الانحناء (الهندسة)

الجسمان الأرخميديان المتجاهلان

مكعب قصير أو مكعب ثماني الأوجه قصير

المجسم ذو الاثني عشر وجهًا المقطوع أو المجسم ذو العشرين وجهًا المقطوع

في الهندسة ، يُعرف التشويه بأنه عملية تُطبق على متعدد السطوح . ويعود أصل المصطلح إلى تسمية كيبلر لاثنين من الأجسام الأرخميدية ، وهما المكعب المشوه ( cubus simus ) والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا المشوه ( dodecaedron simum ). ^{[ 1 ]}

بشكل عام، تتمتع الأشكال المقطوعة بتناظر حلزوني ذي شكلين: اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة. وبحسب تسمية كبلر، يمكن اعتبار الشكل المقطوع بمثابة توسيع لمجسم منتظم : حيث يتم إبعاد الأوجه عن بعضها، وتدويرها حول مراكزها، وإضافة مضلعات جديدة متمركزة على الرؤوس الأصلية، وإضافة أزواج من المثلثات تقع بين الحواف الأصلية.

تم تعميم المصطلحات بواسطة كوكسيتر ، بتعريف مختلف قليلاً، لمجموعة أوسع من متعددات الوجوه المنتظمة .

استكشف جون كونواي عوامل متعددة السطوح المعممة، وحدد ما يُعرف الآن باسم تدوين كونواي متعدد السطوح ، والذي يمكن تطبيقه على متعددات السطوح والتبليط. ويطلق كونواي على عملية كوكسيتر اسم شبه الحذف . ^{[ 2 ]}

في هذه الصيغة، يُعرَّف الحذف بواسطة عاملي الازدواجية والدوران ، حيث s  = dg ، وهو مكافئ لتناوب اقتطاع عامل أمبو . تتجنب صيغة كونواي عملية التناوب (النصف) لكوكسيتر لأنها تنطبق فقط على المجسمات متعددة الأوجه ذات الأوجه الزوجية. 

تم تجاهل الشخصيات العادية

استمارات للتجاهل	متعددات السطوح			التبليط الإقليدي		التبليط الزائدي
الأسماء	رباعي الأوجه	مكعب أو ثماني الأوجه	المجسم العشري الوجوه أو المجسم الاثني عشري الوجوه	تبليط مربع	التبليط السداسي أو التبليط المثلثي	التبليط السباعي أو التبليط المثلثي من الرتبة 7
صور
تدوين كونواي المختصر	شارع	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = s Δ	s Δ 7
صورة

في الأبعاد الأربعة، يقترح كونواي تسمية الشكل ذي الـ 24 خلية المقطوعة بـ " الشكل شبه المقطوع ذي الـ 24 خلية"، لأنه على عكس الأشكال ثلاثية الأبعاد المقطوعة التي تكون أشكالًا متناوبة ومقطوعة بالكامل، فهو ليس شكلًا متناوبًا ومقطوعًا بالكامل ذي 24 خلية . بل هو في الواقع شكل متناوب ومقطوع ذي 24 خلية . ^{[ 3 ]}

مكعب قصير، مشتق من كلمة مكعب أو مكعب ثماني الأوجه

	بذرة	r المعدل	t المبتورة	حرف h متبادل
اسم	مكعب	مكعب ثماني الأوجه	مكعب ثماني الأوجه مقطوع	مكعب ثماني الأوجه قصير الطرف، مكعب مصحح قصير الطرف
تدوين كونواي	ج	CO orC	tCO trC أو trO	htCO = sCO htrC = srC
رمز شلافلي	{4,3}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$أو r{4,3}	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$أو tr{4,3}	${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$htr{4,3} = sr{4,3}
مخطط كوكسيتر		أو	أو	أو
صورة

يختلف مصطلح "القطع" عند كوكسيتر قليلاً، إذ يعني قطعًا متناوبًا ، فيُشتق المكعب المقطوع على أنه مكعب ثماني الأوجه مقطوع ، والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا المقطوع على أنه مجسم ذو عشرين وجهًا اثني عشريًا مقطوع . يُستخدم هذا التعريف في تسمية اثنين من مجسمات جونسون : المجسم ثنائي الإسفين المقطوع والمجسم المربع المضاد المقطوع ، بالإضافة إلى متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى، مثل المجسم رباعي الأبعاد ذي 24 خلية مقطوعة، برمز شلافلي الموسع s{3,4,3}، ومخطط كوكسيتر .

متعدد السطوح منتظم (أو تبليط)، برمز شلافلي${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$، ومخطط كوكسيتر ، يُعرَّف الاقتطاع على النحو التالي${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$، و ، و له تعريف الحذف كقطع متناوب${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$و . يتطلب هذا التركيب المتناوب أن يكون q زوجيًا.

متعدد السطوح شبه منتظم ، برمز شلفلي${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$أو r { p , q }، ومخطط كوكسيتر أو ، له اقتطاع شبه منتظم يُعرَّف على النحو التالي${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$أو tr { p , q }، و أو ، ولها قطع شبه منتظم مُعرَّف على أنه تصحيح مُقتطع متناوب${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$أو htr { p , q } = sr { p , q }، و أو .

فعلى سبيل المثال، يُشتق مكعب كبلر المقطوع من المكعب الثماني الأوجه شبه المنتظم ، برمز شلافلي رأسي${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ومخطط كوكسيتر ، ولذا يُطلق عليه بشكل أكثر وضوحًا اسم مكعب ثماني الأوجه مقطوع ، معبر عنه برمز شلافلي عمودي${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ومخطط كوكسيتر . المكعب الثماني الأوجه المقطوع هو تناوب للمكعب الثماني الأوجه المبتور .${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$، و .

يمكن أيضًا تقطيع المجسمات المنتظمة ذات الرؤوس ذات الرتبة الزوجية إلى أجزاء مقطوعة بالتناوب، مثل ثماني السطوح المقطوع ، كما${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$، ، هو تناوب الشكل الثماني الأوجه المبتور ،${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$، و . يمثل الشكل الثماني الأوجه المقطوع الشكل العشري الأوجه الزائف، وهو شكل عشري الأوجه منتظم ذو تناظر بيريتوهيدرالي .

الهرم الرباعي الأوجه المقطوع ، كما${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$، و ، هو تناوب شكل التناظر الرباعي الأوجه المبتور،${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$، و .

	بذرة	t المبتورة	حرف h متبادل
اسم	المجسم الثماني	ثماني السطوح المقطوع	ثماني السطوح المقطوع
تدوين كونواي	يا	ل	htO أو sO
رمز شلافلي	{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}
مخطط كوكسيتر
صورة

تسمح عملية الحذف لكوكسيتر أيضًا بتعريف الموشورات المضادة من الرتبة n على النحو التالي:${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$أو${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$، استنادًا إلى الموشورات n${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$أو${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$، بينما${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$هو شكل منتظم من نوع n- hosohedron ، وهو متعدد السطوح متدهور، ولكنه تبليط صالح على الكرة بأوجه ثنائية أو هلالية الشكل.

Snub hosohedra , {2,2p}

صورة
مخططات كوكسيتر							... ...
رموز شلافلي	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14}	s{2,16} ...	s{2, ∞ }
	sr{2,2}${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	sr{2,3}${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	sr{2,4}${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	sr{2,5}${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$	sr{2,6}${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}}$	sr{2,7}${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}}$	sr{2,8}...${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}}$...	sr{2, ∞ }${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}}$
تدوين كونواي	A2 = T	A3 = O	A4	A5	A6	A7	A8...	A ∞

وينطبق الإجراء نفسه على تبليطات التناقص:

التبليط المثلثي Δ	تبليط مثلثي مقطوع t Δ	تبليط مثلثي مقطوع الحافة ht Δ = s Δ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

أمثلة

الاستبعادات بناءً على {p,4}

فضاء	كروي		إقليدي	القطع الزائد
صورة
مخطط كوكسيتر								...
رمز شلافلي	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4}	s{6,4}	s{7,4}	s{8,4}	... s{ ∞ ,4}

الانحرافات شبه المنتظمة القائمة على r{p,3}

تدوين كونواي	كروي				إقليدي	القطع الزائد
صورة
مخطط كوكسيتر								...
رمز شلافلي	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3}	sr{8,3}	...sr{ ∞ ,3}
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix}}}$
تدوين كونواي	A3	شارع	sC أو sO	sD أو sI	s Η أو s Δ

الانحرافات شبه المنتظمة القائمة على r{p,4}

فضاء	كروي		إقليدي	القطع الزائد
صورة
مخطط كوكسيتر								...
رمز شلافلي	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4}	sr{6,4}	sr{7,4}	sr{8,4}	... sr{ ∞ ,4}
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix}}}$
تدوين كونواي	A4	sC أو sO	sQ

متعددات السطوح غير منتظمة الشكل

يمكن حذف المجسمات متعددة الأوجه غير المنتظمة التي تحتوي على جميع الرؤوس ذات التكافؤ الزوجي، بما في ذلك بعض المجموعات اللانهائية؛ على سبيل المثال:

الأهرامات الثنائية المقطوعة sdt{2,p}

هرم ثنائي مربع قصير
هرم ثنائي سداسي قصير

الأهرامات الثنائية المصححة ذات الشكل المقطوع srdt{2,p}

موشورات مضادة قصيرة s{2,2p}

صورة				...
رموز شلافلي	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
	ssr{2,2}${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,3}${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,4}${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,5}...${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$

مجسمات كوكسيتر النجمية الموحدة

يتم بناء المجسمات النجمية المقطوعة بواسطة مثلث شوارتز الخاص بها (pqr)، مع زوايا انعكاس مرتبة بشكل منطقي، وجميع المرايا نشطة ومتبادلة.

متعددات السطوح النجمية الموحدة المقطوعة

sr{3/2,3/2}	s{(3,3,5/2)}	sr{5,5/2}	s{(3,5,5/3)}	sr{5/2,3}
sr{5/3,5}	s{(5/2,5/3,3)}	sr{5/3,3}	s{(3/2,3/2,5/2)}	sr{3/2,5/3}

إن الشكل المعيني الكبير ذو الاثني عشر وجهًا هو أيضًا شكل غير منتظم، ولكنه يرتبط بشكل رباعي كروي (3/2 5/3 3 5/2) بدلاً من ذلك.

أمثلة

يوجد شكل محدب منتظم واحد فقط في أربعة أبعاد، وهو الشكل المحدب ذو 24 خلية . ويُرمز للشكل المنتظم ذو 24 خلية برمز شلافلي .${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$، ومخطط كوكسيتر ، ويتم تمثيل الخلية المقطوعة ذات 24 خلية بواسطة${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$مخطط كوكسيتر . كما أنه يحتوي على دليل 6 لإنشاءات التناظر الأدنى مثل${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$أو s{3 ^1,1,1 } و ، وتناظر فرعي ذو مؤشر 3 كما يلي:${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$أو sr{3,3,4}، و أو .

يمكن اعتبار قرص العسل ذو الـ 24 خلية المقربة ذي الصلة بمثابة${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$أو s{3,4,3,3}، و ، وتناظر أقل${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$أو sr{3,3,4,3} و أو ، وأدنى شكل تناظري كـ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$أو s{3 ^1,1,1,1 } و .

قرص العسل الإقليدي هو قرص عسل سداسي متناوب ، s{2,6,3}، و أو sr{2,3,6}، و أو sr{2,3 ^[3] }، و .

هناك نوع آخر من خلايا النحل الإقليدية (ذات الشكل المتقشر) وهو خلية نحل مربعة متناوبة ، s{2,4,4}، و /أو sr{2,4 ^1,1 } و :

إنّ قرص العسل الموحد ذو القطع الزائد المتساوي الوحيد هو قرص العسل ذو التبليط السداسي المتساوي ، كما هو موضح في الشكل s{3,6,3}، والذي يمكن أيضًا إنشاؤه كقرص عسل متناوب ذي تبليط سداسي ، h{6,3,3} . كما يمكن إنشاؤه أيضًا على النحو التالي: s{3 ^[3,3] } .

وهناك نوع آخر من خلايا النحل الزائدية (الحرشفية) وهي خلايا نحل ثمانية الأوجه من الرتبة الرابعة ، s{3,4,4}، و .

• متعدد السطوح المقطوع

عوامل متعددة السطوح

• v
• ت
• هـ

بذرة	الاقتطاع	تصحيح	اقتطاع مزدوج	مزدوج	توسع	الاختصار الكامل	التناوب
t 0 { p , q } { p , q }	t 01 { p , q } t{ p , q }	t 1 { p , q } r{ p , q }	t 12 { p , q } 2t{ p , q }	t 2 { p , q } 2r{ p , q }	t 02 { p , q } rr{ p , q }	t 012 { p , q } tr{ p , q }	ht 0 { p , q } h{ q , p }	ht 12 { p , q } s{ q , p }	ht 012 { p , q } sr{ p , q }

• كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد ؛ لونغيت-هيغينز، ماجستير؛ ميلر، ج. س. ب. (1954). "المجسمات المنتظمة". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ. العلوم الرياضية والفيزيائية . 246 ( 916). الجمعية الملكية: 401-450 . رمز Bibcode : 1954RSPTA.246..401C . doi : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183 .    
• كوكسيتر، HSM Regular Polytopes ، (الطبعة الثالثة، 1973)، طبعة دوفر، ISBN 0-486-61480-8(ص  154-156 8.6 الاقتطاع الجزئي أو التناوب)
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6كتب جوجل
  • (الورقة 17) كوكستر ، تطور مخططات كوكستر-دينكين ، [Nieuw Ar Chief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
  • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• كوكسيتر ، جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة ، منشورات دوفر، 1999، رقم ISBN 978-0-486-40919-1(الفصل 3: بناء ويثوف للمضلعات المنتظمة)
• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
• جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5
• ريتشارد كليتزينج، Snubs، والسطوح المتبادلة، ومخططات Stott-Coxeter-Dynkin ، التناظر: الثقافة والعلوم، المجلد 21، العدد 4، 329-344، (2010)