مساحة مزدوجة

بالنظر إلى فضاء متجهي${\displaystyle V}$وأساس${\displaystyle E}$في تلك المساحة، يمكن تعريف مجموعة مستقلة خطيًا في${\displaystyle V^{*}}$تُسمى المجموعة الثنائية . كل متجه في${\displaystyle E}$يتوافق مع متجه فريد في المجموعة الثنائية. ينتج عن هذا التوافق دالة حقن.${\displaystyle V\to V^{*}}$.

لو${\displaystyle V}$إذا كانت ذات أبعاد منتهية، فإن المجموعة الثنائية هي أساس يسمى الأساس الثنائي ، والحقن${\displaystyle V\to V^{*}}$هو تماثل .

لو${\displaystyle V}$إذا كانت ذات أبعاد محدودة،${\displaystyle V}$متماثل مع${\displaystyle V^{*}}$لكن بشكل عام، لا يوجد تماثل طبيعي بين هذين الفضاءين. ^{[ 10 ]} أي شكل ثنائي الخطية${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$على${\displaystyle V}$يقدم خريطة لـ${\displaystyle V}$إلى فضاءها المزدوج عبر

$${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$$

حيث يُعرَّف الجانب الأيمن بأنه الجانب الوظيفي${\displaystyle V}$أخذ كل${\displaystyle w\in V}$ل${\displaystyle \langle v,w\rangle }$بمعنى آخر، يحدد الشكل الثنائي الخطي تحويلاً خطياً

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}$$

محدد بواسطة

$${\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}$$

إذا كان الشكل الثنائي الخطي غير منحل ، فإن هذا يكون تماثلاً على فضاء جزئي من${\displaystyle V^{*}}$. لو${\displaystyle V}$إذا كانت الأبعاد محدودة، فإن هذا التشاكل يكون على جميع${\displaystyle V^{*}}$. وعلى العكس من ذلك، فإن أي تماثل${\displaystyle \Phi }$من${\displaystyle V}$إلى فضاء فرعي من${\displaystyle V^{*}}$(على التوالي، كل من${\displaystyle V^{*}}$لو${\displaystyle V}$(ذو أبعاد محدودة) يحدد شكلاً ثنائي الخطية فريداً غير منحل${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}$على${\displaystyle V}$بواسطة

$${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}$$

وبالتالي، توجد علاقة تناظرية بين التشاكلات لـ${\displaystyle V}$إلى فضاء جزئي من (أو، كل)${\displaystyle V^{*}}$والأشكال الثنائية الخطية غير المنحلة على${\displaystyle V}$.

إذا كان الفضاء المتجهي${\displaystyle V}$إذا كان المجال معقدًا ، ففي بعض الأحيان يكون من الأنسب النظر في الأشكال الخطية المزدوجة بدلًا من الأشكال الخطية الثنائية. في هذه الحالة، يكون الشكل الخطي المزدوج المعطى${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$يحدد تماثلًا لـ${\displaystyle V}$مع المرافق المركب للفضاء المزدوج

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}$$ المرافق للفضاء المزدوج${\displaystyle {\overline {V^{*}}}}$يمكن تعريفها بمجموعة جميع الدوال المركبة ذات القيم المركبة الجمعية${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$بحيث $${\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}$$

يوجد تماثل طبيعي${\displaystyle \Psi }$من${\displaystyle V}$إلى المزدوج المزدوج${\displaystyle V^{**}=\hom(V^{*},F)}$، كما هو محدد بواسطة${\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}$للجميع${\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}$بمعنى آخر، إذا${\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}$خريطة التقييم المحددة بواسطة${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}$، ثم${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$يُعرَّف بأنه الخريطة${\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}$هذه الخريطة${\displaystyle \Psi }$يكون دائمًا أحاديًا ؛ ^{[ ملاحظة 3 ]} ويكون دائمًا متماثلًا إذا${\displaystyle V}$هو فضاء محدود الأبعاد. ^{[ 11 ]} في الواقع، يُعدّ تماثل الفضاء المتجهي محدود الأبعاد مع فضاءه الثنائي المزدوج مثالًا نموذجيًا على التماثل الطبيعي . أما فضاءات هيلبرت غير المحدودة الأبعاد، فهي لا تتماثل مع فضاءاتها الثنائية الجبرية المزدوجة، بل مع فضاءاتها الثنائية المزدوجة المتصلة.

لو${\displaystyle f:V\to W}$إذا كانت دالة خطية ، فإن منقولتها (أو ثنائيتها )${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$$ لكل${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$الوظيفة الناتجة${\displaystyle f^{*}(\varphi )}$في${\displaystyle V^{*}}$يُطلق عليه اسم التراجع${\displaystyle \varphi }$على امتداد${\displaystyle f}$.

تنطبق المتطابقة التالية على جميع${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$و${\displaystyle v\in V}$: $${\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}$$ حيث القوس${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$على اليسار يوجد الاقتران الطبيعي لـ${\displaystyle V}$بمساحتها المزدوجة، وما على اليمين هو الاقتران الطبيعي لـ${\displaystyle W}$مع ثنائيتها. هذه الهوية تميز المنقول، ^{[ 12 ]} وهي مشابهة شكليًا لتعريف المرافق .

المهمة${\displaystyle f\mapsto f^{*}}$ينتج تطبيقًا خطيًا أحاديًا بين فضاء المؤثرات الخطية من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$وفضاء المؤثرات الخطية من${\displaystyle W^{*}}$ل${\displaystyle V^{*}}$يكون هذا التشاكل متماثلاً إذا وفقط إذا${\displaystyle W}$ذات أبعاد محدودة. إذا${\displaystyle V=W}$عندئذٍ، يكون فضاء التطبيقات الخطية في الواقع جبرًا تحت تركيب التطبيقات ، ويكون التعيين حينها تماثلًا عكسيًا للجبر، مما يعني أن${\displaystyle {(fg)}^{*}=g^{*}f^{*}}$في لغة نظرية الفئات ، فإن أخذ ثنائية الفضاءات المتجهة ومنقولة التطبيقات الخطية هو بالتالي دالة متغايرة من فئة الفضاءات المتجهة على${\displaystyle F}$لنفسه. من الممكن تحديده ${\displaystyle f^{**}}$مع${\displaystyle f}$باستخدام الحقن الطبيعي في القناة المزدوجة.

إذا كان التحويل الخطي${\displaystyle f}$يتم تمثيلها بواسطة المصفوفة${\displaystyle A}$فيما يتعلق بقاعدتين من${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$، ثم${\displaystyle f^{*}}$يتم تمثيلها بواسطة المصفوفة المنقولة${\displaystyle A^{T}}$فيما يتعلق بالقواعد المزدوجة لـ${\displaystyle W^{*}}$و${\displaystyle V^{*}}$ومن هنا جاء الاسم. أو بدلاً من ذلك، كما${\displaystyle f}$يمثلها${\displaystyle A}$التأثير على اليسار على متجهات الأعمدة،${\displaystyle f^{*}}$يتم تمثيلها بنفس المصفوفة التي تعمل على اليمين على متجهات الصف. ترتبط وجهات النظر هذه بالضرب الداخلي المتعارف عليه على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، الذي يحدد فضاء متجهات الأعمدة مع الفضاء المزدوج لمتجهات الصفوف.

يترك${\displaystyle S}$أن تكون مجموعة جزئية من${\displaystyle V}$. مُبيد​${\displaystyle S}$في${\displaystyle V^{*}}$، المشار إليه هنا${\displaystyle S^{0}}$، هي مجموعة الدوال الخطية${\displaystyle f\in V^{*}}$بحيث${\displaystyle [f,s]=0}$للجميع${\displaystyle s\in S}$. إنه،${\displaystyle S^{0}}$يتكون من جميع الدوال الخطية${\displaystyle f:V\to F}$بحيث يكون التقييد على${\displaystyle S}$يختفي:${\displaystyle f|_{S}=0}$. ضمن فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة، يكون المبيد ثنائيًا (متماثلًا مع) المكمل المتعامد .

إنّ مُبيد مجموعة جزئية هو نفسه فضاء متجهي. ومُبيد المتجه الصفري هو الفضاء الثنائي بأكمله.${\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}$والمُبيد للفضاء بأكمله هو ببساطة المتجه المرافق الصفري:${\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}$علاوة على ذلك، فإن تخصيص مُبيد لمجموعة فرعية من${\displaystyle V}$يعكس التضمينات، بحيث إذا $${\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V,}$$ ثم $${\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}$$ لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هما مجموعتان فرعيتان من${\displaystyle V}$ثم $${\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0}.}$$ لو${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$هي أي عائلة من المجموعات الجزئية من${\displaystyle V}$مفهرسة بواسطة مجموعة فهارس معينة${\displaystyle I}$، ثم $${\displaystyle {\bigg (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\bigg )}^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}$$ على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي فضاءات جزئية من${\displaystyle V}$ثم $${\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}}$$ و ^{[ ملاحظة 3 ]}$${\displaystyle (A\cap B)^{0}=A^{0}+B^{0}.}$$

لو${\displaystyle V}$هو ذو أبعاد محدودة و${\displaystyle W}$إذا كان فضاءً جزئياً متجهياً ، فإن $${\displaystyle W^{00}=W}$$ بعد تحديد${\displaystyle W}$مع صورتها في الفضاء الثنائي الثاني تحت تماثل الازدواجية المزدوجة${\displaystyle V\approx V^{**}}$. على وجه الخصوص، فإن تشكيل المبيد هو اتصال غالوا على شبكة المجموعات الفرعية لفضاء متجه محدود الأبعاد.

لو${\displaystyle W}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle V}$ثم فضاء القسمة${\displaystyle V/W}$هو فضاء متجهي بحد ذاته، وبالتالي له فضاء ثنائي. وبحسب نظرية التشاكل الأولى ، فإن الدالة${\displaystyle f:V\to F}$العوامل من خلال${\displaystyle V/W}$إذا وفقط إذا${\displaystyle W}$موجود في جوهر${\displaystyle f}$وبالتالي، يوجد تماثل. $${\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}$$ ونتيجة لذلك، إذا${\displaystyle V}$هو مجموع مباشر لفضاءين جزئيين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، ثم${\displaystyle V^{*}}$هو مجموع مباشر لـ${\displaystyle A^{0}}$و${\displaystyle B^{0}}$.

الفضاء الثنائي مماثل للفضاء ذي الأبعاد "السالبة". ببساطة، بما أن المتجه${\displaystyle v\in V}$يمكن إقرانها مع ناقل حراري${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$عن طريق التزاوج الطبيعي ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle$ للحصول على قيمة عددية، يمكن للمتجه المرافق أن "يلغي" بُعد المتجه، على غرار اختزال الكسر . وبالتالي ، بينما يكون المجموع المباشر${\displaystyle V\oplus V^{*}}$هو${\displaystyle 2n}$فضاء ذو ​​أبعاد (إذا${\displaystyle V}$يكون${\displaystyle n}$-أبعاد${\displaystyle V^{*}}$يتصرف كـ${\displaystyle -n}$الفضاء ذو ​​الأبعاد n، بمعنى أنه يمكن إلغاء أبعاده مقابل أبعاد${\displaystyle V}$يتم إضفاء الطابع الرسمي على هذا من خلال انكماش الموتر .

ينشأ هذا في الفيزياء من خلال التحليل البُعدي ، حيث يمتلك الفضاء الثنائي وحدات معكوسة. ^{[ 13 ]} في ظل الاقتران الطبيعي، تُلغى هذه الوحدات، وتكون القيمة العددية الناتجة بلا أبعاد ، كما هو متوقع. على سبيل المثال، في تحليل فورييه (المستمر) ، أو بشكل أوسع تحليل الزمن والتردد : ^{[ ملاحظة 4 ]} بالنظر إلى فضاء متجهي أحادي البعد بوحدة زمنية${\displaystyle t}$، الفضاء الثنائي له وحدات تردد : عدد مرات الحدوث لكل وحدة زمنية (وحدات من${\displaystyle 1/t}$على سبيل المثال، إذا قُيس الزمن بالثواني ، فإن الوحدة المقابلة لها هي الثانية المعكوسة : فخلال ثلاث ثوانٍ، يحدث حدث يقع مرتين في الثانية الواحدة، ويحدث إجمالاً ست مرات، وهو ما يعادل 1/2 ثانية.${\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}$وبالمثل، إذا كان الفضاء الأولي يقيس الطول، فإن الفضاء الثنائي يقيس الطول العكسي .

لو${\displaystyle X}$إذا كان فضاء متجهيًا طوبولوجيًا من نوع هاوسدورف (TVS)، فإن الفضاء الثنائي المستمر لـ${\displaystyle X}$هو مطابق للفضاء الثنائي المتصل لإتمام${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

توجد طريقة بناء قياسية لإدخال طوبولوجيا على الفضاء الثنائي المستمر${\displaystyle V'}$فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle V}$. إصلاح مجموعة${\displaystyle {\mathcal {A}}}$من المجموعات الفرعية المحدودة من${\displaystyle V}$وهذا يعطينا الطوبولوجيا على${\displaystyle V}$التقارب المنتظم على المجموعات من${\displaystyle {\mathcal {A}},}$أو ما هو الشيء نفسه، الطوبولوجيا المتولدة بواسطة أنصاف المعايير من الشكل $${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$$ أين${\displaystyle \varphi }$هي دالة خطية متصلة على${\displaystyle V}$، و${\displaystyle A}$يستحوذ على الفصل${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

هذا يعني أن شبكة من الدوال${\displaystyle \varphi _{i}}$يميل إلى أن يكون وظيفيًا${\displaystyle \varphi }$في${\displaystyle V'}$إذا وفقط إذا، بالنسبة للجميع${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$، $${\displaystyle \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|\to 0}$$ مثل${\displaystyle i\to \infty }$عادةً، ولكن ليس بالضرورة، الفصل${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يستوفي الشروط التالية:

• كل نقطة${\displaystyle x}$ل${\displaystyle V}$ينتمي إلى مجموعة ما${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.
• أي مجموعتين${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$و${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$يتم تضمينها في مجموعة ما${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$مغلق تحت عملية الضرب بالأعداد القياسية.

إذا تم استيفاء هذه المتطلبات، فسيتم تطبيق البنية الطوبولوجية المقابلة على${\displaystyle V'}$هاوسدورف والمجموعات $${\displaystyle U_{A}=\{\varphi \in V':\|\varphi \|_{A}<1\}}$$ للجميع${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$تشكيل قاعدتها المحلية.

فيما يلي أهم ثلاث حالات خاصة.

• الطوبولوجيا القوية على${\displaystyle V'}$هي طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المحدودة في${\displaystyle V}$(هنا)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$يمكن اختيارها كفئة لجميع المجموعات الجزئية المحدودة في${\displaystyle V}$).

لو${\displaystyle V}$إذا كان فضاءً متجهيًا معياريًا (على سبيل المثال، فضاء باناخ أو فضاء هيلبرت )، فإن الطوبولوجيا القوية على${\displaystyle V'}$هو فضاء معياري (في الواقع فضاء باناخ إذا كان حقل الكميات القياسية كاملاً)، مع المعيار $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}$$

• طوبولوجيا النمطية على${\displaystyle V'}$هي طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات المحدودة كليًا في${\displaystyle V}$(هنا)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ يمكن اختيارها كفئة جميع المجموعات الجزئية المحدودة كليًا في${\displaystyle V}$).
• الطوبولوجيا الضعيفة على${\displaystyle V'}$هي طوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المنتهية في${\displaystyle V}$(هنا)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ يمكن اختيارها كفئة لجميع المجموعات الجزئية المنتهية في${\displaystyle V}$).

كل من هذه الخيارات الثلاثة للطوبولوجيا على${\displaystyle V'}$يؤدي ذلك إلى شكل مختلف من خاصية الانعكاسية للفضاءات المتجهة الطوبولوجية:

• لو${\displaystyle V'}$إذا كانت تتمتع بالطوبولوجيا القوية ، فإن المفهوم المقابل للانعكاسية هو المفهوم القياسي: تُسمى الفضاءات الانعكاسية بهذا المعنى ببساطة انعكاسية . ^{[ 18 ]}
• لو${\displaystyle V'}$إذا تم تزويدها بالطوبولوجيا الثنائية النمطية، فإن الانعكاسية المقابلة يتم تقديمها في نظرية الفضاءات النمطية : تسمى الفضاءات الانعكاسية بهذا المعنى نمطية .
• لو${\displaystyle V'}$إذا كانت الفضاءات مزودة بالطوبولوجيا الضعيفة ، فإن خاصية الانعكاسية المقابلة لها تُعرض في نظرية الأزواج الثنائية : ^{[ 19 ]} الفضاءات الانعكاسية بهذا المعنى هي فضاءات محدبة محلية (هاوسدورف) اختيارية ذات طوبولوجيا ضعيفة. ^{[ 20 ]}

يترك${\displaystyle 1<p<\infty }$ليكن عددًا حقيقيًا ولنعتبر فضاء باناخ ℓ ^p لجميع المتتاليات${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})}$والتي $${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}={\bigg (}\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}{\bigg )}^{\frac {1}{p}}<\infty .}$$ حدد الرقم${\displaystyle q}$بواسطة${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ثم يكون الثنائي المستمر لـ${\displaystyle \ell ^{p}}$يرتبط بشكل طبيعي بـ${\displaystyle \ell ^{q}}$: بالنظر إلى عنصر${\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}$، العنصر المقابل لـ${\displaystyle \ell ^{q}}$التسلسل${\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}$أين${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$يشير إلى التسلسل الذي${\displaystyle n}$الحد النوني يساوي 1، وجميع الحدود الأخرى تساوي صفرًا. وبالعكس، إذا أُعطي عنصر${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})\in \ell ^{q}}$، الدالة الخطية المستمرة المقابلة${\displaystyle \varphi }$على${\displaystyle \ell ^{p}}$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}$$ للجميع${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{n})\in \ell ^{p}}$(انظر متباينة هولدر ).

وبالمثل، فإن الثنائية المستمرة لـ${\displaystyle \ell ^{1}}$يرتبط بشكل طبيعي بـ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$(فضاء المتتاليات المحدودة). علاوة على ذلك، الثنائيات المتصلة لفضاءات باناخ${\displaystyle c}$(تتكون من جميع المتتاليات المتقاربة ، مع معيار القيمة العليا ) و${\displaystyle c_{0}}$(المتتاليات التي تتقارب إلى الصفر) يتم تحديدها بشكل طبيعي مع${\displaystyle \ell ^{1}}$.

بحسب نظرية تمثيل ريز ، فإن الفضاء الثنائي المتصل لفضاء هيلبرت هو أيضاً فضاء هيلبرت مضاد للتماثل مع الفضاء الأصلي. وهذا ما يُفسر استخدام ترميز برا-كيت من قِبل الفيزيائيين في الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم .

بحسب نظرية تمثيل ريز-ماركوف-كاكوتاني ، يمكن وصف الفضاء الثنائي المستمر لبعض فضاءات الدوال المستمرة باستخدام المقاييس.

لو${\displaystyle T:V\to W}$إذا كانت دالة خطية متصلة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين، فإن منقولة (متصلة) ${\displaystyle T':W'\to V'}$يتم تعريفها بنفس الصيغة السابقة: $${\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}$$ الوظيفة الناتجة${\displaystyle T'(\varphi )}$هو في${\displaystyle V'}$المهمة${\displaystyle T\to T'}$ينتج تطبيقًا خطيًا بين فضاء التطبيقات الخطية المتصلة من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$ومساحة الخرائط الخطية من${\displaystyle W'}$ل${\displaystyle V'}$. متى${\displaystyle T}$و${\displaystyle U}$إذا كانت دوال خطية متصلة قابلة للتركيب، $${\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}$$ متى${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$هي فضاءات معيارية، معيار النقل في${\displaystyle L(W',V')}$يساوي ذلك الخاص بـ${\displaystyle T}$في${\displaystyle L(V,W)}$تعتمد العديد من خصائص النقل على نظرية هان-باناخ . على سبيل المثال، التحويل الخطي المحدود${\displaystyle T}$يكون المدى كثيفًا إذا وفقط إذا كان المنقول${\displaystyle T'}$هو حقني.

متى${\displaystyle T}$هي خريطة خطية متراصة بين فضاءين من فضاءات باناخ${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$ثم المنقول${\displaystyle T'}$وهي متراصة. ويمكن إثبات ذلك باستخدام نظرية أرزيلا-أسكولي .

متى${\displaystyle V}$إذا كان فضاء هيلبرت، فهناك تماثل مضاد للخطية${\displaystyle i_{V}}$من${\displaystyle V}$على ثنائيتها المستمرة${\displaystyle V'}$لكل خريطة خطية محدودة${\displaystyle T}$على${\displaystyle V}$يرتبط كل من عامل النقل وعامل المرافق بواسطة$${\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}$$ متى${\displaystyle T}$هي دالة خطية متصلة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$ثم المنقول${\displaystyle T'}$تكون متصلة عندما${\displaystyle W'}$و${\displaystyle V'}$مجهزة بطوبولوجيات "متوافقة": على سبيل المثال، عندما يكون لـ${\displaystyle X=V}$و${\displaystyle X=W}$كلاهما مزدوجان${\displaystyle X'}$يتمتع ببنية قوية${\displaystyle \beta (X',X)}$التقارب المنتظم على مجموعات محدودة من${\displaystyle X}$أو كلاهما يمتلكان بنية ضعيفة*${\displaystyle \sigma (X',X)}$التقارب النقطي على${\displaystyle X}$. المنقول${\displaystyle T'}$متصل من${\displaystyle \beta (W',W)}$ل${\displaystyle \beta (V',V)}$أو من${\displaystyle \sigma (W',W)}$ل${\displaystyle \sigma (V',V)}$.

افترض أن${\displaystyle W}$هو فضاء خطي مغلق جزئي من فضاء معياري${\displaystyle V}$وتأمل في مُبيد${\displaystyle W}$في${\displaystyle V'}$، $${\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}$$ ثم، ثنائي ناتج القسمة${\displaystyle V/W}$يمكن التعرف عليها من خلال${\displaystyle W^{\perp }}$وثنائية${\displaystyle W}$يمكن تحديدها من خلال ناتج القسمة${\displaystyle V'/{W^{\perp }}}$[ ^{21 ] في} الواقع، دع${\displaystyle P}$يرمز إلى الإسقاط الكنسي من${\displaystyle V}$على ناتج القسمة${\displaystyle V/W}$ثم يتم نقلها${\displaystyle P'}$هو تماثل متساوي القياس من${\displaystyle (V/W)'}$داخل${\displaystyle V'}$، بمدى يساوي${\displaystyle W^{\perp }}$. لو${\displaystyle j}$يشير إلى خريطة الحقن من${\displaystyle W}$داخل${\displaystyle V}$ثم نواة المنقول${\displaystyle j'}$هو مُبيد${\displaystyle W}$: $${\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}$$ ويترتب على ذلك من نظرية هان-باناخ أن${\displaystyle j'}$يُحدث تماثلًا متساوي القياس ${\displaystyle V/W^{\perp }}$.

إذا كان ثنائي الفضاء المعياري${\displaystyle V}$إذا كان قابلاً للفصل ، فإن الفضاء كذلك${\displaystyle V}$نفسها. والعكس ليس صحيحاً: على سبيل المثال، الفضاء${\displaystyle l^{1}}$يمكن فصلها، لكن نظيرتها${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ليس كذلك.

قياسًا على حالة الازدواج الجبري المزدوج، يوجد دائمًا مؤثر خطي مستمر معرف بشكل طبيعي${\displaystyle \Psi :V\to V''}$من فضاء معياري${\displaystyle V}$إلى ثنائيته المزدوجة المستمرة${\displaystyle V'}$، كما هو محدد بواسطة $${\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}$$ نتيجةً لنظرية هان-باناخ ، فإن هذا التحويل هو في الواقع تحويل متساوي القياس ، أي${\displaystyle \|\Psi (x)\|=\|x\|}$للجميع${\displaystyle x\in V}$المساحات المعيارية التي تغطيها الخريطة${\displaystyle \Psi }$تُسمى الدالة التقابلية بالدالة الانعكاسية .

متى${\displaystyle V}$إذا كان فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا${\displaystyle \Psi }$(${\displaystyle x}$لا يزال من الممكن تعريفها بنفس الصيغة، لكل${\displaystyle x\in V}$إلا أن عدة صعوبات تنشأ. أولاً، عندما${\displaystyle V}$إذا لم تكن محدبة محليًا ، فقد يكون الثنائي المتصل مساويًا لـ${\displaystyle \{0\}}$والخريطة${\displaystyle \Psi }$أمر تافه. ومع ذلك، إذا${\displaystyle V}$هي خريطة هاوسدورف ومحدبة محليًا${\displaystyle \Psi }$هو حقني من${\displaystyle V}$إلى الثنائية الجبرية${\displaystyle V^{*}}$من الثنائية المستمرة، مرة أخرى كنتيجة لنظرية هان-باناخ. ^{[ ملاحظة 5 ]}

ثانيًا، حتى في حالة التحدب المحلي، يمكن تعريف العديد من طوبولوجيات فضاء المتجهات الطبيعية على الفضاء الثنائي المستمر${\displaystyle V'}$بحيث يكون الثنائي المزدوج المستمر${\displaystyle V''}$لا يُعرَّف تعريفًا فريدًا كمجموعة. هذا يعني أن${\displaystyle \Psi }$خرائط من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle V''}$أو بعبارة أخرى، ذلك${\displaystyle \Psi (x)}$مستمر على${\displaystyle V'}$لكل${\displaystyle x\in V}$، وهو شرط أدنى معقول على بنية طوبولوجيا${\displaystyle V'}$أي أن عمليات التقييم $${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}$$ يجب أن تكون متصلة بالنسبة للطوبولوجيا المختارة على${\displaystyle V'}$علاوة على ذلك، لا يزال هناك خيار لنوع الطوبولوجيا على${\displaystyle V''}$واستمرارية${\displaystyle \Psi }$يعتمد ذلك على هذا الاختيار. ونتيجة لذلك، فإن تعريف الانعكاسية في هذا الإطار أكثر تعقيداً منه في الحالة المعيارية.