المرافق السابق

في نظرية الاحتمالات البايزية ، إذا، بالنظر إلى دالة الاحتمال${\displaystyle p(x\mid \theta )}$، التوزيع الخلفي${\displaystyle p(\theta \mid x)}$ينتمي إلى نفس عائلة التوزيع الاحتمالي مثل التوزيع الاحتمالي المسبق${\displaystyle p(\theta )}$يُطلق على التوزيعين الاحتماليين المسبق واللاحق اسم التوزيعين المترافقين بالنسبة لدالة الاحتمال، ويُطلق على التوزيع المسبق اسم التوزيع المسبق المترافق لدالة الاحتمال.${\displaystyle p(x\mid \theta )}$.

يُعدّ التوزيع المسبق المترافق أداةً جبريةً مُيسّرةً، إذ يُتيح صيغةً مغلقةً للتوزيع اللاحق؛ وإلا فقد يكون التكامل العددي ضروريًا. علاوةً على ذلك، قد يُوضّح التوزيع المسبق المترافق كيفية تحديث دالة الاحتمال للتوزيع المسبق.

تم تقديم مفهوم "التوزيع الاحتمالي المترافق"، بالإضافة إلى مصطلح "التوزيع الاحتمالي المترافق"، من قبل هوارد رايفا وروبرت شلايفر في عملهما حول نظرية القرار البايزية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وقد اكتشف جورج ألفريد بارنارد مفهومًا مشابهًا بشكل مستقل . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يمكن عمومًا تحديد شكل التوزيع الاحتمالي المسبق المترافق من خلال فحص دالة كثافة الاحتمال أو دالة كتلة الاحتمال للتوزيع. على سبيل المثال، لنفترض متغيرًا عشوائيًا يتكون من عدد النجاحات.${\displaystyle s}$في${\displaystyle n}$تجارب برنولي باحتمالية نجاح غير معروفة${\displaystyle q}$في الفترة [0,1]. سيتبع هذا المتغير العشوائي التوزيع ذي الحدين ، مع دالة كتلة احتمالية على الشكل التالي

${\displaystyle p(s)={n \choose s}q^{s}(1-q)^{ns}}$

التوزيع الاحتمالي المسبق المترافق المعتاد هو توزيع بيتا ذو المعاملات (${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$):

${\displaystyle p(q)={q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1} \over \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$

أين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$يتم اختيارها لتعكس أي معتقدات أو معلومات موجودة (${\displaystyle \alpha =1}$و${\displaystyle \beta =1}$سيؤدي ذلك إلى توزيع منتظم ) و${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$هل دالة بيتا تعمل كثابت تطبيع ؟

في هذا السياق،${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$تُسمى هذه المعلمات بالمعلمات الفائقة (معلمات التوزيع الاحتمالي المسبق)، وذلك لتمييزها عن معلمات النموذج الأساسي (هنا).${\displaystyle q}$من الخصائص المميزة للتوزيعات الاحتمالية المترافقة أن بُعد المعلمات الفائقة يزيد بمقدار واحد عن بُعد معلمات التوزيع الأصلي. فإذا كانت جميع المعلمات قيمًا عددية، فسيكون هناك معلمة فائقة أكثر من المعلمات؛ وينطبق هذا أيضًا على المعلمات المتجهة والمصفوفية. (انظر المقالة العامة حول عائلة التوزيعات الأسية ، وانظر أيضًا توزيع ويشارت ، وهو التوزيع الاحتمالي المترافق لمصفوفة التغاير لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات ، كمثال على التوزيع ذي البُعد الكبير).

إذا قمنا بأخذ عينة من هذا المتغير العشوائي وحصلنا على${\displaystyle s}$النجاحات و${\displaystyle f=ns}$إذا فشلنا، فسنواجه

${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,f\mid q=x)&={s+f \choose s}x^{s}(1-x)^{f},\\P(q=x)&={x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1} \over \mathrm {B} (\alpha ,\beta )},\\P(q=x\mid s,f)&={\frac {P(s,f\mid x)P(x)}{\int P(s,f\mid y)P(y)dy}}\\&={{{s+f \choose s}x^{s+\alpha -1}(1-x)^{f+\beta -1}/\mathrm {B} (\alpha ,\beta )} \over \int _{y=0}^{1}\left({s+f \choose s}y^{s+\alpha -1}(1-y)^{f+\beta -1}/\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\right)dy}\\&={x^{s+\alpha -1}(1-x)^{f+\beta -1} \over \mathrm {B} (s+\alpha ,f+\beta )},\end{aligned}}}$

وهو توزيع بيتا آخر ذو معلمات${\displaystyle (\alpha +s,\beta +f)}$ويمكن بعد ذلك استخدام هذا التوزيع الخلفي كتوزيع مسبق لمزيد من العينات، مع إضافة المعلمات الفائقة ببساطة كل معلومة إضافية عند ورودها.

لنفترض أن خدمة تأجير السيارات تعمل في مدينتك. يمكن للسائقين تسليم واستلام السيارات في أي مكان داخل حدود المدينة. يمكنك البحث عن السيارات واستئجارها باستخدام تطبيق.

لنفترض أنك ترغب في معرفة احتمالية العثور على سيارة للإيجار على مسافة قصيرة من عنوان منزلك في أي وقت من اليوم.

على مدار ثلاثة أيام، تقوم بتصفح التطبيق وتجد العدد التالي من السيارات على مسافة قصيرة من عنوان منزلك:${\displaystyle \mathbf {x} =[3,4,1]}$

لنفترض أننا نفترض أن البيانات تأتي من توزيع بواسون . في هذه الحالة، يمكننا حساب تقدير الاحتمال الأقصى لمعلمات النموذج، وهو${\textstyle \lambda ={\frac {3+4+1}{3}}\approx 2.67.}$باستخدام تقدير الاحتمال الأقصى هذا، يمكننا حساب احتمالية وجود سيارة واحدة على الأقل متاحة في يوم معين:${\textstyle p(x>0|\lambda \approx 2.67)=1-p(x=0|\lambda \approx 2.67)=1-{\frac {2.67^{0}e^{-2.67}}{0!}}\approx 0.93}$

هذا هو توزيع بواسون الذي يُرجح أنه قد ولّد البيانات المرصودة${\displaystyle \mathbf {x} }$لكن البيانات قد تكون أيضًا من توزيع بواسون آخر، على سبيل المثال، توزيع ذو${\displaystyle \lambda =3}$، أو${\displaystyle \lambda =2}$إلخ. في الواقع، يوجد عدد لا نهائي من توزيعات بواسون التي يُمكن أن تكون قد ولّدت البيانات المرصودة. مع عدد قليل نسبيًا من نقاط البيانات، ينبغي أن نكون غير متأكدين تمامًا من توزيع بواسون الذي ولّد هذه البيانات. بديهيًا، ينبغي لنا بدلًا من ذلك أن نأخذ متوسطًا مرجحًا لاحتمالية${\displaystyle p(x>0|\lambda )}$لكل توزيع من توزيعات بواسون تلك، مرجحة بمدى احتمالية كل منها، بالنظر إلى البيانات التي لاحظناها${\displaystyle \mathbf {x} }$.

بشكل عام، تُعرف هذه الكمية باسم التوزيع التنبؤي اللاحق${\displaystyle p(x|\mathbf {x} )=\int _{\theta }p(x|\theta )p(\theta |\mathbf {x})d\theta \,,}$أين${\displaystyle x}$هي نقطة بيانات جديدة،${\displaystyle \mathbf {x} }$البيانات المرصودة و${\displaystyle \theta }$هي معلمات النموذج. باستخدام نظرية بايز، يمكننا توسيع${\displaystyle p(\theta |\mathbf {x} )={\frac {p(\mathbf {x} |\theta )p(\theta )}{p(\mathbf {x} )}}\,,}$لذلك${\displaystyle p(x|\mathbf {x} )=\int _{\theta }p(x|\theta ){\frac {p(\mathbf {x} |\theta )p(\theta )}{p(\mathbf {x} )}}d\theta \,.}$عموماً، يصعب حساب هذا التكامل. ومع ذلك، إذا اخترت توزيعًا مسبقًا مترافقًا،${\displaystyle p(\theta )}$ويمكن اشتقاق صيغة مغلقة. وهذا هو عمود التنبؤ اللاحق في الجداول أدناه.

بالعودة إلى مثالنا، إذا اخترنا توزيع غاما كتوزيع أولي لمعدل توزيعات بواسون، فإن التوزيع التنبؤي اللاحق هو التوزيع ذو الحدين السالب ، كما هو موضح في الجدول أدناه. يتم تحديد توزيع غاما بواسطة معلَمتين فائقتين.${\displaystyle \alpha ,\beta }$، وهو ما يتعين علينا اختياره. من خلال النظر إلى رسوم بيانية لتوزيع جاما، نختار${\displaystyle \alpha =\beta =2}$وهذا يبدو احتمالاً معقولاً لعدد السيارات المتوسط. إن اختيار المعلمات الفائقة المسبقة أمرٌ شخصي بطبيعته ويعتمد على المعرفة المسبقة.

بالنظر إلى المعلمات الفائقة السابقة${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$يمكننا حساب المعلمات الفائقة اللاحقة${\textstyle \alpha '=\alpha +\sum _{i}x_{i}=2+3+4+1=10}$و${\textstyle \beta '=\beta +n=2+3=5}$

بمعرفة المعلمات الفائقة اللاحقة، يمكننا أخيرًا حساب التنبؤ اللاحق لـ${\textstyle p(x>0|\mathbf {x} )=1-p(x=0|\mathbf {x} )=1-NB\left(0\,|\,10,{\frac {5}{1+5}}\right)\approx 0.84}$

يعكس هذا التقدير الأكثر تحفظاً عدم اليقين في معلمات النموذج، والتي يأخذها التنبؤ اللاحق في الاعتبار.

لنفترض أن n يمثل عدد المشاهدات. في جميع الحالات أدناه، يُفترض أن البيانات تتكون من n نقطة${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$(والتي ستكون متجهات عشوائية في الحالات متعددة المتغيرات).

إذا كانت دالة الاحتمال تنتمي إلى العائلة الأسية ، فإن التوزيع المسبق المترافق موجود، وغالبًا ما يكون أيضًا في العائلة الأسية؛ انظر العائلة الأسية: التوزيعات المترافقة .

عندما تكون دالة الاحتمالية عبارة عن توزيع منفصل

احتمالية ${\displaystyle p(x_{i}|\theta )}$	معلمات النموذج ${\displaystyle \theta }$	التوزيع المسبق (واللاحق) المترافق ${\displaystyle p(\theta |\Theta ),p(\theta |\mathbf {x} ,\Theta )=p(\theta |\Theta ')}$	المعلمات الفائقة السابقة${\displaystyle \Theta }$	المعلمات الفائقة الخلفية [ ملاحظة 1 ]${\displaystyle \Theta '}$	تفسير المعلمات  الفائقة	التنبؤ اللاحق [ ملاحظة 2 ]${\displaystyle p({\tilde {x}}|\mathbf {x} ,\Theta )=p({\tilde {x}}|\Theta ')}$
برنولي	الاحتمال ( p )	بيتا	${\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}$	${\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,\beta +n-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}$	${\displaystyle \alpha }$نجاحات،${\displaystyle \beta }$حالات الفشل [ ملاحظة 3 ]	${\displaystyle p({\tilde {x}}=1)={\frac {\alpha '}{\alpha '+\beta '}}}$( برنولي )
التوزيع ذو الحدين مع عدد معروف من المحاولات، N_i	الاحتمال ( p )	بيتا	${\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}$	${\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,\beta +\sum _{i=1}^{n}N_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}$	${\displaystyle \alpha }$نجاحات،${\displaystyle \beta }$حالات الفشل [ ملاحظة 3 ]	${\displaystyle \operatorname {BetaBin} ({\tilde {x}}|\alpha ',\beta ')}$( بيتا-ذو الحدين )
توزيع ذو حدين سالب مع عدد فشل معروف، r	الاحتمال ( p )	بيتا	${\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}$	${\displaystyle \alpha +rn,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}$	${\displaystyle \alpha }$نجاحات كاملة،${\displaystyle \beta }$حالات الفشل [ ملاحظة 3 ] (أي،${\displaystyle {\frac {\beta }{r}}}$التجارب، بافتراض${\displaystyle r}$(يبقى ثابتًا)	${\displaystyle \operatorname {BetaNegBin} ({\tilde {x}}|\alpha ',\beta ')}$ (التوزيع الثنائي السالب بيتا)
بواسون	λ (المعدل)	جاما	${\displaystyle k,\,\theta \in \mathbb {R} \!}$	${\displaystyle k+\sum _{i=1}^{n}x_{i},\ {\frac {\theta }{n\theta +1}}\!}$	${\displaystyle k}$إجمالي مرات الظهور في${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$الفترات	${\displaystyle \operatorname {NB} \left({\tilde {x}}\mid k',{\frac {1}{\theta '+1}}\right)}$( التوزيع ذو الحدين السالب )
			${\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}$[ ملاحظة 4 ]	${\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\ \beta +n\!}$	${\displaystyle \alpha }$إجمالي مرات الظهور في${\displaystyle \beta }$الفترات	${\displaystyle \operatorname {NB} \left({\tilde {x}}\mid \alpha ',{\frac {\beta '}{1+\beta '}}\right)}$( التوزيع ذو الحدين السالب )
فئوي	p (متجه الاحتمالية)، k (عدد الفئات؛ أي حجم p )	ديريشليه	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{k}\!}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}+(c_{1},\ldots ,c_{k}),}$أين${\displaystyle c_{i}}$يمثل عدد المشاهدات في الفئة i	${\displaystyle \alpha _{i}}$حالات الفئة${\displaystyle i}$[ ملاحظة 3 ]	${\displaystyle {\begin{aligned}p({\tilde {x}}=i)&={\frac {{\alpha _{i}}'}{\sum _{i}{\alpha _{i}}'}}\\&={\frac {\alpha _{i}+c_{i}}{\sum _{i}\alpha _{i}+n}}\end{aligned}}}$( تصنيفي )
متعدد الحدود	p (متجه الاحتمالية)، k (عدد الفئات؛ أي حجم p )	ديريشليه	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{k}\!}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {x} _{i}\!}$	${\displaystyle \alpha _{i}}$حالات الفئة${\displaystyle i}$[ ملاحظة 3 ]	${\displaystyle \operatorname {DirMult} ({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {\boldsymbol {\alpha }}')}$( توزيع ديريشلي متعدد الحدود )
التوزيع الهندسي الفائق مع حجم سكان إجمالي معروف، N	م (عدد الأعضاء المستهدفين)	بيتا-ذو الحدين [ 5 ]	${\displaystyle n=N,\alpha ,\,\beta \!}$	${\displaystyle \alpha +\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,\beta +\sum _{i=1}^{n}N_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}$	${\displaystyle \alpha }$نجاحات،${\displaystyle \beta }$حالات الفشل [ ملاحظة 3 ]
هندسي	p 0 (الاحتمالية)	بيتا	${\displaystyle \alpha ,\,\beta \in \mathbb {R} \!}$	${\displaystyle \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}$	${\displaystyle \alpha }$التجارب،${\displaystyle \beta }$حالات فشل كاملة [ ملاحظة 3 ]	${\displaystyle \operatorname {BNB} ({\tilde {x}}\mid r=1,\,\alpha ',\,\beta ')}$( توزيع بيتا الهندسي )

عندما تكون دالة الاحتمال توزيعًا مستمرًا

احتمالية ${\displaystyle p(x_{i}|\theta )}$	معلمات النموذج ${\displaystyle \theta }$	التوزيع المسبق (واللاحق) المترافق${\displaystyle p(\theta |\Theta ),p(\theta |\mathbf {x} ,\Theta )=p(\theta |\Theta ')}$	المعلمات الفائقة السابقة${\displaystyle \Theta }$	المعلمات الفائقة الخلفية [ ملاحظة 1 ]${\displaystyle \Theta '}$	تفسير المعلمات  الفائقة	التنبؤ اللاحق [ ملاحظة 5 ]${\displaystyle p({\tilde {x}}|\mathbf {x} ,\Theta )=p({\tilde {x}}|\Theta ')}$
التوزيع الطبيعي ذو التباين المعروف σ 2	μ (المتوسط)	طبيعي	${\displaystyle \mu _{0},\,\sigma _{0}^{2}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {n}{\sigma ^{2}}}}}\left({\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right),\left({\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}+{\frac {n}{\sigma ^{2}}}\right)^{-1}}$	تم تقدير المتوسط ​​من الملاحظات بدقة إجمالية (مجموع جميع الدقة الفردية).${\displaystyle 1/\sigma _{0}^{2}}$وبمتوسط ​​العينة${\displaystyle \mu _{0}}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}({\tilde {x}}|\mu _{0}',{\sigma _{0}^{2}}'+\sigma ^{2})}$[ 6 ]
الوضع الطبيعي بدقة معروفة τ	μ (المتوسط)	طبيعي	${\displaystyle \mu _{0},\,\tau _{0}^{-1}\!}$	${\displaystyle {\frac {\tau _{0}\mu _{0}+\tau \sum _{i=1}^{n}x_{i}}{\tau _{0}+n\tau }},\,\left(\tau _{0}+n\tau \right)^{-1}}$	تم تقدير المتوسط ​​من الملاحظات بدقة إجمالية (مجموع جميع الدقة الفردية).${\displaystyle \tau _{0}}$وبمتوسط ​​العينة${\displaystyle \mu _{0}}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}\left({\tilde {x}}\mid \mu _{0}',{\frac {1}{\tau _{0}'}}+{\frac {1}{\tau }}\right)}$[ 6 ]
توزيع طبيعي بمتوسط ​​معروف μ	σ 2 (التباين)	غاما المعكوسة	${\displaystyle \mathbf {\alpha ,\,\beta } }$[ ملاحظة 6 ]	${\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {n}{2}},\,\mathbf {\beta } +{\frac {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-\mu )^{2}}}{2}}}$	تم تقدير التباين من${\displaystyle 2\alpha }$الملاحظات ذات التباين العيني${\displaystyle \beta /\alpha }$(أي بمجموع مربعات الانحرافات)${\displaystyle 2\beta }$، حيث تكون الانحرافات عن المتوسط ​​المعروف${\displaystyle \mu }$)	${\displaystyle t_{2\alpha '}({\tilde {x}}|\mu ,\sigma ^{2}=\beta '/\alpha ')}$[ 6 ]
توزيع طبيعي بمتوسط ​​معروف μ	σ 2 (التباين)	مربع كاي المعكوس المُقاس	${\displaystyle \nu ,\,\sigma _{0}^{2}\!}$	${\displaystyle \nu +n,\,{\frac {\nu \sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu +n}}\!}$	تم تقدير التباين من${\displaystyle \nu }$الملاحظات ذات التباين العيني${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$	${\displaystyle t_{\nu '}({\tilde {x}}|\mu ,{\sigma _{0}^{2}}')}$[ 6 ]
توزيع طبيعي بمتوسط ​​معروف μ	τ (الدقة)	جاما	${\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}$[ ملاحظة 4 ]	${\displaystyle \alpha +{\frac {n}{2}},\,\beta +{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2}}\!}$	تم تقدير الدقة من${\displaystyle 2\alpha }$الملاحظات ذات التباين العيني${\displaystyle \beta /\alpha }$(أي بمجموع مربعات الانحرافات)${\displaystyle 2\beta }$، حيث تكون الانحرافات عن المتوسط ​​المعروف${\displaystyle \mu }$)	${\displaystyle t_{2\alpha '}({\tilde {x}}\mid \mu ,\sigma ^{2}=\beta '/\alpha ')}$[ 6 ]
عادي [ ملاحظة 7 ]	μ و σ 2 بافتراض قابلية التبادل	غاما المعكوسة الطبيعية	${\displaystyle \mu _{0},\,\nu ,\,\alpha ,\,\beta }$	${\displaystyle {\frac {\nu \mu _{0}+n{\bar {x}}}{\nu +n}},\,\nu +n,\,\alpha +{\frac {n}{2}},\,}$${\displaystyle \beta +{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n\nu }{\nu +n}}{\frac {({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$هو متوسط ​​العينة	تم تقدير المتوسط ​​من${\displaystyle \nu }$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle \mu _{0}}$تم تقدير التباين من${\displaystyle 2\alpha }$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle \mu _{0}}$ومجموع مربعات الانحرافات${\displaystyle 2\beta }$	${\displaystyle t_{2\alpha '}\left({\tilde {x}}\mid \mu ',{\frac {\beta '(\nu '+1)}{\nu '\alpha '}}\right)}$[ 6 ]
طبيعي	μ و τ بافتراض قابلية التبادل	غاما الطبيعية	${\displaystyle \mu _{0},\,\nu ,\,\alpha ,\,\beta }$	${\displaystyle {\frac {\nu \mu _{0}+n{\bar {x}}}{\nu +n}},\,\nu +n,\,\alpha +{\frac {n}{2}},\,}$${\displaystyle \beta +{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+{\frac {n\nu }{\nu +n}}{\frac {({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$هو متوسط ​​العينة	تم تقدير المتوسط ​​من${\displaystyle \nu }$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle \mu _{0}}$وتم تقدير الدقة من${\displaystyle 2\alpha }$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle \mu _{0}}$ومجموع مربعات الانحرافات${\displaystyle 2\beta }$	${\displaystyle t_{2\alpha '}\left({\tilde {x}}\mid \mu ',{\frac {\beta '(\nu '+1)}{\alpha '\nu '}}\right)}$[ 6 ]
توزيع طبيعي متعدد المتغيرات مع مصفوفة تباين معروفة Σ	μ (متجه المتوسط)	التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات	${\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol {\mu }}}_{0},\,{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}$	${\displaystyle \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right)^{-1}\left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\mathbf {\bar {x}} \right),}$${\displaystyle \left({\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}+n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$هو متوسط ​​العينة	تم تقدير المتوسط ​​من الملاحظات بدقة إجمالية (مجموع جميع الدقة الفردية).${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{0}^{-1}}$وبمتوسط ​​العينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}'+{\boldsymbol {\Sigma }})}$[ 6 ]
توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمصفوفة دقة معروفة Λ	μ (متجه المتوسط)	التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات	${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\mu }} _{0},\,{\boldsymbol {\Lambda }}_{0}}$	${\displaystyle \left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\right)^{-1}\left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {\bar {x}} \right),\,\left({\boldsymbol {\Lambda }}_{0}+n{\boldsymbol {\Lambda }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$هو متوسط ​​العينة	تم تقدير المتوسط ​​من الملاحظات بدقة إجمالية (مجموع جميع الدقة الفردية).${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}_{0}}$وبمتوسط ​​العينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$	${\displaystyle {\mathcal {N}}\left({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{{{\boldsymbol {\Lambda }}_{0}}'}^{-1}+{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}\right)}$[ 6 ]
توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط ​​معروف μ	Σ (مصفوفة التغاير)	معكوس ويشارت	${\displaystyle \nu ,\,{\boldsymbol {\Psi }}}$	${\displaystyle n+\nu ,\,{\boldsymbol {\Psi }}+\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}}$	تم تقدير مصفوفة التغاير من${\displaystyle \nu }$الملاحظات مع مجموع نواتج الانحراف الزوجي${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}}$	${\displaystyle t_{\nu '-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{\boldsymbol {\mu }},{\frac {1}{\nu '-p+1}}{\boldsymbol {\Psi }}'\right)}$[ 6 ]
توزيع طبيعي متعدد المتغيرات بمتوسط ​​معروف μ	Λ (مصفوفة الدقة)	ويشارت	${\displaystyle \nu ,\,\mathbf {V} }$	${\displaystyle n+\nu ,\,\left(\mathbf {V} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})(\mathbf {x_{i}} -{\boldsymbol {\mu }})^{T}\right)^{-1}}$	تم تقدير مصفوفة التغاير من${\displaystyle \nu }$الملاحظات مع مجموع نواتج الانحراف الزوجي${\displaystyle \mathbf {V} ^{-1}}$	${\displaystyle t_{\nu '-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {\boldsymbol {\mu }},{\frac {1}{\nu '-p+1}}{\mathbf {V} '}^{-1}\right)}$[ 6 ]
التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات	μ (متجه المتوسط) و Σ (مصفوفة التغاير)	ويشارت المعكوس الطبيعي	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0},\,\kappa _{0},\,\nu _{0},\,{\boldsymbol {\Psi }}}$	${\displaystyle {\frac {\kappa _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n\mathbf {\bar {x}} }{\kappa _{0}+n}},\,\kappa _{0}+n,\,\nu _{0}+n,\,}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}+\mathbf {C} +{\frac {\kappa _{0}n}{\kappa _{0}+n}}(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$هو متوسط ​​العينة ${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )^{T}}$	تم تقدير المتوسط ​​من${\displaystyle \kappa _{0}}$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$تم تقدير مصفوفة التغاير من${\displaystyle \nu _{0}}$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$وبمجموع نواتج الانحراف الزوجي${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}=\nu _{0}{\boldsymbol {\Sigma }}_{0}}$	${\displaystyle t_{{\nu _{0}}'-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}|{{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{\frac {{\kappa _{0}}'+1}{{\kappa _{0}}'({\nu _{0}}'-p+1)}}{\boldsymbol {\Psi }}'\right)}$[ 6 ]
التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات	μ (متجه المتوسط) و Λ (مصفوفة الدقة)	عادي-ويشارت	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0},\,\kappa _{0},\,\nu _{0},\,\mathbf {V} }$	${\displaystyle {\frac {\kappa _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}+n\mathbf {\bar {x}} }{\kappa _{0}+n}},\,\kappa _{0}+n,\,\nu _{0}+n,\,}$${\displaystyle \left(\mathbf {V} ^{-1}+\mathbf {C} +{\frac {\kappa _{0}n}{\kappa _{0}+n}}(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})(\mathbf {\bar {x}} -{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\bar {x}} }$هو متوسط ​​العينة ${\displaystyle \mathbf {C} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )(\mathbf {x_{i}} -\mathbf {\bar {x}} )^{T}}$	تم تقدير المتوسط ​​من${\displaystyle \kappa _{0}}$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$تم تقدير مصفوفة التغاير من${\displaystyle \nu _{0}}$الملاحظات مع متوسط ​​العينة${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}$وبمجموع نواتج الانحراف الزوجي${\displaystyle \mathbf {V} ^{-1}}$	${\displaystyle t_{{\nu _{0}}'-p+1}\left({\tilde {\mathbf {x} }}\mid {{\boldsymbol {\mu }}_{0}}',{\frac {{\kappa _{0}}'+1}{{\kappa _{0}}'({\nu _{0}}'-p+1)}}{\mathbf {V} '}^{-1}\right)}$[ 6 ]
زي مُوحد	${\displaystyle U(0,\theta )\!}$	باريتو	${\displaystyle x_{m},\,k\!}$	${\displaystyle \max\{\,x_{1},\ldots ,x_{n},x_{\mathrm {m} }\},\,k+n\!}$	${\displaystyle k}$الملاحظات ذات القيمة القصوى${\displaystyle x_{m}}$
باريتو مع الحد الأدنى المعروف لـ x m	ك (شكل)	جاما	${\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}$	${\displaystyle \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\mathrm {m} }}}\!}$	${\displaystyle \alpha }$الملاحظات مع المجموع${\displaystyle \beta }$من رتبة مقدار كل ملاحظة (أي لوغاريتم نسبة كل ملاحظة إلى الحد الأدنى)${\displaystyle x_{m}}$)
توزيع ويبول ذو شكل معروف β	θ (مقياس)	غاما المعكوسة [ 5 ]	${\displaystyle a,b\!}$	${\displaystyle a+n,\,b+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\beta }\!}$	${\displaystyle a}$الملاحظات مع المجموع${\displaystyle b}$من القوة β لكل ملاحظة
التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي	ينطبق الأمر نفسه على التوزيع الطبيعي بعد تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على البيانات لحساب المعلمات الفائقة اللاحقة. يُرجى الرجوع إلى فينك (1997 ، الصفحات 21-22) للاطلاع على التفاصيل.
النمو الأسي	λ (المعدل)	جاما	${\displaystyle \alpha ,\,\beta \!}$[ ملاحظة 4 ]	${\displaystyle \alpha +n,\,\beta +\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}$	${\displaystyle \alpha }$الملاحظات التي مجموعها${\displaystyle \beta }$[ 7 ]	${\displaystyle \operatorname {Lomax} ({\tilde {x}}\mid \beta ',\alpha ')}$( توزيع لوماكس )
جاما ذات شكل معروف α	β (المعدل)	جاما	${\displaystyle \alpha _{0},\,\beta _{0}\!}$	${\displaystyle \alpha _{0}+n\alpha ,\,\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\!}$	${\displaystyle \alpha _{0}/\alpha }$الملاحظات مع المجموع${\displaystyle \beta _{0}}$	${\displaystyle \operatorname {CG} ({\tilde {\mathbf {x} }}\mid \alpha ,{\alpha _{0}}',{\beta _{0}}')=\operatorname {\beta '} ({\tilde {\mathbf {x} }}|\alpha ,{\alpha _{0}}',1,{\beta _{0}}')}$[ ملاحظة 8 ]
توزيع غاما معكوس ذو شكل معروف α	β (مقياس معكوس)	جاما	${\displaystyle \alpha _{0},\,\beta _{0}\!}$	${\displaystyle \alpha _{0}+n\alpha ,\,\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\!}$	${\displaystyle \alpha _{0}/\alpha }$الملاحظات مع المجموع${\displaystyle \beta _{0}}$
جاما بمعدل معروف β	α (الشكل)	${\displaystyle \propto {\frac {a^{\alpha -1}\beta ^{\alpha c}}{\Gamma (\alpha )^{b}}}}$	${\displaystyle a,\,b,\,c\!}$	${\displaystyle a\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,b+n,\,c+n\!}$	${\displaystyle b}$أو${\displaystyle c}$الملاحظات (${\displaystyle b}$لتقدير${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle c}$لتقدير${\displaystyle \beta }$) مع المنتج${\displaystyle a}$
جاما [ 5 ]	α (الشكل)، β (مقياس معكوس)	${\displaystyle \propto {\frac {p^{\alpha -1}e^{-\beta q}}{\Gamma (\alpha )^{r}\beta ^{-\alpha s}}}}$	${\displaystyle p,\,q,\,r,\,s\!}$	${\displaystyle p\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,q+\sum _{i=1}^{n}x_{i},\,r+n,\,s+n\!}$	${\displaystyle \alpha }$تم تقديرها من${\displaystyle r}$ملاحظات حول المنتج${\displaystyle p}$؛${\displaystyle \beta }$تم تقديرها من${\displaystyle s}$الملاحظات مع المجموع${\displaystyle q}$
بيتا	α ، β	${\displaystyle \propto {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )^{k}\,p^{\alpha }\,q^{\beta }}{\Gamma (\alpha )^{k}\,\Gamma (\beta )^{k}}}}$	${\displaystyle p,\,q,\,k\!}$	${\displaystyle p\prod _{i=1}^{n}x_{i},\,q\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}),\,k+n\!}$	${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$تم تقديرها من${\displaystyle k}$ملاحظات حول المنتج${\displaystyle p}$ونتاج المكملات${\displaystyle q}$

• توزيع بيتا-ذو الحدين