في الواقع، لا تؤثر بعض الانقطاعات إطلاقًا على قابلية التكامل الريماني للدالة، وهذا نتيجة لتصنيف انقطاعات الدالة.

إذا كانت $f n$ متتالية متقاربة بانتظام على الفترة $[a, b]$ ولها نهاية $f$ ، فإن قابلية التكامل وفقًا لريمان لجميع $f n$ تستلزم قابلية التكامل وفقًا لريمان لـ $f$ ، و $\int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.$

مع ذلك، فإن نظرية تقارب لوبيغ الرتيبة (على النهاية النقطية الرتيبة) لا تنطبق على تكاملات ريمان. لذا، في تكامل ريمان، يكون تبرير أخذ النهايات تحت علامة التكامل أكثر صعوبةً بكثير من تبريره في تكامل لوبيغ. ^{[ 13 ]}

التعميمات

من السهل توسيع تكامل ريمان ليشمل الدوال ذات القيم في الفضاء المتجهي الإقليدي $\mathbb {R} ^{n}$ لأي قيمة لـ $n$ $.$ يُعرَّف التكامل على أساس كل عنصر على حدة؛ بمعنى آخر، إذا كانت $f$ $= (f1, ..., fn)$ فإن $\int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).$

على وجه الخصوص، بما أن الأعداد المركبة هي فضاء متجهي حقيقي ، فإن هذا يسمح بتكامل الدوال ذات القيم المركبة.

يُعرَّف تكامل ريمان فقط على فترات محدودة، ولا يمتد جيدًا إلى فترات غير محدودة. وأبسط امتداد ممكن هو تعريف هذا التكامل على أنه نهاية ، أو بعبارة أخرى، على أنه تكامل غير محدود . $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

ينطوي هذا التعريف على بعض الدقائق، مثل حقيقة أنه ليس مكافئًا دائمًا لحساب القيمة الرئيسية لكوشي $\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.$

على سبيل المثال، لنفترض دالة الإشارة $f (x) = sgn(x)$ التي تساوي 0 عند $x = 0$ ، و1 عند $x > 0$ ، و-1 عند $x < 0.$ وبالتماثل، $\int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0$ دائمًا، بغض النظر عن قيمة $a$ . ولكن هناك طرق عديدة لتوسيع فترة التكامل لتشمل خط الأعداد الحقيقية، وقد تُنتج طرق أخرى نتائج مختلفة؛ بعبارة أخرى، لا توجد النهاية متعددة المتغيرات دائمًا. يمكننا حساب ${\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}$

بشكل عام، هذا التكامل الريماني غير المحدد غير مُعرَّف. حتى توحيد طريقة اقتراب الفترة من خط الأعداد الحقيقية لا يُجدي نفعًا لأنه يؤدي إلى نتائج مُخالفة للحدس بشكلٍ مُقلق. إذا اتفقنا (على سبيل المثال) على أن التكامل غير المحدد يجب أن يكون دائمًا $\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,$ إذن، تكامل الإزاحة $f (x - 1)$ يساوي -2، لذا فإن هذا التعريف ليس ثابتًا تحت الإزاحات، وهي خاصية غير مرغوب فيها للغاية. في الواقع، لا يقتصر الأمر على أن هذه الدالة لا تملك تكامل ريمان غير صحيح، بل إن تكامل ليبيغ الخاص بها غير مُعرَّف أيضًا (يساوي $\infty - \infty$ ).

لسوء الحظ، لا يتمتع تكامل ريمان غير الصحيح بالقوة الكافية. تكمن المشكلة الأكبر في عدم وجود نظريات قابلة للتطبيق على نطاق واسع لتبادل تكاملات ريمان غير الصحيحة مع نهايات الدوال. في تطبيقات مثل متسلسلات فورييه، من المهم القدرة على تقريب تكامل دالة باستخدام تكاملات التقريبات لتلك الدالة. بالنسبة لتكاملات ريمان الصحيحة، تنص نظرية قياسية على أنه إذا كانت $f n$ متتالية من الدوال التي تتقارب بانتظام إلى $f$ على مجموعة مضغوطة $[a, b]$ ، فإن $\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

في الفترات غير المتراصة، مثل خط الأعداد الحقيقية، يكون هذا غير صحيح. على سبيل المثال، لنفترض أن $f n (x)$ تساوي $n - 1$ على الفترة $[0, n]$ وصفرًا في أي مكان آخر. لكل قيمة $لـ n،$ لدينا: $\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.$

تتقارب المتتالية $(f n)$ بانتظام إلى الدالة الصفرية، ومن الواضح أن تكامل الدالة الصفرية يساوي صفرًا. وبالتالي، $\int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.$

يُبيّن هذا أنه بالنسبة للتكاملات على فترات غير محدودة، فإن التقارب المنتظم للدالة ليس كافيًا للسماح بتمرير النهاية عبر علامة التكامل. وهذا يجعل تكامل ريمان غير عملي في التطبيقات (على الرغم من أن تكامل ريمان يُعطي كلا الطرفين القيمة الصحيحة)، لأنه لا يوجد معيار عام آخر لتبديل النهاية بتكامل ريمان، وبدون مثل هذا المعيار، يصعب تقريب التكاملات بتقريب دوال التكامل الخاصة بها.

يُعدّ استبدال تكامل ريمان بتكامل لوبيغ خيارًا أفضل . صحيحٌ أن تعريف تكامل لوبيغ ليس تعميمًا واضحًا لتكامل ريمان، إلا أنه من السهل إثبات أن كل دالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان هي أيضًا قابلة للتكامل وفقًا للوبيغ، وأن قيم التكاملين تتطابق عندما يكون كلاهما مُعرّفًا. علاوة على ذلك، تكون الدالة $f$ المُعرّفة على فترة محدودة قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا وفقط إذا كانت محدودة، وكانت مجموعة النقاط التي تكون عندها $f$ غير متصلة ذات قياس لوبيغ يساوي صفرًا.

التكامل الذي هو في الواقع تعميم مباشر لتكامل ريمان هو تكامل هينستوك-كورزويل .

ثمة طريقة أخرى لتعميم تكامل ريمان، وهي استبدال العوامل $x k +1 - x k$ في تعريف مجموع ريمان بعوامل أخرى؛ وبصورة تقريبية، يُعطي هذا فترة التكامل مفهومًا مختلفًا للطول. وهذا هو النهج الذي يتبعه تكامل ريمان-ستيلتيس .

في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، تُعرَّف تكاملات ريمان للدوال من $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ هي تكاملات متعددة .

مقارنة مع نظريات التكامل الأخرى

يُعدّ تكامل ريمان غير مناسب للعديد من الأغراض النظرية. يمكن معالجة بعض أوجه القصور التقنية في تكامل ريمان باستخدام تكامل ريمان-ستيلتيس ، وتختفي معظمها مع تكامل لوبيغ ، على الرغم من أن الأخير لا يُعالج التكاملات غير المحدودة بشكل مُرضٍ . يُعدّ تكامل القياس تعميمًا لتكامل لوبيغ، وهو في الوقت نفسه أقرب إلى تكامل ريمان. تسمح هذه النظريات الأكثر عمومية بتكامل الدوال الأكثر "تذبذبًا" أو "شدة التذبذب" التي لا يوجد لها تكامل ريمان؛ ولكن تُعطي هذه النظريات القيمة نفسها لتكامل ريمان عندما يكون موجودًا.

في السياقات التعليمية، يُقدّم تكامل داربو تعريفًا أبسط وأسهل في الاستخدام؛ إذ يُمكن استخدامه لتقديم تكامل ريمان. يُعرَّف تكامل داربو في أي وقت يُعرَّف فيه تكامل ريمان، ويُعطي دائمًا النتيجة نفسها. في المقابل، يُعدّ تكامل القياس تعميمًا بسيطًا ولكنه أكثر قوة لتكامل ريمان، وقد دفع بعض التربويين إلى الدعوة إلى استبداله بتكامل ريمان في مقررات حساب التفاضل والتكامل التمهيدية. ^{[ 14 ]}

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ تم تقديم تكامل ريمان في ورقة بيرنهارد ريمان "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (حول إمكانية تمثيل الدالة بواسطة سلسلة مثلثية؛ أي متى يمكن تمثيل الدالة بواسطة سلسلة مثلثية). تم تقديم هذه الورقة إلى جامعة غوتنغن في عام 1854 تحت عنوان Riemann's Habilitationsschrift (التأهيل ليصبح مدرسًا). تم نشره عام 1868 في Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (وقائع الجمعية الفلسفية الملكية في غوتنغن)، المجلد. 13، الصفحات 87-132. (متاح على الإنترنت هنا .) للحصول على تعريف ريمان للتكامل الخاص به، راجع القسم 4، "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (حول مفهوم التكامل المحدد ومدى صحته)، الصفحات 101-103.
↑ أكسلر (2020) ، ص. 2.
↑ كرانز، ستيفن ج. (2005). التحليل الحقيقي والأسس . بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي. ص 173. ISBN 1-58488-483-5. OCLC 56214595 .
↑ أكسلر (2020) ، ص 4.
↑ تايلور، مايكل إي. (2006). نظرية القياس والتكامل . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 1. ISBN 9780821872468.
↑ أبوستول 1974 ، ص 169-172
↑ براون، أ.ب. (سبتمبر 1936). "برهان شرط ليبيغ لتكامل ريمان". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 43 (7): 396-398 . doi : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .
↑ التحليل الحقيقي الأساسي، بقلم هوشانغ ح. سهراب، القسم 7.3، مجموعات القياس الصفري وشرط التكامل لليبيغ، الصفحات 264-271
↑ مقدمة في التحليل الحقيقي ، تم تحديثها في أبريل 2010، بقلم ويليام ف. ترينش، 3.5 "نظرة أكثر تقدماً على وجود التكامل الريماني الصحيح"، الصفحات 171-177
↑ شرط لوبيغ ، جون أرمسترونغ، 15 ديسمبر 2009، عالم الرياضيات غير المعتذر
↑ شرط تكامل محتوى الأردن ، جون أرمسترونغ، 9 ديسمبر 2009، عالم الرياضيات الصريح
↑ ميتزلر، آر سي (1971). "حول قابلية التكامل لريمان" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 78 (10): 1129-1131 . doi : 10.2307/2316325 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2316325 .
↑ كانينغهام، فريدريك الابن (1967). "أخذ النهايات تحت علامة التكامل" . مجلة الرياضيات . 40 (4): 179-186 . doi : 10.2307/2688673 . JSTOR 2688673 .
↑ "رسالة مفتوحة إلى مؤلفي كتب حساب التفاضل والتكامل" . تم الاطلاع عليها بتاريخ 27 فبراير 2014 .

مراجع

أكسلر، شيلدون (2020). القياس والتكامل والتحليل الحقيقي . سبرينغر.
شيلوف، جي إي، وغوريفيتش، بي إل، 1978. التكامل، والقياس، والمشتقة: منهج موحد ، ترجمة ريتشارد أ. سيلفرمان. منشورات دوفر. ISBN 0-486-63519-8.
أبوستول، توم (1974)، التحليل الرياضي ، أديسون-ويسلي

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بتكامل ريمان على ويكيميديا كومنز
"تكامل ريمان" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

[1] تم تقديم تكامل ريمان في ورقة بيرنهارد ريمان "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (حول إمكانية تمثيل الدالة بواسطة سلسلة مثلثية؛ أي متى يمكن تمثيل الدالة بواسطة سلسلة مثلثية). تم تقديم هذه الورقة إلى جامعة غوتنغن في عام 1854 تحت عنوان Riemann's Habilitationsschrift (التأهيل ليصبح مدرسًا). تم نشره عام 1868 في Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (وقائع الجمعية الفلسفية الملكية في غوتنغن)، المجلد. 13، الصفحات 87-132. (متاح على الإنترنت هنا .) للحصول على تعريف ريمان للتكامل الخاص به، راجع القسم 4، "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (حول مفهوم التكامل المحدد ومدى صحته)، الصفحات 101-103.

[FOOTNOTEAxler20202-2] أكسلر (2020) ، ص. 2.

[3] كرانز، ستيفن ج. (2005). التحليل الحقيقي والأسس . بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي. ص 173. ISBN 1-58488-483-5. OCLC 56214595 .

[FOOTNOTEAxler20204-4] أكسلر (2020) ، ص 4.

[5] تايلور، مايكل إي. (2006). نظرية القياس والتكامل . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 1. ISBN 9780821872468.

[apostol169-6] أبوستول 1974 ، ص 169-172

[7] براون، أ.ب. (سبتمبر 1936). "برهان شرط ليبيغ لتكامل ريمان". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 43 (7): 396-398 . doi : 10.2307/2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[8] التحليل الحقيقي الأساسي، بقلم هوشانغ ح. سهراب، القسم 7.3، مجموعات القياس الصفري وشرط التكامل لليبيغ، الصفحات 264-271

[9] مقدمة في التحليل الحقيقي ، تم تحديثها في أبريل 2010، بقلم ويليام ف. ترينش، 3.5 "نظرة أكثر تقدماً على وجود التكامل الريماني الصحيح"، الصفحات 171-177

[10] شرط لوبيغ ، جون أرمسترونغ، 15 ديسمبر 2009، عالم الرياضيات غير المعتذر

[11] شرط تكامل محتوى الأردن ، جون أرمسترونغ، 9 ديسمبر 2009، عالم الرياضيات الصريح

[12] ميتزلر، آر سي (1971). "حول قابلية التكامل لريمان" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 78 (10): 1129-1131 . doi : 10.2307/2316325 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2316325 .

[13] كانينغهام، فريدريك الابن (1967). "أخذ النهايات تحت علامة التكامل" . مجلة الرياضيات . 40 (4): 179-186 . doi : 10.2307/2688673 . JSTOR 2688673 .

[14] "رسالة مفتوحة إلى مؤلفي كتب حساب التفاضل والتكامل" . تم الاطلاع عليها بتاريخ 27 فبراير 2014 .

[ 1 ]

[

[ 3 ].

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗