مجموعة التفرع

في نظرية الأعداد ، وبشكل أكثر تحديدًا في نظرية حقل الفئة المحلية ، تعتبر مجموعات التفرع بمثابة ترشيح لمجموعة غالوا لامتداد حقل محلي ، مما يوفر معلومات مفصلة عن ظواهر التفرع للامتداد.

في الرياضيات ، تدرس نظرية التفرع للتقييمات مجموعة امتدادات التقييم v لحقل K إلى امتداد L لـ K. وهي تعميم لنظرية التفرع لمجالات ^{ديديكيند . [ 1 ]} [ ² ]

تكون بنية مجموعة الامتدادات معروفة بشكل أفضل عندما يكون L / K هو Galois .

مجموعات التفرع هي شكل محسن من مجموعة غالوا ${\displaystyle G}$من محدود${\displaystyle L/K}$امتداد غالوا للحقول المحلية . سنكتب${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$لتقييم حلقة الأعداد الصحيحة ومثالها الأعظمي لـ${\displaystyle L}$نتيجةً لفرضية هينسل ، يمكن للمرء أن يكتب${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \alpha \in L}$أين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$هي حلقة الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle K}$^{[ 3 ]} ( هذا أقوى من نظرية العنصر الأولي ). ثم، لكل عدد صحيح${\displaystyle i\geq -1}$، نحن نحدد${\displaystyle G_{i}}$أن تكون مجموعة الكل${\displaystyle s\in G}$والتي تحقق الشروط المكافئة التالية.

• (أنا)${\displaystyle s}$يعمل بشكل بسيط على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii)${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$للجميع${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (ثالثاً)${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

المجموعة${\displaystyle G_{i}}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle i}$مجموعة التفرع رقم -th . تشكل هذه المجموعات عملية ترشيح متناقصة .

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

في الواقع، الـ ${\displaystyle G_{i}}$تكون طبيعية وفقًا لـ (i) وتافهة بالنسبة لقيم كبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle i}$بحسب (ثالثًا). بالنسبة لأدنى المؤشرات، جرت العادة على تسميتها${\displaystyle G_{0}}$مجموعة القصور الذاتي الفرعية من${\displaystyle G}$بسبب علاقتها بتقسيم المُثُل الأولية ، بينما${\displaystyle G_{1}}$مجموعة فرعية من القصور الذاتي الجامح${\displaystyle G}$. الناتج${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$يُطلق عليه اسم حاصل القسمة المروضة.

مجموعة غالوا${\displaystyle G}$ومجموعاتها الفرعية${\displaystyle G_{i}}$تُدرس هذه النتائج باستخدام الترشيح المذكور أعلاه، أو بشكل أكثر تحديدًا، باستخدام النسب المقابلة. على وجه الخصوص،

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$أين${\displaystyle l,k}$هي حقول البقايا (المحدودة) لـ ${\displaystyle L,K}$[ ^{4 ]​}
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$غير متفرعة .
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$متفرعة بشكل طفيف (أي أن مؤشر التفرع أولي بالنسبة لخاصية البقايا).

تختزل دراسة مجموعات التفرع إلى حالة التفرع الكامل، حيث يكون لدى المرء${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$ل${\displaystyle i\geq 0}$.

كما يحدد المرء الوظيفة${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$(ii) في ما سبق يوضح${\displaystyle i_{G}}$مستقل عن اختيار${\displaystyle \alpha }$وعلاوة على ذلك، دراسة الترشيح${\displaystyle G_{i}}$وهو ما يعادل أساسًا ما يلي:${\displaystyle i_{G}}$[ ^{5 ]​}${\displaystyle i_{G}}$يستوفي الشروط التالية: لـ${\displaystyle s,t\in G}$،

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

أصلح جهاز التوحيد${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle L}$. ثم${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$يحفز الحقن${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$أين${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$(في الواقع، لا تعتمد الخريطة على اختيار الموحد. ^{[ 6 ]} ) ويترتب على ذلك ^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$دورية من رتبة عدد أولي إلى${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$هو نتاج مجموعات دورية من الرتبة${\displaystyle p}$.

بخاصة،${\displaystyle G_{1}}$هي مجموعة p و${\displaystyle G_{0}}$قابلة للحل .

يمكن استخدام مجموعات التفرع لحساب مختلف${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$من الامتداد${\displaystyle L/K}$وتلك المتعلقة بالامتدادات الفرعية: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

لو${\displaystyle H}$هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle G}$إذن، لـ${\displaystyle \sigma \in G}$،${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$[ ^{9 ]​}

وبدمج هذا مع ما سبق، نحصل على: بالنسبة لامتداد فرعي${\displaystyle F/K}$بما يتوافق مع${\displaystyle H}$،

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

لو${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$، ثم${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$[ ^{10 ]} في مصطلحات لازارد ، يمكن فهم هذا على أنه يعني ^جبر لي${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$هو أبيلي.

لو${\displaystyle u}$هو عدد حقيقي${\displaystyle \geq -1}$، يترك${\displaystyle G_{u}}$دل${\displaystyle G_{i}}$حيث i هو أصغر عدد صحيح${\displaystyle \geq u}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$يُعرِّف${\displaystyle \phi }$بواسطة ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

حيث، بحسب العرف،${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$يساوي${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$لو${\displaystyle t=-1}$وهو يساوي${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle -1<t\leq 0}$[ ^{13 ]} ثم^​${\displaystyle \phi (u)=u}$ل${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$من الواضح أن${\displaystyle \phi }$هي دالة متصلة ومتزايدة تمامًا، وبالتالي فإن لها دالة عكسية متصلة${\displaystyle \psi }$محدد في${\displaystyle [-1,\infty )}$. يُعرِّف ${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$. ${\displaystyle G^{v}}$ويُطلق عليها حينها اسم مجموعة التفرع رقم v في الترقيم الأعلى. بعبارة أخرى،${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$. ملحوظة${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$تم تعريف الترقيم العلوي بحيث يكون متوافقًا مع الانتقال إلى القسمة: ^{[ 14 ]} إذا${\displaystyle H}$أمر طبيعي في${\displaystyle G}$، ثم

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$للجميع${\displaystyle v}$

(بينما يكون الترقيم الأدنى متوافقًا مع الانتقال إلى المجموعات الفرعية.)

• امتدادات محدودة للحقول المحلية

• ب. كونراد، رياضيات ٢٤٨أ. مجموعات التفرع العليا
• فروليش، أ .؛ تايلور، م. ج. (1991). نظرية الأعداد الجبرية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  27. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001 . 
• نيوكيرتش، يورغن (1999). جبرية زهلينثيوري . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  322. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-65399-8. السيد 1697859 . زبل 0956.11021 .  
• سير، جان بيير (1967). "السادس. نظرية حقل الأصناف المحلية". في: كاسيلز، جيه دبليو إس ؛ فروليش، أ. (محرران). نظرية الأعداد الجبرية. وقائع مؤتمر تعليمي نظمته جمعية لندن الرياضية (معهد دراسات متقدمة تابع لحلف الناتو) بدعم من الاتحاد الرياضي الدولي . لندن: أكاديميك برس. ص 128-161 . Zbl 0153.07403 .  
• سير، جان بيير (1979). الحقول المحلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  67. ترجمة مارفن جاي غرينبيرغ . برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-90424-7. السيد 0554237 . زبل 0423.12016 .  
• سنايث، فيكتور ب. (1994). بنية وحدة غالوا . سلسلة دراسات معهد فيلدز. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-0264-X. Zbl 0830.11042 .