التوزيع الطبيعي المتوقع

يمثل نطاق هذا التوزيع الكرة ذات البعد (n-1) التي يمكن التعبير عنها بأشكال مختلفة من خلال مجموعة من${\displaystyle (n-1)}$الإحداثيات الكروية الزاوية ذات الأبعاد :

${\displaystyle {\boldsymbol {\Theta }}=[0,\pi ]^{n-2}\times [0,2\pi )\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$

أو من حيث${\displaystyle n}$إحداثيات ديكارتية ذات أبعاد :

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}=\{{\boldsymbol {z}}\in \mathbb {R} ^{n}:\lVert {\boldsymbol {z}}\rVert =1\}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

يرتبط الاثنان عبر دالة التضمين ،${\displaystyle e:{\boldsymbol {\Theta }}\to \mathbb {R} ^{n}}$، مع نطاق${\displaystyle e({\boldsymbol {\Theta }})=\mathbb {S} ^{n-1}.}$تُعرَّف هذه الدالة بواسطة صيغة الإحداثيات الكروية عند${\displaystyle r=1.}$

يُقدّم هذا القسم الفرعي بعض التوضيحات لتجنب سوء فهم الأشكال المختلفة لكثافة الاحتمال المستخدمة في هذه المقالة. لنأخذ على سبيل المثال متغيرًا عشوائيًا${\displaystyle u\in (0,1]}$، بكثافة منتظمة،${\displaystyle p_{U}(u)=1}$. لو${\displaystyle \ell =-\log u}$، فهي ذات كثافة،${\displaystyle p_{L}(\ell )=e^{-\ell }}$ينجح هذا إذا تم تعريف كلتا الكثافتين بالنسبة إلى مقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية. وفقًا للاتفاقية الافتراضية:

• دوال الكثافة هي كثافات ليبيغ ، معرفة بالنسبة إلى مقياس ليبيغ ، ومطبقة في الفضاء الذي توجد فيه وسيطة دالة الكثافة، بحيث:
• ترتبط كثافات ليبيغ المتضمنة في تغيير المتغيرات بعامل يعتمد على مشتقات التحويل (مشتقات التحويل).${\displaystyle d\ell /du=e^{-\ell }}$في هذا المثال؛ و${\displaystyle r^{n-1}}$بالنسبة للتغيير المذكور أعلاه في المتغيرات،${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {v}}}$).

لا ينطبق أي من هذين الاتفاقين على${\displaystyle {\mathcal {PN_{n}}}}$الكثافات في هذه المقالة :

• ل${\displaystyle n\geq 3}$الكثافة،${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$غير مُعرَّف فيما يتعلق بمقياس ليبيغ في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$أين${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$الحياة، لأن هذا المقياس لا يتفق مع المفهوم القياسي للمساحة الكروية الفائقة . بدلاً من ذلك، يتم تعريف الكثافة بالنسبة لمقياس يتم سحبه للخلف (عبر دالة التضمين) إلى فضاء الإحداثيات الزاوية، من مقياس ليبيغ في${\displaystyle (n-1)}$الفضاء المماسي ذو الأبعاد n للكرة الفائقة. سيتم شرح ذلك أدناه.
• مع التضمين${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=e({\boldsymbol {\theta }})}$، الكثافة،${\displaystyle {\tilde {p}}({\boldsymbol {v}}\mid {\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$لا يمكن تعريفها فيما يتعلق بمقياس ليبيغ، لأن${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}\in \mathbb {R} ^{n}}$لها قياس لوبيغ يساوي صفرًا. بدلًا من ذلك،${\displaystyle {\tilde {p}}}$يتم تعريفها بالنسبة إلى مقياس هاوسدورف المقياسي .

تتفق إجراءات التراجع وهاوسدورف، بحيث:

${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\tilde {p}}({\boldsymbol {v}}\mid {\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$

حيث لا يوجد عامل تغيير المتغيرات، لأن الكثافات تستخدم مقاييس مختلفة .

لفهم ما يُقصد بتعريف الكثافة بالنسبة إلى مقياس (دالة تربط المجموعات الفرعية في فضاء العينة بـ "حجم" حقيقي غير سالب)، ضع في اعتبارك مجموعة فرعية قابلة للقياس. ${\displaystyle U\subseteq {\boldsymbol {\Theta }}}$، مع صورة مضمنة${\displaystyle V=e(U)\subseteq \mathbb {S} ^{n-1}}$ودع${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=e({\boldsymbol {\theta }})\sim {\mathcal {PN_{n}}}}$إذاً، فإن احتمال العثور على العينة في المجموعة الفرعية هو:

${\displaystyle P({\boldsymbol {\theta }}\in U)=\int _{U}p\,d\pi =P({\boldsymbol {v}}\in V)=\int _{V}{\tilde {p}}\,dh}$

أين${\displaystyle \pi ,h}$تمثل على التوالي مقياسي السحب الخلفي وهاوسدورف؛ والتكاملات هي تكاملات ليبيغ ، والتي يمكن إعادة كتابتها كتكاملات ريمان على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{U}p\,d\pi =\int _{0}^{\infty }\pi \left(\{{\boldsymbol {\theta }}\in U:p({\boldsymbol {\theta }})>t\}\right)\,dt\quad (1)}$

ل${\displaystyle n=2}$، مع تحديد موضعها على دائرة الوحدة في الإحداثيات القطبية كما يلي${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta ,\sin \theta )}$يمكن كتابة دالة الكثافة بدلالة المعاملات${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$من التوزيع الطبيعي الأولي كـ

${\displaystyle p(\theta |{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{2\pi {\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\left(1+T(\theta ){\frac {\Phi (T(\theta ))}{\phi (T(\theta ))}}\right)I_{[0,2\pi )}(\theta )}$

أين${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \Phi }$تمثل الكثافة والتوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي ،${\displaystyle T(\theta )={\frac {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}{\sqrt {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}}}$، و${\displaystyle I}$هي دالة المؤشر . ^{[ 3 ]}

في الحالة الدائرية، إذا كان متجه المتوسط${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$إذا كان التوزيع موازياً للمتجه الذاتي المرتبط بأكبر قيمة ذاتية للتغاير، فإن التوزيع يكون متماثلاً وله نمط عند${\displaystyle \theta =\alpha }$ونمط أو نمط مضاد عند${\displaystyle \theta =\alpha +\pi }$، أين${\displaystyle \alpha }$هي الزاوية القطبية لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )}$أما إذا كان المتوسط ​​موازياً للمتجه الذاتي المرتبط بأصغر قيمة ذاتية، فإن التوزيع يكون متماثلاً أيضاً، ولكنه يحتوي إما على نمط أو مضاد نمط عند${\displaystyle \theta =\alpha }$ونمط مضاد في${\displaystyle \theta =\alpha +\pi }$[ ^{7 ]​}

ل${\displaystyle n=3}$، مع تحديد موضعها على الكرة الوحدة في الإحداثيات الكروية كما يلي${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta _{1}\sin \theta _{2},\sin \theta _{1}\sin \theta _{2},\cos \theta _{2})}$أين${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\theta _{2})}$السمت​${\displaystyle \theta _{1}\in [0,2\pi )}$والميل${\displaystyle \theta _{2}\in [0,\pi ]}$على التوالي، تصبح دالة الكثافة

${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}\left(2\pi {\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}+T({\boldsymbol {\theta }})\left(1+T({\boldsymbol {\theta }}){\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}\right)\right)I_{[0,2\pi )}(\theta _{1})I_{[0,\pi ]}(\theta _{2})}$

أين${\displaystyle \phi }$،${\displaystyle \Phi }$،${\displaystyle T}$، و${\displaystyle I}$لها نفس معنى الحالة الدائرية. ^{[ 8 ]}

يترك${\displaystyle \mathbf {T} }$كن أي${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$مصفوفة قابلة للعكس بحيث${\displaystyle \mathbf {T} \mathbf {T} '={\boldsymbol {\Sigma }}}$. يترك${\displaystyle \mathbf {u} \sim \operatorname {ACG} (\mathbf {I} _{n})}$(موحد) و${\displaystyle s\sim \chi (n)}$( توزيع كاي )، بحيث:${\displaystyle \mathbf {x} =s\mathbf {Tu} \sim {\mathcal {N}}_{n}(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}$(التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات). والآن، لننظر إلى:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {Tu} }{\lVert \mathbf {Tu} \rVert }}={\frac {\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}\sim \operatorname {ACG} ({\boldsymbol {\Sigma }})}$

مما يدل على أن توزيع ACG ينتج أيضًا عن تطبيق التحويل الخطي المعياري على المتغيرات المنتظمة : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle f_{\mathbf {T} }(\mathbf {u} )={\frac {\mathbf {Tu} }{\lVert \mathbf {Tu} \rVert }}}$

بعض التوضيحات الإضافية لهاتين الطريقتين للحصول على${\displaystyle \mathbf {v} \sim \operatorname {ACG} ({\boldsymbol {\Sigma }})}$قد يكون هذا مفيدًا:

• إذا بدأنا بـ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$، التي تم أخذ عينات منها من توزيع طبيعي متعدد المتغيرات، يمكننا إسقاطها شعاعيًا على${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$للحصول على متغيرات ACG. لاستنتاج كثافة ACG، نقوم أولاً بتغيير المتغيرات:${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto (r,\mathbf {v} )}$، وهو ما يزال${\displaystyle n}$التمثيل ذو الأبعاد، وهذا التحويل يؤدي إلى عامل تغير الحجم التفاضلي،${\displaystyle r^{n-1}}$وهو ما يتناسب مع الحجم في${\displaystyle (n-1)}$الفضاء المماسي ذو الأبعاد n العمودي على${\displaystyle \mathbf {x} }$ثم، للحصول في النهاية على كثافة ACG على${\displaystyle (n-1)}$كرة الوحدة ذات الأبعاد n، نحتاج إلى تهميشها على${\displaystyle r}$.
• إذا بدأنا بـ${\displaystyle \mathbf {u} \in \mathbb {S} ^{n-1}}$بما أننا أخذنا عينة من التوزيع المنتظم، فلا نحتاج إلى التهميش، لأننا بالفعل في${\displaystyle n-1}$الأبعاد. بدلاً من ذلك، للحصول على متغيرات ACG (والكثافة المرتبطة بها)، يمكننا إجراء تغيير المتغيرات مباشرةً.${\displaystyle \mathbf {v} =f_{\mathbf {T} }(\mathbf {u} )}$، والتي ترد تفاصيل إضافية عنها في القسم الفرعي التالي.

تحذير: عندما${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$لا يساوي الصفر، على الرغم من ذلك${\displaystyle s\mathbf {Tu} +{\boldsymbol {\mu }}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$، ولا ينطبق هذا الازدواجية المماثلة :

${\displaystyle {\frac {\mathbf {Tu} +{\boldsymbol {\mu }}}{\lVert \mathbf {Tu} +{\boldsymbol {\mu }}\rVert }}\neq {\frac {s\mathbf {Tu} +{\boldsymbol {\mu }}}{\lVert s\mathbf {Tu} +{\boldsymbol {\mu }}\rVert }}\sim {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu ,\Sigma }})}$

على الرغم من أنه يمكننا إسقاط المتغيرات الطبيعية المحولة خطيًا شعاعيًا للحصول على${\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}}$هذا لا يعمل مع المتغيرات المنتظمة.

التحويل الخطي المعياري،${\displaystyle \mathbf {v} =f_{\mathbf {T} }(\mathbf {u} )}$، هي دالة تقابل من كرة الوحدة إلى نفسها؛ وعكسها هو${\displaystyle \mathbf {u} =f_{\mathbf {T} ^{-1}}(\mathbf {v} )}$يُعدّ هذا التحويل ذا أهمية مستقلة، إذ يُمكن تطبيقه كتدفق احتمالي على الكرة الفائقة (على غرار التدفق المعياري ) لتعميم توزيعات أخرى (غير منتظمة) على الكرات الفائقة، مثل توزيع فون ميزس-فيشر . ووجود صيغة مغلقة لكثافة ACG يسمح لنا باستعادة التغير التفاضلي في الحجم الناتج عن هذا التحويل بصيغة مغلقة أيضًا.

لتغيير المتغيرات،${\displaystyle \mathbf {v} =f_{\mathbf {T} }(\mathbf {u} )}$على المشعب ،${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ترتبط الكثافات المنتظمة وكثافات ACG على النحو التالي: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\tilde {p}}_{\text{ACG}}(\mathbf {v} \mid {\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {p_{\text{uniform}}}{R(\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}}}$

حيث تكون الكثافة المنتظمة (الثابتة)${\displaystyle p_{\text{uniform}}={\frac {\Gamma (n/2)}{2\pi ^{n/2}}}}$وأين${\displaystyle R(\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}$يمثل عامل تغير الحجم التفاضلي من المدخل إلى مخرج التحويل؛ وتحديدًا، يُعطى بالقيمة المطلقة لمحدد مصفوفة${\displaystyle (n-1)}$-بواسطة-${\displaystyle (n-1)}$المصفوفة:

${\displaystyle R(\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\Sigma }})=\operatorname {abs} \left|\mathbf {Q} _{\mathbf {v} }'\mathbf {J} _{\mathbf {u} }\mathbf {Q} _{\mathbf {u} }\right|}$

أين${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {u} }}$هو${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$مصفوفة جاكوبي للتحويل في الفضاء الإقليدي ،${\displaystyle f_{\mathbf {T} }:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$، تم تقييمها في${\displaystyle \mathbf {u} }$في الفضاء الإقليدي ، يكون التحويل ومصفوفة جاكوبي الخاصة به غير قابلين للعكس، ولكن عندما يتم تقييد المجال والمجال المقابل إلى${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$، ثم${\displaystyle f_{\mathbf {T} }:\mathbb {S} ^{n-1}\to \mathbb {S} ^{n-1}}$هي دالة تقابل ونسبة الحجم التفاضلي المستحثة،${\displaystyle R(\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}$يتم الحصول عليها عن طريق الإسقاط${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {u} }}$إلى${\displaystyle (n-1)}$الفضاءات المماسية ذات الأبعاد عند مدخلات ومخرجات التحويل:${\displaystyle \mathbf {Q} _{\mathbf {u} },\mathbf {Q} _{\mathbf {v} }}$نكون${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle (n-1)}$المصفوفات التي تمتد أعمدتها المتعامدة عبر الفضاءات المماسية. على الرغم من سهولة حساب صيغة المحدد المذكورة أعلاه عدديًا على منصة برمجية مزودة بالجبر الخطي والتفاضل التلقائي ، إلا أنه يصعب اشتقاق صيغة مغلقة بسيطة لها مباشرةً. ومع ذلك، بما أننا نمتلك بالفعل${\displaystyle {\tilde {p}}_{\text{ACG}}}$يمكننا التعافي:

${\displaystyle R(\mathbf {v} ,{\boldsymbol {\Sigma }})=\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{\frac {1}{2}}(\mathbf {v} '{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {v} )^{\frac {n}{2}}={\frac {\operatorname {abs} \left|\mathbf {T} \right|}{\lVert \mathbf {Tu} \rVert ^{n}}}}$

حيث يُفهم في الجانب الأيمن النهائي أن${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=\mathbf {T} \mathbf {T} '}$و${\displaystyle \mathbf {u} =f_{\mathbf {T} ^{-1}}(\mathbf {v} )}$.

يمكن الآن استخدام التحويل الخطي المعياري، على سبيل المثال، لإعطاء كثافة مغلقة الشكل لتوزيع أكثر مرونة على الكرة الفائقة، وهو توزيع معمّم من توزيع فون ميزس-فيشر .${\displaystyle \mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}$و${\displaystyle \mathbf {v} =f_{\mathbf {T} }(\mathbf {x} )}$والكثافة الناتجة هي:

${\displaystyle p(\mathbf {v} \mid {\boldsymbol {\mu }},\kappa ,\mathbf {T} )={\frac {{\tilde {p}}_{\text{VMF}}{\bigl (}\mathbf {f} _{T^{-1}}(\mathbf {v} )\mid {\boldsymbol {\mu }},\kappa {\bigr )}}{R(\mathbf {v} ,\mathbf {T} \mathbf {T} ')}}}$