المعين ذو الاثني عشر وجهًا

المعين ذو الاثني عشر وجهًا
(انقر هنا لعرض النموذج الدوار)
يكتب	مجسم أرخميدس متعدد السطوح منتظم
عناصر	F = 62، E = 120، V = 60 (χ = 2)
وجوه متقابلة	20(3)+30(4)+12(5)
تدوين كونواي	eD أو aaD
رموز شلافلي	rr{5,3} أو${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$
	t 0,2 {5,3}
رمز Wythoff	3 5 | 2
مخطط كوكسيتر
مجموعة التناظر	I h , H 3 , [5,3], (*532), order 120
مجموعة الدوران	أنا ، [5،3] + ، (532)، الترتيب 60
الزاوية ثنائية السطوح	3-4: 159°05′41″ (159.09°) 4-5: 148°16′57″ (148.28°)
مراجع	U 27 ، C 30 ، W 14
ملكيات	محدب شبه منتظم
وجوه ملونة	3.4.5.4 ( شكل الرأس )
مجسم سداسي الأوجه دلتويدي ( مجسم متعدد الأوجه مزدوج )	شبكة

في الهندسة ، يعتبر الشكل المعيني ذو الاثني عشر وجهاً مجسماً أرخميدياً ، وهو واحد من ثلاثة عشر مجسماً محدباً متساوي الزوايا غير موشوري يتكون من نوعين أو أكثر من وجوه المضلعات المنتظمة .

يحتوي على ما مجموعه 62 وجهًا: 20 وجهًا مثلثيًا منتظمًا ، و30 وجهًا مربعًا ، و12 وجهًا خماسيًا منتظمًا ، مع 60 رأسًا ، و120 حافة .

أطلق يوهانس كيبلر في كتابه "هارمونيسيس موندي " (1618) على هذا المجسم اسم " المعين ذو الاثني عشر وجهًا" ، وهو اختصار لـ "المعين المقطوع ذو الاثني عشر وجهًا "، حيث كان "المعين ذو الاثني عشر وجهًا " هو الاسم الذي أطلقه على المجسم المعيني ثلاثي الأضلاع . ^{[ 1 ] [ 2 ]} توجد عدة طرق لقطع المجسم المعيني ثلاثي الأضلاع إلى مجسم طوبولوجي ذي اثني عشر وجهًا: أبرزها تقويمه (يسارًا)، وهو الذي يُنتج المجسم المنتظم (وسطًا)، وتقويم المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المزدوج ( يمينًا)، والذي يُمثل جوهر المركب المزدوج .

بالنسبة لمجسم ذي شكل معيني ذي اثني عشر وجهاً وطول ضلع a ، فإن مساحة سطحه وحجمه هما:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 59.305\,982\,844\,9a^{2}\\V&={\frac {60+29{\sqrt {5}}}{3}}a^{3}&&\approx 41.615\,323\,782\,5a^{3}\end{aligned}}}$

بتوسيع مجسم ذي عشرين وجهًا (أو مجسم ذي اثني عشر وجهًا) عن طريق إبعاد الأوجه عن نقطة الأصل بالمقدار المناسب، وتدوير كل وجه بحيث يستمر كل رأس مثلث في ملامسة رأس خماسي، دون تغيير حجم الأوجه، ثم سد الثقوب المربعة في الناتج، نحصل على مجسم ذي عشرين وجهًا معينًا (أو مجسم ذي اثني عشر وجهًا). لذلك، يحتوي على نفس عدد المثلثات الموجودة في المجسم ذي العشرين وجهًا ، ونفس عدد الخماسيات الموجودة في المجسم ذي الاثني عشر وجهًا ، مع وجود مربع لكل ضلع من أضلاع كل منهما.

بدلاً من ذلك، يمكن توسيع كل مكعب من المكعبات الخمسة بتحريك أوجهه بعيدًا عن نقطة الأصل بالمقدار المناسب، ثم تدوير كل مكعب بزاوية 72 درجة ليصبح على مسافة متساوية من الآخر، دون تغيير اتجاه أو حجم الأوجه، ثم سد الفتحات الخماسية والمثلثة في الشكل الناتج، مما ينتج عنه شكل معيني ذو 12 وجهًا. وبالتالي، يحتوي هذا الشكل على نفس عدد المربعات الموجودة في خمسة مكعبات.

يمكن محاذاة مجموعتين من أوجه المجسم ثنائي المثلث الدائري ، وهما الهلالان (يحتوي كل هلال على مثلثين متجاورين على ضلعين متقابلين لمربع واحد)، مع رقعة متطابقة من الأوجه على المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا. إذا تمت محاذاة مجسمي ثنائي المثلث الدائري بهذه الطريقة على ضلعين متقابلين من المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا، فإنه يمكن وضع مكعب بين مجسمي ثنائي المثلث الدائري في مركز المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا تمامًا.

يشترك الشكل المعيني ذو الاثني عشر وجهاً في ترتيب الرؤوس مع الشكل النجمي الصغير المقطوع ذو الاثني عشر وجهاً ، ومع المركبات المنتظمة المكونة من ستة أو اثني عشر منشورًا خماسيًا .

تستخدم مجموعات أدوات Zometool لصنع القباب الجيوديسية وغيرها من المجسمات متعددة الأوجه كرات مشقوقة كوصلات. هذه الكرات عبارة عن مجسمات معينية عشرينية الوجوه "موسعة"، حيث استُبدلت المربعات بمستطيلات. ويتم اختيار التوسيع بحيث تكون المستطيلات الناتجة مستطيلات ذهبية .

تُشتق اثنا عشر من أصل 92 مجسمًا من مجسمات جونسون من مجسم المعين ذي الاثني عشر وجهًا، أربعة منها عن طريق تدوير قبة خماسية واحدة أو أكثر : المعين ذو الاثني عشر وجهًا الدائري ، والمعين ذو الاثني عشر وجهًا شبه الدائري ، والمعين ذو الاثني عشر وجهًا الدائري ، والمعين ذو الاثني عشر وجهًا الدائري . ويمكن إنشاء ثمانية مجسمات أخرى عن طريق إزالة ما يصل إلى ثلاث قباب، وأحيانًا عن طريق تدوير قبة واحدة أو أكثر من القباب الأخرى.

الإحداثيات الديكارتية لرؤوس مجسم معيني ذي 12 وجهًا بطول ضلع 2 متمركز عند نقطة الأصل هي جميعها تباديل زوجية لـ: ^{[ 3 ]}

(±1, ±1, ± φ ³ ),

(± φ ² , ± φ , ±2 φ ),

(±(2+ φ ), 0, ± φ ² ),

حيث φ  = 1 + √5 / 2 هي النسبة الذهبية . بالتالي، فإن نصف قطر الدائرة المحيطة بهذا الشكل المعيني ذي الاثني عشر وجهًا هو المسافة المشتركة بين هذه النقاط ونقطة الأصل، أي √φ / ⁶ + 2 = √8φ /7 عندما يكون طول الضلع 2. أما عندما يكون طول الضلع وحدة واحدة، فيجب تقسيم R إلى النصف، مما يعطي 

ر = ⁠ √ 8 φ +7 / 2 ⁠ = ⁠ √ 11+4 √ 5 / 2 ⁠ ≈ 2.233.

يحتوي المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا على ستة إسقاطات متعامدة خاصة ، متمركزة على رأس، على نوعين من الحواف، وثلاثة أنواع من الأوجه: المثلثات والمربعات والخماسيات. يتوافق النوعان الأخيران مع مستويي كوكسيتر _A2 و _H2 .

الإسقاطات المتعامدة

مركزها	رأس	الحافة 3-4	الحافة 5-4	وجه مربع	مثلث الوجه	وجه البنتاغون
صلب
إطار سلكي
التناظر الإسقاطي	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
صورة مزدوجة

يمكن تمثيل المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا أيضًا على شكل تبليط كروي ، وإسقاطه على المستوى عبر إسقاط مجسم . هذا الإسقاط متطابق ، إذ يحافظ على الزوايا دون المساحات أو الأطوال. تُسقط الخطوط المستقيمة على الكرة على شكل أقواس دائرية على المستوى.

	مركز البنتاغون	مثلث مركزي	مربع مركزي
الإسقاط المتعامد	الإسقاطات المجسمة

في مجال نظرية المخططات الرياضية ، يُعرف المخطط المعيني ذو الاثني عشر وجهًا بأنه مخطط رؤوس وحواف المعيني ذي الاثني عشر وجهًا، وهو أحد المجسمات الأرخميدية . يحتوي على 60 رأسًا و120 حافة، وهو مخطط رباعي . ^{[ 5 ]}

• مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا مقطوع

• ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-23729-X.

(القسم 3-9)

• كرومويل، ب. (1997). متعددات السطوح . المملكة المتحدة: كامبريدج. الصفحات  79-86 . المجسمات الأرخميدية . ISBN 0-521-55432-2.
• مسلسل نظرية الانفجار العظيم، الموسم الثامن، الحلقة الثانية - حل الأستاذ الصغير : يظهر هذا الجسم الصلب كإجابة لاختبار علمي مرتجل أجرته الشخصيات الأربع الرئيسية في شقة ليونارد وشيلدون، كما تم توضيحه أيضًا في بطاقة تشاك لوري رقم 461 في نهاية تلك الحلقة.

• وايسشتاين، إريك دبليو ، " مجسم صغير من المعين ذي الاثني عشر وجهًا " (" مجسم أرخميدس ") في عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "رسم بياني صغير لمجسم معيني ذي اثني عشر وجهًا" . عالم الرياضيات .
• كليتزينغ، ريتشارد. "مجسمات متعددة السطوح محدبة منتظمة ثلاثية الأبعاد x3o5x - srid" .
• شبكة قابلة للتعديل والطباعة لمجسم معيني ذي اثني عشر وجهًا مع عرض ثلاثي الأبعاد تفاعلي
• المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة
• المجسمات متعددة الأوجه في الواقع الافتراضي، موسوعة المجسمات متعددة الأوجه