نظرية التذبذب والتبدد

على سبيل المثال، أشار ألبرت أينشتاين في بحثه عام 1905 حول الحركة البراونية إلى أن القوى العشوائية نفسها التي تُسبب الحركة غير المنتظمة للجسيم في الحركة البراونية ستُسبب أيضًا مقاومةً إذا سُحب الجسيم عبر السائل. بعبارة أخرى، فإن تذبذب الجسيم الساكن له نفس أصل قوة الاحتكاك المُبددة التي يجب بذل شغل للتغلب عليها، إذا حاولنا تغيير اتجاه النظام.

انطلاقاً من هذه الملاحظة، تمكن أينشتاين من استخدام الميكانيكا الإحصائية لاستنتاج علاقة أينشتاين-سمولوشوفسكي$${\displaystyle D=\mu \,k_{\text{B}}T,}$$ والذي يربط ثابت الانتشار D وحركية الجسيمات μ ، وهي نسبة سرعة الانجراف النهائية للجسيم إلى القوة المطبقة؛ k _B هو ثابت بولتزمان ، و T هي درجة الحرارة المطلقة .

في عام 1928، اكتشف جون ب. جونسون ضوضاء جونسون-نايكويست ، وقام هاري نيكويست بتفسيرها . في حالة عدم وجود تيار كهربائي مطبق، يعتمد متوسط ​​مربع الجهد على المقاومة.${\displaystyle R}$،${\displaystyle k_{\text{B}}T}$وعرض النطاق الترددي${\displaystyle \Delta \nu }$والتي يتم قياس الجهد عليها: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx 4Rk_{\text{B}}T\,\Delta \nu .}$$

يمكن فهم هذه الملاحظة من خلال منظور نظرية التذبذب والتبدد. خذ، على سبيل المثال، دائرة بسيطة تتكون من مقاوم ذي مقاومة${\displaystyle R}$ومكثف ذو سعة صغيرة${\displaystyle C}$ينتج عن قانون كيرشوف للجهد ما يلي:$${\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}},}$$ وبالتالي فإن دالة الاستجابة لهذه الدائرة هي $${\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}.}$$

في نطاق الترددات المنخفضة${\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}$، الجزء الخيالي منه هو ببساطة $${\displaystyle \operatorname {Im} \left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2},}$$ والتي يمكن ربطها بعد ذلك بدالة كثافة القدرة الطيفية${\displaystyle S_{V}(\أوميغا )}$من الجهد الكهربائي عبر نظرية التذبذب والتبدد: $${\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\text{B}}T}{C^{2}\omega }}\operatorname {Im} \left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\text{B}}T.}$$

ضوضاء الجهد الكهربائي لجونسون-نايكويست${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$لوحظ ذلك ضمن نطاق ترددي صغير${\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}$تتمحور حول${\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}$. لذلك $${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\text{B}}T\Delta \nu .}$$

نستنتج نظرية التذبذب والتبدد بالشكل المذكور أعلاه، باستخدام نفس الرموز. لنفترض الحالة الاختبارية التالية: كان المجال f فعالاً لفترة زمنية لا نهائية، ثم تم إيقافه عند t = 0

$${\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}$$ أين${\displaystyle \theta (t)}$هي دالة هيفسايد . يمكننا التعبير عن القيمة المتوقعة لـ x بواسطة توزيع الاحتمال W ( x , 0) واحتمال الانتقال${\displaystyle P(x',t|x,0)}$

$${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}$$

دالة توزيع الاحتمال W ( x ,0) هي توزيع توازن، وبالتالي تُعطى بواسطة توزيع بولتزمان للهاميلتوني${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}$

$${\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,}$$ أين${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\text{B}}T}$بالنسبة للمجال الضعيف${\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}$يمكننا توسيع الجانب الأيمن

$${\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}$$

هنا${\displaystyle W_{0}(x)}$يمثل التوزيع المتوازن في غياب المجال. بتطبيق هذا التقريب في صيغة${\displaystyle \langle x(t)\rangle }$العائد

$${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\beta f_{0}A(t),}$$

1

حيث A ( t ) هي دالة الارتباط الذاتي لـ x في غياب المجال:

$${\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}$$

لاحظ أنه في غياب المجال، يكون النظام ثابتًا تحت تأثير الإزاحات الزمنية. يمكننا إعادة كتابة${\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}$باستخدام قابلية النظام للتأثر، ومن ثم إيجاد ( 1 ) أعلاه

$${\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}$$

بالتالي،

$${\displaystyle -\chi (t)=\beta {dA(t) \over dt}\theta (t).}$$

2

للإشارة إلى اعتماد التردد، من الضروري إجراء تحويل فورييه للمعادلة ( 1 ) . ومن خلال التكامل بالتجزئة، يمكن إثبات أن $${\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}$$

منذ${\displaystyle A(t)}$إذا كانت حقيقية ومتناظرة، فإن ذلك يترتب عليه أن $${\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}$$

وأخيرًا، بالنسبة للعمليات الثابتة ، تنص نظرية وينر-خينشين على أن الكثافة الطيفية ذات الجانبين تساوي تحويل فورييه لدالة الارتباط الذاتي: $${\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}$$

وبالتالي، يترتب على ذلك أن $${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}$$

تربط نظرية التذبذب والتبدد دالة الارتباط للمتغير القابل للرصد محل الاهتمام${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$(مقياس للتقلب) للجزء التخيلي من دالة الاستجابة${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}$في مجال التردد (مقياس للتبديد). يمكن إيجاد رابط بين هذه الكميات من خلال ما يسمى بصيغة كوبو ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }$$

والذي يترتب على افتراضات نظرية الاستجابة الخطية ، من التطور الزمني للمتوسط ​​الإحصائي للمجموعة القابلة للرصد${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }$في وجود مصدر اضطراب. بمجرد إجراء تحويل فورييه، تسمح صيغة كوبو بكتابة الجزء التخيلي من دالة الاستجابة على النحو التالي:

$${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}$$

في المجموعة الكنسية ، يمكن إعادة صياغة الحد الثاني على النحو التالي:

$${\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)=\operatorname {Tr} {\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)=\operatorname {Tr} e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }$$

حيث قمنا في المساواة الثانية بإعادة تحديد الموقع${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$باستخدام الخاصية الدورية للأثر. بعد ذلك، في المساواة الثالثة، أدخلنا${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}$بجوار الأثر وتم تفسيره${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}$كعامل تطور زمني${\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}$ بفترة زمنية تخيلية${\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }$يتحول التحول الزمني الوهمي إلى${\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}$العامل بعد تحويل فورييه

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}$$

وبالتالي فإن التعبير عن${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$يمكن إعادة كتابتها بسهولة على أنها علاقة التذبذب الكمي والتبدد ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$$

حيث كثافة القدرة الطيفية${\displaystyle S_{x}(\omega )}$هو تحويل فورييه للارتباط الذاتي${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$و${\displaystyle n_{\text{BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}$هي دالة توزيع بوز-أينشتاين . وتعطي نفس العملية الحسابية أيضًا

$${\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}$$

وبالتالي، وبخلاف ما تم الحصول عليه في الحالة الكلاسيكية، فإن كثافة القدرة الطيفية ليست متناظرة التردد تمامًا في الحد الكمي . وبشكل متسق،${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$يحتوي على جزء تخيلي ناتج عن قواعد تبديل المؤثرات. ^{[ 7 ]} الجزء الإضافي "${\displaystyle +1}$مصطلح في التعبير عن${\displaystyle S_{x}(\omega )}$يمكن أيضًا اعتبار الترددات الموجبة مرتبطة بالانبعاث التلقائي . ومن النتائج التي يتم الاستشهاد بها غالبًا كثافة القدرة الطيفية المتناظرة.

$${\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\text{BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}$$

ال "${\displaystyle +1/2}$يمكن اعتبار "مرتبطًا بالتقلبات الكمومية ، أو بحركة النقطة الصفرية للملاحظة${\displaystyle {\hat {x}}}$عند درجات حرارة عالية بما يكفي،${\displaystyle n_{\text{BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}$أي أن المساهمة الكمومية ضئيلة، ونستعيد النسخة الكلاسيكية.