تدوين برا-كيت

في الرياضيات، يُستخدم مصطلح "المتجه" للإشارة إلى عنصر من أي فضاء متجهي. أما في الفيزياء، فيُشير مصطلح "المتجه" عادةً بشكل حصري تقريبًا إلى كميات مثل الإزاحة أو السرعة ، والتي لها مركبات ترتبط مباشرةً بالأبعاد الثلاثة للفضاء ، أو نسبيًا، بالأبعاد الأربعة للزمكان . وعادةً ما يُرمز إلى هذه المتجهات بأسهم فوق بعضها البعض (${\displaystyle {\vec {r}}}$), بخط غامق (${\displaystyle \mathbf {p} }$) أو المؤشرات (${\displaystyle v^{\mu }}$).

في ميكانيكا الكم، تُمثَّل الحالة الكمومية عادةً كعنصر من فضاء هيلبرت المركب ، على سبيل المثال، فضاء المتجهات اللانهائي الأبعاد لجميع الدوال الموجية الممكنة (دوال قابلة للتكامل التربيعي تُحوِّل كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى عدد مركب) أو فضاء هيلبرت أكثر تجريدًا مبنيًا بطريقة جبرية. ولتمييز هذا النوع من المتجهات عن تلك الموصوفة أعلاه، من الشائع والمفيد في الفيزياء الإشارة إلى عنصر${\displaystyle \phi }$فضاء متجهي معقد مجرد كـ ket${\displaystyle |\phi \rangle }$، للإشارة إليه باسم "كيت" بدلاً من كونه متجهًا، ولنطقه "كيت-${\displaystyle \phi }$" أو "ket-A" لـ | A ⟩ .

يمكن استخدام الرموز أو الحروف أو الأرقام أو حتى الكلمات - أيًا كان ما يصلح كعلامة مناسبة - كعلامة داخل الكيت، مع${\displaystyle |\ \rangle }$مع توضيح أن التسمية تشير إلى متجه في فضاء متجهي. بعبارة أخرى، للرمز " | A⟩ " دلالة رياضية واضحة فيما يتعلق بنوع المتغير المُمثَّل، بينما لا يحمل الرمز " A " وحده هذه الدلالة. على سبيل المثال، | 1⟩ + | 2⟩ لا يساوي بالضرورة | 3⟩ . مع ذلك، ولأغراض التبسيط، عادةً ما يكون هناك مخطط منطقي وراء التسميات داخل المتجهات، مثل الممارسة الشائعة في ميكانيكا الكم لتسمية متجهات الطاقة الذاتية من خلال سرد أعدادها الكمية . في أبسط صورها، تمثل التسمية داخل المتجه القيمة الذاتية لمؤثر فيزيائي، مثل${\displaystyle {\hat {x}}}$،${\displaystyle {\hat {p}}}$،${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$، إلخ.

بما أن المتجهات هي مجرد متجهات في فضاء متجهي هيرميتي، فإنه يمكن التعامل معها باستخدام القواعد المعتادة للجبر الخطي. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

لاحظ كيف أن السطر الأخير أعلاه يتضمن عددًا لا نهائيًا من المتجهات المختلفة، متجه واحد لكل عدد حقيقي x .

بما أن الكيت عنصر من فضاء متجهي، فإن برا${\displaystyle \langle A|}$هو عنصر من فضاءه الثنائي ، أي أن البرا دالة خطية تمثل تطبيقًا خطيًا من الفضاء المتجهي إلى الأعداد المركبة. لذا، من المفيد اعتبار الكيتس والبرا عناصر من فضاءات متجهية مختلفة (انظر أدناه)، حيث يمثل كل منهما مفهومًا مفيدًا مختلفًا.

حمالة صدر${\displaystyle \langle \phi |}$و ket${\displaystyle |\psi \rangle }$(أي دالة ومتجه)، يمكن دمجهما في عامل واحد${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$من الرتبة الأولى مع المنتج الخارجي

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

يُعدّ ترميز برا-كيت مفيدًا بشكل خاص في فضاءات هيلبرت التي تحتوي على جداء داخلي ^{[ 5 ]} يسمح بالاقتران الهيرميتي وتحديد متجه بدالة خطية متصلة، أي كيت مع برا، والعكس صحيح (انظر نظرية تمثيل ريز ). الجداء الداخلي على فضاء هيلبرت${\displaystyle (\ ,\ )}$(مع اعتبار الوسيط الأول غير خطي كما يفضله الفيزيائيون) يكافئ تمامًا تعريفًا (غير خطي) بين فضاء المتجهات المتجهة وفضاء المتجهات المتجهة في تدوين المتجهات المتجهة: بالنسبة لمتجه متجه${\displaystyle \psi =|\psi \rangle }$تعريف حمالة صدر وظيفية (مثل حمالة الصدر)${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$بواسطة

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

يمكن استخدام ترميز برا-كيت حتى لو لم يكن الفضاء المتجهي فضاء هيلبرت .

في ميكانيكا الكم، من الممارسات الشائعة كتابة حالات ذات معيار لانهائي ، أي دوال موجية غير قابلة للتطبيع . تشمل الأمثلة حالات تكون دوالها الموجية دوال ديراك دلتا أو موجات مستوية لانهائية . هذه الحالات، من الناحية الفنية، لا تنتمي إلى فضاء هيلبرت نفسه. مع ذلك، يمكن توسيع تعريف "فضاء هيلبرت" ليشمل هذه الحالات (انظر بناء جيلفاند-نايمارك-سيغال أو فضاءات هيلبرت المُجهزة ). يستمر ترميز برا-كيت في العمل بطريقة مماثلة في هذا السياق الأكثر عمومية.

تُعدّ فضاءات باناخ تعميمًا مختلفًا لفضاءات هيلبرت. في فضاء باناخ B ، يُمكن تمثيل المتجهات برموز kets والدوال الخطية المتصلة برموز bras. على أي فضاء متجهي بدون طوبولوجيا مُحددة ، يُمكننا أيضًا تمثيل المتجهات برموز kets والدوال الخطية برموز bras. في هذه السياقات الأكثر عمومية، لا يحمل القوس معنى الجداء الداخلي، لأن نظرية تمثيل ريز لا تنطبق.

المكونات المنفصلة A _k لمتجه معقد | A ⟩ = Σ _k A _k | e _k ⟩ .

المكونات المستمرة ψ ( x ) لمتجه معقد | ψ ⟩ = ∫ d x ψ ( x ) | x ⟩ .

مكونات المتجهات المركبة مرسومة مقابل رقم الدليل؛ k منفصلة و x متصلة . تم تسليط الضوء على مكونين محددين من بين عدد لا نهائي من المكونات.

يمكن تمثيل فضاء هيلبرت لجسيم نقطي ذي لف مغزلي يساوي صفرًا بدلالة " أساس الموضع " { | r ⟩ } ، حيث يمتد الرمز r على مجموعة جميع النقاط في فضاء الموضع . تحقق هذه الحالات معادلة القيم الذاتية لمؤثر الموضع : $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle .}$$ حالات الموضع هي " متجهات ذاتية معممة "، وليست عناصر من فضاء هيلبرت نفسه، ولا تشكل أساسًا متعامدًا قابلًا للعد. ومع ذلك، بما أن فضاء هيلبرت قابل للفصل، فإنه يسمح بوجود مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد ضمن نطاق تعريف دوال الموجة الخاصة به. أي، بدءًا من أي متجه متجه | Ψ⟩ في فضاء هيلبرت هذا، يمكن تعريف دالة قياسية مركبة لـ r ، تُعرف بدالة الموجة . $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$$

على الجانب الأيسر، Ψ( r ) هي دالة تربط أي نقطة في الفضاء بعدد مركب؛ على الجانب الأيمن، $${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle }$$ هي عبارة عن مجموعة تتكون من تراكب مجموعات ذات معاملات نسبية محددة بواسطة تلك الدالة.

ومن المعتاد بعد ذلك تعريف المؤثرات الخطية التي تؤثر على الدوال الموجية بدلالة المؤثرات الخطية التي تؤثر على المتجهات، وذلك بواسطة $${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$$

على سبيل المثال، عامل الزخم${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$له التمثيل الإحداثي التالي، $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$$

بل إن المرء قد يصادف أحياناً تعبيراً مثل${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle }$مع أن هذا يُعدّ نوعًا من إساءة استخدام الرموز . يجب فهم المؤثر التفاضلي على أنه مؤثر مجرد، يعمل على المتجهات، وله تأثير تفاضل الدوال الموجية بمجرد إسقاط التعبير على أساس الموضع.${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$ مع أن هذا المؤثر، في أساس الزخم، لا يعدو كونه مجرد مؤثر ضرب (بحسب iħ p ). أي، بمعنى آخر، $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$$ أو $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$$

في ميكانيكا الكم ، يُفسَّر التعبير ⟨ φ | ψ ⟩ عادةً على أنه سعة احتمالية انهيار الحالة ψ إلى الحالة φ . رياضياً، يعني هذا معامل إسقاط ψ على φ . ويُوصَف أيضاً بأنه إسقاط الحالة ψ على الحالة φ .

يمتلك الجسيم الساكن ذو اللف المغزلي ½ فضاء هيلبرت ثنائي الأبعاد. أحد الأسس المتعامدة هو: $${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ حيث | ↑ _z ⟩ هي الحالة ذات القيمة المحددة لمؤثر الدوران S _z تساوي + 1 ⁄ 2 و | ↓ _z ⟩ هي الحالة ذات القيمة المحددة لمؤثر الدوران S _z تساوي − 1 ⁄ 2 .

وبما أن هذه الحالات تشكل أساسًا، فإنه يمكن التعبير عن أي حالة كمومية للجسيم على أنها تركيبة خطية (أي تراكب كمومي ) لهاتين الحالتين: $${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$$ حيث أن _aψ و bψ أعداد _مركبة .

أساس مختلف لنفس فضاء هيلبرت هو: $${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$$ يتم تعريفها بدلالة S _x بدلاً من S _z .

مرة أخرى، يمكن التعبير عن أي حالة من حالات الجسيم كمزيج خطي من هذين العنصرين: $${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$$

في شكل متجه، يمكنك كتابة $${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$$ يعتمد ذلك على الأساس الذي تستخدمه. بعبارة أخرى، تعتمد "إحداثيات" المتجه على الأساس المستخدم.

توجد علاقة رياضية بين${\displaystyle a_{\psi }}$،${\displaystyle b_{\psi }}$،${\displaystyle c_{\psi }}$و${\displaystyle d_{\psi }}$انظر تغيير الأساس .

أحد أسباب الالتباس هو أن الترميز لا يفصل عملية الضرب الداخلي عن ترميز متجه (برا). إذا تم إنشاء متجه برا (في الفضاء الثنائي) كتركيبة خطية لمتجهات برا أخرى (على سبيل المثال عند التعبير عنه في أساس ما)، فإن الترميز يُحدث بعض الغموض ويخفي تفاصيل رياضية. يمكننا مقارنة ترميز برا-كيت باستخدام الخط الغامق للمتجهات، مثل${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$، و${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$بالنسبة للجداء الداخلي. ضع في اعتبارك متجه برا-فيكتور الفضاء الثنائي التالي في الأساس${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$، أين${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$هي معاملات الأعداد المركبة لـ${\displaystyle \langle \psi |}$: $${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$$

يجب تحديد ذلك بالاتفاق إذا كانت الأعداد المركبة${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$تكون داخل أو خارج المنتج الداخلي، وكل اصطلاح يعطي نتائج مختلفة.

$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$$$${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$$

من الشائع استخدام الرمز نفسه للتسميات والثوابت . على سبيل المثال ،${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$، حيث الرمز${\displaystyle \alpha }$يُستخدم في الوقت نفسه كاسم للمشغل${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$، متجهها الذاتي${\displaystyle |\alpha \rangle }$والقيمة الذاتية المرتبطة بها${\displaystyle \alpha }$أحيانًا يتم إسقاط القبعة أيضًا بالنسبة للمشغلين، ويمكن للمرء أن يرى رموزًا مثل${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$[ ^{7 ]​}

من الشائع رؤية الاستخدام${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$حيث الخنجر (${\displaystyle \dagger }$) يُقابل المرافق الهرميتي. إلا أن هذا غير صحيح من الناحية التقنية، لأن الكيت،${\displaystyle |\psi \rangle }$، يمثل متجهًا في فضاء هيلبرت المركب${\displaystyle {\mathcal {H}}}$وحمالة الصدر،${\displaystyle \langle \psi |}$، هي دالة خطية على المتجهات في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle |\psi \rangle }$هو مجرد متجه، بينما${\displaystyle \langle \psi |}$هو مزيج من متجه وضرب داخلي.

يُستخدم هذا لتبسيط عملية ترميز متجهات القياس. على سبيل المثال، إذا كان المتجه${\displaystyle |\alpha \rangle }$يتم تغيير الحجم بواسطة${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$، ويمكن الإشارة إليه${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$قد يكون هذا الأمر غامضاً لأن${\displaystyle \alpha }$هو مجرد تسمية لحالة، وليس كائنًا رياضيًا يمكن إجراء عمليات عليه. يشيع هذا الاستخدام عند الإشارة إلى المتجهات كحاصل ضرب موترات، حيث يتم نقل جزء من التسميات خارج الفتحة المصممة، على سبيل المثال${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}}$.

المؤثر الخطي هو دالة تُدخل متجهًا وتُخرج متجهًا. (لكي يُطلق عليه "خطي"، يجب أن يمتلك خصائص معينة ). بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle {\hat {A}}}$هو مؤثر خطي و${\displaystyle |\psi \rangle }$إذا كان متجهًا متجهيًا،${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$وهو متجه طاقة آخر.

في${\displaystyle N}$في فضاء هيلبرت ذي الأبعاد n، يمكننا فرض أساس على الفضاء وتمثيله${\displaystyle |\psi \rangle }$من حيث إحداثياتها كـ${\displaystyle N\times 1}$متجه عمودي . باستخدام نفس الأساس لـ${\displaystyle {\hat {A}}}$، ويتم تمثيله بواسطة${\displaystyle N\times N}$المصفوفة المركبة. متجه الكيت${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$يمكن الآن حسابها عن طريق ضرب المصفوفات.

تُعدّ المؤثرات الخطية شائعة في نظرية ميكانيكا الكم. فعلى سبيل المثال، تُمثَّل الكميات الفيزيائية القابلة للملاحظة بمؤثرات ذاتية الترافق ، مثل الطاقة أو الزخم ، بينما تُمثَّل العمليات التحويلية بمؤثرات خطية وحدوية مثل الدوران أو مرور الزمن.

يمكن أيضًا النظر إلى المؤثرات على أنها تؤثر على حمالات الصدر من الجانب الأيمن . تحديدًا، إذا كان A مؤثرًا خطيًا و⟨ φ | حمالة صدر، فإن ⟨φ | A حمالة صدر أخرى معرفة بالقاعدة $${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$$ (بمعنى آخر، تركيب دالة ). يُكتب هذا التعبير عادةً على النحو التالي (انظر: حاصل الضرب الداخلي للطاقة ). $${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$$

في فضاء هيلبرت ذي N بُعد، يمكن كتابة ⟨φ | كمتجه صفّي 1 × N ، و A (كما في القسم السابق) هي مصفوفة N × N. عندئذٍ، يمكن حساب ⟨φ|A باستخدام ضرب المصفوفات العادي .

إذا ظهر متجه الحالة نفسه على كل من جانبي bra و ket، $${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$$ ثم يعطي هذا التعبير القيمة المتوقعة ، أو المتوسط ​​أو القيمة المتوسطة، للملاحظة التي يمثلها العامل A للنظام الفيزيائي في الحالة | ψ ⟩ .

تُعطى طريقة ملائمة لتعريف المؤثرات الخطية على فضاء هيلبرت H بواسطة الضرب الخارجي : إذا كان ⟨ϕ⟩ عبارة عن شعاع و | ψ⟩ عبارة عن مجموعة متجهات، فإن الضرب الخارجي $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$$ يشير إلى عامل الرتبة الأولى مع القاعدة $${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .}$$

بالنسبة للفضاء المتجهي ذي الأبعاد المحدودة، يمكن فهم الضرب الخارجي على أنه ضرب مصفوفات بسيط: $${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$$ الضرب الخارجي عبارة عن مصفوفة N × N ، كما هو متوقع بالنسبة للمؤثر الخطي.

يُستخدم الضرب الخارجي في بناء مُعاملات الإسقاط . بفرض وجود متجه متجه | ψ⟩ ذي معيار 1، فإن الإسقاط المتعامد على الفضاء الجزئي الذي يولده | ψ⟩ هو$${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$$ هذا عنصر متطابق في جبر الكميات القابلة للرصد يعمل على فضاء هيلبرت.

كما يمكن تحويل الكيتات والبرا إلى بعضها البعض (بجعل | ψ⟩ إلى ⟨ψ | ) ، فإن العنصر من الفضاء الثنائي المقابل لـ A | ψ⟩ هو ⟨ψ | A ^† ، حيث يرمز A ^† إلى المرافق الهيرميتي (أو المرافق) للمؤثر A. بعبارة أخرى ،$${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$$

إذا تم التعبير عن A كمصفوفة N × N ، فإن A ^† هي منقولة المرافق لها.

• بما أن حمالات الصدر عبارة عن دوال خطية،$${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$$
• بحسب تعريف الجمع والضرب القياسي للدوال الخطية في الفضاء المزدوج، ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$$

عند كتابة أي تعبير يتضمن أعدادًا مركبة، أو أقواسًا، أو مجموعات، أو جداءات داخلية، أو جداءات خارجية، أو مؤثرات خطية (باستثناء الجمع)، باستخدام ترميز الأقواس، فإن التجميعات بين قوسين لا تُؤثر (أي أن خاصية التجميع تبقى سارية). على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك. يُسمح بكتابة التعبيرات على اليمين (بدون أقواس إطلاقًا) بشكلٍ لا لبس فيه نظرًا للمساواة الموجودة على اليسار. تجدر الإشارة إلى أن خاصية التجميع لا تنطبق على التعبيرات التي تتضمن عوامل غير خطية، مثل عامل عكس الزمن المضاد للخطية في الفيزياء.

تُسهّل صيغة برا-كيت حساب المرافق الهيرميتي (المعروف أيضًا باسم الخنجر ، ويرمز له بـ † ) للتعبيرات. القواعد الرسمية هي:

• المرافق الهرميتي لـ bra هو ket المقابل، والعكس صحيح.
• المرافق الهيرميتي لعدد مركب هو مرافقه المركب.
• المرافق الهرميتي للمرافق الهرميتي لأي شيء (المؤثرات الخطية، البرا، الكيتس، الأعداد) هو نفسه - أي$${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$$
• بالنظر إلى أي مجموعة من الأعداد المركبة، والبرا، والكيت، والمنتجات الداخلية، والمنتجات الخارجية، و/أو المؤثرات الخطية، المكتوبة في تدوين برا-كيت، يمكن حساب المرافق الهيرميتي لها عن طريق عكس ترتيب المكونات، وأخذ المرافق الهيرميتي لكل منها.

تكفي هذه القواعد لكتابة المرافق الهرميتي لأي تعبير من هذا القبيل بشكل رسمي؛ وفيما يلي بعض الأمثلة:

• كيتس:$${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$$
• المنتجات الداخلية:$${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$$لاحظ أن ⟨ φ | ψ ⟩ كمية قياسية، لذا فإن المرافق الهيرميتي هو ببساطة المرافق المركب، أي$${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$$
• عناصر المصفوفة:$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$$
• المنتجات الخارجية:$${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$$