المنحدر

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 58 صور
الموسوعة الحرة
الميل:م=ΔyΔx=لون برونزي⁡(θ){\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}

في الرياضيات ، ميل أو انحدار الخط هو رقم يصف اتجاه الخط على مستوى . [ 1 ]

يُرمز لها عادةً بالحرف m ، وتُعرَّف بأنها نسبة التغير الرأسي (الارتفاع) إلى التغير الأفقي (المسافة الأفقية) بين أي نقطتين مختلفتين على الخط. وهي ليست مسافة مباشرة أو زاوية مباشرة، بل هي مقياس لنسبتهما.

قد يكون الخط ماديًا، كما يحدده مساح الطرق ، أو تصويريًا كما في مخطط الطريق أو السقف، أو مجردًا في الرياضيات البحتة. ويُمكن إيجاد تطبيق للمفهوم الرياضي في الميل أو الانحدار في الجغرافيا والهندسة المدنية .

انحدار الخط أو ميله أو درجته هو القيمة المطلقة لميله: تشير القيمة المطلقة الأكبر إلى انحدار أكبر للخط. ويُعرَّف اتجاه الخط كما يلي:

  • الخط "المتزايد" أو "الصاعد" يتجه من اليسار إلى اليمين وله ميل موجب:م>0{\displaystyle m>0}.
  • الخط "المتناقص" أو "الهابط" ينزل من اليسار إلى اليمين وله ميل سالب:م<0{\displaystyle m<0}.

التعليمات الخاصة هي:

  • الخط القطري (المربع) له ميل يساوي واحدًا:م=1{\displaystyle m=1}
  • الخط "الأفقي" (الرسم البياني لدالة ثابتة ) له ميل يساوي صفرًا:م=0{\displaystyle m=0}.
  • الخط "العمودي" له ميل غير محدد أو لانهائي (انظر أدناه).

إذا كان ارتفاع نقطتين على طريق ما y1 و y2 ، فإن الارتفاع هو الفرق ( y2 - y1 ) = Δy . وبإهمال انحناء الأرض ، إذا كانت المسافة الأفقية بين النقطتين x1 و x2 من نقطة ثابتة، فإن المسافة الأفقية هي ( x2 - x1 ) = Δx . أما ميل الطريق بين النقطتين فهو نسبة الفرق بينهما .

م=ΔyΔx=y2-y1x2-x1.{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}

من خلال علم المثلثات ، يرتبط ميل الخط m بزاوية ميله θ بواسطة دالة الظل

م=لون برونزي⁡(θ).{\displaystyle m=\tan(\theta ).}

وبالتالي، فإن الخط الصاعد بزاوية 45 درجة له ​​ميل m = +1، والخط الهابط بزاوية 45 درجة له ​​ميل m = −1.

بتعميم ذلك، يُعرّف حساب التفاضل ميل منحنى مستوٍ عند نقطة ما بأنه ميل المماس له عند تلك النقطة. وعندما يُقارب المنحنى بسلسلة من النقاط، يُمكن تقريب ميل المنحنى بميل القاطع الواصل بين نقطتين متجاورتين. وعندما يُعطى المنحنى بيانيًا بتعبير جبري ، يُعطي حساب التفاضل صيغًا للميل عند كل نقطة. لذا، يُعد الميل أحد المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل وتطبيقاته في التصميم.

الترميز

لا يبدو أن هناك إجابة واضحة عن سبب استخدام الحرف m للدلالة على الميل، ولكنه ظهر لأول مرة في اللغة الإنجليزية في كتابات أوبراين (1844) [ 2 ] الذي قدم معادلة الخط المستقيم على النحو التالي: " y = mx + b " ، ويمكن العثور عليه أيضًا في كتابات تود هنتر (1888) [ 3 ] الذي كتب " y = mx + c ". [ 4 ]

تعريف

يوضح الشكل ميل المنحنى للمعادلة y = (3/2) x − 1. انقر للتكبير.
ميل الخط في نظام الإحداثيات، من f ( x ) = -12x + 2 إلى f ( x ) = 12x + 2

يُرمز عادةً بميل الخط المستقيم في المستوى الذي يحتوي على المحورين س و ص بالحرف م ، [ 5 ] ويُعرَّف بأنه التغير في الإحداثي ص مقسومًا على التغير المقابل في الإحداثي س ، بين نقطتين مختلفتين على الخط. ويُعبَّر عن ذلك بالمعادلة التالية:

م=ΔyΔx=رَأسِيّيتغيرأفقييتغير=يعلويجري.{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{التغير الرأسي}}\,{\text{التغير الأفقي}}}}={\frac {\text{الارتفاع}}{\text{المسافة الأفقية}}}.}

(يُستخدم الحرف اليوناني دلتا ، Δ، بشكل شائع في الرياضيات بمعنى "الفرق" أو "التغيير".)

بفرض نقطتين(x1،y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}و(x2،y2){\displaystyle (x_{2},y_{2})}، التغيير فيx{\displaystyle x}من واحد إلى الآخر هوx2-x1{\displaystyle x_{2}-x_{1}}( تشغيل )، بينما التغيير فيy{\displaystyle y}يكونy2-y1{\displaystyle y_{2}-y_{1}}( ارتفاع ). بتعويض كلا الكميتين في المعادلة أعلاه نحصل على الصيغة التالية:

م=y2-y1x2-x1.{\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}

تفشل الصيغة بالنسبة للخط العمودي الموازي لـy{\displaystyle y}المحور (انظر القسمة على صفر )، حيث يمكن اعتبار الميل لانهائيًا ، لذلك يعتبر ميل الخط الرأسي غير محدد.

أمثلة

لنفترض أن خطًا يمر بنقطتين: P  =  (1,  2) و Q  =  (13,  8). بقسمة الفرق فيy{\displaystyle y}- إحداثيات حسب الفرق فيx{\displaystyle x}باستخدام الإحداثيات، يمكن الحصول على ميل الخط:

م=ΔyΔx=y2-y1x2-x1=(8-2)(13-1)=612=12.{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {(8-2)}{(13-1)}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.}
بما أن الميل موجب، فإن اتجاه الخط يتزايد. وبما أن | م | < 1، فإن الانحدار ليس شديداً (الانحدار < 45°).

كمثال آخر، لنفترض خطًا مستقيمًا يمر بالنقطتين (4،  15) و(3،  21). عندئذٍ، يكون ميل هذا الخط هو

م=21-153-4=6-1=-6.{\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}
بما أن الميل سالب، فإن اتجاه الخط يتناقص. وبما أن | m | > 1، فإن هذا التناقص حاد نسبياً (التناقص > 45°).

الجبر والهندسة

ميول الخطوط المتوازية والمتعامدة
  • لوy{\displaystyle y}هي دالة خطية لـx{\displaystyle x}ثم معاملx{\displaystyle x}يمثل ميل الخط الناتج عن رسم الدالة. لذلك، إذا كانت معادلة الخط معطاة بالشكل التالي:
    y=مx+ب{\displaystyle y=mx+b}
    ثمم{\displaystyle m}يمثل الميل. يُطلق على هذا الشكل من معادلة الخط اسم صيغة الميل والمقطع ، لأنب{\displaystyle b}يمكن تفسيرها على أنها نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي، أيy{\displaystyle y}- إحداثيات نقطة تقاطع الخط معy{\displaystyle y}-محور.
  • إذا كان الميلم{\displaystyle m}خط ونقطة(x1،y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})}إذا كانت قيمتا الخط معروفتين، فيمكن إيجاد معادلة الخط باستخدام صيغة الميل والنقطة :
    y-y1=م(x-x1).{\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}
  • ميل الخط المحدد بالمعادلة الخطية
    أx+بy+ج=0{\displaystyle ax+by+c=0}

    يكون

    -أب{\displaystyle -{\frac {a}{b}}}.
  • يكون الخطان متوازيين إذا وفقط إذا لم يكونا نفس الخط (متطابقين) وكان إما ميلهما متساوياً أو كلاهما رأسي وبالتالي كلاهما له ميل غير محدد.
  • يكون الخطان متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي  -1 أو إذا كان أحدهما له ميل يساوي 0 (خط أفقي) والآخر له ميل غير محدد (خط رأسي).
  • ترتبط الزاوية θ بين -90° و 90° التي يصنعها الخط مع المحور السيني بالميل m على النحو التالي:
    م=لون برونزي⁡(θ){\displaystyle m=\tan(\theta )}

    و

    θ=دالة الظل العكسي⁡(م){\displaystyle \theta =\arctan(m)} (هذه هي الدالة العكسية للظل؛ انظر الدوال المثلثية العكسية ).

أمثلة

على سبيل المثال، لنفترض وجود خط مستقيم يمر بالنقطتين (2، 8) و(3، 20). ميل هذا الخط، m ، يساوي

(20-8)(3-2)=12.{\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.}

يمكن للمرء بعد ذلك كتابة معادلة الخط، بصيغة الميل والنقطة:

y-8=12(x-2)=12x-24.{\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}

أو:

y=12x-16.{\displaystyle y=12x-16.}

الزاوية θ التي يصنعها هذا الخط مع المحور السيني بين -90° و 90° هي

θ=دالة الظل العكسي⁡(12)≈85.2∘.{\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.}

لنفترض وجود خطين مستقيمين: y = −3 x + 1 و y = −3 x − 2. كلا الخطين لهما ميل m = −3 . إنهما ليسا خطاً مستقيماً واحداً، لذا فهما خطان متوازيان.

لنفترض وجود خطين مستقيمين y = −3x + 1 و y = x / 3 − 2. ميل الخط الأول هو m1 = −3 . ميل الخط الثاني هو m2 = 1/3 . حاصل ضرب هذين الميلين يساوي −1 . إذن ، الخطان متعامدان .

إحصائيات

في الإحصاء ، يمكن كتابة ميل خط الانحدار الأمثل للمربعات الصغرى لعينة معينة من البيانات على النحو التالي:

م=رsysx{\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}،

تُسمى هذه الكمية m ميل الانحدار للخطy=مx+ج{\displaystyle y=mx+c}الكميةر{\displaystyle r}معامل ارتباط بيرسون ،sy{\displaystyle s_{y}}يمثل الانحراف المعياري لقيم y وsx{\displaystyle s_{x}}يمثل الانحراف المعياري لقيم x. ويمكن كتابة ذلك أيضًا كنسبة بين التباينات المشتركة : [ 6 ]

م=كوف⁡(Y،X)كوف⁡(X،X){\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}

حساب التفاضل والتكامل

عند كل نقطة، تكون المشتقة هي ميل الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة. ملاحظة: تكون المشتقة عند النقطة A موجبة حيث يكون الخط أخضر ومتقطع، وسالبة حيث يكون الخط أحمر ومتقطع، وصفرًا حيث يكون الخط أسود ومتصل.

يُعدّ مفهوم الميل أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل . بالنسبة للدوال غير الخطية، يتغير معدل التغير على طول المنحنى. مشتقة الدالة عند نقطة ما هي ميل الخط المماس للمنحنى عند تلك النقطة، وبالتالي فهي تساوي معدل تغير الدالة عند تلك النقطة.

إذا افترضنا أن Δx و Δy هما المسافتان (على طول المحورين x و y ، على التوالي) بين نقطتين على منحنى، فإن الميل المعطى بالتعريف أعلاه،

م=ΔyΔx{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}،

يمثل ميل الخط القاطع للمنحنى. بالنسبة للخط المستقيم، يكون الخط القاطع بين أي نقطتين هو الخط نفسه، ولكن هذا لا ينطبق على أي نوع آخر من المنحنيات.

على سبيل المثال، ميل القاطع الذي يتقاطع مع y = x 2 عند (0,0) و (3,9) هو 3. (ميل المماس عند x = 3 ⁄ 2 هو أيضًا 3  - نتيجة لنظرية القيمة المتوسطة .) 

بتقريب النقطتين من بعضهما بحيث يقل كل من Δy و Δx ، يقترب الخط القاطع من الخط المماس للمنحنى، وبالتالي يقترب ميل الخط القاطع من ميل الخط المماس. باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، يمكننا تحديد النهاية ، أو القيمة التي يقترب منها Δy / Δx عندما يقترب كل من Δy و Δx من الصفر ؛ ومن ثم، فإن هذه النهاية هي الميل الدقيق للخط المماس. إذا كانت y تعتمد على x ، فيكفي حساب النهاية التي يقترب فيها Δx فقط من الصفر. لذلك، فإن ميل الخط المماس هو نهاية Δy / Δx عندما يقترب Δx من الصفر، أو dy / dx . نسمي هذه النهاية بالمشتقة .

دyدx=ليمΔx→0ΔyΔx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

تُعطينا قيمة المشتقة عند نقطة محددة على الدالة ميل المماس عند تلك النقطة. على سبيل المثال، لنفترض أن y = x² . النقطة (-2, 4) على هذه الدالة هي dy/dx = 2x. إذن، ميل المماس لـ y عند النقطة (-2, 4) هو 2 × (-2) = -4. معادلة هذا المماس هي : y - 4 = ( -4 ) ( x - ( -2 ) ) أو y = -4x - 4 .

اختلاف المنحدرات

يتم تبديد وهم مفارقة المساحة من خلال مقارنة المنحدرات حيث تلتقي المثلثات الزرقاء والحمراء.

ينبثق امتداد لفكرة الزاوية من اختلاف الانحدارات. لننظر في رسم خرائط القص.

(u،v)=(x،y)(1v01).{\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}

ثم(1،0){\displaystyle (1,0)}يتم تعيينها إلى(1،v){\displaystyle (1,v)}ميل(1،0){\displaystyle (1,0)}يساوي صفرًا وميل(1،v){\displaystyle (1,v)}يكونv{\displaystyle v}أضافت عملية رسم خرائط القص ميلًا قدرهv{\displaystyle v}. لنقطتين على{(1،y):y∈R}{\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}مع منحدراتم{\displaystyle m}ون{\displaystyle n}الصورة

(1،y)(1v01)=(1،y+v){\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}

هل زاد الميل بمقدارv{\displaystyle v}لكن الفرقن-م{\displaystyle nm}تكون قيم الميل متساوية قبل القص وبعده. هذا الثبات في فروق الميل يجعل الميل مقياسًا ثابتًا زاويًا ، على قدم المساواة مع الزاوية الدائرية (الثابتة تحت الدوران) والزاوية الزائدية، مع مجموعة ثبات لتطبيقات الضغط . [ 7 ] [ 8 ]

ميل (انحدار) السقف

يُقاس ميل السقف، الذي يُعرف تقليديًا باسم " ميل السقف" ، في أعمال النجارة والهندسة المعمارية في الولايات المتحدة الأمريكية، عادةً بوحدات كسرية صحيحة من القدم (المماس الهندسي، الارتفاع على الامتداد الأفقي)، وهو إرث من نظام القياس الإمبراطوري البريطاني. وتُستخدم وحدات أخرى في مناطق أخرى، مع وجود اصطلاحات مماثلة. لمزيد من التفاصيل، انظر " ميل السقف" .

انحدار الطريق أو السكة الحديدية

هناك طريقتان شائعتان لوصف انحدار الطريق أو السكة الحديدية . الأولى هي الزاوية بين 0° و90° (بالدرجات)، والأخرى هي الميل كنسبة مئوية. انظر أيضًا: سكة حديدية شديدة الانحدار وسكة حديدية مسننة .

الصيغ المستخدمة لتحويل الميل المعطى كنسبة مئوية إلى زاوية بالدرجات والعكس هي:

زاوية=دالة الظل العكسي⁡(المنحدر100%){\displaystyle {\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)}(هذه هي الدالة العكسية للظل؛ انظر حساب المثلثات )

و

المنحدر=100%×لون برونزي⁡(زاوية)،{\displaystyle {\mbox{slope}}=100\%\times \tan({\mbox{angle}}),}

حيث تُقاس الزاوية بالدرجات، وتعمل الدوال المثلثية بالدرجات أيضاً. على سبيل المثال، ميل بنسبة 100 % أو 1000 بالألف يُعادل زاوية 45°.

ثمة طريقة ثالثة تتمثل في إعطاء وحدة ارتفاع واحدة، على سبيل المثال 10 أو 20 أو 50 أو 100 وحدة أفقية، مثلاً 1:10 أو 1:20 أو 1:50 أو 1:100 (أو "1 من 10" أو "1 من 20" وما إلى ذلك). 1:10 أكثر انحداراً من 1:20. على سبيل المثال، انحدار بنسبة 20% يعني 1:5 أو ميل بزاوية 11.3 درجة.

تتميز الطرق والسكك الحديدية بوجود منحدرات طولية ومنحدرات عرضية.

استخدامات أخرى

يُستخدم مفهوم الميل أو الانحدار أيضاً كأساس لتطوير تطبيقات أخرى في الرياضيات:

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كلافام، سي.؛ نيكلسون، ج. (2009). "قاموس أكسفورد الموجز للرياضيات، التدرج" (ملف PDF) . أديسون-ويسلي. ص  348. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 29 أكتوبر 2013. تم الاطلاع عليه في 1 سبتمبر 2013 .
  2. ↑ أوبراين، م. (1844)، رسالة في الهندسة الإحداثية المستوية أو تطبيق طريقة الإحداثيات في حل مسائل الهندسة المستوية ، كامبريدج، إنجلترا: دايتونز
  3. ↑ تود هنتر، آي. (1888)، رسالة في الهندسة الإحداثية المستوية وتطبيقاتها على الخط المستقيم والقطوع المخروطية ، لندن: ماكميلان
  4. ↑ وايسشتاين، إريك و. "الميل" . ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام. مؤرشف من الأصل في 6 ديسمبر 2016. تم الاسترجاع في 30 أكتوبر 2016 .
  5. ↑ يمكن إيجاد مثال مبكر لهذا الأسلوب في كتاب سالمون، جورج (1850). رسالة في القطوع المخروطية ( الطبعة الثانية). دبلن: هودجز وسميث. الصفحات 14-15 .  
  6. ↑ الرياضيات المتقدمة، الوحدتان 3 و4، شهادة التعليم الفيكتوري (مراجعة) . كامبريدج للرياضيات العليا. 2016. ISBN 9781316616222– عبر نسخة ورقية.
  7. ↑ بولت، مايكل؛ فرديناندز، تيموثي؛ كافلي، لاندون (2009). "التحويلات المستوية الأكثر عمومية التي ترسم القطوع المكافئة إلى قطوع مكافئة أخرى" . مجلة Involve: مجلة الرياضيات . 2 (1): 79-88 . doi : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN 1944-4176 . مؤرشف من الأصل في 12 يونيو 2020. تم الاطلاع عليه في 22 مايو 2021 . 
  8. ↑ الجبر المجرد/القص والميل في ويكي بوكسشعار ويكي بوكس