التوجيه (الهندسة)

بشكل عام، يُعرَّف موضع واتجاه جسم صلب في الفضاء بأنه موضع واتجاه إطار مرجعي آخر، ثابت بالنسبة للجسم، ويتحرك معه في الحركة والدوران ( الإطار المرجعي المحلي للجسم ، أو نظام الإحداثيات المحلي )، وذلك بالنسبة إلى الإطار المرجعي الرئيسي. يلزم على الأقل ثلاث قيم مستقلة لوصف اتجاه هذا الإطار المحلي. وتصف ثلاث قيم أخرى موضع نقطة على الجسم. تتغير مواضع جميع نقاط الجسم أثناء الدوران باستثناء تلك الواقعة على محور الدوران. إذا كان للجسم الصلب تناظر دوراني، فلا يمكن تمييز جميع الاتجاهات إلا بملاحظة كيفية تطور الاتجاه بمرور الوقت انطلاقًا من اتجاه ابتدائي معروف. على سبيل المثال، يمكن تحديد اتجاه خط أو قطعة مستقيمة أو متجه في الفضاء بقيمتين فقط، كجيبَي تمام الاتجاه . مثال آخر هو موضع نقطة على سطح الأرض، والذي يُوصف غالبًا باستخدام اتجاه خط يصلها بمركز الأرض، ويُقاس باستخدام زاويتَي الطول والعرض . وبالمثل، يمكن وصف اتجاه المستوى بقيمتين أيضًا، على سبيل المثال عن طريق تحديد اتجاه خط عمودي على ذلك المستوى، أو باستخدام زوايا الميل والانحراف.

ترد تفاصيل إضافية حول الأساليب الرياضية لتمثيل اتجاه الأجسام الصلبة والمستويات في ثلاثة أبعاد في الأقسام التالية.

في بُعدين، يُحدد اتجاه أي جسم (خط، أو متجه، أو شكل مستوٍ ) بقيمة واحدة: الزاوية التي دار بها. توجد درجة حرية واحدة فقط ونقطة ثابتة واحدة فقط يدور حولها الجسم.

عندما يكون هناك d أبعاد، فإن تحديد اتجاه جسم ليس له أي تناظر دوراني يتطلب d ( d − 1) / 2 قيم مستقلة.

The first attempt to represent an orientation is attributed to Leonhard Euler. He imagined three reference frames that could rotate one around the other, and realized that by starting with a fixed reference frame and performing three rotations, he could get any other reference frame in the space (using two rotations to fix the vertical axis and another to fix the other two axes). The values of these three rotations are called Euler angles.

Tait–Bryan angles

These are three angles, also known as yaw, pitch and roll, Navigation angles and Cardan angles. Mathematically they constitute a set of six possibilities inside the twelve possible sets of Euler angles, the ordering being the one best used for describing the orientation of a vehicle such as an airplane. In aerospace engineering they are usually referred to as Euler angles.

Euler also realized that the composition of two rotations is equivalent to a single rotation about a different fixed axis (Euler's rotation theorem). Therefore, the composition of the former three angles has to be equal to only one rotation, whose axis was complicated to calculate until matrices were developed.

Based on this fact he introduced a vectorial way to describe any rotation, with a vector on the rotation axis and module equal to the value of the angle. Therefore, any orientation can be represented by a rotation vector (also called Euler vector) that leads to it from the reference frame. When used to represent an orientation, the rotation vector is commonly called orientation vector, or attitude vector.

A similar method, called axis–angle representation, describes a rotation or orientation using a unit vector aligned with the rotation axis, and a separate value to indicate the angle (see figure).

With the introduction of matrices, the Euler theorems were rewritten. The rotations were described by orthogonal matrices referred to as rotation matrices or direction cosine matrices. When used to represent an orientation, a rotation matrix is commonly called an orientation matrix, or attitude matrix.

The above-mentioned Euler vector is the eigenvector of a rotation matrix (a rotation matrix has a unique real eigenvalue). The product of two rotation matrices is the composition of rotations. Therefore, as before, the orientation can be given as the rotation from the initial frame to achieve the frame that we want to describe.

فضاء التكوين لجسم غير متناظر في فضاء ^ذي n بُعد هو SO( n ) × Rⁿ . يمكن تصور التوجيه بربط أساس من متجهات المماس بالجسم. يحدد اتجاه كل متجه توجيهه.

هناك طريقة أخرى لوصف الدورانات وهي استخدام رباعيات الدوران ، والتي تُسمى أيضًا بالمتجهات الدورانية. وهي تُكافئ مصفوفات الدوران ومتجهات الدوران. وبالمقارنة مع متجهات الدوران، يُمكن تحويلها من وإلى المصفوفات بسهولة أكبر. وعند استخدامها لتمثيل الاتجاهات، تُسمى رباعيات الدوران عادةً رباعيات الاتجاه أو رباعيات الوضع.

وضع الجسم الصلب هو اتجاهه، كما يُوصف، على سبيل المثال، باتجاه إطار ثابت في الجسم بالنسبة إلى إطار مرجعي ثابت. يُوصف الوضع بإحداثيات الوضع ، ويتكون من ثلاثة إحداثيات على الأقل. ^{[ 2 ]} تعتمد إحدى طرق توجيه الجسم الصلب على دوران محاور الجسم؛ أي الدوران ثلاث مرات متتالية حول محاور الإطار المرجعي الثابت للجسم، مما يُحدد زوايا أويلر للجسم . ^{[ 3 ] [ 4 ]} وتعتمد طريقة أخرى على الدوران حول المحور الطولي، والميل، والانعراج ، ^{[ 5 ]} مع العلم أن هذه المصطلحات تُشير أيضًا إلى الانحرافات التدريجية عن الوضع الاسمي .