حركية ميكايليس-مينتين

ثابت التخصص${\displaystyle k_{\text{cat}}/K_{\mathrm {m} }}$(المعروفة أيضًا بالكفاءة التحفيزية ) هي مقياس لمدى كفاءة الإنزيم في تحويل المادة المتفاعلة إلى ناتج. على الرغم من أنها نسبة${\displaystyle k_{\text{cat}}}$و${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$إنه معيار في حد ذاته، وأكثر جوهرية من${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$تعمل الإنزيمات المحدودة بالانتشار ، مثل الفوماراز ، عند الحد الأعلى النظري البالغ 10 ⁸  – 10 ¹⁰ M ⁻¹ s ⁻¹ ، وهو محدود بانتشار الركيزة إلى الموقع النشط . ^{[ 26 ]}

إذا رمزنا لثابت التخصص لركيزة معينة A بـ${\displaystyle k_{\mathrm {A} }=k_{\text{cat}}/K_{\mathrm {m} }}$يمكن كتابة معادلة مايكليس-مينتين بدلالة${\displaystyle k_{\mathrm {A} }}$و${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$على النحو التالي:

${\displaystyle v={\dfrac {k_{\mathrm {A} }e_{0}a}{1+{\dfrac {a}{K_{\mathrm {m} }}}}}}$

عند القيم الصغيرة لتركيز الركيزة، يقترب هذا من اعتماد المعدل على تركيز الركيزة من الدرجة الأولى:

${\displaystyle v\approx k_{\mathrm {A} }e_{0}a{\text{ when }}a\rightarrow 0}$

وعلى العكس من ذلك، فإنه يقترب من اعتماد من الرتبة الصفرية على${\displaystyle a}$عندما يكون تركيز المادة المتفاعلة مرتفعاً:

${\displaystyle v\rightarrow k_{\mathrm {cat} }e_{0}{\text{ when }}a\rightarrow \infty }$

تعتمد قدرة الإنزيم على التمييز بين مادتين متنافستين تتبعان حركية ميكايليس-مينتين فقط على ثابت التخصص، وليس على أي منهما.${\displaystyle k_{\text{cat}}}$أو${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$بمفرده. وضع${\displaystyle k_{\mathrm {A} }}$للركيزة${\displaystyle \mathrm {A} }$و${\displaystyle k_{\mathrm {A'} }}$لركيزة منافسة${\displaystyle \mathrm {A'} }$إذن، المعدلان عند وجودهما معًا هما كما يلي:

${\displaystyle v_{\mathrm {A} }={\frac {k_{\mathrm {A} }e_{0}a}{1+{\dfrac {a}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A} }}}+{\dfrac {a'}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A'} }}}}},\;\;\;v_{\mathrm {A'} }={\frac {k_{\mathrm {A'} }e_{0}a'}{1+{\dfrac {a}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A} }}}+{\dfrac {a'}{K_{\mathrm {m} }^{\mathrm {A'} }}}}}}$

على الرغم من أن كلا المقامين يحتويان على ثوابت مايكليس، إلا أنهما متطابقان، وبالتالي يتم اختصارهما عند قسمة إحدى المعادلتين على الأخرى:

${\displaystyle {\frac {v_{\mathrm {A} }}{v_{\mathrm {A'} }}}={\frac {k_{\mathrm {A} }\cdot a}{k_{\mathrm {A'} }\cdot a'}}}$

وبالتالي فإن نسبة المعدلات تعتمد فقط على تركيزات الركيزتين وثوابت التخصص الخاصة بهما.

بما أن المعادلة من ابتكار هنري ، وليس مايكليس ومينتن ، فمن الأدق تسميتها معادلة هنري-مايكليس-مينتن، ^{[ 27 ]} مع أن مايكليس ومينتن هما من أدركا أن تحليل التفاعلات بدلالة معدلاتها الأولية سيكون أبسط، وبالتالي أكثر إنتاجية، من تحليل مسار التفاعل مع الزمن، كما حاول هنري. ورغم أن هنري هو من اشتق المعادلة، إلا أنه لم يحاول تطبيقها. إضافةً إلى ذلك، أدرك مايكليس ومينتن ضرورة استخدام المحاليل المنظمة للتحكم في الرقم الهيدروجيني، بينما لم يدركها هنري.

في تحليلهم، افترض مايكليس ومينتين (وكذلك هنري) أن الركيزة في حالة توازن كيميائي فوري مع المركب، مما يعني ^{[ 14 ] [ 29 ]}

${\displaystyle k_{+1}ea=k_{-1}x}$

حيث يمثل e تركيز الإنزيم الحر (وليس التركيز الكلي) و x هو تركيز مركب الإنزيم والركيزة EA.

يتطلب الحفاظ على الإنزيم أن ^{[ 29 ]}

${\displaystyle e=e_{0}-x}$

أين${\displaystyle e_{0}}$يمثل الآن تركيز الإنزيم الكلي. بعد دمج التعبيرين، تؤدي بعض العمليات الجبرية البسيطة إلى التعبير التالي لتركيز معقد الإنزيم والركيزة:

${\displaystyle x={\frac {e_{0}a}{K_{\mathrm {diss} }+a}}}$

أين${\displaystyle K_{\mathrm {diss} }=k_{-1}/k_{+1}}$يمثل ثابت تفكك معقد الإنزيم والركيزة. ومن ثم فإن معادلة المعدل هي معادلة مايكليس-مينتين، ^{[ 29 ]}

${\displaystyle v={\frac {k_{+2}e_{0}a}{K_{\mathrm {diss} }+a}}}$

أين${\displaystyle k_{+2}}$يتوافق مع الثابت التحفيزي${\displaystyle k_{\mathrm {cat} }}$والمعدل المحدد هو${\displaystyle V_{\mathrm {max} }=k_{+2}e_{0}=k_{\mathrm {cat} }e_{0}}$وبالمثل، بافتراض التوازن، فإن ثابت ميكايليس${\displaystyle K_{\mathrm {m} }=K_{\mathrm {diss} }}$.

عند دراسة اليورياز في نفس الوقت تقريبًا الذي كان فيه مايكليس ومينتين يدرسان الإنفرتاز، وضع دونالد فان سلايك وجي إي كولين ^{[ 30 ]} افتراضًا معاكسًا بشكل أساسي، حيث تعاملا مع الخطوة الأولى ليس على أنها حالة توازن ولكن على أنها تفاعل من الدرجة الثانية غير قابل للانعكاس بثابت معدل${\displaystyle k_{+1}}$وبما أن نهجهم لا يُستخدم اليوم، يكفي أن نذكر معادلة المعدل النهائي الخاصة بهم:

${\displaystyle v={\frac {k_{\mathrm {+2} }e_{0}a}{k_{+2}/k_{+1}+a}}}$

وتجدر الإشارة إلى أنها لا تختلف وظيفيًا عن معادلة هنري-ميكايليس-مينتين. ولا يمكن تحديد ذلك من خلال فحص السلوك الحركي.${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$يساوي${\displaystyle k_{+2}/k_{+1}}$أو إلى${\displaystyle k_{-1}/k_{+1}}$أو إلى شيء آخر.

أجرى جي إي بريغز وجيه بي إس هالدين تحليلًا يوفق بين منهجي مايكليس ومينتين وفان سلايك وكولين، ^{[ 31 ] [ 32 ]} ويُعتبر هذا التحليل المنهج الأساسي لدراسة حركية الإنزيمات اليوم. وقد افترضا أن تركيز المركب الوسيط لا يتغير على النطاق الزمني الذي يُقاس عليه تكوين الناتج. ^{[ 33 ]} ويعني هذا الافتراض أن${\displaystyle k_{+1}ea=k_{-1}x+k_{\mathrm {cat} }x=(k_{-1}+k_{\mathrm {cat} })x}$معادلة المعدل الناتجة هي كما يلي:

${\displaystyle v={\frac {k_{\mathrm {cat} }e_{0}a}{K_{\mathrm {m} }+a}}}$

أين

${\displaystyle k_{\mathrm {cat} }=k_{+2}{\text{ and }}K_{\mathrm {m} }={\frac {k_{-1}+k_{\mathrm {cat} }}{k_{+1}}}}$

هذا هو التعريف العام لثابت مايكليس. ^{[ 34 ]}

تُعالج جميع الاشتقاقات المذكورة خطوة الارتباط الأولية من منظور قانون فعل الكتلة ، الذي يفترض الانتشار الحر عبر المحلول. مع ذلك، في بيئة الخلية الحية ذات التركيز العالي من البروتينات ، غالبًا ما يتصرف السيتوبلازم كهلام لزج أكثر من كونه سائلًا حر التدفق، مما يحد من حركة الجزيئات بالانتشار ويغير معدلات التفاعل. ^{[ 35 ]} على الرغم من أن هذا التركيب الشبيه بالهلام يُقيد بشدة حركة الجزيئات الكبيرة كالبروتينات، إلا أن تأثيره على الجزيئات الصغيرة، مثل العديد من المستقلبات التي تُشارك في عمليات الأيض المركزية، يكون أقل بكثير. ^{[ 36 ]} عمليًا، من غير المرجح أن تُؤدي معالجة حركة الركائز من منظور الانتشار إلى أخطاء كبيرة. مع ذلك، يرى شنيل وتيرنر أنه من الأنسب نمذجة السيتوبلازم كشكل كسري ، من أجل فهم حركيته المحدودة. ^{[ 37 ]}

يتضمن تحديد معلمات معادلة مايكليس-مينتين عادةً إجراء سلسلة من اختبارات الإنزيم بتراكيز مختلفة من الركيزة.${\displaystyle a}$وقياس معدلات التفاعل الأولية${\displaystyle v}$أي أن معدلات التفاعل تُقاس بعد فترة زمنية قصيرة بما يكفي لافتراض تكوّن معقد الإنزيم-الركيزة، مع بقاء تركيز الركيزة ثابتًا تقريبًا، وبالتالي يظل تقريب التوازن أو شبه الاستقرار صالحًا. ^{[ 38 ]} ومن خلال رسم معدل التفاعل مقابل التركيز، واستخدام الانحدار غير الخطي لمعادلة مايكليس-مينتين مع ترجيح صحيح بناءً على خصائص توزيع الخطأ المعروفة للمعدلات، يمكن الحصول على المعاملات.

قبل توفر إمكانيات الحوسبة لإجراء الانحدار غير الخطي، استُخدمت الطرق البيانية التي تتضمن خطية المعادلة. وقد اقتُرح عدد من هذه الطرق، بما في ذلك مخطط إيدي-هوفستي .${\displaystyle v}$ضد${\displaystyle v/a}$[ ^{39 ] [ 40 ]} مخطط هانز لـ^​${\displaystyle a/v}$ضد${\displaystyle a}$[ ^{41 ]} ومخطط لاينويفر-بيرك (المعروف أيضًا باسم ^مخطط التبادل المزدوج ) لـ${\displaystyle 1/v}$ضد${\displaystyle 1/a}$[ ^{42 ] ومن بين} هذه المخططات، ^{[ 43 ]} يُعد مخطط هانز الأكثر دقة عندما${\displaystyle v}$يخضع هذا الرسم البياني لأخطاء ذات انحراف معياري منتظم. ^{[ 44 ]} ومن وجهة نظر تمثيل البيانات بصريًا، يتميز مخطط إيدي-هوفستي بخاصية مهمة: النطاق الكامل الممكن لـ${\displaystyle v}$القيم من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle V}$يشغل نطاقًا محدودًا من مقياس الإحداثيات، مما يجعل من المستحيل اختيار محاور تخفي تصميمًا تجريبيًا ضعيفًا.

ومع ذلك، فرغم فائدتها في التصور، فإن جميع الرسوم البيانية الخطية الثلاثة تشوه بنية الخطأ في البيانات وتوفر تقديرات أقل دقة لـ${\displaystyle v}$و${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$أفضل من الانحدار غير الخطي الموزون بشكل صحيح. بافتراض وجود خطأ${\displaystyle \varepsilon (v)}$على${\displaystyle v}$، يؤدي التمثيل العكسي إلى خطأ قدره${\displaystyle \varepsilon (v)/v^{2}}$على${\displaystyle 1/v}$( انتشار عدم اليقين )، مما يعني أن الانحدار الخطي للرسم البياني ذي المقلوب المزدوج يجب أن يتضمن أوزانًا من${\displaystyle v^{4}}$كان هذا الأمر مفهوماً جيداً لدى لاينويفر وبورك، ^{[ 42 ]} اللذين استشارا الإحصائي البارز دبليو إدواردز ديمينغ قبل تحليل بياناتهما. ^{[ 45 ]} وعلى عكس معظم الباحثين منذ ذلك الحين، أجرى بورك دراسة تجريبية لتوزيع الخطأ، ووجد أنه يتوافق مع خطأ معياري موحد في${\displaystyle v}$، قبل تحديد الأوزان المناسبة. ^{[ 46 ]} لم يحظ هذا الجانب من عمل لاينويفر وبورك بأي اهتمام تقريبًا في ذلك الوقت، وتم نسيانه لاحقًا.

الرسم البياني الخطي المباشر هو طريقة بيانية يتم فيها تمثيل المشاهدات بخطوط مستقيمة في فضاء المعلمات، مع محاور${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$و${\displaystyle V}$يتم رسم كل خط بنقطة تقاطع قدرها${\displaystyle -a}$على${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$المحور و${\displaystyle v}$على${\displaystyle V}$المحور. نقطة تقاطع الخطوط لمختلف الملاحظات تعطي قيم${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$و${\displaystyle V}$[ ^{47 ]​}

ادعى العديد من المؤلفين، مثل غريكو وهاكالا ^{[ 48 ] ، أن الانحدار غير الخطي يتفوق دائمًا على انحدار الصيغ الخطية لمعادلة مايكليس-مينتين. إلا أن هذا صحيح فقط عند استخدام نظام ترجيح مناسب، ويفضل أن يكون ذلك بناءً على دراسة تجريبية، وهو أمر نادرًا ما يُطبق. وكما ذُكر سابقًا، أجرى بيرك [ 46 ]} الدراسة المناسبة، ووجد أن بنية الخطأ في بياناته تتوافق مع انحراف معياري منتظم في${\displaystyle v}$أظهرت دراسات أحدث أن معامل التباين الموحد (الانحراف المعياري معبراً عنه كنسبة مئوية) كان أقرب إلى الحقيقة باستخدام التقنيات المستخدمة في سبعينيات القرن الماضي. ^{[ 49 ] [ 50 ]} ومع ذلك، قد تكون هذه الحقيقة أكثر تعقيداً من أي اعتماد على${\displaystyle v}$وحده يمكن أن يمثل. ^{[ 51 ]}

الانحراف المعياري الموحد لـ${\displaystyle 1/v}$إذا اعتُبرت المعدلات ذات انحراف معياري منتظم، فإن الوزن المناسب لكل${\displaystyle v}$قيمة الانحدار غير الخطي هي 1. إذا تم استخدام مخطط المقلوب المزدوج، فإن كل قيمة من${\displaystyle 1/v}$ينبغي أن يكون وزنه${\displaystyle v^{4}}$أما إذا تم استخدام مخطط هانز، فإن كل قيمة من${\displaystyle a/v}$ينبغي أن يكون وزنه${\displaystyle v^{4}/a^{2}}$.

معامل التباين المنتظم لـ${\displaystyle 1/v}$إذا اعتُبرت المعدلات ذات معامل تباين منتظم، فإن الوزن المناسب لكل منها${\displaystyle v}$قيمة الانحدار غير الخطي هي${\displaystyle v^{2}}$إذا تم استخدام مخطط المقلوب المزدوج، فإن كل قيمة من${\displaystyle 1/v}$ينبغي أن يكون وزنه${\displaystyle v^{2}}$أما إذا تم استخدام مخطط هانز، فإن كل قيمة من${\displaystyle a/v}$ينبغي أن يكون وزنه${\displaystyle v^{2}/a^{2}}$.

من الأفضل أن${\displaystyle v}$في كل حالة من هذه الحالات، ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية هي القيمة المحسوبة، ولكنها تبقى مجهولة دائمًا. ومع ذلك، بعد إجراء تقدير أولي، يمكن استخدام القيم المحسوبة.${\displaystyle {\hat {v}}}$لتحسين التقدير. عمليًا، نادرًا ما يتم التحقق تجريبيًا من بنية الخطأ في بيانات حركية الإنزيم، وبالتالي فهي غير معروفة تقريبًا، بل تُفترض ببساطة. ومع ذلك، من الممكن تكوين انطباع عن بنية الخطأ من الأدلة الداخلية في البيانات. ^{[ 52 ]} هذا الأمر شاقٌّ عند القيام به يدويًا، ولكنه يُمكن القيام به بسهولة باستخدام الحاسوب.

اقترح سانتياغو شنيل وكلاوديو ميندوزا حلاً مغلقاً لتحليل حركية مسار الزمن لحركية ميكايليس-مينتين استناداً إلى حل دالة لامبرت W. [ ^{53 ]} أي ^،

${\displaystyle {\frac {a}{K_{\mathrm {m} }}}=W(F(t))}$

حيث W هي دالة لامبرت W و

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{0}}{K_{\mathrm {m} }}}\exp \!\left({\frac {a_{0}}{K_{\mathrm {m} }}}-{\frac {Vt}{K_{\mathrm {m} }}}\right)}$

تم استخدام المعادلة المذكورة أعلاه، والمعروفة حاليًا باسم معادلة شنيل-ميندوزا، ^{[ 54 ]} لتقدير${\displaystyle V}$و${\displaystyle K_{\mathrm {m} }}$من بيانات المسار الزمني. ^{[ 55 ] [ 56 ]}