عملية أورنستين-أولينبيك

عملية أورنستين-أولينبيك متجانسة زمنيًا تبدأ عند${\displaystyle x_{0}=0}$يمكن تمثيلها كعملية وينر مُقاسة ومُحوّلة زمنيًا :

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}-1}}$

أين${\displaystyle W_{t}}$هي عملية وينر القياسية. وهذا ما يُعرف تقريبًا بالنظرية 1.2 في كتاب دوب عام 1942. أو بصورة مكافئة، مع تغيير المتغير${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$يصبح هذا

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

باستخدام هذا الربط، يمكن للمرء ترجمة الخصائص المعروفة لـ${\displaystyle W_{t}}$إلى عبارات مقابلة لـ${\displaystyle x_{t}}$على سبيل المثال، قانون اللوغاريتم المتكرر لـ${\displaystyle W_{t}}$يصبح ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

المعادلة التفاضلية العشوائية لـ${\displaystyle x_{t}}$يمكن حلها رسميًا عن طريق تغيير المعاملات . ^{[ 7 ]} كتابة

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

نحصل

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

التكامل من${\displaystyle 0}$ل${\displaystyle t}$نحصل

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

وعندها نرى

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

من هذا التمثيل، يتضح أن العزم الأول (أي المتوسط) هو

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

بافتراض${\displaystyle x_{0}}$ثابت. علاوة على ذلك، يمكن استخدام تماثل إيتو لحساب دالة التغاير بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

المولد المتناهي الصغر للعملية هو ^{[ 8 ]}$${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$إذا سمحنا${\displaystyle y=(x-\mu ){\sqrt {\frac {2\theta }{\sigma ^{2}}}}}$ثم تتبسط معادلة القيم الذاتية إلى: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi -{\frac {\lambda }{\theta }}\phi =0}$$وهي المعادلة الأساسية لكثيرات حدود هيرميت . حلولها هي${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$، مع${\displaystyle \lambda =-n\theta }$وهذا يعني أن متوسط ​​زمن المرور الأول للجسيم حتى يصطدم بنقطة على الحدود هو من رتبة${\displaystyle \theta ^{-1}}$.

تُعد عملية أورنستين-أولينبيك نموذجًا أوليًا لعملية استرخاء صاخبة . ومن الأمثلة النموذجية عليها نابض هوكي ( مذبذب توافقي ) ذو ثابت نابض.${\displaystyle k}$ديناميكياتها مخمدة بشكل مفرط بمعامل احتكاك${\displaystyle \gamma }$في وجود تقلبات حرارية مع درجة الحرارة${\displaystyle T}$الطول${\displaystyle x(t)}$يتذبذب جزء من الزنبرك حول طول راحة الزنبرك${\displaystyle x_{0}}$تُوصَف ديناميكياتها العشوائية بعملية أورنستين-أولينبيك مع

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2D}}={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \sigma ^{2}}$مشتقة من معادلة ستوكس-أينشتاين${\displaystyle D=k_{B}T/\gamma }$لحساب ثابت الانتشار الفعال. ^{[ 12 ] [ 13 ]} أعيدت كتابتها كمعادلة لانجفين الشائعة في الفيزياء، ${\displaystyle \gamma \,{\dot {x}}=-k(x-x_{0})+\xi (t)}$، أين${\displaystyle \xi (t)}$يشير إلى الضوضاء البيضاء الغاوسية مع ${\displaystyle \langle \xi (t)\xi (t')\rangle =2D\,\delta (t-t')}$وبالتالي، لدينا بالنسبة لدالة الارتباط الذاتي (نفس ما سبق في الترميز الرياضي) ${\displaystyle \langle [x(t)-x_{0}][x(t')-x_{0}]\rangle =(k_{B}T/k)\exp[-(k/\gamma )|t-t'|]}$مع التباين${\displaystyle k_{B}T/k}$مستقل عن${\displaystyle \gamma }$ونطاق زمني للاسترخاء${\displaystyle \gamma /k}$كما هو متوقع من التحليل البُعدي.

استُخدم هذا النموذج لوصف حركة جسيم براوني في مصيدة ضوئية . ^{[ 13 ] [ 14 ]} عند الاتزان، يخزن الزنبرك طاقة متوسطة${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$وفقًا لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة . ^{[ 15 ]}

تُستخدم عملية أورنستين-أولينبيك في نموذج فاسيتشيك لسعر الفائدة. ^{[ 16 ]} تُعدّ عملية أورنستين-أولينبيك إحدى الطرق العديدة المستخدمة لنمذجة أسعار الفائدة وأسعار صرف العملات وأسعار السلع (مع بعض التعديلات) بشكل عشوائي. المعامل${\displaystyle \mu }$يمثل التوازن أو القيمة المتوسطة التي تدعمها العوامل الأساسية ؛${\displaystyle \sigma }$درجة التقلبات المحيطة بها الناتجة عن الصدمات ، و${\displaystyle \theta }$معدل تلاشي هذه الصدمات وعودة المتغير نحو المتوسط. ومن تطبيقات هذه العملية استراتيجية تداول تُعرف باسم تداول الأزواج . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

قام مارسيلو مينينّا بتطوير تطبيق إضافي لعملية أورنستين-أولينبيك لنمذجة عائدات الأسهم في ظل ديناميكيات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي . تهدف هذه النمذجة إلى تحديد فترة الثقة للتنبؤ بظواهر التلاعب بالسوق . ^{[ 20 ] [ 21 ]}

تم اقتراح عملية أورنستين-أولينبيك كتحسين لنموذج الحركة البراونية لنمذجة تغير الأنماط الظاهرية للكائنات الحية بمرور الوقت. ^{[ 22 ]} يفترض نموذج الحركة البراونية أن النمط الظاهري يمكن أن يتحرك بلا حدود، بينما يفرض الانتقاء الطبيعي تكلفة على معظم الأنماط الظاهرية عند تحركها بعيدًا في أي اتجاه. أظهر تحليل تلوي لـ 250 سلسلة زمنية للأنماط الظاهرية الأحفورية أن نموذج أورنستين-أولينبيك كان الأنسب لـ 115 سلسلة زمنية (46%) من السلاسل الزمنية المدروسة، مما يدعم فكرة الثبات كنمط تطوري شائع. ^{[ 23 ]} مع ذلك، توجد بعض التحديات التي تواجه استخدامه: فآليات اختيار النموذج غالبًا ما تكون منحازة لتفضيل عملية أورنستين-أولينبيك دون دعم كافٍ، كما أن سوء التفسير سهل على عالم البيانات غير المتمرس. ^{[ 24 ]}

نسخة متعددة الأبعاد من عملية أورنستين-أولينبيك، ويرمز لها بالمتجه ذي الأبعاد N${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$، ويمكن تعريفها من

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

أين${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$هي عملية وينر ذات أبعاد N ، و${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$هي مصفوفات ثابتة من الرتبة N × N. ^{[ 28 ]} الحل هو

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

والمتوسط ​​هو

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

تستخدم هذه التعبيرات الدالة الأسية للمصفوفة .

ويمكن وصف العملية أيضاً بدلالة دالة كثافة الاحتمال${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$، وهو ما يحقق معادلة فوكر-بلانك ^{[ 29 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},}$

حيث المصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$مع المكونات${\displaystyle D_{ij}}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$كما هو الحال في الحالة أحادية البعد، فإن العملية عبارة عن تحويل خطي لمتغيرات عشوائية غاوسية، وبالتالي يجب أن تكون غاوسية هي الأخرى. ولهذا السبب، فإن احتمال الانتقال${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$هي دالة غاوسية يمكن كتابتها بشكل صريح. إذا كانت الأجزاء الحقيقية للقيم الذاتية لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$إذا كانت أكبر من الصفر، فهذا حل ثابت${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$كما أنها موجودة، معطاة بواسطة

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right),}$

حيث المصفوفة${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$يتم تحديدها من معادلة ليابونوف${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$[ ^{5 ]​}