مجموعة مكعب روبيك

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 55 صور
الموسوعة الحرة
تشكل عمليات التلاعب بمكعب روبيك مجموعة مكعب روبيك.

مجموعة مكعب روبيك(جي،⋅){\displaystyle (G,\cdot )} يمثل هذا التركيب الرياضي للعبة المكعب روبيك الميكانيكية . كل عنصر من عناصر المجموعةجي{\displaystyle G}يتوافق هذا مع حركة مكعب، وهي نتيجة أي سلسلة من دورانات أوجه المكعب. باستخدام هذا التمثيل، لا يمكن تمثيل أي حركة للمكعب فحسب، بل يمكن تمثيل أي موضع للمكعب أيضًا، من خلال تفصيل حركات المكعب المطلوبة لتدوير المكعب المحلول إلى ذلك الموضع. في الواقع، مع اعتبار الموضع المحلول نقطة انطلاق، توجد مطابقة تامة بين كل موضع من المواضع القانونية لمكعب روبيك وعناصره.جي{\displaystyle G}[ 1 ] [ 2 ] عملية المجموعة​⋅{\displaystyle \cdot }هو تركيب حركات المكعب، ويتوافق مع نتيجة تنفيذ حركة مكعب واحدة تلو الأخرى.

يُبنى مكعب روبيك بتسمية كل وجه من أوجهه الـ 48 غير المركزية بالأعداد الصحيحة من 1 إلى 48. ويمكن تمثيل كل وضعية للمكعب بتبديل الأرقام من 1 إلى 48، وذلك بحسب موضع كل وجه. باستخدام هذا التمثيل، يكون المكعب المحلول هو التبديل المحايد الذي لا يُغير المكعب، بينما تُمثل التبديلات الخاصة بكل تبديلات الحركات الاثنتي عشرة التي تُدير طبقة من المكعب 90 درجة. مجموعة مكعب روبيك هي مجموعة فرعية من المجموعة المتناظرة .S48{\displaystyle \mathrm {S} _{48}}يتم توليدها من خلال التباديل الستة التي تتوافق مع حركات المكعب الست باتجاه عقارب الساعة. مع هذا البناء، فإن أي شكل للمكعب يمكن الوصول إليه من خلال سلسلة من حركات المكعب يقع ضمن المجموعة. طريقة عملها⋅{\displaystyle \cdot }يشير هذا إلى تركيب تبديلين؛ وفي مكعب روبيك، يعني ذلك دمج سلسلتين من حركات المكعب معًا، واحدة تلو الأخرى. مجموعة مكعب روبيك غير تبديلية لأن تركيب حركات المكعب ليس تبديليًا ؛ فإجراء سلسلة من حركات المكعب بترتيب مختلف قد ينتج عنه شكل مختلف.

تحركات المكعب

أ3×3×3{\displaystyle 3\times 3\times 3}يتكون مكعب روبيك من6{\displaystyle 6}وجوه ، كل منها مع9{\displaystyle 9}مربعات ملونة تسمى الوجوه الصغيرة، ليصبح المجموع54{\displaystyle 54}الأوجه الصغيرة. المكعب المحلول يكون فيه جميع الأوجه الصغيرة على كل وجه من نفس اللون.

تؤدي حركة المكعب إلى تدوير أحد6{\displaystyle 6}يواجه إما90∘،180∘،{\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ },}أو-90∘{\displaystyle -90^{\circ }}(نظام نصف دورة). [ 3 ] يدور السطح المركزي حول محوره ولكنه يبقى في نفس الموضع. [ 1 ]

يتم وصف حركات المكعب باستخدام تدوين Singmaster : [ 4 ]

الزاوية الأساسية 90 درجة180 درجة-90 درجة
F{\displaystyle F}أدر الجزء الأمامي باتجاه عقارب الساعةF2{\displaystyle F^{2}}أدر الجزء الأمامي في اتجاه عقارب الساعة مرتينF′{\displaystyle F^{\prime }}أدر الجزء الأمامي عكس اتجاه عقارب الساعة
ب{\displaystyle B}أدر الظهر باتجاه عقارب الساعةب2{\displaystyle B^{2}}أدر الظهر في اتجاه عقارب الساعة مرتينب′{\displaystyle B^{\prime }}يدير الظهر عكس اتجاه عقارب الساعة
يو{\displaystyle U}أدر الجزء العلوي باتجاه عقارب الساعةيو2{\displaystyle U^{2}}أدر الجزء العلوي في اتجاه عقارب الساعة مرتينيو′{\displaystyle U^{\prime }}أدر الجزء العلوي عكس اتجاه عقارب الساعة
د{\displaystyle D}يدير الجزء السفلي في اتجاه عقارب الساعةد2{\displaystyle D^{2}}أدر الجزء السفلي في اتجاه عقارب الساعة مرتيند′{\displaystyle D^{\prime }}يدير الجزء السفلي عكس اتجاه عقارب الساعة
ل{\displaystyle L}أدر الوجه الأيسر في اتجاه عقارب الساعةل2{\displaystyle L^{2}}أدر الوجه الأيسر في اتجاه عقارب الساعة مرتينل′{\displaystyle L^{\prime }}يدير الوجه الأيسر عكس اتجاه عقارب الساعة
R{\displaystyle R}أدر الوجه الأيمن باتجاه عقارب الساعةR2{\displaystyle R^{2}}أدر الوجه الأيمن في اتجاه عقارب الساعة مرتينR′{\displaystyle R^{\prime }}يدير الوجه الأيمن عكس اتجاه عقارب الساعة

الحركة الفارغة هيهـ{\displaystyle E}[ ملاحظة 1 ] التسلسللللل{\displaystyle LLLL}هو نفسههـ{\displaystyle E}، وRRR{\displaystyle RRR}هو نفسهR′{\displaystyle R^{\prime }}.

هيكل المجموعة

يستخدم ما يلي الترميز الموضح في كيفية حل مكعب روبيك . اتجاه الأوجه الستة المركزية ثابت.

يمكننا تحديد كل دوران من دورانات الأوجه الستة كعناصر في المجموعة المتناظرة على مجموعة الأوجه غير المركزية. وبشكل أكثر تحديدًا، يمكننا ترقيم الأوجه غير المركزية من 1 إلى 48، ثم تحديد دورانات الأوجه الستة كعناصر في المجموعة المتناظرة S 48 وفقًا لكيفية تبديل كل حركة للأوجه المختلفة. تُعرَّف مجموعة مكعب روبيك، G ، بأنها المجموعة الفرعية من S 48 الناتجة عن دورانات الأوجه الستة.{F،ب،يو،د،ل،R}{\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}.

يتم تحديد عدد عناصر المجموعة G بواسطة: [ 5 ]

|جي|=43,252,003,274,489,856,000{\displaystyle |G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000}=12!⋅8!2⋅2122⋅383{\displaystyle {}={\frac {12!\cdot 8!}{2}}\cdot {\frac {2^{12}}{2}}\cdot {\frac {3^{8}}{3}}}=227314537211{\displaystyle {}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}

على الرغم من كبر حجمه، فإن رقم الله لمكعب روبيك هو 20؛ أي أنه يمكن حل أي وضع في 20 حركة أو أقل [ 3 ] (حيث يتم احتساب نصف اللفة كحركة واحدة؛ إذا تم احتساب نصف اللفة على أنها لفتان ربعيتان، فإن رقم الله هو 26 [ 6 ] ).

أكبر رتبة لعنصر في المجموعة G هي 1260. على سبيل المثال، أحد هذه العناصر التي رتبتها 1260 هو

(Rيو2د-1بد-1){\displaystyle (RU^{2}D^{-1}BD^{-1})}[ 1 ]​

G غير تبديلية (أي أن جميع حركات المكعب لا تتبادل مع بعضها البعض) لأنه، على سبيل المثال،FR{\displaystyle FR}ليس هو نفسهRF{\displaystyle RF}[ 2 ] يتكون مركز G من عنصرين فقط: الهوية (أي الحالة المحلولة) ، والقلب الفائق .

المجموعات الفرعية

نعتبر مجموعتين فرعيتين من G : أولاً ، المجموعة الفرعية Co الخاصة بتوجيهات المكعبات ، وهي الحركات التي تُبقي موضع كل مكعب ثابتًا، ولكنها تُغيّر توجيهات المكعبات. هذه المجموعة هي مجموعة فرعية طبيعية من G. يمكن تمثيلها على أنها الإغلاق الطبيعي لبعض الحركات التي تُقلب بعض الحواف أو تُدير بعض الزوايا. على سبيل المثال، هي الإغلاق الطبيعي للحركتين التاليتين:

بR′د2Rب′يو2بR′د2Rب′يو2،{\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},}(لفّ الزاويتين)
Rيودب2يو2ب′يوبيوب2د′R′يو′،{\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },}(اقلب حافتين).

ثانيًا، نأخذ المجموعة الفرعيةجص{\displaystyle C_{\text{p}}}من تباديل المكعبات ، الحركات التي تُغيّر مواقع المكعبات مع الحفاظ على اتجاهها ثابتًا. لهذه المجموعة الفرعية عدة خيارات، بحسب التعريف الدقيق لـ "الاتجاه". [ ملاحظة 2 ] أحد الخيارات هو المجموعة التالية، المُعطاة بالمولدات (المولد الأخير عبارة عن دورة ثلاثية على الحواف):

جص=[يو2،د2،F،ب،ل2،R2،R2يو′Fب′R2F′بيو′R2].{\displaystyle C_{\text{p}}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].}

بما أن Co زمرة جزئية طبيعية ، وتقاطع Co و Cp هو الزمرة المحايد ، وحاصل ضربهما هو زمرة المكعب بأكملها، فإنه يترتب على ذلك أن زمرة المكعب G هي حاصل الضرب شبه المباشر لهاتين الزمرتين.

جي=جo⋊جص.{\displaystyle G=C_{\text{o}}\rtimes C_{\text{p}}.}

بعد ذلك ، يمكننا إلقاء نظرة فاحصة على هاتين المجموعتين. بنية CO هي

Z37×Z211،{\displaystyle \mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11},}

بما أن مجموعة دوران كل زاوية (أو حافة) من المكعب هيZ3{\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}(على التوالي)Z2{\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}وفي كل حالة، يمكن تدوير جميع العناصر بحرية باستثناء عنصر واحد، لكن هذه الدورانات تحدد اتجاه العنصر الأخير. وبملاحظة وجود 8 زوايا و12 حافة، وأن جميع مجموعات الدوران تبديلية، نحصل على البنية المذكورة أعلاه.

تُعدّ تباديل المكعب، C<sub> p</sub> ، أكثر تعقيدًا بعض الشيء. فهي تحتوي على مجموعتين فرعيتين طبيعيتين منفصلتين: مجموعة التباديل الزوجية على الزوايا A<sub> 8</sub> ومجموعة التباديل الزوجية على الحواف A<sub> 12</sub> . ويُكمّل هاتين المجموعتين الفرعيتين تبديلٌ يُبدّل زاويتين وحافتين. ويتضح أن هذه التبديلات تُولّد جميع التباديل الممكنة، مما يعني

جص=(أ8×أ12)⋊Z2.{\displaystyle C_{\text{p}}=(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\,\rtimes \mathrm {Z} _{2}.}

بجمع كل الأجزاء معًا، نستنتج أن مجموعة المكعبات متماثلة مع

(Z37×Z211)⋊((أ8×أ12)⋊Z2).{\displaystyle (\mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\rtimes \mathrm {Z} _{2}).}

يمكن وصف هذه المجموعة أيضًا بأنها المنتج الفرعي المباشر

[(Z37⋊S8)×(Z211⋊S12)]12،{\displaystyle [(\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}},}

في تدوين غريس .

التعميمات

عند أخذ تناظرات السطح المركزي في الاعتبار، فإن مجموعة التناظر هي مجموعة فرعية من

[Z46×(Z37⋊S8)×(Z211⋊S12)]12.{\displaystyle [\mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}

(إن عدم أهمية دوران الوجه المركزي هو مثال ضمني على عمل مجموعة القسمة ، مما يحجب عن القارئ مجموعة التشاكل الذاتي الكاملة للكائن المعني.)

إن مجموعة التناظر لمكعب روبيك الناتج عن تفكيكه وإعادة تجميعه أكبر قليلاً: أي أنها حاصل الضرب المباشر

Z46×(Z3≀S8)×(Z2≀S12).{\displaystyle \mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}

يُعزى العامل الأول حصراً إلى دوران القطع المركزية، والثاني حصراً إلى تناظرات الزوايا، والثالث حصراً إلى تناظرات الحواف. يُعد العاملان الأخيران مثالين على المجموعات المتناظرة المعممة ، والتي بدورها مثال على جداءات الإكليل . (لا يوجد عامل لإعادة ترتيب الأوجه المركزية، لأنه في جميع نماذج مكعب روبيك تقريباً، يستحيل إعادة ترتيب هذه الأوجه بتفكيك بسيط ).

المجموعات البسيطة التي تظهر كحاصل قسمة في سلسلة تركيب مجموعة المكعب القياسية (أي مع تجاهل دوران القطعة المركزية) هيأ8{\displaystyle \mathrm {A} _{8}}،أ12{\displaystyle \mathrm {A} _{12}}،Z3{\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}(سبع مرات)، وZ2{\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}(12 مرة).

دروس التصريف الزوجي

أُفيد بأن مجموعة مكعب روبيك تضم 81120 فئة اقتران . [ 7 ] حُسب هذا العدد بحساب عدد فئات الاقتران الزوجية والفردية في مجموعتي الحواف والزوايا على حدة، ثم ضربهما، مع ضمان أن يكون مجموع التكافؤ زوجيًا دائمًا. يجب توخي الحذر عند حساب ما يُسمى بفئات الاقتران الحساسة للتكافؤ، والتي تختلف عناصرها دائمًا عند اقترانها بأي عنصر زوجي مقارنةً بأي عنصر فردي. [ 8 ]

عدد فئات الاقتران في مجموعة مكعب روبيك والمجموعات الفرعية المختلفة [ 8 ]
مجموعةلا.لا. فرديلا. ملاحظةالمجموع
مواقع الزاوية1210222
مواقع الحافة4037377
جميع الوظائف856
الزوايا14013010270
الحواف30829117599
مكعب كامل81,120

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ لا ينبغي الخلط بينه وبينهـ{\displaystyle E}كما هو مستخدم في تدوين سينغماستر الموسع ، حيث يمثل ربع دورة لطبقة خط الاستواء (أي الطبقة المركزية بينيو{\displaystyle U}ود{\displaystyle D}) في نفس اتجاهد{\displaystyle D}.
  2. إحدى طرق تعريف التوجيه هي كما يلي، مقتبسة من الصفحتين 314-315 من كتاب " مواضيع ما وراء السحر" لدوجلاس هوفستاتر . عرّف مفهومين: اللون الرئيسي للقطعة والوجه الرئيسي للموقع ، حيث يُقصد بالموقع مكان القطعة. سيكون الوجه الرئيسي للموقع هو الوجه الأمامي أو الخلفي للمكعب، إذا كان لهذا الموقع وجه؛ وإلا فسيكون الوجه الأيسر أو الأيمن. يوجد تسعة أوجه رئيسية على الوجه الأمامي، وتسعة على الخلفي، واثنان على الأيسر، واثنان على الأيمن. يُعرَّف اللون الرئيسي للقطعة بأنه اللون الذي يجب أن يكون على وجهها الرئيسي عندما تعود القطعة إلى موقعها الصحيح في مكعب محلول. حركة المكعبX{\displaystyle X}يحافظ على التوجيه إذا، عندماX{\displaystyle X}تم تطبيق ذلك على مكعب محلول، ويكون اللون الرئيسي لكل كتلة على الوجه الرئيسي لموقعها.

مراجع

  1. 1 2 3 جوينر، ديفيد (2002). مغامرات في نظرية الزمر: مكعب روبيك، وآلة ميرلين، وغيرها من الألعاب الرياضية . مطبعة جامعة جونز هوبكنز. ISBN 0-8018-6947-1.
  2. 1 2 ديفيس، توم (2006). "نظرية المجموعة عبر مكعب روبيك" (PDF) .
  3. 1 2 روكيكي، توماس؛ وآخرون . "رقم الله هو 20" . 
  4. ↑ سينغماستر، ديفيد (1981). ملاحظات حول مكعب روبيك السحري . كتب بنغوين. ISBN 0-907395-00-7.
  5. ↑ "رياضيات مكعب روبيك" (ملف PDF) . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . 17 مارس 2009.
  6. ↑ رقم الله هو 26 في مقياس ربع الدورة
  7. ↑ غارون، لوكاس (8 مارس 2010). "مجموعة التبديلات لمكعب روبيك" (ملف PDF) . سيمانتك سكولار . S2CID 18785794. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 22 فبراير 2019. تم الاطلاع عليه في 1 أغسطس 2020 . 
  8. 1 2 brac37 (20 أكتوبر 2009). "فئات الاقتران للمكعب" . منتدى مجال المكعب . تم الاسترجاع في 1 أغسطس 2020 .{{cite web}}: صيانة CS1: الأسماء الرقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )